Квадратичное целое число - Википедия - Quadratic integer

В теория чисел, квадратичные целые числа являются обобщением целые числа к квадратичные поля. Квадратичные целые числа алгебраические целые числа степени два, т. е. решения уравнений вида

Икс 2 + bx + c = 0

с $б$ и $c$ целые числа. Когда рассматриваются алгебраические целые числа, обычные целые числа часто называют рациональные целые числа.

Распространенными примерами квадратичных целых чисел являются квадратные корни из целых чисел, например $\sqrt 2$ , а комплексное число $я = \sqrt -1$ , который генерирует Гауссовские целые числа. Другой распространенный пример - ненастоящая кубическая корень единства $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} -1 + \sqrt -3 / 2$ , который генерирует Целые числа Эйзенштейна.

Целые квадратичные числа встречаются в решениях многих Диофантовы уравнения, Такие как Уравнения Пелла, и другие вопросы, связанные с интегральной квадратичные формы. Изучение кольца квадратичных целых чисел является основным для многих вопросов алгебраическая теория чисел.

История

Средневековый Индийские математики уже открыл умножение квадратичных целых чисел одного и того же $D$ , что позволило им решить некоторые случаи Уравнение Пелла.^{[нужна цитата ]}

Характеристика, приведенная в § Явное представление квадратичных целых чисел был впервые дан Ричард Дедекинд в 1871 г.^[1]^[2]

Определение

А квадратичное целое число является алгебраическое целое число степени два. Более точно, это комплексное число ${ displaystyle x = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4c}}} {2}}}$ , которая решает уравнение вида $Икс 2 + bx + c = 0$ , с б и c целые числа. Каждое квадратичное целое число, не являющееся целым числом, не является рациональный - а именно, это настоящий иррациональный номер если $б 2 - 4 c > 0$ и ненастоящее, если $б 2 - 4 c < 0$ - и лежит в однозначно определенной квадратичное поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ , продолжение ${ displaystyle mathbb {Q}}$ порожденный квадратным корнем из уникального целое число без квадратов $D$ это удовлетворяет $б 2 - 4 c = Де 2$ для некоторого целого числа $е$ . Если $D$ положительно, квадратичное целое число вещественно. Если D <0, это воображаемый (что сложно и нереально).

Квадратичные целые числа (включая обычные целые числа), принадлежащие квадратичному полю ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ , для мужчин область целостности называется кольцо целых чисел ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}}).}$

Хотя квадратичные целые числа, принадлежащие данному квадратичному полю, образуют звенеть, набор все квадратные целые числа не кольцо, потому что оно не замкнуто добавление или же умножение. Например, ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ и ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ являются квадратичными целыми числами, но ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}} + { sqrt {3}}}$ и ${ displaystyle (1 + { sqrt {2}}) cdot { sqrt {3}}}$ не так, как их минимальные многочлены иметь четвертую степень.

Явное представление

Здесь и далее рассматриваемые квадратичные числа принадлежат квадратичное поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}}),}$ куда $D$ это целое число без квадратов. Это не ограничивает общности, так как равенство $\sqrt а 2 D = а \sqrt D$ (для любого положительного целого числа $а$ ) подразумевает ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}}) = mathbb {Q} ({ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Элемент $Икс$ из ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ является квадратичным целым числом тогда и только тогда, когда есть два целых числа $а$ и $б$ так что либо

{ displaystyle x = a + b { sqrt {D}},}

или если $D - 1$ кратно $4$

{ displaystyle x = { frac {a} {2}} + { frac {b} {2}} { sqrt {D}},}

с

а

и

б

обе странный

Другими словами, любое целое квадратичное число можно записать $а + ωb$ , куда $а$ и $б$ целые числа, а где $ω$ определяется:

{ displaystyle omega = { begin {cases} { sqrt {D}} & { mbox {if}} D Equiv 2,3 { pmod {4}} {{1 + { sqrt { D}}} over 2} & { mbox {if}} D Equiv 1 { pmod {4}} end {case}}}

(в качестве $D$ предполагалось, что корпус ${ Displaystyle D Equiv 0 { pmod {4}}}$ невозможно, так как это означало бы, что D делится на квадрат 4).^[3]

Норма и спряжение

Квадратичное целое число в ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ может быть написано

а + б \sqrt D

,

куда $а$ и $б$ являются либо целыми числами, либо, только если $D \equiv 1 (мод.4)$ , обе половинки нечетных целых чисел. В норма такого целого квадратичного числа равно

N (а + б \sqrt D) = а 2 - Db 2

.

