Арьябхата - Aryabhata

Для использования в других целях см. Арьябхата (значения).

Ryabhaa
2064 aryabhata-crp.jpg
Статуя с изображением Арьябхаты на основании IUCAA, Пуна (хотя исторических данных о его появлении нет).
Родившийся476 г. н.э.
Кусумапура (Паталипутра ) (сегодняшний день Патна, Индия )[1]
Умер550 г. н.э.[нужна цитата ]
Академическое образование
ВлиянияСурья Сиддханта
Академическая работа
ЭраЭпоха Гупта
Основные интересыМатематика, астрономия
Известные работыRyabhaīya, Арья-сиддханта
Известные идеиОбъяснение лунное затмение и солнечное затмение, вращение Земли вокруг своей оси, отражение света луной, синусоидальные функции, решение квадратного уравнения с одной переменной, значение π с точностью до 4 знаков после запятой, диаметр земной шар, расчет длины звездный год
Под влияниемЛалла, Бхаскара I, Брахмагупта, Варахамихира

Арьябхата (санскрит: आर्यभट, ISO: Ryabhaa) или же Арьябхата I[2][3] (476–550 CE )[4][5] был первым из крупных математик -астрономы с классической эпохи Индийская математика и Индийская астрономия. Его работы включают Ryabhaīya (где упоминается, что в 3600 г. Кали Юга, 499 г. н.э., ему было 23 года)[6] и Арья-сиддханта.

За его явное упоминание об относительности движения он также квалифицируется как крупный ранний физик.[7]

биография

Имя

Хотя существует тенденция ошибочно писать его имя как «Арьябхатта» по аналогии с другими именами, имеющими «бхатта "суффикс, его имя правильно пишется Арьябхата: в каждом астрономическом тексте его имя пишется так,[8] включая Брахмагупта Ссылки на него «более чем в ста местах поименно».[1] Более того, в большинстве случаев «Арьябхатта» тоже не подходила под счетчик.[8]

Время и место рождения

Арьябхата упоминает в Арьябхатия что ему было 23 года 3600 лет в Кали Юга, но это не значит, что текст был написан в то время. Этот упомянутый год соответствует 499 году н.э. и подразумевает, что он родился в 476 году.[5] Арьябхата называл себя уроженцем Кусумапура или Паталипутра (сегодняшний день Патна, Бихар ).[1]

Другая гипотеза

Бхаскара I описывает Арьябхату как ашмакия, "принадлежащий Ашмака страны ». Во времена Будды ветвь народа ашмака поселилась в регионе между Нармада и Годавари реки в центральной Индии.[8][9]

Утверждалось, что ашмака (Санскрит для «камня»), где возник Арьябхата, возможно, является нынешним днем Кодунгаллур который был исторической столицей Тируванчиккулам древней Кералы.[10] Это основано на вере в то, что Kou earlierallūr ранее назывался Koṭum-Kal-l-ūr («город твердых камней»); однако старые записи показывают, что на самом деле город назывался Koṭum-kol-ūr («город строгого управления»). Точно так же тот факт, что несколько комментариев к Арьябхатии пришли из Кералы, был использован, чтобы предположить, что это было основным местом жизни и деятельности Арьябхаты; однако многие комментарии поступали из-за пределов Кералы, и Арьясиддханта была совершенно неизвестна в Керале.[8] К. Чандра Хари обосновал гипотезу Кералы на основании астрономических данных.[11]

Арьябхата несколько раз упоминает «Ланку» в Арьябхатия, но его «Ланка» - это абстракция, обозначающая точку на экваторе на той же долготе, что и его Удджайини.[12]

Образование

Совершенно очевидно, что в какой-то момент он отправился в Кусумапур для продвинутых исследований и некоторое время жил там.[13] Как индуистские, так и буддийские традиции, а также Бхаскара I (629 г. н.э.), идентифицировать Кусумапура как Падалипутра, современное Патна.[8] В одном стихе упоминается, что Арьябхата был главой учреждения (кулапа) в Кусумапуре, и, поскольку университет Наланда в то время был в Паталипутре и имел астрономическую обсерваторию, предполагается, что Арьябхата также мог быть главой университета Наланды.[8] Также считается, что Арьябхата основал обсерваторию в храме Солнца в Тарегана, Бихар.[14]

Работает

Арьябхата - автор нескольких трактатов по математика и астрономия, некоторые из которых потеряны.

