Версина - Versine

Тригонометрия
Контур История использование Функции  (обратный ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  (обратные функции ) Производные

В Версина или же осознанный синус это тригонометрическая функция найдено в некоторых из самых ранних (Ведическая Арьябхатия I) тригонометрические таблицы. Версина угла равна 1 минус его косинус.

Есть несколько связанных функций, в первую очередь Coverine и гаверсин. Последняя, ​​половина версины, имеет особое значение в формула гаверсина навигации.

А единичный круг с тригонометрические функции.^[1]

Обзор

В Версина^{[2][3][4][5][6][7]} или же осознанный синус^{[8][1][9][10][11][4][12]} это тригонометрическая функция уже появляется в некоторых из самых ранних тригонометрических таблиц. Написано как Версин (θ),^[4][9][10] грех (θ),^[13][14] vers (θ),^{[2][8][3][4][11][5][6]} вер (θ)^[15] или же сив (θ).^[16][17] В латинский, он известен как синус против^[16][17] (перевернутый синус), против, против или сагитта (стрелка).^[18]

Выражаясь в терминах более часто используемой "вертикали" синусы (пазуха прямой) и косинусы (косинус прямой) функций версина равна

${ displaystyle { textrm {versin}} ( theta) = 1- cos ( theta) = 2 sin ^ {2} left ({ frac { theta} {2}} right)}$

Есть несколько связанных функций, соответствующих версине:

• В разбирающийся косинус,^{[19][nb 1]} или же веркозин,^{[19][nb 1]} написано веркозин (θ), vercos (θ)^[19] или же vcs (θ)^[15]
• В покрытый синус,^{[nb 1][8]} Coverine,^{[3][5][6][9][10][20][7]} косинус против^{[16][17][nb 1]} или же охватывает, написано покрывает (θ),^[21] охватывает(θ),^{[8][3][5][6][11][14][20][22][23][24]} cosiv (θ)^{[16][17][nb 1]} или же cvs (θ)^{[10][14][15][25]}
• В закрытый косинус^[26] или же покровный козин,^[26] написано кверкозин (θ) или же covercos (θ)^[26] или же cvc (θ)^[15]

В полной аналогии с вышеупомянутыми четырьмя функциями существует еще один набор из четырех «половинных» функций:

• В изогнутый синус,^[27] гаверсин^{[2][3][5][6][11][9][27][7]} или же полугодовой,^[28][29] написано хаверсин (θ), полукруглый (θ), семиверсинус (θ), havers (θ),^[2] hav (θ),^{[2][3][5][6][11][14][15][27][30][31]} hvs (θ),^{[nb 2]} сем (θ)^[29] или же hv (θ),^[32] самый известный из формула гаверсина исторически использовался в навигация
• В косинус косинус^[33] или же гаверкозин,^[33] написано гаверкозин (θ), havercos (θ),^[33] hac (θ) или же hvc (θ)^[15]
• В хакерский синус,^[21] также называемый hacoversine^[21] или же cohaversine^[21][7] и написано hacoversin (θ),^[21] полуверсин (θ), халаты (θ), hacov (θ)^[34] или же hcv (θ)^[15]
• В хакерский косинус,^[35] также называемый hacovercosine^[35] или же когаверкозин^[35] и написано хаковеркозин (θ), hacovercos (θ)^[35] или же hcc (θ)^[15]

История и приложения

Версин и каверцин

Синус, косинус и версин угла θ с точки зрения единичный круг с радиусом 1, с центром в О. Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой версин иногда называют сагитта, Латинское для стрелка.^[18][36] Если дуга АБР двойного угла Δ = 2θ рассматривается как "поклон "и аккорд AB как его "струна", то версин CD это явно «стрелка».

Графики исторических тригонометрических функций в сравнении с sin и cos - in файл SVG, наведите указатель мыши на график или щелкните его, чтобы выделить его

Обычный синус функция (см. примечание по этимологии ) иногда исторически называли пазуха прямой ("прямой синус"), чтобы противопоставить его синусоидальному синусу (синус против).^[37] Значение этих терминов становится очевидным, если посмотреть на функции в исходном контексте для их определения. единичный круг:

Для вертикального аккорд AB единичной окружности синус угла θ (представляет половину подведенного угла Δ) - расстояние AC (половина аккорда). С другой стороны, осмысленный синус θ это расстояние CD от центра хорды к центру дуги. Таким образом, сумма cos (θ) (равная длине линии OC) и версен (θ) (равная длине линии CD) - радиус OD (длиной 1). Изображенный таким образом синус вертикальный (прямая мышца, буквально «прямой»), а версин горизонтальный (против, буквально «повернутый против, неуместный»); оба расстояния от C в круг.

Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой версин иногда называют сагитта, Латинское для стрелка,^[18][36] от арабского употребления сахем^[38] того же значения. Само это происходит от индийского слова «сара» (стрела).^{[нужна цитата ]} это обычно использовалось для обозначения "уткрама-джйа ". Если дуга АБР двойного угла Δ = 2θ рассматривается как "поклон "и аккорд AB как его "струна", то версин CD это явно «стрелка».

В соответствии с интерпретацией синуса как «вертикального» и синусоидального синуса как «горизонтального», сагитта также является устаревшим синонимом абсцисса (горизонтальная ось графика).^[36]

В 1821 г. Коши использовал термины синус против (сив) для версины и косинус против (Cosiv) для покрытия.^{[16][17][nb 1]}

Тригонометрические функции могут быть построены геометрически в терминах единичный круг сосредоточен на О.

Исторически сложившийся синус считался одной из самых важных тригонометрических функций.^[12][37][38]

В качестве θ стремится к нулю, версия (θ) - это разница между двумя почти равными величинами, поэтому пользователь тригонометрическая таблица для одного косинуса потребуется очень высокая точность, чтобы получить версин, чтобы избежать катастрофическая отмена, что делает удобными отдельные таблицы для последних.^[12] Даже с помощью калькулятора или компьютера, ошибки округления сделай целесообразным использовать грех² формула для малыхθ.

Еще одно историческое преимущество версина состоит в том, что он всегда неотрицателен, поэтому его логарифм определен всюду, кроме единственного угла (θ = 0, 2π,…), Где он равен нулю - таким образом, можно было бы использовать логарифмические таблицы для умножений в формулах с версинами.

Фактически, самая ранняя из сохранившихся таблиц синусов (полу-аккорд ) значения (в отличие от аккорды табулированы Птолемеем и других греческих авторов), рассчитанный из Сурья Сиддханта Индии, датируемой 3 веком до нашей эры, представляла собой таблицу значений синуса и проверенного синуса (с шагом 3,75 ° от 0 до 90 °).^[37]

Версин выступает как промежуточный этап в применении формула полуугла грех²(θ/2) = 1/2Версин (θ), полученный Птолемей, который использовался для построения таких таблиц.

Гаверсин

Гаверсин, в частности, был важен в навигация потому что он появляется в формула гаверсина, который используется для достаточно точного вычисления расстояний на астрономических сфероид (см. проблемы с радиус Земли против сферы ) с учетом угловых положений (например, долгота и широта ). Можно также использовать грех²(θ/2) напрямую, но наличие таблицы гаверсинуса избавило от необходимости вычислять квадраты и квадратные корни.^[12]

Раннее использование Хосе де Мендоса и Риос того, что позже будет называться гаверсинами, задокументировано в 1801 году.^[14][39]

Первый известный английский эквивалент таблица гаверсинов был опубликован Джеймсом Эндрю в 1805 году.^[40][41][18]

В 1835 году термин гаверсин (обозначается естественно как hav. или же логарифмически по основанию 10 в качестве бревно. гаверсин или же бревно. имеет.) был придуман^[42] к Джеймс Инман^[14][43][44] в третьем издании его работы Навигация и морская астрономия: для британских моряков для упрощения расчета расстояний между двумя точками на поверхности земли с помощью сферическая тригонометрия для приложений в навигации.^[2][42] Инман также использовал термины физ. Версина и физ. верс. для версинов.^[2]

Другими высоко оцененными таблицами гаверсинов были таблицы Ричарда Фарли 1856 года.^[40][45] и Джон Колфилд Хэннингтон в 1876 году.^[40][46]

Гаверсин продолжает использоваться в навигации и нашел новые применения в последние десятилетия, например, в методе Брюса Д. Старка для очистки. лунные расстояния использование Гауссовские логарифмы с 1995 г.^[47][48] или более компактным способом для снижение зрения с 2014 года.^[32]

Современное использование

В то время как использование версина, каверсина и гаверсина, а также их обратные функции можно проследить века назад, имена других пяти совместные функции по-видимому, гораздо более молодого происхождения.

Один период (0 < θ < π/2) версина или, чаще, гаверсиновой (или гаверкозиновой) формы волны также широко используется в обработка сигналов и теория управления как форма пульс или оконная функция (включая Hann, Ханн – Пуассон и Окна Тьюки ), потому что плавно (непрерывный по стоимости и склон ) "включается" из нуль к один (для гаверсина) и обратно до нуля.^{[nb 2]} В этих приложениях он называется Функция Ханна или же фильтр с приподнятым косинусом. Аналогичным образом хаверкозин используется в распределения с приподнятым косинусом в теория вероятности и статистика.

