Формула Бретшнайдера - Википедия - Bretschneiders formula

Четырехугольник.

В геометрия, Формула Бретшнайдера следующее выражение для площадь генерала четырехугольник:

${ Displaystyle К = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right )}}}$

${ displaystyle = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - { tfrac {1} {2}} abcd [1+ cos ( alpha + gamma)]}}.}$

Здесь, а, б, c, d стороны четырехугольника, s это полупериметр, и α и γ два противоположных угла.

Формула Бретшнайдера работает на любом четырехугольнике, будь то циклический или нет.

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер открыл формулу в 1842 году. Формула была также выведена в том же году немецким математиком Карл Георг Кристиан фон Штаудт.

Доказательство

Обозначим площадь четырехугольника через K. Тогда у нас есть

${ displaystyle { begin {align} K & = { text {area of}} треугольник ADB + { text {area}} треугольник BDC & = { frac {ad sin alpha} {2} } + { frac {bc sin gamma} {2}}. end {align}}}$

Следовательно

${ displaystyle 2K = (ad) sin alpha + (bc) sin gamma.}$

${ Displaystyle 4K ^ {2} = (объявление) ^ {2} sin ^ {2} alpha + (bc) ^ {2} sin ^ {2} gamma + 2abcd sin alpha sin gamma .}$

В закон косинусов подразумевает, что

${ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad cos alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc cos gamma,}$

потому что обе стороны равны квадрату длины диагонали BD. Это можно переписать как

${ displaystyle { frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (ad) ^ {2} cos ^ {2} alpha + (bc) ^ {2} cos ^ {2} gamma -2abcd cos alpha cos gamma.}$

Добавляя это к приведенной выше формуле для 4K² дает

${ displaystyle { begin {align} 4K ^ {2} + { frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} { 4}} & = (ad) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd cos ( alpha + gamma) & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd-2abcd cos ( alpha + gamma) & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd ( cos ( alpha + gamma) +1) & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd left ({ frac { cos ( alpha + gamma) +1} {2}} right) & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd cos ^ {2} left ( { frac { alpha + gamma} {2}} right). end {align}}}$

Обратите внимание, что: ${ displaystyle cos ^ {2} { frac { alpha + gamma} {2}} = { frac {1+ cos ( alpha + gamma)} {2}}}$ (тригонометрическое тождество верно для всех ${ displaystyle { frac { alpha + gamma} {2}}}$)

Следуя тем же шагам, что и в Формула Брахмагупты, это можно записать как

${ Displaystyle 16K ^ {2} = (a + b + cd) (a + b-c + d) (a-b + c + d) (- a + b + c + d) -16abcd cos ^ { 2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right).}$

Представляем полупериметр

${ displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}},}$

выше становится

${ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (sd) (sc) (sb) (sa) -16abcd cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right) }$

${ Displaystyle К ^ {2} = (s-a) (s-b) (s-c) (s-d) -abcd cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right)}$

а формула Бретшнайдера следует после извлечения квадратного корня из обеих частей:

${ Displaystyle К = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right )}}}$

Связанные формулы

Формула Бретшнайдера обобщает Формула Брахмагупты для площади циклический четырехугольник, что, в свою очередь, обобщает Формула Герона для площади треугольник.

Тригонометрическая поправка в формуле Бретшнайдера для нецикличности четырехугольника может быть переписана нетригонометрически в терминах сторон и диагоналей. е и ж давать^[1][2]

${ displaystyle { begin {align} K & = { tfrac {1} {4}} { sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} - (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} & = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - { tfrac {1} {4}} (ac + bd + ef) (ac + bd-ef)}}. end {выравнивается}}}$

Примечания

Ссылки и дополнительная литература

• Аюб Б. Аюб: Обобщения теорем Птолемея и Брахмагупты. Математика и компьютерное образование, Том 41, номер 1, 2007 г., ISSN  0730-8639
• Э. В. Хобсон: Трактат о плоской тригонометрии. Cambridge University Press, 1918, стр. 204–205 (онлайн-копия )
• К. А. Бретшнайдер. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (онлайн-копия, немецкий )
• Ф. Штрелке: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (онлайн-копия, немецкий )

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Бретшнайдера». MathWorld.
• Формула Бретшнайдера на proofwiki.org