Его основная работа, Арьябхатия, сборник математики и астрономии, широко упоминался в индийской математической литературе и сохранился до наших дней. Математическая часть Арьябхатия охватывает арифметика, алгебра, плоская тригонометрия, и сферическая тригонометрия. Он также содержит непрерывные дроби, квадратные уравнения, сумм степенных рядов и таблица синусов.

В Арья-сиддхантаУтерянная работа по астрономическим вычислениям известна в трудах современника Арьябхаты, Варахамихира, а позже математики и комментаторы, в том числе Брахмагупта и Бхаскара I. Эта работа, похоже, основана на более раннем Сурья Сиддханта и использует счет полуночи, в отличие от восхода солнца в Арьябхатия. Он также содержал описание нескольких астрономических инструментов: гномон (Шанку-янтра), теневой инструмент (чхайа-янтра), возможно угловые приборы, полукруглые и круглые (дханур-янтра / чакра-янтра), цилиндрическая палочка ясти-янтраустройство в форме зонтика, называемое чхатра-янтра, и водяные часы как минимум двух типов: дугообразной и цилиндрической.[9]

Третий текст, который, возможно, сохранился в арабский перевод, это Al ntf или же Аль-нанф. Он утверждает, что это перевод Арьябхаты, но санскритское название этого произведения неизвестно. Вероятно, датируемый 9 веком, он упоминается в Персидский ученый и летописец Индии, Абу Райхан аль-Бируни.[9]

Арьябхатия

Основная статья: Арьябхатия

Непосредственные подробности работы Арьябхаты известны только из Арьябхатия. Название «Арьябхатия» принадлежит более поздним комментаторам. Сам Арьябхата, возможно, не дал ему названия. Его ученик Бхаскара I называет это Ашмакатантра (или трактат из Ашмака). Иногда его также называют Арья-шатас-аШта (буквально 108 Арьябхаты), потому что в тексте 108 стихов. Он написан очень кратким стилем, типичным для сутра литература, в которой каждая строка является вспомогательным средством для запоминания сложной системы. Таким образом, объяснение смысла принадлежит комментаторам. Текст состоит из 108 стихов и 13 вступительных стихов и разделен на четыре части. падаs или главы:

  1. Гитикапада: (13 стихов): большие единицы времени -калпа, манвантра, и юга- которые представляют космологию, отличную от более ранних текстов, таких как Лагадха. Веданга Джйотиша (ок. I век до н. э.). Также есть таблица синусов (Джя ), данный в одном стихе. Продолжительность планетных оборотов в течение махаюга дается как 4,32 миллиона лет.
  2. Ганитапада (33 стиха): покрытие измерение (кшетра вьявахара), арифметические и геометрические прогрессии, гномон / тени (шаньку-chhAyA), просто, квадратичный, одновременный, и неопределенный уравнения (Kuaka).
  3. Калакрияпада (25 стихов): разные единицы времени и метод определения положения планет в данный день, расчеты, касающиеся вставочного месяца (адхикамаса), кшая-титхиs, и семидневная неделя с названиями дней недели.
  4. Голапада (50 стихов): Геометрический /тригонометрический аспекты небесная сфера, особенности эклиптика, небесный экватор, узел, форма земли, причина дня и ночи, восход знаки зодиака на горизонте и т. д. Кроме того, в некоторых версиях приводится несколько колофоны добавлено в конце, превознося достоинства работы и т. д.

