Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах - Trigonometric constants expressed in real radicals

Углы первичного решения в виде (cos, sin) на единичный круг кратны 30 и 45 градусам.

Точный алгебраические выражения для тригонометрический ценности иногда полезны, в основном для упрощения решений в радикальный формы, которые позволяют дальнейшее упрощение.

Все тригонометрические числа - синусы или косинусы рациональных кратных 360 ° - алгебраические числа (решения полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами); более того, они могут быть выражены в терминах радикалов сложные числа; но не все из них можно выразить с помощью настоящий радикалы. Когда они есть, их можно более конкретно выразить в терминах квадратных корней.

Все значения синусов, косинусов и тангенсов углов с шагом 3 ° можно выразить в терминах квадратных корней, используя тождества - полуугловая идентичность, то двухугольная идентичность, а тождество сложения / вычитания углов - и используя значения для 0 °, 30 °, 36 ° и 45 °. Для угла целого числа градусов, не кратного 3 ° ( $π$ /60 радианы ), значения синуса, косинуса и тангенса нельзя выразить через действительные радикалы.

Согласно с Теорема Нивена, единственные рациональные значения синусоидальной функции, для которых аргумент является рациональное число градусов равны 0,1/2, 1, −1/2, и −1.

Согласно с Теорема Бейкера, если значение синуса, косинуса или тангенса является алгебраическим, то угол является либо рациональным числом градусов, либо трансцендентное число градусов. То есть, если угол представляет собой алгебраическое, но нерациональное число градусов, все тригонометрические функции имеют трансцендентные значения.

Сфера применения этой статьи

Список в этой статье неполон в нескольких смыслах. Во-первых, тригонометрические функции всех углов, которые являются целыми кратными указанным, также могут быть выражены в радикалах, но некоторые из них здесь опущены.

Во-вторых, всегда можно применить формулу полуугла, чтобы найти выражение в радикалах для тригонометрической функции половины любого угла в списке, затем половины этого угла и т. Д.

В-третьих, выражения в действительных радикалах существуют для тригонометрической функции рационального кратного числа $π$ тогда и только тогда, когда знаменатель полностью приведенного рационального кратного сам по себе является степенью 2 или произведением степени 2 на произведение различных Простые числа Ферма, из которых известны 3, 5, 17, 257 и 65537.

В-четвертых, в этой статье рассматриваются только значения тригонометрических функций, когда выражение в радикалах находится в настоящий радикалы - корни действительных чисел. Значения многих других тригонометрических функций выражаются, например, кубическими корнями из сложные числа которые нельзя переписать в терминах корней действительных чисел. Например, значения тригонометрической функции любого угла, составляющего одну треть угла θ рассматриваемые в этой статье, могут быть выражены в кубических корнях и квадратных корнях с помощью формула кубического уравнения решать

{ displaystyle 4 cos ^ {3} { frac { theta} {3}} - 3 cos { frac { theta} {3}} = cos theta,}

но в целом решение косинуса одной трети угла включает кубический корень из комплексного числа (что дает казус несокрушимый ).

На практике все значения синусов, косинусов и тангенсов, не найденные в этой статье, аппроксимируются с использованием методов, описанных в Тригонометрические таблицы.

Дальнейшие углы

Точная тригонометрическая таблица для кратных 3 градусам.

Значения вне диапазона углов [0 °, 45 °] тривиально выводятся из этих значений с использованием оси окружности. отражение симметрия. (Увидеть Список тригонометрических тождеств.)

В приведенных ниже записях, когда определенное количество градусов связано с правильным многоугольником, отношение состоит в том, что количество градусов в каждом углу многоугольника равно (п - 2) умноженное на указанное количество градусов (где п количество сторон). Это потому, что сумма углов любого п-угольник равен 180 ° × (п - 2) и, таким образом, мера каждого угла любого регулярного п-угольник равен 180 ° × (п – 2) ÷ п. Так, например, запись «45 °: квадрат» означает, что с п = 4, 180° ÷ п = 45 °, а количество градусов в каждом углу квадрата равно (п – 2) × 45° = 90°.