Норма квадратичного целого числа всегда целое. Если $D < 0$ , норма квадратичного целого числа - это квадрат его абсолютная величина как комплексное число (неверно, если $D > 0$ ). Норма - это полностью мультипликативная функция, что означает, что норма произведения квадратичных целых чисел всегда является произведением их норм.

Каждое квадратичное целое число $а + б \sqrt D$ имеет сопрягать

{ displaystyle { overline {a + b { sqrt {D}}}} = a-b { sqrt {D}}.}

Квадратичное целое число имеет ту же норму, что и его сопряженное число, и эта норма является произведением квадратичного целого числа и его сопряженного. Сопряжение суммы или произведения квадратичных целых чисел - это сумма или произведение (соответственно) сопряженных чисел. Это означает, что спряжение является автоморфизм кольца целых чисел ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ -видеть § Квадратичные целочисленные кольца, ниже.

Квадратичные целочисленные кольца

Каждый целое число без квадратов (отличается от 0 и 1) $D$ определяет квадратное целочисленное кольцо, какой область целостности состоящий из алгебраические целые числа содержалась в ${ displaystyle mathbf {Q} ({ sqrt {D}}).}$ Это набор $Z [ω] = {а + ωb : а, б \in Z},$ куда ${ displaystyle omega = { tfrac {1 + { sqrt {D}}} {2}}}$ если $D = 4 k +1$ , и $ω = \sqrt D$ иначе. Часто обозначается ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ , потому что это кольцо целых чисел из $Q (\sqrt D$ ), какой целостное закрытие из $Z$ в ${ displaystyle mathbf {Q} ({ sqrt {D}}).}$ Кольцо $Z [ω]$ состоит из всех корней всех уравнений $Икс 2 + Bx + C = 0$ чей дискриминант $B 2 - 4 C$ это продукт $D$ на квадрат целого числа. Особенно √D принадлежит $Z [ω]$ , являясь корнем уравнения $Икс 2 - D = 0$ , у которого есть $4 D$ как его дискриминант.

В квадратный корень любого целого числа является квадратичным целым числом, так как любое целое число может быть записано $п = м 2 D$ , куда $D$ является целым числом без квадратов, а его квадратный корень является корнем $Икс 2 - м 2 D = 0$ .

В основная теорема арифметики неверно во многих кольцах квадратичных целых чисел. Однако существует уникальная факторизация для идеалы, что выражается в том, что каждое кольцо целых алгебраических чисел является Дедекиндский домен. Будучи простейшими примерами целых алгебраических чисел, квадратичные числа обычно являются стартовыми примерами большинства исследований алгебраическая теория чисел.^[4]

Целочисленные квадратичные кольца делятся на два класса в зависимости от знака $D$ . Если $D > 0$ , все элементы ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ настоящие, а кольцо вещественное квадратичное целочисленное кольцо. Если $D < 0$ , единственные реальные элементы ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ - обычные целые числа, а кольцо - комплексное квадратичное целочисленное кольцо.

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса, который измеряет отказ уникальной факторизации, приведен в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.

Единицы

Квадратичное целое число - это единица измерения в кольце целых чисел ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ тогда и только тогда, когда его норма $1$ или же $-1$ . В первом случае это мультипликативный обратный является его сопряженным. Это отрицание его сопряженного во втором случае.

Если $D < 0$ , кольцо целых чисел ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ имеет не более шести единиц. В случае Гауссовские целые числа ( $D = -1$ ) четыре единицы $1, -1, \sqrt -1, - \sqrt -1$ . В случае Целые числа Эйзенштейна ( $D = -3$ ), шесть единиц $\pm1, \pm1 \pm \sqrt -3 / 2$ . Для всего прочего негатива $D$ , есть только две единицы, которые $1$ и $-1$ .

Если $D > 0$ , кольцо целых чисел ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ имеет бесконечно много единиц, равных $\pm ты я$ , куда $я$ - произвольное целое число, а $ты$ это конкретная единица, называемая основная единица. Учитывая фундаментальную единицу $ты$ , есть три другие фундаментальные единицы, сопряженные с ней ${ displaystyle { overline {u}},}$ а также ${ displaystyle -u}$ и ${ displaystyle - { overline {u}}.}$ Обычно звонят в основная единица, уникальная единица, имеющая абсолютное значение больше 1 (как действительное число). Это уникальная фундаментальная единица, которую можно записать как $а + б \sqrt D$ , с $а$ и $б$ положительные (целые числа или половины целых чисел).

