Брахмагупта - Brahmagupta

Брахмагупта (c. 598 г. н.э. – c. 668 г. н.э.) был индейцем математик и астроном. Он является автором двух ранних работ по математика и астрономия: the Брахмаспхунасиддханта (BSS, "правильно установлено доктрина из Брахма ", датированный 628 г.), теоретический трактат, и Хатахадяка («Съедобный укус», датированный 665 годом), более практичный текст.

Брахмагупта был первым, кто дал правила для вычислений нуль. Тексты, составленные Брахмагуптой, были написаны эллиптическими стихами.^{[требуется разъяснение ]} в санскрит, как это было обычной практикой в Индийская математика. Поскольку никаких доказательств не приводится, неизвестно, как были получены результаты Брахмагупты.^[1]

Жизнь и карьера

Брахмагупта родился в 598 году н.э., согласно его собственному утверждению. Он жил в Бхилламала, Гурджарадеша^[2] (современное Бхинмал в Раджастхан, Индия) во время правления Династия Чавда линейка, Вьяграхамуха. Он был сыном Джишнугупты и был индуистом по религии, в частности Шиваит.^[3] Он жил и работал там большую часть своей жизни. Притхудака Свамин, более поздний комментатор, назвал его Бхилламалачарья, учитель из Бхилламала.^[4]

Бхилламала была столицей Гурджарадеша, второе по величине королевство Западной Индии, включающее южные Раджастхан и северный Гуджарат в современной Индии. Это также был центр изучения математики и астрономии. Брахмагупта стал астрономом Брахмапакша школа, одна из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучил пять традиционных Сиддхартха по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхата I, Латадева, Прадьюмна, Варахамихира, Симха, Шрисена, Виджаянандин и Вишнучандра.^[4]

В 628 году, в возрасте 30 лет, он написал «Brāhmasphuṭasiddhānt» (усовершенствованный трактат Брахмы), который, как полагают, является переработанной версией принятого Сиддханта школы Брахмапакши. Ученые заявляют, что он включил в свою редакцию много оригинальности, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав, в которых 1008 стихов. арья метр. По большей части это астрономия, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, сделанные самим Брахмагуптой.^[4][5][6]

Позже Брахмагупта переехал в Удджайни, Avanti,^[7] который также был крупным центром астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свою следующую известную работу. Кханда-хадьяка, практическое руководство по индийской астрономии в карана категория, предназначенная для использования студентами.^[7]

Брахмагупта умер в 668 году нашей эры, и предполагается, что он умер в Удджайне.

Полемика

Брахмагупта подверг большой критике работы конкурирующих астрономов, и его Брахмаспхутасиддханта показывает один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Раздел касался в первую очередь приложения математики к физическому миру, а не самой математики. В случае Брахмагупты разногласия возникли в основном из-за выбора астрономических параметров и теорий.^[8] Критика конкурирующих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава целиком посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах критики нет.^[8]

Прием

Историк науки Джордж Сартон назвал его «одним из величайших ученых своей расы и величайшим ученым своего времени».^[7]Математические успехи Брахмагупты были продолжены Бхаскара II, прямой потомок в Удджайне, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужина круга математиков). Притхудака Свамин написал комментарии к обеим своим работам, переводя сложные стихи на более простой язык и добавляя иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в VIII и IX веках писали комментарии к Ханда-хадяка.^[9] Дальнейшие комментарии продолжали писать в 12 веке.^[7]

Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд попал под Арабский халифат в 712 г. Экспедиции были отправлены в Гурджарадеша ("Аль-Байламан в Юрц", согласно арабским историкам). Королевство Бхилламала, кажется, было уничтожено, но Удджайн отбил атаки. Суд халифа Аль-Мансур (754–775) получил посольство из Синда, в том числе астролога по имени Канака, который принес (возможно, заучил) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммад аль-Фазари, астроном при дворе Аль-Мансура под именем Sindhind и Араханд. Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. Н. Э.) Написал текст под названием аль-Джам валь-тафрик би хисаль-аль-Хинд (Сложение и вычитание в индийской арифметике), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum. Благодаря этим текстам десятичная система счисления и арифметические алгоритмы Брахмагупты распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою версию Sindhind, опираясь на версию Аль-Фазари и включающую элементы Птолемея. Индийский астрономический материал широко распространялся на протяжении веков, даже переходя в средневековые латинские тексты.^[10][11][12]