0 °: основной

{ Displaystyle грех 0 = 0 ,}

{ Displaystyle соз 0 = 1 ,}

{ Displaystyle загар 0 = 0 ,}

{ displaystyle cot 0 { text {не определено}} ,}

1,5 °: правильный гекатоникосагон (многоугольник со 120 сторонами)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {120}} right) = sin left (1.5 ^ { circ} right) = { frac { left ({ sqrt {2 + { sqrt {2}}}} right) left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} right ) - left ({ sqrt {2 - { sqrt {2}}}} right) left ({ sqrt {30-6 { sqrt {5}}}} + { sqrt {5}} +1 вправо)} {16}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {120}} right) = cos left (1.5 ^ { circ} right) = { frac { left ({ sqrt {2 + { sqrt {2}}}} right) left ({ sqrt {30-6 { sqrt {5}}}} + { sqrt {5}} + 1 right) + left ({ sqrt {2 - { sqrt {2}}}} right) left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}) }} right)} {16}}}

1.875 °: правильный эннаконтагексагон (96-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {96}} right) = sin left (1,875 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {96}} right) = cos left (1,875 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}}}}

2.25 °: правильный восьмиугольник (80-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {80}} right) = sin left (2.25 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {80}} right) = cos left (2.25 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}}}}

2,8125 °: правильный гексаконатетрагон (64-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {64}} right) = sin left (2,8125 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {64}} right) = cos left (2,8125 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}}}}

3 °: правильный шестиугольник (многоугольник с 60 сторонами)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {60}} right) = sin left (3 ^ { circ} right) = { frac {2 left (1 - { sqrt {3}} right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + left ({ sqrt {10}} - { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {3}} + 1 right)} {16}} ,}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {60}} right) = cos left (3 ^ { circ} right) = { frac {2 left (1 + { sqrt {3}} right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + left ({ sqrt {10}} - { sqrt {2}} right) left ({ sqrt {3}} - 1 right)} {16}} ,}

{ displaystyle tan left ({ frac { pi} {60}} right) = tan left (3 ^ { circ} right) = { frac { left [ left (2- { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}} } right]} {4}} ,}

{ displaystyle cot left ({ frac { pi} {60}} right) = cot left (3 ^ { circ} right) = { frac { left [ left (2+ { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 + { sqrt {10-2 { sqrt {5}}} } right]} {4}} ,}

3.75 °: правильный четырехугольник (48-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {48}} right) = sin left (3,75 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {48}} right) = cos left (3,75 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}}}}}

4.5 °: правильный четырехугольник (40-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {40}} right) = sin left (4.5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {40}} right) = cos left (4.5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}}}}}}}}

5.625 °: обычный триаконтадигон (32-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {32}} right) = sin left (5.625 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {32}} right) = cos left (5.625 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}}}

6 °: правильный триаконтагон (30-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin { frac { pi} {30}} = sin 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {30 - { sqrt {180}}}} - { sqrt { 5}} - 1} {8}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {30}} = cos 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {10 - { sqrt {20}}}} + { sqrt { 3}} + { sqrt {15}}} {8}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {30}} = tan 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {10 - { sqrt {20}}}} + { sqrt { 3}} - { sqrt {15}}} {2}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {30}} = cot 6 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {27}} + { sqrt {15}} + { sqrt { 50 + { sqrt {2420}}}}} {2}} ,}

7,5 °: правильный икоситетракон (24-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin left ({ frac { pi} {24}} right) = sin left (7,5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} = { frac {1} {4}} { sqrt {8-2 { sqrt {6}} - 2 { sqrt {2}}}}}

{ displaystyle cos left ({ frac { pi} {24}} right) = cos left (7,5 ^ { circ} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} = { frac {1} {4}} { sqrt {8 + 2 { sqrt {6}} + 2 { sqrt {2}}}}}