Арьябхатия представил ряд нововведений в математике и астрономии в стихотворной форме, которые имели влияние на протяжении многих веков. Чрезвычайная краткость текста была развита в комментариях его ученика Бхаскара I (Бхашья, c. 600 г. н.э.) и Нилаканта Сомаяджи в его Арьябхатия Бхашья, (1465 г. н.э.).

Арьябхатия также примечательна своим описанием относительности движения. Он выразил эту относительность так: «Подобно тому, как человек в лодке, движущейся вперед, видит неподвижные объекты (на берегу) движущимися назад, точно так же и неподвижные звезды, видимые людьми на Земле, движутся точно на запад».[7]

Математика

Система ценностей и ноль

В номинальная стоимость система, впервые увиденная в 3 веке Бахшалинская рукопись, явно присутствовал в его работе. Хотя он не использовал символ для нуль, французский математик Жорж Ифра утверждает, что знание нуля было неявным в утверждениях Арьябхаты. система счисления в качестве держателя места для степеней десяти с ноль коэффициенты.[15]

Однако Арьябхата не использовал числа Брахми. Продолжая Санскритский традиция из Ведические времена, он использовал буквы алфавита для обозначения чисел, выражающих величины, например, таблица синусов в мнемонический форма.[16]

Приближение π

Арьябхата работал над приближением для число Пи (π) и, возможно, пришел к выводу, что π иррационально. Во второй части Арьябхатиям (gaitapāda 10) он пишет:

чатурадхикаṃ шатамадагунам дваанистатха сахасрамам
айутадваявиṣкамбхасйасанно вṛттапариṇах.

«Прибавьте четыре к 100, умножьте на восемь и затем прибавьте 62 000. По этому правилу можно приблизиться к окружности круга диаметром 20 000».[17]

Это означает, что для круга диаметром 20000 длина окружности будет 62832

т.е. = = , что с точностью до трех десятичные знаки.[18]

Предполагается, что Арьябхата использовал слово Асанна (приближение), что означает, что это не только приближение, но и несоизмеримость значения (или иррациональный ). Если это верно, то это довольно сложное понимание, потому что иррациональность числа пи (π) была доказана в Европе только в 1761 году. Ламберт.[19]

После того, как Арьябхатия был переведен на арабский (ок. 820 г. н.э.) это приближение упоминалось в Аль-Хорезми Книга по алгебре.[9]

Тригонометрия

В Ганитападе 6 Арьябхата указывает площадь треугольника как

трибхуджасйа пхалашарирах самадалакоши бхуджардхасамваргах

что переводится как: «для треугольника результатом перпендикуляра с половинной стороной является площадь».[20]

Арьябхата обсудил концепцию синус в своей работе под именем ардха-джья, что буквально означает «полуаккорд». Для простоты люди стали называть это Джя. Когда арабские писатели переводили его произведения с санскрит на арабский, они назвали это джиба. Однако в арабских письмах гласные опускаются, и это было сокращено как jb. Позже писатели заменили его на jaib, что означает «карман» или «складку (в одежде)». (По-арабски, джиба это бессмысленное слово.) Позже, в 12 веке, когда Герардо из Кремоны перевел эти сочинения с арабского на латынь, заменив арабский jaib со своим латинским аналогом, синус, что означает «бухта» или «залив»; отсюда происходит английское слово синус.[21]

Неопределенные уравнения

Проблема, представляющая большой интерес для Индийские математики с древних времен было найти целочисленные решения для Диофантовы уравнения которые имеют вид ax + by = c. (Эта проблема также изучалась в древнекитайской математике, и ее решение обычно называют Китайская теорема об остатках.) Это пример из Бхаскара Комментарий к Арьябхатии:

Найдите число, которое дает 5 как остаток при делении на 8, 4 как остаток при делении на 9 и 1 как остаток при делении на 7.