Математика

Алгебра

Брахмагупта дал решение общей линейное уравнение в главе восемнадцатой Брахмаспхутасиддханта,

Разница между рупапри инвертировании и делении на разность [коэффициентов] неизвестных является неизвестным в уравнении. В рупа [вычитаются на стороне] ниже той, из которой должны быть вычтены квадрат и неизвестное.^[13]

которое является решением уравнения bx + c = dx + е куда рупа относится к константам c и е. Данное решение эквивалентно Икс = е − c/б − d. Далее он дал два эквивалентных решения общей квадратное уровненеие

18,44. Уменьшить на середину [число] квадратный корень из рупа умноженное на квадрат в четыре раза и умноженное на квадрат середины [числа]; остаток разделите на квадрат вдвое. [Результат] среднее [число].
18,45. Каким бы ни был квадратный корень из рупа умножить на квадрат [и] умножить на квадрат половины неизвестного, уменьшить это на половину неизвестного [и] разделить [остаток] на его квадрат. [Результат] неизвестное.^[13]

которые являются соответственно решениями уравнения топор² + bx = c эквивалентно,

${ displaystyle x = { frac { pm { sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}}$

и

${ displaystyle x = { frac {{ sqrt {ac + { tfrac {b ^ {2}} {4}}}} - { tfrac {b} {2}}} {a}}.}$

Он продолжил решение систем одновременного неопределенные уравнения заявив, что сначала необходимо изолировать желаемую переменную, а затем разделить уравнение на коэффициент. В частности, он рекомендовал использовать «пульверизатор» для решения уравнений с несколькими неизвестными.

18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], деленный на первый [коэффициент цвета], является мерой первого. [Термины] два на два [считаются] [при сведении] к аналогичным делителям [и так далее] повторно. Если [цветов] много, следует использовать измельчитель.^[13]

Как алгебра Диофант, алгебра Брахмагупты была синкопирована. Сложение было обозначено размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемым и деление - помещением делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов.^[14] Степень греческого влияния на это синкопа, если таковые имеются, неизвестно, и возможно, что и греческое, и индийское синкопирование могут быть получены из общего вавилонского источника.^[14]

Арифметика

Четыре основных операции (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны во многих культурах до Брахмагупты. Эта нынешняя система основана на индуистской арабской системе счисления и впервые появилась в Брахмаспхутасиддханте. Брахмагупта описывает умножение следующим образом: «Множаемое повторяется, как строка для крупного рогатого скота, столько раз, сколько в множителе есть интегрируемые части, и многократно умножается на них, и произведения складываются вместе. Это умножение. Или множимое повторяется как во много раз больше, чем составных частей в умножителе ».^{[15][страница нужна ]} Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как "Modus Indorum", что означает метод индейцев. В Брахмаспхутасиддханте умножение называлось Гомутрика. В начале двенадцатой главы его Брахмаспхутасиддханта, озаглавленный РасчетБрахмагупта подробно описывает операции над дробями. Ожидается, что читатель знает основные арифметические операции, вплоть до извлечения квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень из целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила работы с пятью типами комбинаций дробей: а/c + б/c; а/c × б/d; а/1 + б/d; а/c + б/d × а/c = а(d + б)/CD; и а/c − б/d × а/c = а(d − б)/CD.^[16]

Серии

Затем Брахмагупта приводит сумму квадратов и кубов первого п целые числа.

12.20. Сумма квадратов равна тому, что [сумма], умноженная на два, [количество] шагов [s] увеличена на единицу [и] разделена на три. Сумма кубиков - это квадрат этой [суммы]. Груды из них с одинаковыми шарами [также можно вычислить].^[17]

Здесь Брахмагупта нашел результат в терминах сумма из первых п целые числа, а не в терминах п как это принято в современной практике.^[18]

Он дает сумму квадратов первого п натуральные числа как п(п + 1)(2п + 1)/6 и сумма кубиков первых n натуральных чисел как (п(п + 1)/2)²
.