{ displaystyle tan left ({ frac { pi} {24}} right) = tan left (7,5 ^ { circ} right) = { sqrt {6}} - { sqrt { 3}} + { sqrt {2}} - 2 = left ({ sqrt {2}} - 1 right) left ({ sqrt {3}} - { sqrt {2}} right )}

{ displaystyle cot left ({ frac { pi} {24}} right) = cot left (7,5 ^ { circ} right) = { sqrt {6}} + { sqrt { 3}} + { sqrt {2}} + 2 = left ({ sqrt {2}} + 1 right) left ({ sqrt {3}} + { sqrt {2}} right )}

9 °: правильный икосугольник (20-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin { frac { pi} {20}} = sin 9 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt { frac {5) + { sqrt {5}}} {2}}}}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {20}} = cos 9 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt { frac {5) + { sqrt {5}}} {2}}}}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {20}} = tan 9 ^ { circ} = { sqrt {5}} + 1 - { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}} }} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {20}} = cot 9 ^ { circ} = { sqrt {5}} + 1 + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}} }} ,}

11,25 °: правильный шестиугольник (16-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin { frac { pi} {16}} = sin 11.25 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {16}} = cos 11,25 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {16}} = tan 11,25 ^ { circ} = { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} - { sqrt {2}} -1}

{ displaystyle cot { frac { pi} {16}} = cot 11.25 ^ { circ} = { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} + { sqrt {2}} +1}

12 °: правильный пятиугольник (15-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin { frac { pi} {15}} = sin 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} left [{ sqrt {2 left (5+ { sqrt {5}} right)}} + { sqrt {3}} - { sqrt {15}} right] ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15}} = cos 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} left [{ sqrt {6 left (5+ { sqrt {5}} right)}} + { sqrt {5}} - 1 right] ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {15}} = tan 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} left [3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} - { sqrt {2 left (25-11 { sqrt {5}} right)}} , right] ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {15}} = cot 12 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} left [{ sqrt {15}} + { sqrt {3}} + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right)}} , right] ,}

15 °: правильный двенадцатигранник (12-сторонний многоугольник)

{ displaystyle sin { frac { pi} {12}} = sin 15 ^ { circ} = { frac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {3}}}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {12}} = cos 15 ^ { circ} = { frac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}

{ displaystyle tan { frac { pi} {12}} = tan 15 ^ { circ} = 2 - { sqrt {3}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {12}} = cot 15 ^ { circ} = 2 + { sqrt {3}} ,}

18 °: правильный десятиугольник (10-сторонний многоугольник)^[1]

{ displaystyle sin { frac { pi} {10}} = sin 18 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left ({ sqrt {5}} - 1 right ) = { frac {1} {1 + { sqrt {5}}}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {10}} = cos 18 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} { sqrt {2 left (5 + { sqrt { 5}} right)}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {10}} = tan 18 ^ { circ} = { tfrac {1} {5}} { sqrt {5 left (5-2 { sqrt {5}} right)}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {10}} = cot 18 ^ { circ} = { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} ,}

21 °: сумма 9 ° + 12 °

{ displaystyle sin { frac {7 pi} {60}} = sin 21 ^ { circ} = { frac {1} {16}} left (2 left ({ sqrt {3}) } +1 right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} - left ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) left (1 + { sqrt {5}} right) right) ,}

{ displaystyle cos { frac {7 pi} {60}} = cos 21 ^ { circ} = { frac {1} {16}} left (2 left ({ sqrt {3}) } -1 right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} + left ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) left (1 + { sqrt {5}} right) right) ,}

{ displaystyle tan { frac {7 pi} {60}} = tan 21 ^ { circ} = { frac {1} {4}} left (2- left (2 + { sqrt {3}} right) left (3 - { sqrt {5}} right) right) left (2 - { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }}правильно),}