То есть найти N = 8x + 5 = 9y + 4 = 7z + 1. Оказывается, наименьшее значение N равно 85. В общем, диофантовы уравнения, подобные этому, могут быть чрезвычайно сложными. Они широко обсуждались в древних ведических текстах. Сульба Сутры, более древние части которого могут датироваться 800 г. до н. э. Метод Арьябхаты для решения таких проблем, разработанный Бхаскарой в 621 году н. Э., Называется Kuaka (कुट्टक) метод. Kuṭṭaka означает «измельчение» или «разбиение на мелкие части», и метод включает рекурсивный алгоритм для записи исходных множителей меньшими числами. Этот алгоритм стал стандартным методом решения диофантовых уравнений первого порядка в индийской математике, и первоначально весь предмет алгебры назывался Kuaka-Gaita или просто Kuaka.[22]

Алгебра

В Арьябхатия, Арьябхата предоставил элегантные результаты для суммирования серии квадратов и кубиков:[23]

и

(видеть квадрат треугольного числа )

Астрономия

Астрономическая система Арьябхаты получила название система audAyaka, в котором дни отсчитываются от удай, рассвет в Ланка или «экватор». Некоторые из его более поздних работ по астрономии, которые, по-видимому, предлагали вторую модель (или ардха-ратрика, полночь) потеряны, но могут быть частично восстановлены из обсуждения в Брахмагупта с Хандахадяка. В некоторых текстах он, кажется, приписывает видимые движения неба движению неба. Вращение Земли. Возможно, он считал, что орбиты планеты как эллиптический а не круговой.[24][25]

Движение солнечной системы

Арьябхата правильно утверждал, что Земля ежедневно вращается вокруг своей оси, и что видимое движение звезд является относительным движением, вызванным вращением Земли, вопреки преобладающему в то время представлению о вращении неба.[18] Об этом говорится в первой главе Арьябхатия, где он указывает число оборотов Земли за юга,[26] и более подробно изложил в его гола глава:[27]

Точно так же, как кто-то в лодке, идущей вперед, видит неподвижный [объект], движущийся назад, так [кто-то] на экваторе видит неподвижные звезды, равномерно движущиеся на запад. Причина восхода и захода [в том, что] сфера звезд вместе с планетами [очевидно?] Поворачивает строго на запад на экваторе, постоянно толкаемая космический ветер.

Арьябхата описал геоцентрический модель солнечной системы, в которой Солнце и Луна переносятся эпициклы. Они, в свою очередь, вращаются вокруг Земли. В этой модели, которая также встречается в Пайтамахасиддханта (ок. 425 г. н. э.), движения планет управляются двумя эпициклами, меньшим манда (медленный) и более крупный Шигра (быстрый).[28] Порядок расположения планет по удаленности от Земли принимается следующим образом: Луна, Меркурий, Венера, то солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, а астеризмы."[9]

Положения и периоды планет рассчитывались относительно равномерно движущихся точек. В случае Меркурия и Венеры они движутся вокруг Земли с той же средней скоростью, что и Солнце. В случае Марса, Юпитера и Сатурна они движутся вокруг Земли с определенной скоростью, представляя движение каждой планеты по зодиаку. Большинство историков астрономии считают, что эта модель с двумя эпициклами отражает элементы доптолемеевского периода. Греческая астрономия.[29] Другой элемент модели Арьябхаты - śīghrocca, основной планетарный период по отношению к Солнцу, рассматривается некоторыми историками как признак лежащей в основе гелиоцентрический модель.[30]

Затмения

Солнечные и лунные затмения были научно объяснены Арьябхатой. Он заявляет, что Луна и планеты сияют в отраженном солнечном свете. Вместо преобладающей космогонии, в которой затмения были вызваны Раху и Кету (идентифицированный как псевдопланетный лунные узлы ), он объясняет затмения с точки зрения теней, отбрасываемых Землей и падающих на нее. Таким образом, лунное затмение происходит, когда Луна входит в тень Земли (стих gola.37). Он подробно обсуждает размер и протяженность тени Земли (стихи gola.38–48), а затем приводит расчет и размер затменной части во время затмения. Позже индийские астрономы улучшили свои расчеты, но суть была получена методами Арьябхаты. Его вычислительная парадигма была настолько точной, что ученый XVIII века Гийом Ле Жантиль во время визита в Пондичерри, Индия, обнаружил индийские вычисления продолжительности лунное затмение от 30 августа 1765 г. был коротким на 41 секунду, тогда как его карты (Тобиаса Майера, 1752 г.) были длинными на 68 секунд.[9]

