Личность Брахмагуптаса - Википедия - Brahmaguptas identity

В алгебра, Личность Брахмагупты говорит, что для данного , произведение двух чисел вида сам по себе является числом этой формы. Другими словами, набор таких чисел есть закрыто при умножении. Конкретно:

И (1), и (2) можно проверить с помощью расширение каждая сторона уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), изменив б к -б.

Эта идентичность сохраняется как в кольцо целых чисел и кольцо рациональных чисел, и вообще в любом коммутативное кольцо.

История

Идентичность является обобщением так называемого Тождество Фибоначчи (куда п= 1), который фактически находится в Диофант ' Арифметика (III, 19) Эта идентичность была заново открыта Брахмагупта (598–668), Индийский математик и астроном, который обобщил его и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется Уравнение Пелла. Его Брахмаспхутасиддханта был переведен с санскрит в арабский к Мохаммад аль-Фазари, и впоследствии был переведен на латинский в 1126 г.[1] Позже личность появилась в Фибоначчи с Книга квадратов в 1225 г.

Приложение к уравнению Пелла

В исходном контексте Брахмагупта применил свое открытие к решению того, что позже было названо Уравнение Пелла, а именно Икс2 − Нью-Йорк2 = 1. Используя тождество в виде

умел «составлять» тройки (Икс1, у1, k1) и (Икс2, у2, k2), которые были решениями Икс2 − Нью-Йорк2 = k, чтобы сгенерировать новую тройку

Это не только дало возможность генерировать бесконечно много решений для Икс2 − Нью-Йорк2 = 1, начиная с одного решения, но также, разделив такой состав на k1k2часто можно было получить целочисленные или «почти целые» решения. Общий метод решения уравнения Пелла, задаваемый формулой Бхаскара II в 1150 г., а именно чакравала (циклический) метод, также был основан на этом тождестве.[2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Джордж Дж. Джозеф (2000). Герб Павлина, п. 306. Princeton University Press. ISBN  0-691-00659-8.
  2. ^ Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN  978-0-387-95336-6

внешняя ссылка