Нуль

Брахмагупты Брахмаспхунасиддханта это первая книга, в которой приведены правила арифметических операций, применимые к нуль и чтобы отрицательные числа.^[19] В Брахмаспхутасиддханта - это самый ранний известный текст, в котором ноль трактуется как само по себе число, а не просто цифра-заполнитель для представления другого числа, как это было сделано Вавилоняне или как символ недостатка количества, как это делал Птолемей и Римляне. В восемнадцатой главе его БрахмаспхутасиддхантаБрахмагупта описывает операции над отрицательными числами. Сначала он описывает сложение и вычитание,

18.30. [Сумма] двух положительных моментов - положительных, двух отрицательных - отрицательных; положительного и отрицательного [сумма] - это их разница; если они равны, он равен нулю. Сумма отрицательного значения и нуля отрицательна, [сумма] положительного и нулевого положительного, [и эта] двух нулей равна нулю.

[...]

18.32. Отрицательный минус ноль - отрицательный, положительный [минус ноль] положительный; ноль [минус ноль] равен нулю. Когда положительное должно быть вычтено из отрицательного или отрицательное из положительного, тогда оно должно быть добавлено.^[13]

Он продолжает описывать умножение,

18,33. Произведение отрицательного и положительного отрицательно, двух отрицательных положительных и положительных положительных; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю.^[13]

Но его описание деление на ноль отличается от нашего современного понимания:

18,34. Положительное, разделенное на положительное, или отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным; ноль, деленный на ноль, равен нулю; положительное деление на отрицательное - отрицательное; отрицательный разделенный на положительный [также] отрицательный.
18,35. Отрицательное или положительное, деленное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве делителя, или ноль, деленный на отрицательное или положительное значение [имеет этот отрицательный или положительный знак в качестве делителя]. Квадрат отрицательного или положительного положителен; [квадрат] нуля равен нулю. То, из чего [квадрат] является квадратом, есть [его] квадратный корень.^[13]

Здесь Брахмагупта заявляет, что 0/0 = 0, а что касается вопроса о а/0 куда а ≠ 0 он не брал на себя обязательств.^[20] Его правила для арифметика на отрицательные числа и ноль довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль осталось неопределенный.

Диофантов анализ

Пифагорейские тройни

В двенадцатой главе его Брахмаспхутасиддханта, Брахмагупта предлагает формулу, полезную для Пифагорейские тройки:

12,39. Высота горы, умноженная на данный множитель, и есть расстояние до города; не стирается. Когда он делится на множитель, увеличенный на два, это прыжок одного из двух, совершающих то же путешествие.^[21]

Или, другими словами, если d = mx/Икс + 2, затем путешественник, который "прыгает" вертикально вверх на расстояние d с вершины горы высоты м, а затем едет по прямой в город на горизонтальном расстоянии mx от подножия горы проходит такое же расстояние, как и тот, кто спускается вертикально вниз с горы, а затем идет по горизонтали к городу.^[21] С геометрической точки зрения это означает, что если прямоугольный треугольник имеет основание длиной а = mx и высота длины б = м + d, то длина, c, его гипотенуза определяется выражением c = м(1 + Икс) − d. И действительно, элементарные алгебраические манипуляции показывают, что а² + б² = c² в любое время d имеет указанную стоимость. Кроме того, если м и Икс рациональны, так же d, а, б и c. Следовательно, тройка Пифагора может быть получена из а, б и c умножив каждый из них на наименьший общий множитель от их знаменатели.

Уравнение Пелла

Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений некоторых примеров диофантовых уравнений второй степени, таких как Nx² + 1 = у² (называется Уравнение Пелла ) с помощью Евклидов алгоритм. Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части.^[22]

Природа квадратов:
18,64. [Вложите] удвоенный квадратный корень из данного квадрата на множитель и увеличьте или уменьшите на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, на произведение последней [пары] вычисляется последним.
18,65. Сумма произведений молнии - первая. Добавка равна продукту добавок. Два квадратных корня, разделенные на аддитивное или вычитающее, являются аддитивными. рупа.^[13]

Ключом к его решению была личность,^[23]

${ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}}$

что является обобщением тождества, открытого Диофант,

${ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -y_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + y_ {1} y_ {2}) ^ {2} - (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}.}$

Используя его личность и тот факт, что если (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) являются решениями уравнений Икс² − Нью-Йорк² = k₁ и Икс² − Нью-Йорк² = k₂соответственно, то (Икс₁Икс₂ + Нью-Йорк₁у₂, Икс₁у₂ + Икс₂у₁) это решение Икс² − Нью-Йорк² = k₁k₂, он смог найти интегральные решения уравнения Пелла с помощью ряда уравнений вида Икс² − Нью-Йорк² = k_я. Брахмагупта не смог применить свое решение единообразно для всех возможных значений N, скорее он мог показать, что только если Икс² − Нью-Йорк² = k имеет целочисленное решение для k = ± 1, ± 2 или ± 4, тогда Икс² − Нью-Йорк² = 1 есть решение. Решение общего уравнения Пелла пришлось бы ждать Бхаскара II в c. 1150 г. н.э..^[23]