Сидерические периоды

В современных английских единицах времени Арьябхата рассчитал звездное вращение (вращение Земли относительно неподвижных звезд) как 23 часа 56 минут и 4,1 секунды;[31] современное значение 23: 56: 4.091. Точно так же его значение для длины звездный год в 365 дней, 6 часов, 12 минут и 30 секунд (365,25858 дней)[32] - ошибка в 3 минуты и 20 секунд в течение года (365,25636 дней).[33]

Гелиоцентризм

Как уже упоминалось, Арьябхата выступал за астрономическую модель, в которой Земля вращается вокруг своей оси. Его модель также внесла коррективы ( шигра аномалия) для скоростей планет в небе через среднюю скорость Солнца. Таким образом, было высказано предположение, что расчеты Арьябхаты были основаны на лежащих в основе гелиоцентрический модель, в которой планеты вращаются вокруг Солнца,[34][35][36] хотя это было опровергнуто.[37] Также высказывалось предположение, что аспекты системы Арьябхаты могли быть получены из более раннего, вероятно, доптолемеевского Греческий, гелиоцентрическая модель, о которой индийские астрономы не знали,[38] хотя доказательства скудны.[39] По общему мнению, синодическая аномалия (зависящая от положения Солнца) не подразумевает физически гелиоцентрическую орбиту (такие поправки также присутствуют в поздних Вавилонские астрономические тексты ), и что система Арьябхаты не была явно гелиоцентрической.[40]

Наследие

Первый спутник Индии названный в честь Арьябхаты

Работа Арьябхаты оказала большое влияние на индийскую астрономическую традицию и повлияла на несколько соседних культур через переводы. В арабский перевод во время Исламский золотой век (ок. 820 г. н.э.), был особенно влиятельным. Некоторые из его результатов цитируются Аль-Хорезми и в 10 веке Аль-Бируни заявил, что последователи Арьябхаты считали, что Земля вращается вокруг своей оси.

Его определения синус (Джя ), косинус (Коджа ), версина (уткрама-джйа ) и обратный синус (Otkram jya) повлияли на рождение тригонометрия. Он также был первым, кто указал синус и Версина (1 - cosИкс) таблицы с интервалами 3,75 ° от 0 ° до 90 ° с точностью до 4 знаков после запятой.

На самом деле, современные названия «синус» и «косинус» являются неправильными написаниями слов. Джя и Коджа как представил Арьябхата. Как уже упоминалось, они были переведены как джиба и Коджиба на арабском, а затем неправильно понял Жерар Кремонский при переводе текста арабской геометрии на латинский. Он предположил, что джиба было арабское слово jaib, что означает «сложить одежду», L. синус (ок. 1150 г.).[41]

Большое влияние оказали также методы астрономических вычислений Арьябхаты: наряду с тригонометрическими таблицами они стали широко использоваться в исламском мире и для вычисления многих арабский астрономические таблицы (Zijes ). В частности, астрономические таблицы в работе Арабский Испания ученый Аз-Заркали (11 век) были переведены на латынь как Таблицы Толедо (12 век) и оставался самым точным эфемериды используется в Европе на протяжении веков.