{ displaystyle cot { frac {7 pi} {60}} = cot 21 ^ { circ} = { frac {1} {4}} left (2- left (2 - { sqrt {3}} right) left (3 - { sqrt {5}} right) right) left (2 + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }}правильно),}

22,5 °: правильный восьмиугольник

{ displaystyle sin { frac { pi} {8}} = sin 22,5 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2}}} },}

{ displaystyle cos { frac { pi} {8}} = cos 22,5 ^ { circ} = { frac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2}}} } ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {8}} = tan 22,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} - 1 ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {8}} = cot 22,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} + 1 = delta _ {S} ,}

, то соотношение серебра

24 °: сумма 12 ° + 12 °

{ displaystyle sin { frac {2 pi} {15}} = sin 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} left [{ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right)}} right] ,}

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {15}} = cos 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} left ({ sqrt {6 left (5- { sqrt {5}} right)}} + { sqrt {5}} + 1 right) ,}

{ displaystyle tan { frac {2 pi} {15}} = tan 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} left [{ sqrt {50 + 22 { sqrt {5}}}} - 3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} right] ,}

{ displaystyle cot { frac {2 pi} {15}} = cot 24 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} left [{ sqrt {15}} - { sqrt {3}} + { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right)}} right] ,}

27 °: сумма 12 ° + 15 °

{ displaystyle sin { frac {3 pi} {20}} = sin 27 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} left [2 { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} - { sqrt {2}} ; left ({ sqrt {5}} - 1 right) right] ,}

{ displaystyle cos { frac {3 pi} {20}} = cos 27 ^ { circ} = { tfrac {1} {8}} left [2 { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} ; left ({ sqrt {5}} - 1 right) right] ,}

{ displaystyle tan { frac {3 pi} {20}} = tan 27 ^ { circ} = { sqrt {5}} - 1 - { sqrt {5-2 { sqrt {5}) }}} ,}

{ displaystyle cot { frac {3 pi} {20}} = cot 27 ^ { circ} = { sqrt {5}} - 1 + { sqrt {5-2 { sqrt {5}) }}} ,}

30 °: правильный шестиугольник

{ displaystyle sin { frac { pi} {6}} = sin 30 ^ { circ} = { frac {1} {2}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {6}} = cos 30 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {2}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {6}} = tan 30 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {3}} = { frac {1} { sqrt {3}}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {6}} = cot 30 ^ { circ} = { sqrt {3}} ,}

33 °: сумма 15 ° + 18 °

{ displaystyle sin { frac {11 pi} {60}} = sin 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} left [2 left ({ sqrt {3} } -1 right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left (1 + { sqrt {3}} right) left ({ sqrt {5}} - 1 right) right] ,}

{ displaystyle cos { frac {11 pi} {60}} = cos 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} left [2 left ({ sqrt {3} } +1 right) { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left (1 - { sqrt {3}} right) left ({ sqrt {5}} - 1 right) right] ,}

{ displaystyle tan { frac {11 pi} {60}} = tan 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left [2- left (2 - { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) right] left [2 + { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right) }},правильно],}

{ displaystyle cot { frac {11 pi} {60}} = cot 33 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left [2- left (2 + { sqrt {3}} right) left (3 + { sqrt {5}} right) right] left [2 - { sqrt {2 left (5 - { sqrt {5}} right) }},правильно],}

36 °: правильный пятиугольник

^[1]

{ displaystyle sin { frac { pi} {5}} = sin 36 ^ { circ} = { frac {1} {4}} { sqrt {10-2 { sqrt {5}} }}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5}} = cos 36 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}} = { frac { varphi} {2}},}

где

φ

это Золотое сечение;

{ displaystyle tan { frac { pi} {5}} = tan 36 ^ { circ} = { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {5}} = cot 36 ^ { circ} = { frac {1} {5}} { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}} }}}

