Формула Бретшнайдера - Википедия - Bretschneiders formula

Четырехугольник.

В геометрия, Формула Бретшнайдера следующее выражение для площадь генерала четырехугольник:

Здесь, а, б, c, d стороны четырехугольника, s это полупериметр, и α и γ два противоположных угла.

Формула Бретшнайдера работает на любом четырехугольнике, будь то циклический или нет.

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер открыл формулу в 1842 году. Формула была также выведена в том же году немецким математиком Карл Георг Кристиан фон Штаудт.

Доказательство

Обозначим площадь четырехугольника через K. Тогда у нас есть

Следовательно

В закон косинусов подразумевает, что

потому что обе стороны равны квадрату длины диагонали BD. Это можно переписать как

Добавляя это к приведенной выше формуле для 4K2 дает

Обратите внимание, что: (тригонометрическое тождество верно для всех )

Следуя тем же шагам, что и в Формула Брахмагупты, это можно записать как

Представляем полупериметр

выше становится

а формула Бретшнайдера следует после извлечения квадратного корня из обеих частей:

Связанные формулы

Формула Бретшнайдера обобщает Формула Брахмагупты для площади циклический четырехугольник, что, в свою очередь, обобщает Формула Герона для площади треугольник.

Тригонометрическая поправка в формуле Бретшнайдера для нецикличности четырехугольника может быть переписана нетригонометрически в терминах сторон и диагоналей. е и ж давать[1][2]

Примечания

  1. ^ Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», Американский математический ежемесячный журнал, 46 (1939) 345–347. (JSTOR )
  2. ^ Э. В. Хобсон: Трактат о плоской тригонометрии. Издательство Кембриджского университета, 1918, стр. 204-205.

Ссылки и дополнительная литература

  • Аюб Б. Аюб: Обобщения теорем Птолемея и Брахмагупты. Математика и компьютерное образование, Том 41, номер 1, 2007 г., ISSN  0730-8639
  • Э. В. Хобсон: Трактат о плоской тригонометрии. Cambridge University Press, 1918, стр. 204–205 (онлайн-копия )
  • К. А. Бретшнайдер. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (онлайн-копия, немецкий )
  • Ф. Штрелке: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (онлайн-копия, немецкий )

внешняя ссылка