Махавира (математик) - Mahāvīra (mathematician)

Махавира (или же Махавирачарья, «Учитель Махавира») был девятым веком Джайн математик возможно, родился в современном городе или недалеко от него Майсур, на юге Индия.^[1]^[2]^[3] Он является автором Gaṇitasārasan̄graha (Ганита Сара Санграха) или Компендиум по сути математики в 850 г. н.э.^[4] Ему покровительствовали Раштракута король Амогхаварша.^[4] Он отделился астрология из математики. Это самый ранний индийский текст, полностью посвященный математике.^[5] Он изложил те же самые темы, по которым Арьябхата и Брахмагупта утверждал, но он выразил их более ясно. Его работа представляет собой сильно синкопированный подход к алгебре, и в большей части его текста акцент делается на разработке методов, необходимых для решения алгебраических задач.^[6] Он пользуется большим уважением среди индийских математиков из-за его создания терминология для таких понятий, как равносторонний и равнобедренный треугольник; ромб; круг и полукруг.^[7] Известность Махавиры распространилась по всей Южной Индии, и его книги оказались источником вдохновения для других математиков в Южная Индия.^[8] Это было переведено на Телугу язык к Павулури Маллана в качестве Саара Санграха Ганитаму.^[9]

Он открыл алгебраические тождества, такие как а³ = а (а + б) (а − б) + б² (а − б) + б³.^[3] Он также обнаружил формулу для ^пC_р в качестве
[п (п − 1) (п − 2) ... (п − р + 1)] / [р (р − 1) (р − 2) ... 2 * 1].^[10] Он изобрел формулу, которая аппроксимирует площадь и периметры эллипсов, и нашел методы вычисления квадрата числа и кубических корней из числа.^[11] Он утверждал, что квадратный корень из отрицательное число не существует.^[12]

Правила разложения на дроби

Махавиры Ганита-сара-самграха дал систематические правила для выражения дроби как сумма единичных долей.^[13] Это следует за использованием дробей в Индийская математика в ведический период, и Ulba Sūtras 'приближая √2 эквивалентно ${ displaystyle 1 + { tfrac {1} {3}} + { tfrac {1} {3 cdot 4}} - { tfrac {1} {3 cdot 4 cdot 34}}}$ .^[13]

в Ганита-сара-самграха (GSS) второй раздел главы, посвященный арифметике, называется кала-саварша-вйавахара (букв. «операция уменьшения дроби»). В этом бхагаджати В разделе (стихи 55–98) приводятся следующие правила:^[13]

Чтобы выразить 1 как сумму п единицы дроби (GSS Каласаварша 75, примеры в 76):^[13]

рупамшакарашинам рупадйас тригушита харам крамашах /
dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Когда результат равен единице, знаменатели величин, имеющих единицу в числителе, - это [числа], начинающиеся с единицы и умноженные на три по порядку. Первое и последнее умножаются на две и две трети [соответственно].

{ displaystyle 1 = { frac {1} {1 cdot 2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + dots + { гидроразрыв {1} {3 ^ {n-2}}} + { frac {1} {{ frac {2} {3}} cdot 3 ^ {n-1}}}}

Чтобы выразить 1 как сумму нечетного числа единичных дробей (GSS Каласаварша 77):^[13]

{ displaystyle 1 = { frac {1} {2 cdot 3 cdot 1/2}} + { frac {1} {3 cdot 4 cdot 1/2}} + dots + { frac { 1} {(2n-1) cdot 2n cdot 1/2}} + { frac {1} {2n cdot 1/2}}}

Чтобы выразить единичную дробь ${ displaystyle 1 / q}$ как сумма п другие дроби с заданными числителями ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}}$ (GSS Каласаварша 78, примеры в 79):

{ displaystyle { frac {1} {q}} = { frac {a_ {1}} {q (q + a_ {1})}} + { frac {a_ {2}} {(q + a_ {1}) (q + a_ {1} + a_ {2})}} + dots + { frac {a_ {n-1}} {(q + a_ {1} + dots + a_ {n- 2}) (q + a_ {1} + dots + a_ {n-1})}} + { frac {a_ {n}} {a_ {n} (q + a_ {1} + dots + a_ {n-1})}}}

Чтобы выразить любую дробь ${ displaystyle p / q}$ в виде суммы долей единиц (GSS Каласаварша 80, примеры в 81):^[13]

Выберите целое число я такой, что

{ displaystyle { tfrac {q + i} {p}}}

это целое число р, затем написать

{ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {1} {r}} + { frac {i} {r cdot q}}}

и повторите процесс для второго члена рекурсивно. (Обратите внимание, что если я всегда выбирается быть самый маленький такое целое число, это идентично жадный алгоритм для египетских дробей.)

Чтобы выразить единичную дробь как сумму двух других единичных дробей (GSS Каласаварша 85, пример в 86):^[13]

{ displaystyle { frac {1} {n}} = { frac {1} {p cdot n}} + { frac {1} { frac {p cdot n} {n-1}}} }

куда

{ displaystyle p}

должен быть выбран так, чтобы

{ displaystyle { frac {p cdot n} {n-1}}}

целое число (для которого

{ displaystyle p}

должно быть кратно

{ displaystyle n-1}

).

{ displaystyle { frac {1} {a cdot b}} = { frac {1} {a (a + b)}} + { frac {1} {b (a + b)}}}

Чтобы выразить дробь ${ displaystyle p / q}$ как сумма двух других дробей с заданными числителями ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ (GSS Каласаварша 87, пример в 88):^[13]

{ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {a} {{ frac {ai + b} {p}} cdot { frac {q} {i}}}} + { гидроразрыв {b} {{ frac {ai + b} {p}} cdot { frac {q} {i}} cdot {i}}}}

куда

{ displaystyle i}

должен быть выбран так, чтобы

{ displaystyle p}

разделяет

{ displaystyle ai + b}

Некоторые дополнительные правила были даны в Ганита-каумуди из Нараяна в 14 веке.^[13]

Смотрите также

Список индийских математиков

Примечания

^ Пингри 1970.
^ О'Коннор и Робертсон 2000.
^ ^а ^б Табак 2009 г., п. 42.
^ ^а ^б Путтасвами 2012, п. 231.
^ Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в ... Клиффорда А. Пиковера: стр. 88
^ Алгебра: множества, символы и язык мысли Джона Табака: стр.43
^ Геометрия в древней и средневековой Индии Т. А. Сарасвати Амма: стр. 122
^ Хаяши 2013.
^ Перепись точных наук на санскрите Дэвида Пингри: стр. 388
^ Табак 2009 г., п. 43.
^ Кребс 2004, п. 132.
^ Селин 2008, п. 1268.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я Кусуба 2004, стр. 497–516

Махавира (математик) - Mahāvīra (mathematician)

Содержание

Правила разложения на дроби

Смотрите также

Примечания

Рекомендации