39 °: сумма 18 ° + 21 °

{ displaystyle sin { frac {13 pi} {60}} = sin 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} left [2 left (1 - { sqrt { 3}} right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left ({ sqrt {3}} + 1 right) left ({ sqrt {5}} + 1 right) right] ,}

{ displaystyle cos { frac {13 pi} {60}} = cos 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {16}} left [2 left (1 + { sqrt { 3}} right) { sqrt {5 - { sqrt {5}}}} + { sqrt {2}} left ({ sqrt {3}} - 1 right) left ({ sqrt {5}} + 1 right) right] ,}

{ displaystyle tan { frac {13 pi} {60}} = tan 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left [ left (2 - { sqrt {3 }} right) left (3 - { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 - { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }},правильно],}

{ displaystyle cot { frac {13 pi} {60}} = cot 39 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left [ left (2 + { sqrt {3 }} right) left (3 - { sqrt {5}} right) -2 right] left [2 + { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right) }},правильно],}

42 °: сумма 21 ° + 21 °

{ displaystyle sin { frac {7 pi} {30}} = sin 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {30 + 6 { sqrt {5}}}} - { sqrt {5}} + 1} {8}} ,}

{ displaystyle cos { frac {7 pi} {30}} = cos 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {15}} - { sqrt {3}} + { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}}} {8}} ,}

{ displaystyle tan { frac {7 pi} {30}} = tan 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}}} {2}} ,}

{ displaystyle cot { frac {7 pi} {30}} = cot 42 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {50-22 { sqrt {5}}}} + 3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}}} {2}} ,}

45 °: квадрат

{ displaystyle sin { frac { pi} {4}} = sin 45 ^ { circ} = { frac { sqrt {2}} {2}} = { frac {1} { sqrt {2}}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {4}} = cos 45 ^ { circ} = { frac { sqrt {2}} {2}} = { frac {1} { sqrt {2}}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {4}} = tan 45 ^ { circ} = 1 ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {4}} = cot 45 ^ { circ} = 1 ,}

54 °: сумма 27 ° + 27 °

{ displaystyle sin { frac {3 pi} {10}} = sin 54 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}} , !}

{ displaystyle cos { frac {3 pi} {10}} = cos 54 ^ { circ} = { frac { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} {4}} }

{ displaystyle tan { frac {3 pi} {10}} = tan 54 ^ { circ} = { frac { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} {5}} ,}

{ displaystyle cot { frac {3 pi} {10}} = cot 54 ^ { circ} = { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}} ,}

60 °: равносторонний треугольник

{ displaystyle sin { frac { pi} {3}} = sin 60 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {2}} ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3}} = cos 60 ^ { circ} = { frac {1} {2}} ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {3}} = tan 60 ^ { circ} = { sqrt {3}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {3}} = cot 60 ^ { circ} = { frac { sqrt {3}} {3}} = { frac {1} { sqrt {3}}} ,}

67,5 °: сумма 7,5 ° + 60 °

{ displaystyle sin { frac {3 pi} {8}} = sin 67,5 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2}} }} ,}

{ displaystyle cos { frac {3 pi} {8}} = cos 67,5 ^ { circ} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2}} }} ,}

{ displaystyle tan { frac {3 pi} {8}} = tan 67,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} + 1 ,}

{ displaystyle cot { frac {3 pi} {8}} = cot 67,5 ^ { circ} = { sqrt {2}} - 1 ,}

72 °: сумма 36 ° + 36 °

{ displaystyle sin { frac {2 pi} {5}} = sin 72 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} { sqrt {2 left (5 + { sqrt {5}} right)}} ,}

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {5}} = cos 72 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left ({ sqrt {5}} - 1 правильно),}

{ displaystyle tan { frac {2 pi} {5}} = tan 72 ^ { circ} = { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} ,}

{ displaystyle cot { frac {2 pi} {5}} = cot 72 ^ { circ} = { tfrac {1} {5}} { sqrt {5 left (5-2 { sqrt {5}} right)}} ,}

