Математика в средневековом исламе - Mathematics in medieval Islam

Страница из Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки к Аль-Хорезми

Математика вовремя Золотой век ислама, особенно в IX и X веках, был построен на Греческая математика (Евклид, Архимед, Аполлоний ) и Индийская математика (Арьябхата, Брахмагупта ). Был достигнут важный прогресс, такой как полное развитие десятичной дроби. система счисления включать десятичные дроби, первое систематизированное исследование алгебра (назван в честь Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки ученым Аль-Хорезми ), и достижения в геометрия и тригонометрия.^[1]

Арабские труды также сыграли важную роль в передаче математики в Европу в 10–12 веках.^[2]

Доктор Салли П. Рагеп, историк ислама, считает, что «десятки тысяч» арабских рукописей по математическим наукам и философии остаются непрочитанными, что дает исследования, которые «отражают индивидуальные предубеждения и ограниченное внимание к относительно небольшому количеству текстов и». ученые "^[3]

Концепции

Омар Хайям "Кубические уравнения и пересечения конических сечений" первая страница двухглавой рукописи, хранящейся в Тегеранском университете.

Алгебра

Изучение алгебра, название которого происходит от арабский слово, означающее завершение или «воссоединение сломанных частей»,^[4] процветал во время Исламский золотой век. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, ученый Дом Мудрости в Багдад, вместе с Греческий математик Диофант, известный как отец алгебры. В его книге Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки, Аль-Хорезми занимается поиском путей решения положительный корни первой и второй степени (линейная и квадратичная) полиномиальные уравнения. Он также знакомит с методом сокращение, и, в отличие от Диофанта, дает общие решения уравнений, с которыми он имеет дело.^[5][6][7]

Алгебра Аль-Хорезми была риторической, что означает, что уравнения были записаны полными предложениями. Это отличалось от алгебраической работы Диофанта, которая была синкопирована, что означает использование некоторой символики. Переход к символической алгебре, где используются только символы, можно увидеть в работе Ибн аль-Банна аль-Марракуши и Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каладади.^[8][7]

О работе Аль-Хорезми, Дж. Дж. О'Коннора и Эдмунд Ф. Робертсон сказал:^[9]

«Возможно, одно из самых значительных достижений арабской математики началось в то время с работ аль-Хорезми, а именно с начала алгебры. Важно понимать, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный шаг в сторону от греческое понятие математики, которое по сути было геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рациональное число, иррациональные числа, геометрические величины и т. д., чтобы все они рассматривались как «алгебраические объекты». Он дал математике совершенно новый путь развития, намного более широкий по концепции, чем существовавший ранее, и предоставил средство для дальнейшего развития предмета. Другим важным аспектом введения алгебраических идей было то, что это позволило применить математику к самой себе так, как не происходило раньше ».

— Архив истории математики MacTutor

Несколько других математиков того времени расширили свои знания в алгебре Аль-Хорезми. Абу Камил Шуджа написал книгу по алгебре с геометрическими иллюстрациями и доказательствами. Он также перечислил все возможные решения некоторых своих проблем. Абу аль-Джуд, Омар Хайям, вместе с Шараф ад-Дин ат-Туси, нашли несколько решений кубическое уравнение. Омар Хайям нашел общее геометрическое решение кубического уравнения.

Кубические уравнения

Чтобы решить уравнение третьей степени Икс³ + а²Икс = б Хайям построил парабола Икс² = ай, а круг с диаметром б/а², и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной линии и Икс-ось.

Омар Хайям (ок. 1038/48 дюйма Иран – 1123/24)^[10] написал Трактат о демонстрации задач алгебры содержащий систематический раствор кубические уравнения или уравнения третьего порядка, выходя за рамки Алгебра аль-Хваризми.^[11] Хайям получил решения этих уравнений, найдя точки пересечения двух конические секции. Этот метод использовали греки,^[12] но они не обобщили метод, чтобы покрыть все уравнения с положительными корни.^[11]

Шараф ад-Дин аль-Хуси (? в Тус, Иран - 1213/4) разработал новый подход к исследованию кубических уравнений - подход, который предполагал нахождение точки, в которой кубический многочлен достигает своего максимального значения. Например, чтобы решить уравнение ${ displaystyle x ^ {3} + a = bx}$, с участием а и б положительно, он бы отметил, что максимальная точка кривой ${ displaystyle y = bx-x ^ {3}}$ происходит в ${ displaystyle x = textstyle { sqrt { frac {b} {3}}}}$, и что уравнение не будет иметь решений, одно решение или два решения, в зависимости от того, была ли высота кривой в этой точке меньше, равна или больше а. Его сохранившиеся работы не дают никаких указаний на то, как он открыл свои формулы для максимумов этих кривых. Были предложены различные гипотезы, объясняющие их открытие.^[13]

Индукция

Самые ранние неявные следы математической индукции можно найти в Евклид с доказательство того, что количество простых чисел бесконечно (ок. 300 г. до н. э.). Первую явную формулировку принципа индукции дал Паскаль в его Арифметический треугольник (1665).

Между ними неявный доказательство по индукции для арифметические последовательности был представлен аль-Караджи (ок. 1000) и продолжение аль-Самав'аль, который использовал его для особых случаев биномиальная теорема и свойства Треугольник Паскаля.