Геометрия

Формула Брахмагупты

Схема для справки

Самый известный результат Брахмагупты в области геометрии - это его формула за циклические четырехугольники. Учитывая длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приблизительную и точную формулу для площади фигуры:

12.21. Примерная площадь равна произведению половин сумм сторон и противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] - это квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника.^[17]

Итак, учитывая длину п, q, р и s кругового четырехугольника приблизительная площадь равна п + р/2 · q + s/2 в то время как, позволяя т = п + q + р + s/2, точная площадь

√(т − п)(т − q)(т − р)(т − s).

Хотя Брахмагупта прямо не заявляет, что эти четырехугольники циклические, из его правил очевидно, что это так.^[24] Формула Герона является частным случаем этой формулы, и его можно получить, установив одну из сторон равной нулю.

Треугольники

Брахмагупта посвятил значительную часть своих работ геометрии. Одна теорема дает длины двух отрезков, на которые делится основание треугольника по высоте:

12.22. База уменьшалась и увеличивалась на разность квадратов сторон, разделенных основанием; при делении на два они являются настоящими сегментами. Перпендикуляр [высота] - это квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенный на квадрат его сегмента.^[17]

Таким образом, длины двух сегментов равны 1/2(б ± c² − а²/б).

Далее он дает теорему о рациональные треугольники. Треугольник с рациональными сторонами а, б, c а рациональная зона имеет вид:

${ displaystyle a = { frac {1} {2}} left ({ frac {u ^ {2}} {v}} + v right), b = { frac {1} {2 }} left ({ frac {u ^ {2}} {w}} + w right), c = { frac {1} {2}} left ({ frac {u ^ {2 }} {v}} - v + { frac {u ^ {2}} {w}} - w right)}$

для некоторых рациональных чисел ты, v, и ш.^[25]

Теорема Брахмагупты

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD.

Брахмагупта продолжает:

12.23. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противоположных сторон неравного четырехугольника является диагональю. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень - это перпендикуляр [высоты].^[17]

Итак, в «неравном» вписанном четырехугольнике (то есть равнобедренном трапеция ) длина каждой диагонали равна √пр + qs.

Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей разностороннего циклического четырехугольника. Это приводит к Знаменитая теорема Брахмагупты,

12.30–31. Изображая два треугольника внутри [кругового четырехугольника] с неравными сторонами, две диагонали являются двумя основаниями. Их два сегмента представляют собой отдельно верхний и нижний сегменты [образованные] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей - это две стороны треугольника; основание [четырехугольника - основание треугольника]. Его перпендикуляр - это нижняя часть [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра равна половине суммы [сторон] перпендикуляра, уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра].^[17]

число Пи

В стихе 40 он дает значения π,

12.40. Диаметр и квадрат радиуса [каждый], умноженные на 3, представляют собой [соответственно] практическую длину окружности и площадь [круга]. Точные [значения] - это квадратные корни из квадратов этих двух, умноженных на десять.^[17]

Итак, Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение π, и ${ displaystyle { sqrt {10}} приблизительно 3,1622 ldots}$ как "точное" значение π. Погрешность этого «точного» значения составляет менее 1%.

Размеры и конструкции

В некоторых стихах перед стихом 40 Брахмагупта дает построения из различных фигур с произвольными сторонами. Он, по сути, манипулировал прямоугольными треугольниками, создавая равнобедренные треугольники, равнобедренные треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний циклический четырехугольник.