Календарные вычисления, разработанные Арьябхатой и его последователями, постоянно используются в Индии для практических целей исправления ошибок. Панчангам (в Индуистский календарь ). В исламском мире они составили основу Календарь Джалали введен в 1073 г. группой астрономов, в том числе Омар Хайям,[42] версии которых (измененные в 1925 г.) являются национальными календарями, используемыми в Иран и Афганистан сегодня. Даты календаря Джалали основаны на фактическом прохождении Солнца, как в Арьябхате и ранее. Сиддханта календари. Этот тип календаря требует эфемерид для расчета дат. Хотя даты было трудно вычислить, сезонные ошибки в календаре Джалали были меньше, чем в календаре. Григорианский календарь.[нужна цитата ]

Университет знаний Арьябхатта (AKU), Патна был основан правительством Бихара для развития и управления образовательной инфраструктурой, связанной с техническим, медицинским, управленческим и смежным профессиональным образованием в его честь. Деятельность университета регулируется Законом об университете штата Бихар 2008 года.

Первый спутник Индии Арьябхата и лунный кратер Арьябхата оба названы в его честь. Институтом для проведения исследований в области астрономии, астрофизики и атмосферных наук является Научно-исследовательский институт наблюдательных наук Арьябхатты (ОВЕН) возле Найнитала, Индия. Межшкольный Соревнование по математике Арьябхата также назван в его честь,[43] как есть Bacillus aryabhata, вид бактерий, обнаруженных в стратосфера к ISRO ученые в 2009 году.[44][45]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Бхау Даджи (1865). «Краткие сведения о возрасте и подлинности произведений Арьябхаты, Варахамихиры, Брахмагупты, Бхаттотпалы и Бхаскарачарьи». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии. С. 392–406.
  2. ^ О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. "Арьябхата Старший". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. В архиве из оригинала 11 июля 2015 г.. Получено 18 июля 2012.
  3. ^ Britannica Educational Publishing (15 августа 2010 г.). Британника: руководство по числам и измерениям. Издательская группа Rosen. С. 97–. ISBN  978-1-61530-218-5.
  4. ^ Бхарати Рэй (1 сентября 2009 г.). Различные типы истории. Pearson Education India. С. 95–. ISBN  978-81-317-1818-6.
  5. ^ а б Б.С. Ядав (28 октября 2010 г.). Древние индийские прыжки в математику. Springer. п. 88. ISBN  978-0-8176-4694-3.
  6. ^ Хайди Рупп (1997). Преподавание всемирной истории: справочник. М.Э. Шарп. С. 112–. ISBN  978-1-56324-420-9.
  7. ^ а б С. Как, Арьябхатия. Энциклопедия Индии, 2005 г.
  8. ^ а б c d е ж К. В. Сарма (2001). «Арьябхана: Его имя, время и происхождение» (PDF). Индийский журнал истории науки. 36 (4): 105–115. Архивировано из оригинал (PDF) 31 марта 2010 г.CS1 maint: ref = harv (связь)
  9. ^ а б c d е ж Ансари, С. (Март 1977 г.). «Арьябхата I, его жизнь и его вклад». Бюллетень Астрономического общества Индии. 5 (1): 10–18. Bibcode:1977БАСИ .... 5 ... 10А. HDL:2248/502.CS1 maint: ref = harv (связь)
  10. ^ Менон (2009). Введение в историю и философию науки. Pearson Education India. п. 52. ISBN  978-81-317-2890-1.
  11. ^ Радхакришнан Куттор (25 июня 2007 г.), "Арьябхата жил в Поннани?", Индуистский, в архиве из оригинала от 1 июля 2007 г.
  12. ^ Видеть:
    *Кларк 1930
    *С. Балачандра Рао (2000). Индийская астрономия: введение. Ориент Блэксуан. п. 82. ISBN  978-81-7371-205-0.: «В индийской астрономии нулевой меридиан - это большой круг Земли, проходящий через северный и южный полюса, Удджайини и Ланка, где Ланка, как предполагалось, находилась на экваторе Земли».