Основные единицы измерения 10 самых маленьких положительных бесквадратных $D$ находятся $1 + \sqrt 2$ , $2 + \sqrt 3$ , $1 + \sqrt 5 / 2$ (в Золотое сечение ), $5 + 2 \sqrt 6$ , $8 + 3 \sqrt 7$ , $3 + \sqrt 10$ , $10 + 3 \sqrt 11$ , $3 + \sqrt 13 / 2$ , $15 + 4 \sqrt 14$ , $4 + \sqrt 15$ . Для большего $D$ , коэффициенты основной единицы могут быть очень большими. Например, для $D = 19, 31, 43$ , основные единицы соответственно $170 + 39 \sqrt 19$ , $1520 + 273 \sqrt 31$ и $3482 + 531 \sqrt 43$ .

Примеры комплексных квадратичных целочисленных колец

Гауссовские целые числа

Простые числа Эйзенштейна

За $D$ <0, ω - комплекс (воображаемый или иное нереальное) число. Следовательно, квадратичное целочисленное кольцо естественно рассматривать как множество алгебраических сложные числа.

Классический пример: ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-1}}]}$ , то Гауссовские целые числа, который был введен Карл Гаусс около 1800 г., чтобы изложить свой закон биквадратичной взаимности.^[5]
Элементы в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-3}})} = mathbf {Z} left [{{1 + { sqrt {-3}}} over 2} right]}$ называются Целые числа Эйзенштейна.

Оба упомянутых выше кольца являются кольцами целых чисел циклотомические поля Q(ζ₄) и Q(ζ₃) соответственно. Z[√−3] даже не Дедекиндский домен.

Оба приведенных выше примера кольца главных идеалов а также Евклидовы области по норме. Это не так для

{ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-5}})} = mathbf {Z} left [{ sqrt {-5}} right],}

что даже не уникальная область факторизации. Это можно показать следующим образом.

В ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-5}})},}$ у нас есть

{ displaystyle 9 = 3 cdot 3 = (2 + { sqrt {-5}}) (2 - { sqrt {-5}}).}

Факторы 3, ${ displaystyle 2 + { sqrt {-5}}}$ и ${ displaystyle 2 - { sqrt {-5}}}$ находятся несводимый, поскольку все они имеют норму 9, и если бы они не были несократимыми, у них был бы коэффициент нормы 3, что невозможно, норма элемента, отличного от $\pm1$ быть не меньше 4. Таким образом, разложение 9 на неприводимые множители не является единственным.

В идеалы ${ displaystyle langle 3,1 + { sqrt {-5}} rangle}$ и ${ displaystyle langle 3,1 - { sqrt {-5}} rangle}$ не главный, поскольку простое вычисление показывает, что их продукт является идеалом, порожденным 3, и, если бы они были главными, это означало бы, что 3 не было бы неприводимым.

Примеры вещественных квадратичных целочисленных колец

Полномочия золотого сечения

За $D > 0$ , $ω$ положительный иррациональный действительное число, и соответствующее квадратичное целочисленное кольцо представляет собой набор алгебраических действительные числа. Решения Уравнение Пелла $Икс 2 - D Y 2 = 1$ , а Диофантово уравнение широко изучены, являются единицы этих колец, для $D \equiv 2, 3 (мод 4)$ .

За $D = 5$ , $ω = 1+ \sqrt 5 / 2$ это Золотое сечение. Это кольцо изучали Питер Густав Лежен Дирихле. Его единицы имеют вид $\pm ω п$ , куда $п$ - произвольное целое число. Это кольцо также является результатом изучения 5-кратного вращательная симметрия на евклидовой плоскости, например, Мозаики Пенроуза.^[6]
Индийский математик Брахмагупта рассмотрел уравнение Пелля $Икс 2 - 61 Y 2 = 1$ , соответствующая кольцу, $Z [\sqrt 61]$ . Некоторые результаты были представлены европейскому сообществу Пьер Ферма в 1657 г.^{[который? ]}

Главные кольца квадратичных целых чисел

Уникальная факторизация свойство не всегда проверяется для колец квадратичных целых чисел, как показано выше для случая $Z [\sqrt -5]$ . Однако, как и для каждого Дедекиндский домен, кольцо целых квадратичных чисел есть уникальная область факторизации если и только если это главная идеальная область. Это происходит тогда и только тогда, когда номер класса соответствующих квадратичное поле является одним.

