Джья, коти-джья и уткрама-джья - Википедия - Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā

Джья, Коти-джья и уткрама-джйа три тригонометрические функции представлен Индийские математики и астрономы. Самый ранний известный индийский трактат, содержащий ссылки на эти функции, - Сурья Сиддханта.[1] Это функции дуг окружностей, а не углов. Джья и котиджья тесно связаны с современными тригонометрические функции из синус и косинус. Фактически, происхождение современных терминов «синус» и «косинус» восходит к санскрит слова джйа и котиджйа.[1]

Определение

Современная диаграмма для джья и коджья

Обозначим дугу AB дуга две конечности которого являются A и B окружности с центром O. Если перпендикуляр BM опустить из B в OA, то:

  • джья дуги AB = BM
  • Коти-джья дуги AB = OM
  • уткрама-джйа дуги AB = MA

Если радиус круга равен р а длина дуги AB равна s, угол между дугой AB в точке O, измеренный в радианах, равен θ = s / р. Три индийские функции связаны с современными тригонометрическими функциями следующим образом:

  • джья (дуга AB) = р грех ( s / р )
  • Коти-джья (дуга AB) = р cos ( s / р )
  • уткрама-джйа (дуга AB) = р (1 - cos ( s / р ) ) = р Версин ( s / р )

Терминология

Буквальное значение джья
Техническое значение джья и коджья

Дуга круга похожа на лук и поэтому называется дхану или же чапа который в санскрит означает «лук». Прямая линия, соединяющая два конца дуги круга, подобна тетиве лука, и эта линия является хордой круга. Этот аккорд называется джья который в санскрит означает "тетива", предположительно перевод Гиппарх с χορδή с тем же смыслом[нужна цитата ]. Слово jīvá также используется как синоним джья в геометрической литературе.[2]В какой-то момент индийские астрономы и математики поняли, что вычисления будут более удобными, если использовать половинки хорд вместо полных хорд и связать полухорды с половинами дуг.[1][3] Полуаккорды назывались ардха-джьяs или джья-ардхас. Эти условия были снова сокращены до джья опуская квалификатор ардха что означало «половина».

Санскритское слово Koṭi имеет значение «точка, куспид» и, в частности, «точка изогнутый конец лука В тригонометрии оно стало обозначать «дополнение дуги до 90 °». Koṭi-jyā это джья дополнительной дуги ». В индийских трактатах, особенно в комментариях, Koṭi-jyā часто сокращается как Коджья. Период, термин Koṭi также обозначает «сторону прямоугольного треугольника». Таким образом Koṭi-jyā также может означать сторону прямоугольного треугольника, одна из сторон которого джья.[требуется разъяснение ][1]

Уткрама означает "перевернутый", таким образом уткрама-джйа означает «перевернутый аккорд». Табличные значения уткрама-джйа получены из табличных значений джья путем вычитания элементов из радиуса в обратном порядке.[требуется разъяснение ] Это действительно[требуется разъяснение ] стрела между луком и тетивой, и поэтому ее также называли бана, iṣu или же Сара все означает «стрелка».[1]

Дуга окружности, которая образует угол 90 ° в центре, называется вритта-пада (квадрат круга). Каждый зодиакальный знак определяет дугу в 30 °, а три последовательных знака зодиака определяют дугу. вритта-пада. В джья из вритта-пада это радиус круга. Индийские астрономы придумали термин три-джья для обозначения радиуса основной окружности термин три-джья указывает на " джья трех знаков ». Радиус еще называют вьясардха, вишкамбхардха, Вистарардхаи т.д., что означает «полудиаметр».[1]

Согласно одному соглашению функции джья и Коти-джья соответственно обозначаются «Rsin» и «Rcos» трактуются как отдельные слова.[1] Другие обозначают джья и Коти-джья соответственно, на «Sin» и «Cos» (первые буквы - заглавные, в отличие от первых букв - строчных букв в обычных функциях синуса и косинуса).[3]

От джья до синуса

Основная статья: История тригонометрии

Происхождение современного термина синус восходит к санскритскому слову джья,[4][5] или, точнее, его синоним Джива.Этот термин был принят в средневековой исламской математике, транслитерируется на арабском языке как Джиба (جيب ). Поскольку арабский язык написан без коротких гласных - и как заимствование долгая гласная здесь обозначена йах - это интерпретировалось как омографическое Джейб, что означает «лоно». Текст XII века латинский переводчик использовал латинский эквивалент слова "грудь", синус.[6] Когда джья стал синус, по аналогии Коджья стал синус.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм Б.Б. Датта, А. Сингх (1983). «Индуистская тригонометрия» (PDF). Индийский журнал истории науки. 18 (1): 39–108. Получено 1 марта 2010.
  2. ^ По словам лексикографов, это синоним, также означающий «тетива», но в литературе засвидетельствовано только его геометрическое значение. Монье-Вильямс, Словарь санскрита (1899): " jīváп. (в геом. = джья) хорда дуги; синус дуги Сурьясиддханта 2.57"; jīvá как родовое прилагательное имеет значение «живой, живой» (родственный с английским быстро )
  3. ^ а б Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии. Princeton University Press. С. 95–97. ISBN  978-0-691-12973-0.
  4. ^ «Как триггерные функции получили свои названия». Спросите доктора Матема. Университет Дрекселя. Получено 2 марта 2010.
  5. ^ Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции». Получено 2 марта 2010.
  6. ^ Различные источники указывают на первое использование синус либо: См Мерле, Заметка об истории тригонометрических функций в Чеккарелли (ред.), Международный симпозиум по истории машин и механизмов, Springer, 2004 г.
    См. Более раннюю этимологию, указывающую на Джерарда, в Maor (1998), глава 3.
    Видеть Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон. п. 210 (боковая панель). ISBN  978-0321387004.