    *Л. Сатпатия (2003). Древняя индийская астрономия. Alpha Science Int'l Ltd. стр. 200. ISBN  978-81-7319-432-0.: «Затем на экваторе определяются семь сторон света, одна из них называется Ланка, на пересечении экватора с меридиональной линией, проходящей через Удджайни. Это, конечно, вымышленное имя, не имеющее ничего общего с островом Шри Ланка ».
    *Эрнст Вильгельм. Классическая мухурта. Оккультные издательства Кала. п. 44. ISBN  978-0-9709636-2-8.: «Точка на экваторе, которая находится ниже города Удджайн, известна, согласно Сиддхантам, как Ланка. (Это не та Ланка, которая сейчас известна как Шри-Ланка; Арьябхата очень ясно заявляет, что Ланка имеет 23 градуса. к югу от Удджайна.) "
    *Р.М. Пуджари; Прадип Колхе; Н. Р. Кумар (2006). Гордость Индии: взгляд в научное наследие Индии. САМСКРИТА БХАРАТИ. п. 63. ISBN  978-81-87276-27-2.
    *Эбенезер Берджесс; Phanindralal Gangooly (1989). Сурья Сиддханта: Учебник индуистской астрономии. Motilal Banarsidass Publ. п. 46. ISBN  978-81-208-0612-2.
  13. ^ Кук (1997). "Математика индусов". История математики: краткий курс. п.204. Сам Арьябхата (один из по крайней мере двух математиков, носящих это имя) жил в конце 5-го и начале 6-го веков в Кусумапура (Паталиутра, деревня недалеко от города Патна) и написал книгу под названием Арьябхатия.
  14. ^ «Готовьтесь к солнечному затмению» (PDF). Национальный совет научных музеев, Министерство культуры, Правительство Индии. Архивировано из оригинал (PDF) 21 июля 2011 г.. Получено 9 декабря 2009.
  15. ^ Джордж. Ифра (1998). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера. Лондон: Джон Вили и сыновья.
  16. ^ Дутта, Бибхутибхушан; Сингх, Авадхеш Нараян (1962). История индуистской математики. Издательский дом "Азия", Бомбей. ISBN  81-86050-86-8.CS1 maint: ref = harv (связь)
  17. ^ Джейкобс, Гарольд Р. (2003). Геометрия: видеть, делать, понимать (Третье изд.). Нью-Йорк: W.H. Фримен и компания. п. 70. ISBN  0-7167-4361-2.
  18. ^ а б Как Арьябхата правильно определил окружность земли В архиве 15 января 2017 г. Wayback Machine
  19. ^ С. Балачандра Рао (1998) [Впервые опубликовано в 1994 году]. Индийская математика и астрономия: некоторые вехи. Бангалор: Jnana Deep Publications. ISBN  81-7371-205-0.
  20. ^ Роджер Кук (1997). «Математика индусов». История математики: краткий курс. Wiley-Interscience. ISBN  0-471-18082-3. Арьябхата дал правильное правило для площади треугольника и неправильное правило для объема пирамиды. (Он утверждал, что объем равен половине высоты, умноженной на площадь основания.)
  21. ^ Говард Ивс (1990). Введение в историю математики (6 изд.). Издательство Saunders College, Нью-Йорк. п. 237.
  22. ^ Амартья К. Дутта, | "Диофантовы уравнения: Куттака" В архиве 2 ноября 2014 г. Wayback Machine, Резонанс, Октябрь 2002 г. См. Также предыдущий обзор: Математика в Древней Индии В архиве 2 ноября 2014 г. Wayback Machine.
  23. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Математика индусов». История математики (Второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр.207. ISBN  0-471-54397-7. Он дал более изящные правила для суммы квадратов и кубов начального отрезка натуральных чисел. Шестая часть произведения трех величин, состоящая из числа членов, количества членов плюс один и удвоенного количества членов плюс один, является суммой квадратов. Квадрат суммы ряда - это сумма кубиков.
  24. ^ Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, Арьябхата Старший В архиве 19 октября 2012 г. Wayback Machine, Архив истории математики MacTutor:

    «Он верит, что Луна и планеты светятся отраженным солнечным светом, невероятно, он верит, что орбиты планет - эллипсы».