75 °: сумма 30 ° + 45 °

{ displaystyle sin { frac {5 pi} {12}} = sin 75 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) ,}

{ displaystyle cos { frac {5 pi} {12}} = cos 75 ^ { circ} = { tfrac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) ,}

{ displaystyle tan { frac {5 pi} {12}} = tan 75 ^ { circ} = 2 + { sqrt {3}} ,}

{ displaystyle cot { frac {5 pi} {12}} = cot 75 ^ { circ} = 2 - { sqrt {3}} ,}

90 °: основной

{ displaystyle sin { frac { pi} {2}} = sin 90 ^ { circ} = 1 ,}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2}} = cos 90 ^ { circ} = 0 ,}

{ displaystyle tan { frac { pi} {2}} = tan 90 ^ { circ} { text {is undefined}} ,}

{ displaystyle cot { frac { pi} {2}} = cot 90 ^ { circ} = 0 ,}

Список тригонометрических констант 2π / n

Для кубические корни из нереальных чисел, которые появляются в этой таблице, нужно взять основная стоимость, то есть кубический корень с наибольшей действительной частью; эта самая большая действительная часть всегда положительна. Следовательно, все суммы кубических корней, представленные в таблице, являются положительными действительными числами.

${ displaystyle { begin {array} {r | l | l | l} n & sin left ({ frac {2 pi} {n}} right) & cos left ({ frac {2 pi} {n}} right) & tan left ({ frac {2 pi} {n}} right) hline 1 & 0 & 1 & 0 hline 2 & 0 & -1 & 0 hline 3 & { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & - { frac {1} {2}} & - { sqrt {3}} hline 4 & 1 & 0 & pm infty hline 5 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt { 5}} - 1 right) & { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} hline 6 & { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & { frac {1} {2}} & { sqrt {3}} hline 7 && { frac {1} {6}} left (-1 + { sqrt [{3}] { frac {7 +21 { sqrt {-3}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {7-21 { sqrt {-3}}} {2}}} right) и hline 8 & { frac {1} {2}} { sqrt {2}} & { frac {1} {2}} { sqrt {2}} & 1 hline 9 & { frac { i} {2}} left ({ sqrt [{3}] { frac {-1 - { sqrt {-3}}} {2}}} - { sqrt [{3}] { frac {-1 + { sqrt {-3}}} {2}}} right) & { frac {1} {2}} left ({ sqrt [{3}] { frac {-1+ { sqrt {-3}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {-1 - { sqrt {-3}}} {2}}} right) & hline 10 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {5}} + 1 right) & { sqrt {5 -2 { sqrt {5}}}} hline 11 &&& hline 12 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & { frac {1} {3}} { sqrt {3}} hline 13 && { frac {1} {12}} left ({ sqrt [{3}] {104-20 { sqrt {13}} + 12 { sqrt {-39}}}} + { sqrt [{3}] {104-20 { sqrt {13}} - 12 { sqrt {-39}}}} + { sqrt {13}} - 1 right) & hline 14 & { frac {1} {24}} { sqrt {3 left (112 - { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} - { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192}}}} right)}} и { frac {1} {24}} { sqrt { 3 left (80 + { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} + { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192}}}} right)}} & { sqrt { frac {112 - { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}}} - { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192}}}}} {80 + { sqrt [{3}] {14336 + { sqrt {-5549064192}}}} + { sqrt [{3}] {14336 - { sqrt {-5549064192 }}}}}}} hline 15 & { frac {1} {8}} left ({ sqrt {15}} + { sqrt {3}} - { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} right) и { frac {1} {8}} left (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {30-6 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {2}} left (-3 { sqrt {3}} - { sqrt {15}} + { sqrt {50 + 22 { sqrt {5}}} } right) hline 16 & { frac {1} {2}} left ({ sqrt {2 - { sqrt {2}}}} right) & { frac {1} {2}} left ({ sqrt {2 + { sqrt {2}}}} right) & { sqrt {2}} -1 hline 17 & { frac {1} {4}} { sqrt {8 - { sqrt {2 left (15 + { sqrt {17}} + { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}} - 2 { sqrt {17 + 3 { sqrt {17}} - { sqrt {170 + 38 { sqrt {17}}}}}} right)}}}} и { frac {1} {16}} left (-1 + { sqrt {17}} + { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}} + 2 { sqrt {17 + 3 { sqrt {17}} - { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}} - 2 { sqrt {34 + 2 { sqrt {17}}}}}} right) & hline 18 & { frac {i} {4}} left ({ sqrt [{3}] {4-4 { sqrt {-3}}}} - { sqrt [{3}] {4 + 4 { sqrt {-3}}}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt [{3}] {4 + 4 { sqrt {-3}}}} + { sqrt [{3}] {4-4 { sqrt {-3}}}} right) & hline 20 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {5} } -1 right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} right) & { frac {1} {5}} left ({ sqrt {25-10 { sqrt {5}}}} right) hline 24 & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} - { sqrt {2}} right) & { frac {1} {4}} left ({ sqrt {6}} + { sqrt {2}} right) & 2 - { sqrt {3}} конец {массив}}}$

