Формула Брахмагуптаса - Википедия - Brahmaguptas formula

В Евклидова геометрия, Брахмагупта формула используется для поиска площадь любой циклический четырехугольник (тот, который можно вписать в круг) с учетом длин сторон.

Формула

Формула Брахмагупты дает площадь $K$ из циклический четырехугольник чьи стороны имеют длину $а$ , $б$ , $c$ , $d$ в качестве

{ Displaystyle К = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}}}

куда $s$ , то полупериметр, определяется как

{ displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}

Эта формула обобщает Формула Герона для площади треугольник. Треугольник можно рассматривать как четырехугольник с одной стороной нулевой длины. С этой точки зрения, как $d$ приближается к нулю, циклический четырехугольник сходится в циклический треугольник (все треугольники циклические), а формула Брахмагупты упрощается до формулы Герона.

Если полупериметр не используется, формула Брахмагупты имеет вид

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {1} {4}} { sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a + b-c + d) (a + b + cd)}}.}

Другая эквивалентная версия -

{ displaystyle K = { frac { sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2} + 8abcd-2 (a ^ {4 } + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4})}} {4}} cdot}

Доказательство

Схема для справки

Тригонометрическое доказательство

Здесь использованы обозначения на рисунке справа. Площадь $K$ кругового четырехугольника равна сумме площадей $△ АБР$ и $△ BDC$ :

{ displaystyle = { frac {1} {2}} pq sin A + { frac {1} {2}} rs sin C.}

Но с тех пор $ABCD$ вписанный четырехугольник, $∠ DAB = 180° - ∠ DCB$ . Следовательно $грех А = грех C$ . Следовательно,

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {1} {2}} pq sin A + { frac {1} {2}} rs sin A}

{ displaystyle K ^ {2} = { frac {1} {4}} (pq + rs) ^ {2} sin ^ {2} A}

{ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} (1- cos ^ {2} A)}

Решение для общей стороны $БД$ , в $△ АБР$ и $△ BDC$ , то закон косинусов дает

{ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} -2pq cos A = r ^ {2} + s ^ {2} -2rs cos C.}

Подстановка $потому что C = -cos А$ (поскольку углы $А$ и $C$ находятся дополнительный ) и переставляя, мы имеем

{ displaystyle 2 (pq + rs) cos A = p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}.}

Подставляя это в уравнение для площади,

{ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} - { frac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}}

{ displaystyle 16K ^ {2} = 4 (pq + rs) ^ {2} - (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}. }

Правая часть имеет вид $а 2 - б 2 = (а - б)(а + б)$ и, следовательно, может быть записано как

{ displaystyle [2 (pq + rs) -p ^ {2} -q ^ {2} + r ^ {2} + s ^ {2}] [2 (pq + rs) + p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}]}

что после перестановки членов в квадратных скобках дает

{ displaystyle = [(г + s) ^ {2} - (p-q) ^ {2}] [(p + q) ^ {2} - (r-s) ^ {2}]}

{ Displaystyle = (д + р + s-p) (p + r + s-q) (p + q + s-r) (p + q + r-s).}

Представляем полупериметр $S = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} п + q + р + s / 2$ ,

{ Displaystyle 16K ^ {2} = 16 (S-p) (S-q) (S-r) (S-s).}

Извлекая квадратный корень, получаем

{ Displaystyle К = { sqrt {(S-p) (S-q) (S-r) (S-s)}}.}

Нетригонометрическое доказательство

Альтернативное, нетригонометрическое доказательство использует два приложения формулы площади треугольника Герона к аналогичным треугольникам.^[1]

Продолжение на нециклические четырехугольники

В случае нециклических четырехугольников формулу Брахмагупты можно расширить, рассматривая меры двух противоположных углов четырехугольника:

{ Displaystyle К = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) -abcd cos ^ {2} theta}}}

куда $θ$ равна половине суммы любых двух противоположных углов. (Выбор пары противоположных углов не имеет значения: если взяты два других угла, половина их суммы равна $180° - θ$ . С $cos (180 ° - θ) = -cos θ$ , у нас есть $потому что 2 (180° - θ) = cos 2 θ$ .) Эта более общая формула известна как Формула Бретшнайдера.

Это собственность циклические четырехугольники (и в конечном итоге вписанные углы ), что сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 °. Следовательно, в случае вписанного четырехугольника $θ$ равняется 90 °, отсюда термин

{ displaystyle abcd cos ^ {2} theta = abcd cos ^ {2} left (90 ^ { circ} right) = abcd cdot 0 = 0,}

давая основную форму формулы Брахмагупты. Из последнего уравнения следует, что площадь вписанного четырехугольника - это максимально возможная площадь для любого четырехугольника с заданными длинами сторон.

Родственная формула, которая была доказана Кулидж, также дает площадь общего выпуклого четырехугольника. это^[2]

{ Displaystyle К = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - textstyle {1 более 4} (ac + bd + pq) (ac + bd-pq)}}}

куда $п$ и $q$ - длины диагоналей четырехугольника. В циклический четырехугольник, $pq = ac + bd$ в соответствии с Теорема Птолемея, а формула Кулиджа сводится к формуле Брахмагупты.

Связанные теоремы

Формула Герона для площади треугольник частный случай, полученный взятием $d = 0$ .
Отношения между общей и расширенной формами формулы Брахмагупты подобны тому, как закон косинусов расширяет теорема Пифагора.
Все более сложные формулы замкнутой формы существуют для площади общих многоугольников на окружностях, как описано Maley et al.^[3]

внешняя ссылка

Эта статья включает материал из доказательства формулы Брахмагупты на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] Гесс, Альбрехт, «Шоссе от Герона до Брахмагупты», Форум Geometricorum 12 (2012), 191–192.

[2] Дж. Л. Кулидж, "Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника", Американский математический ежемесячный журнал, 46 (1939) стр. 345-347.

[3] Малей, Ф. Миллер; Роббинс, Дэвид П .; Роскис, Джули (2005). «О площадях циклических и полуциклических многоугольников». Успехи в прикладной математике. 34 (4): 669–689. arXiv:математика / 0407300. Дои:10.1016 / j.aam.2004.09.008.

[1]

[2]

[3]