Иррациональные числа

Греки открыли иррациональные числа, но не были ими довольны и смогли справиться только с помощью различения величина и количество. С греческой точки зрения, величины изменялись непрерывно и могли использоваться для таких объектов, как отрезки линий, тогда как числа были дискретными. Следовательно, с иррациональными можно обращаться только геометрически; и действительно, греческая математика была в основном геометрической. Исламские математики, в том числе Абу Камил Шуджах ибн Аслам и Ибн Тахир аль-Багдади медленно устранило различие между величиной и числом, позволив иррациональным величинам появляться как коэффициенты в уравнениях и быть решениями алгебраических уравнений.^[14][15] Они свободно работали с иррациональными как математическими объектами, но не исследовали их природу.^[16]

В двенадцатом веке латинский переводы Аль-Хорезми с Арифметика на Индийские цифры представил десятичная дробь позиционная система счисления к западный мир.^[17] Его Сборник по расчетам по завершению и балансировке представил первое систематическое решение линейный и квадратные уравнения. В эпоха Возрождения В Европе он считался первооткрывателем алгебры, хотя теперь известно, что его работа основана на более старых индийских или греческих источниках.^[18] Он пересмотрел Птолемей с География и писал по астрономии и астрологии. Однако, C.A. Наллино предполагает, что оригинальная работа аль-Хорезми была основана не на Птолемее, а на производной карте мира,^[19] предположительно в Сирийский или арабский.

Сферическая тригонометрия

Сферический закон синуса был открыт в 10 веке: его по-разному относили к Абу-Махмуд Ходжанди, Насир ад-Дин ат-Туси и Абу Наср Мансур, с участием Абу аль-Вафа Бузджани в качестве соавтора.^[14] Ибн Мухад аль-Джайяни с Книга неизвестных дуг сферы в 11 веке введен общий закон синусов.^[20] Плоский закон синусов был описан в 13 веке Насир ад-Дин ат-Туси. В его На секторном рисунке, он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и представил доказательства этого закона.^[21]

Отрицательные числа

В IX веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким.^[22] Аль-Хорезми не использовали отрицательные числа или отрицательные коэффициенты.^[22] Но через пятьдесят лет Абу Камил проиллюстрировал правила знаков для раскрытия умножения ${ Displaystyle (а pm b) (с pm d)}$.^[23] Аль-Караджи написал в своей книге аль-Фахри что «отрицательные количества должны считаться терминами».^[22] В 10 веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани считал долги отрицательными числами в Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов.^[23]

К XII веку преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения полиномиальные деления.^[22] В качестве аль-Самав'аль пишет:

произведение отрицательного числа - ан-наких - положительным числом - аз-заид - отрицательное число, а отрицательное число положительное. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разностью. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычтем отрицательное число из положительного, остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени (Мартаба Халийя), остаток будет таким же отрицательным, и если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет таким же положительным числом.^[22]

Двойная ложная позиция

Между 9 и 10 веками Египтянин математик Абу Камил написал ныне утерянный трактат об использовании двойной ложной позиции, известной как Книга двух ошибок (Китаб аль-Хатанаин). Самая старая из сохранившихся письменных форм о двойной ложной позиции Средний Восток это из Куста ибн Лука (10 век), Араб математик из Баальбек, Ливан. Он обосновал эту технику формальным, Геометрическое доказательство в евклидовом стиле. В традициях средневековой мусульманской математики двойная ложная позиция была известна как хисаб аль-хатанаин («Расплата двумя ошибками»). На протяжении веков он использовался для решения практических задач, таких как коммерческие и юридические вопросы (раздел поместья по правилам Кораническое наследование ), а также чисто рекреационные проблемы. Алгоритм часто запоминали с помощью мнемоника, например, стих, приписываемый Ибн аль-Ясамин и диаграммы весов, объясненные аль-Хассар и Ибн аль-Банна, которые были математиками Марокканский происхождение.^[24]

Другие важные фигуры

• 'Абд аль-Хамид ибн Тюрк (эт. 830) (квадратичные)
• Сабит ибн Курра (826–901)
• Синд ибн Али (ум. после 864 г.)
• Исмаил аль-Джазари (1136–1206)
• Абу Сахл аль-Кухи (ок. 940–1000) (центры тяжести)
• Абу'л-Хасан аль-Уклидиси (952–953) (арифметика)
• Абд аль-Азиз аль-Кабиси (ум. 967)
• Ибн аль-Хайсам (ок. 965–1040)
• Абу аль-Райан аль-Бируни (973–1048) (тригонометрия)
• Ибн Матах (ок. 1116–1196)
• Джамшид аль-Каши (ок. 1380–1429) (десятичные дроби и оценка постоянной круга)

Галерея

• 

  Гравировка Абу Сахл аль-Кухи Идеальный компас для рисования конических сечений.

• 

  В Теорема Ибн Хайтама.

Смотрите также

• арабские цифры
• Влияние Индии на исламскую математику в средневековом исламе
• История исчисления
• История геометрии
• Наука в средневековом исламском мире
• Хронология исламской науки и техники

Рекомендации

Источники

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Хогендейк, Ян П. (Январь 1999 г.). «Библиография математики в средневековой исламской цивилизации».
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Арабская математика: забытый талант?», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Ричард Ковингтон, Открывая заново арабскую науку, 2007 год, Saudi Aramco World
• Список изобретений и открытий в математике во время Золотого века ислама