Заметки

Использование констант

В качестве примера использования этих констант рассмотрим объем правильный додекаэдр, где а длина ребра:

{ displaystyle V = { frac {5a ^ {3} cos 36 ^ { circ}} { tan ^ {2} {36 ^ { circ}}}}}.}

С помощью

{ displaystyle cos 36 ^ { circ} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}}, ,}

{ displaystyle tan 36 ^ { circ} = { sqrt {5-2 { sqrt {5}}}}, ,}

это можно упростить до:

{ displaystyle V = { frac {a ^ {3} left (15 + 7 { sqrt {5}} right)} {4}}. ,}

Деривационные треугольники

Правильный многоугольник (п-сторонний) и его основной прямоугольный треугольник. Углы: а = 180°/п и б =90(1 − 2/п)°

Вывод постоянных синуса, косинуса и тангенса в радиальную форму основан на конструктивность прямоугольных треугольников.

Здесь прямоугольные треугольники, составленные из участков симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. Каждый прямоугольный треугольник представляет три точки в правильном многоугольнике: вершину, центр края, содержащего эту вершину, и центр многоугольника. An п-гон можно разделить на 2п прямоугольные треугольники с углами 180/п, 90 − 180/п, 90 градусов, для п через 3, 4, 5,…

Основой является конструктивность 3-, 4-, 5- и 15-сторонних многоугольников, а биссектрисы углов также позволяют получить значения, кратные двум.