Полностью определены мнимые кольца целых квадратичных чисел, которые являются кольцами главных идеалов. Это ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ за

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

.

Этот результат был впервые высказан Гаусс и доказано Курт Хегнер, хотя доказательству Хегнера не поверили, пока Гарольд Старк дал более позднее доказательство в 1967 г. (см. Теорема Штарка – Хегнера..) Это частный случай знаменитого проблема номера класса.

Есть много известных положительных целых чисел $D > 0$ , для которого кольцо целых квадратичных чисел является кольцом главных идеалов. Однако полный список неизвестен; даже не известно, конечно ли число этих колец главных идеалов.

Евклидовы кольца целых квадратичных чисел

Когда кольцо квадратичных целых чисел является главная идеальная область, интересно узнать, является ли это Евклидова область. Эта проблема была полностью решена следующим образом.

Оборудован по норме ${ displaystyle N (a + b { sqrt {D}}) = a ^ {2} -Db ^ {2}}$ как Евклидова функция, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ евклидова область для отрицательных $D$ когда

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^[7]

а для положительных $D$ , когда

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

(последовательность A048981 в OEIS ).

Не существует другого кольца квадратичных целых чисел, которое было бы евклидовым с нормой как евклидова функция.^[8]

Для отрицательных $D$ , кольцо целых квадратичных чисел евклидово тогда и только тогда, когда норма Евклидова функция для этого. Отсюда следует, что при

D = -19, -43, -67, -163

,

четыре соответствующих кольца квадратичных целых чисел являются одними из редких известных примеров областей главных идеалов, которые не являются евклидовыми областями.

С другой стороны, обобщенная гипотеза Римана означает, что кольцо настоящий квадратные целые числа, которые являются областью главного идеала, также являются евклидовой областью для некоторой евклидовой функции, которая действительно может отличаться от обычной нормы.^[9]Ценности D = 14, 69 были первыми, для которых кольцо квадратичных целых чисел было доказано как евклидово, но не евклидово по норме.^[10]^[11]

Примечания

^ Дедекинд 1871, Приложение X, стр. 447
^ Бурбаки 1994, п. 99
^ "Почему квадратичное целочисленное кольцо определяется таким образом?". math.stackexchange.com. Получено 2016-12-31.
^ М. Артин, Алгебра (2-е изд) Глава 13
^ Даммит, стр. 229
^ де Брейн, Н. Г. (1981), "Алгебраическая теория непериодических мозаик Пенроуза плоскости I, II" (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66
^ Даммит, стр. 272
^ Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II. Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.
^ П. Вайнбергер, О евклидовых кольцах целых алгебраических чисел. В: Аналитическая теория чисел (Сент-Луис, 1972), Proc. Симпози. Чистая математика. 24 (1973), 321–332.
^ М. Харпер, ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {14}}]}$ евклидово. Может. J. Math. 56 (2004), 55–70.
^ Дэвид А. Кларк, Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не евклидово по норме, Manuscripta Mathematica, 83(1994), 327–330 [1] В архиве 2015-01-29 в Wayback Machine

дальнейшее чтение

J.S. Милн. Алгебраическая теория чисел, Версия 3.01, 28 сентября 2008 г. Онлайн-лекции

[1] Дедекинд 1871, Приложение X, стр. 447

[2] Бурбаки 1994, п. 99

[3] "Почему квадратичное целочисленное кольцо определяется таким образом?". math.stackexchange.com. Получено 2016-12-31.

[4] М. Артин, Алгебра (2-е изд) Глава 13

[5] Даммит, стр. 229

[6] де Брейн, Н. Г. (1981), "Алгебраическая теория непериодических мозаик Пенроуза плоскости I, II" (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66

[7] Даммит, стр. 272

[8] Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II. Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[9] П. Вайнбергер, О евклидовых кольцах целых алгебраических чисел. В: Аналитическая теория чисел (Сент-Луис, 1972), Proc. Симпози. Чистая математика. 24 (1973), 321–332.

[10] М. Харпер, ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {14}}]}$ евклидово. Может. J. Math. 56 (2004), 55–70.

[11] Дэвид А. Кларк, Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не евклидово по норме, Manuscripta Mathematica, 83(1994), 327–330 [1] В архиве 2015-01-29 в Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]