В виде греха²(θ) гаверсинус двойного угла Δ описывает связь между спреды и углы в рациональная тригонометрия, предлагаемая переформулировка метрический планарный и твердые геометрии к Норман Джон Вильдбергер с 2005 года.^[49]

Как сагитта и косагитта, двойной угол Δ варианты гаверсина и гаверкозина также нашли новое применение при описании корреляция и антикорреляция коррелированных фотоны в квантовая механика.^[50]

Математические тождества

Определения

${ displaystyle { textrm {versin}} ( theta): = 2 sin ^ {2} ! left ({ frac { theta} {2}} right) = 1- cos ( theta ) ,}$[3]
${ displaystyle { textrm {coverin}} ( theta): = { textrm {versin}} ! left ({ frac { pi} {2}} - theta right) = 1- sin ( тета) ,}$[3]
${ displaystyle { textrm {vercosin}} ( theta): = 2 cos ^ {2} ! left ({ frac { theta} {2}} right) = 1 + cos ( theta ) ,}$[19]
${ displaystyle { textrm {covercosin}} ( theta): = { textrm {vercosin}} ! left ({ frac { pi} {2}} - theta right) = 1 + sin ( тета) ,}$[26]
${ displaystyle { textrm {haversin}} ( theta): = { frac {{ textrm {versin}} ( theta)} {2}} = sin ^ {2} ! left ({ frac { theta} {2}} right) = { frac {1- cos ( theta)} {2}} ,}$[3]
${ displaystyle { textrm {hacoversin}} ( theta): = { frac {{ textrm {coverin}} ( theta)} {2}} = { frac {1- sin ( theta)} {2}} ,}$[21]
${ displaystyle { textrm {havercosin}} ( theta): = { frac {{ textrm {vercosin}} ( theta)} {2}} = cos ^ {2} ! left ({ гидроразрыв { theta} {2}} right) = { frac {1+ cos ( theta)} {2}} ,}$[33]
${ displaystyle { textrm {hacovercosin}} ( theta): = { frac {{ textrm {covercosin}} ( theta)} {2}} = { frac {1+ sin ( theta)} {2}} ,}$[35]

Круговые вращения

Функции представляют собой круговые вращения друг друга.

${ Displaystyle { begin {align} mathrm {versin} ( theta) & = mathrm {охватывает} left ( theta + { frac { pi} {2}} right) = mathrm {vercosin } left ( theta + pi right) = mathrm {covercosin} left ( theta + { frac {3 pi} {2}} right) mathrm {haversin} ( theta) & = mathrm {hacoversin} left ( theta + { frac { pi} {2}} right) = mathrm {havercosin} left ( theta + pi right) = mathrm {hacovercosin} left ( theta + { frac {3 pi} {2}} right) end {align}}}$

Производные и интегралы

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {versin} (x) = sin {x}}$[4]	${ displaystyle int mathrm {versin} (x) , mathrm {d} x = x- sin {x} + C}$[3][4]
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {vercosin} (x) = - sin {x}}$	${ displaystyle int mathrm {vercosin} (x) , mathrm {d} x = x + sin {x} + C}$
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {Coversin} (x) = - cos {x}}$[20]	${ Displaystyle int mathrm {охватывает} (х) , mathrm {d} х = х + соз {х} + C}$[20]
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {covercosin} (x) = cos {x}}$	${ displaystyle int mathrm {covercosin} (x) , mathrm {d} x = x- cos {x} + C}$
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {haversin} (x) = { frac { sin {x}} {2}}}$[27]	${ displaystyle int mathrm {haversin} (x) , mathrm {d} x = { frac {x- sin {x}} {2}} + C}$[27]
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {havercosin} (x) = { frac {- sin {x}} {2}}}$	${ displaystyle int mathrm {havercosin} (x) , mathrm {d} x = { frac {x + sin {x}} {2}} + C}$
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {hacoversin} (x) = { frac {- cos {x}} {2}}}$	${ displaystyle int mathrm {hacoversin} (x) , mathrm {d} x = { frac {x + cos {x}} {2}} + C}$
${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} mathrm {hacovercosin} (x) = { frac { cos {x}} {2}}}$	${ displaystyle int mathrm {hacovercosin} (x) , mathrm {d} x = { frac {x- cos {x}} {2}} + C}$

Обратные функции

Обратные функции вроде аркверсинус^[34] (arcversin, arcvers,^[8][34] аверс,^[51][52] авер), аркверкозин (аркверкосин, аркверкос, аверкос, avcs), аркковерсинус^[34] (arccoversin, arccovers,^[8][34] обложки,^[51][52] acvs), дуговая оболочка (аркковеркозин, аркковеркос, аковеркос, аквц), архаверсин (арчаверсин, арчав,^[34] Хаверсин⁻¹,^[53] invhav,^{[34][54][55][56]} ахав,^[34][51][52] ahvs, ahv, hav^−1[57][58]), архаверкозин (архаверкозин, архаверкос, ahvc), архаковерсин (архаковерсин, ahcv) или архааверкозин (архааверкозин, архааверкос, ahcc) также существуют:

${ Displaystyle OperatorName {arcversin} (y) = arccos left (1-y right) ,}$[34][51][52]

${ Displaystyle OperatorName {arcvercos} (y) = arccos left (y-1 right) ,}$

${ Displaystyle OperatorName {arccoversin} (y) = arcsin left (1-y right) ,}$[34][51][52]

${ Displaystyle OperatorName {arccovercos} (y) = arcsin left (y-1 right) ,}$

${ displaystyle operatorname {archaversin} (y) = 2 arcsin left ({ sqrt {y}} right) = arccos left (1-2y right) ,}$[34][51][52][53][54][55][57][58]

${ Displaystyle OperatorName {archavercos} (y) = 2 arccos left ({ sqrt {y}} right) = arccos left (2y-1 right)}$

${ displaystyle operatorname {archacoversin} (y) = arcsin left (1-2y right) ,}$

${ Displaystyle OperatorName {archacovercos} (y) = arcsin left (2y-1 right) ,}$

Другие свойства

Эти функции могут быть расширены до комплексная плоскость.^[4][20][27]

Серия Маклорена:^[27]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {versin} (z) & = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k }} {(2k)!}} operatorname {haversin} (z) & = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} End {align}}}$

${ displaystyle lim _ { theta to 0} { frac { operatorname {versin} ( theta)} { theta}} = 0}$^[8]

$( theta)}} - { frac { operatorname {exsec} ( theta) + operatorname {excsc} ( theta)} { operatorname {exsec} ( theta) - operatorname {excsc} ( theta) }} & = { frac {2 operatorname {versin} ( theta) operatorname {playsin} ( theta)} { operatorname {versin} ( theta) - operatorname {playsin} ( theta)}} [3pt] [ operatorname {versin} ( theta) + operatorname {exsec} ( theta)] , [ operatorname {coverin} ( theta) + operatorname {excsc} ( theta)] & = грех ( тета) соз ( тета) конец {выровнено}}}$^[8]

Приближения

Сравнение функции версины с тремя приближениями к функциям версины для углов от 0 до 2π

Сравнение функции версины с тремя приближениями к функциям версины для углов от 0 до π/2

Когда версин v мала по сравнению с радиусом р, ее можно приблизительно определить по длине полухорды L (Расстояние AC показано выше) по формуле

${ Displaystyle v приблизительно { гидроразрыва {L ^ {2}} {2r}}}$.^[59]

В качестве альтернативы, если версина небольшая и известны версина, радиус и длина полухорды, их можно использовать для оценки длины дуги. s (ОБЪЯВЛЕНИЕ на рисунке выше) по формуле

${ displaystyle s приблизительно L + { frac {v ^ {2}} {r}}}$

Эта формула была известна китайскому математику. Шен Куо, а более точная формула, также включающая сагитту, была разработана двумя столетиями позже Го Шоуцзин.^[60]

Более точное приближение, используемое в технике^[61] является

${ displaystyle v приблизительно { гидроразрыва {s ^ { frac {3} {2}} L ^ { frac {1} {2}}} {8r}}}$

Произвольные кривые и хорды

Период, термин Версина также иногда используется для описания отклонений от прямолинейности произвольной плоской кривой, из которых вышеуказанная окружность является частным случаем. Учитывая хорду между двумя точками кривой, расстояние по перпендикуляру v от хорды до кривой (обычно в середине хорды) называется Версина измерение. Для прямой линии версин любой хорды равен нулю, поэтому это измерение характеризует прямолинейность кривой. в предел как длина хорды L стремится к нулю, отношение 8v/L² переходит к мгновенному кривизна. Это использование особенно распространено в рельсовый транспорт, где описывает измерения прямолинейности железнодорожные пути^[62] и это основа Метод Халлады за рельсовая съемка.

Период, термин сагитта (часто сокращенно провисать) аналогично используется в оптика, для описания поверхностей линзы и зеркала.

Смотрите также

• Тригонометрические тождества
• Exsecant и excosecant
• Versiera (Ведьма Агнези )
• Экспоненциальный минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Хокинг, Стивен Уильям, изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии. Филадельфия, США: Бегущий пресс. ISBN  0-7624-1698-X. LCCN  2002100441. Получено 2017-07-31.
• Ставек, Иржи (10 марта 2017 г.) [26 февраля 2017 г.]. «О скрытой красоте тригонометрических функций». Прикладные исследования физики. Прага, Чехия: Канадский центр науки и образования. 9 (2): 57–64. Дои:10.5539 / апр.v9n2p57. ISSN  1916-9639. ISSN  1916-9647. [5]

внешняя ссылка

• Пегг младший, Эд. "Сагитта, апофема и аккорд". Демонстрационный проект Wolfram.