После определения числа пи он занимается геометрией плоских фигур и твердых тел, например, находит объемы и площади поверхности (или пустые пространства, выкопанные из твердых тел). Он находит объем прямоугольных призм, пирамид и усеченную пирамиду квадратной формы. Далее он находит среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченный пирамиды, он дает «прагматическое» значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения ребер верхней и нижней граней, и он дает «поверхностный» объем как глубину, умноженную на их среднюю площадь.^[26]

Тригонометрия

Таблица синусов

В главе 2 его Брахмаспхутасиддханта, озаглавленный Планетарные истинные долготы, Брахмагупта представляет таблицу синусов:

2.2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; ароматизаторы, игральные кости, боги; луна, пять, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...]^[27]

Здесь Брахмагупта использует имена объектов для представления цифр в числовых значениях мест, как это часто бывает с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означают 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют собой количество сторон традиционного кубика или 6 и так далее. Эту информацию можно перевести в список синусов, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159. , 3207, 3242, 3263 и 3270 с радиусом 3270.^[28]

Формула интерполяции

В 665 г. Брахмагупта разработал и использовал частный случай интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга второго порядка для интерполировать новые ценности синус функция от других значений, уже занесенных в таблицу.^[29] Формула дает оценку значения функции ж по цене а + хх своего аргумента (с час > 0 и −1 ≤ Икс ≤ 1), когда его значение уже известно на а − час, а и а + час.

Формула оценки:

${ Displaystyle f (a + xh) приблизительно f (a) + x { frac { Delta f (a) + Delta f (ah)} {2}} + x ^ {2} { frac { Дельта ^ {2} f (ах)} {2!}}.}$

куда Δ форвард первого порядкаоператор разницы, т.е.

${ displaystyle Delta f (a) { stackrel { mathrm {def}} {=}} f (a + h) -f (a).}$

Астрономия

Одним из важных вкладов Брахмагупты в астрономию являются его методы расчета положения небесных тел с течением времени (эфемериды ), их восход и заход, союзы, а также расчет солнечной и лунной затмения.^[30]

В седьмой главе его Брахмаспхутасиддханта, озаглавленный Лунный полумесяц, Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце.^{[требуется разъяснение ]} Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем.^[31]

1. Если бы Луна находилась над Солнцем, как можно было бы получить силу возрастания и убывания и т. Д. Из расчета долготы Луны? Ближайшая половина всегда будет яркой.

2. Точно так же, как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнечном свете, яркая, а невидимая половина темная, так же [свечение] луны [если она] находится под солнцем.

3. Яркость увеличивается по направлению к солнцу. В конце яркого [т.е. воск] полмесяца, ближняя половина светлая, а дальняя половина темная. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] расчетным путем. [...]^[32]

Он объясняет, что, поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенной части Луны зависит от относительного положения Солнца и Луны, и это можно вычислить, исходя из размера угла между ними. тела.^[31]

Дальнейшие исследования долготы планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов солнца, полумесяца Луны и соединения планет обсуждаются в его трактате. Хандахадяка.

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
• Формула Брахмагупты
• Теорема Брахмагупты
• Метод чакравалы
• Список индийских математиков

Цитаты и сноски

Рекомендации

• Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманского могущества и присутствия на Индийском субконтиненте, Рутледж, ISBN  978-0-415-58061-8
• Bose, D. M .; Sen, S. N .; Суббараяппа, Б. В. (1971), Краткая история науки в Индии, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, архивировано с оригинал 8 декабря 2015 г.
• Бхаттачарья, Р. К. (2011), «Брахмагупта: древний индийский математик», в Б. С. Ядав; Ман Мохан (ред.), Древние индийские прыжки в математику, Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN  978-0-8176-4695-0
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики, Джон Уайли и сыновья, Inc., ISBN  0-471-54397-7
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-18082-3
• Гупта, Радха Чаран (2008), "Брахмагупта", в Селине, Хелайне (ред.), Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах, Springer, стр. 162–163, ISBN  978-1-4020-4559-2
• Джозеф, Джордж Г. (2000), Герб Павлина, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-00659-8
• О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука перешла к арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN  8187570245
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», в Викторе Каце (ред.), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-11485-9
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (Второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN  0-387-95336-1
• Хоккей, Томас, изд. (2007), «Брахмагупта», Биографическая энциклопедия астрономов, Springer Science & Business Media, стр. 165, ISBN  978-0387304007

дальнейшее чтение

• Сетуро Икеама (2003). Брахмаспхунасиддханта Брахмагупты с комментарием Притудхаки, критически отредактированный с английским переводом и примечаниями. INSA.
• Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS). Американское философское общество. A4, стр. 254.
• Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии. Питамбар Паблишинг. ISBN  9788120914216.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Брахмагупта", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.

внешняя ссылка

• Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупты под редакцией Рама Сварупа Шармы, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
• Алгебра, с арифметикой и измерением, с санскрита Брахмегупты и Бхаскары на Интернет-архив, переведено Генри Томас Колбрук. [1]