  25. ^ Хаяси (2008), Арьябхата I
  26. ^ Aryabhatiya 1.3ab, см. Plofker 2009, p. 111.
  27. ^ [ачалани бхани самапащимагани ... - golapAda.9–10]. Перевод из произведений К.С. Шукла и К.В. Сарма, К.В. Ryabhaīya ryabhaa, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, 1976. Цитируется по Plofker 2009.
  28. ^ Пингри, Дэвид (1996). «Астрономия в Индии». В Уокере, Кристофер (ред.). Астрономия перед телескопом. Лондон: Издательство Британского музея. С. 123–142. ISBN  0-7141-1746-3.CS1 maint: ref = harv (связь) С. 127–9.
  29. ^ Отто Нойгебауэр, "Трансляция планетарных теорий в древней и средневековой астрономии". Scripta Mathematica, 22 (1956), стр. 165–192; перепечатано в Отто Нойгебауэре, Астрономия и история: избранные очерки, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1983, стр. 129–156. ISBN  0-387-90844-7
  30. ^ Хью Терстон, Ранняя астрономия, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996, стр. 178–189. ISBN  0-387-94822-8
  31. ^ Р. К. Гупта (31 июля 1997 г.). «Арьябхана». В Хелайн Селин (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах. Springer. п. 72. ISBN  978-0-7923-4066-9.
  32. ^ Ансари, стр. 13, Таблица 1
  33. ^ Арьябхатия Маратхи: आर्यभटीय, Мохан Апте, Пуна, Индия, Rajhans Publications, 2009 г., стр.25, ISBN  978-81-7434-480-9
  34. ^ Концепция индийского гелиоцентризма была поддержана Б. Л. ван дер Варденом, Das heliozentrische System in der griechischen, persischen und indischen Astronomie. Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе. Цюрих: Kommissionsverlag Leeman AG, 1970.
  35. ^ Б.Л. ван дер Варден, "Гелиоцентрическая система в греческой, персидской и индуистской астрономии", в издании Дэвида А. Кинга и Джорджа Салибы, From Deferent to Equant: Сборник исследований по истории науки на древнем и средневековом Ближнем Востоке в честь Э. С. Кеннеди, Annals of the New York Academy of Science, 500 (1987), pp. 529–534.
  36. ^ Хью Терстон (1996). Ранняя астрономия. Springer. п. 188. ISBN  0-387-94822-8.CS1 maint: ref = harv (связь)
  37. ^ Ноэль Свердлоу, "Обзор: потерянный памятник индийской астрономии", Исида, 64 (1973): 239–243.
  38. ^ Хотя Аристарх Самосский (3 век до н.э.) приписывают поддержку гелиоцентрической теории, версии Греческая астрономия известный в Древней Индии как Паулиса Сиддханта не ссылается на такую ​​теорию.
  39. ^ Деннис Дьюк, «Equant в Индии: математическая основа древнеиндийских планетных моделей». Архив истории точных наук 59 (2005): 563–576, n. 4 «Архивная копия» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 18 марта 2009 г.. Получено 8 февраля 2016.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь).
  40. ^ Ким Плофкер (2009). Математика в Индии. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п.111. ISBN  978-0-691-12067-6.
  41. ^ Дуглас Харпер (2001). «Интернет-этимологический словарь». В архиве из оригинала 13 июля 2007 г.. Получено 14 июля 2007.
  42. ^ «Омар Хайям». Колумбийская энциклопедия (6 изд.). Май 2001. Архивировано с оригинал 17 октября 2007 г.. Получено 10 июн 2007.
  43. ^ «Математика может быть интересной». Индуистский. 3 февраля 2006 г. В архиве из оригинала от 1 октября 2007 г.. Получено 6 июля 2007.
  44. ^ «Новые микроорганизмы, обнаруженные в стратосфере Земли». ScienceDaily. 18 марта 2009 г. В архиве с оригинала на 1 апреля 2018 г.
  45. ^ "Пресс-релиз ISRO от 16 марта 2009 г.". ISRO. Архивировано из оригинал 5 января 2012 г.. Получено 24 июн 2012.

Процитированные работы

внешняя ссылка