Конструируемый
- 3 × 2^п-сторонние правильные многоугольники, для п = 0, 1, 2, 3, ...
  - Треугольник 30 ° -60 ° -90 °: треугольник (3-х сторонний)
  - Треугольник 60 ° -30 ° -90 °: шестиугольник (6-сторонний)
  - Треугольник 75 ° -15 ° -90 °: двенадцатигранник (12-сторонний)
  - Треугольник 82,5 ° -7,5 ° -90 °: икоситетракон (24-сторонний)
  - 86,25 ° -3,75 ° -90 ° треугольник: тетраконтаоктагон (48-сторонний)
  - 88,125 ° -1,875 ° -90 ° треугольник: эннаконтагексагон (96-сторонний)
  - 89,0625 ° -0,9375 ° -90 ° треугольник: 192-угольник
  - 89,53125 ° -0,46875 ° -90 ° треугольник: 384-угольник
  - ...
- 4 × 2^п-сторонний
  - Треугольник 45 ° -45 ° -90 °: квадрат (4-х сторонний)
  - Треугольник 67,5 ° -22,5 ° -90 °: восьмиугольник (8-сторонний)
  - 78,75 ° -11,25 ° -90 ° треугольник: шестиугольник (16-сторонний)
  - Треугольник 84,375 ° -5,625 ° -90 °: триаконтадигон (32-сторонний)
  - 87,1875 ° -2,8125 ° -90 ° треугольник: гексаконатрагон (64-сторонний)
  - 88.09375 ° -1.40625 ° -90 ° треугольник: 128-угольник
  - 89,046875 ° -0,703125 ° -90 ° треугольник: 256-угольник
  - ...
- 5 × 2^п-сторонний
  - Треугольник 54 ° -36 ° -90 °: пятиугольник (5-сторонний)
  - Треугольник 72 ° -18 ° -90 °: десятиугольник (10-сторонний)
  - Треугольник 81 ° -9 ° -90 °: икосагон (20-сторонний)
  - Треугольник 85,5 ° -4,5 ° -90 °: тетраконтагон (40 сторон)
  - Треугольник 87,75 ° -2,25 ° -90 °: восьмиугольник (80-сторонний)
  - 88,875 ° -1,125 ° -90 ° треугольник: 160-угольник
  - 89,4375 ° -0,5625 ° -90 ° треугольник: 320-угольник
  - ...
- 15 × 2^п-сторонний
  - Треугольник 78 ° -12 ° -90 °: пятиугольник (15 сторон)
  - Треугольник 84 ° -6 ° -90 °: триаконтагон (30 сторон)
  - Треугольник 87 ° -3 ° -90 °: шестиугольник (60-сторонний)
  - Треугольник 88,5 ° -1,5 ° -90 °: гекатоникосагон (120-сторонний)
  - 89,25 ° -0,75 ° -90 ° треугольник: 240-угольник
- ...

Есть также более высокие конструктивные правильные многоугольники: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537, 69481, 73697, ..., 4294967295.)

Неконструируемый (с целыми углами или углами в половину градуса). Никакие конечные радикальные выражения с действительными числами для этих соотношений сторон треугольника невозможны, поэтому их кратные двум также невозможны.
- 9 × 2^п-сторонний
  - Треугольник 70 ° -20 ° -90 °: девятиугольник (9-сторонний)
  - Треугольник 80 ° -10 ° -90 °: восьмиугольник (18 сторон)
  - Треугольник 85 ° -5 ° -90 °: триаконтагексагон (36 сторон)
  - Треугольник 87,5 ° -2,5 ° -90 °: гептаконтадигон (72-гранный)
  - ...
- 45 × 2^п-сторонний
  - Треугольник 86 ° -4 ° -90 °: тетраконтапентагон (45-гранный)
  - Треугольник 88 ° -2 ° -90 °: эннаконтагон (90 сторон)
  - Треугольник 89 ° -1 ° -90 °: 180-угольник
  - Треугольник 89,5 ° -0,5 ° -90 °: 360-угольник
  - ...

Расчетные тригонометрические значения синуса и косинуса

Тривиальные ценности

В градусном формате sin и cos 0, 30, 45, 60 и 90 могут быть вычислены из их прямоугольных треугольников, используя теорему Пифагора.

В радианах sin и cos $π$ / 2^п можно выразить в радикальном формате, рекурсивно применяя следующее:

{ displaystyle 2 cos theta = { sqrt {2 + 2 cos 2 theta}} = { sqrt {2 + { sqrt {2 + 2 cos 4 theta}}}} = { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + 2 cos 8 theta}}}}}}}

и так далее.

{ displaystyle 2 sin theta = { sqrt {2-2 cos 2 theta}} = { sqrt {2 - { sqrt {2 + 2 cos 4 theta}}}} = { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + 2 cos 8 theta}}}}}}}

и так далее.

Например:

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {1}}} = { frac {0} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + 0}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2-0}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2} }}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2} }}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}) }}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} }}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {2 ^ {6}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + {}) sqrt {2}}}}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {2 ^ {6}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + {}) sqrt {2}}}}}}}}}} {2}}}

и так далее.

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(3 × 2^п)

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {3}} = { frac {-1} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2-1}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2 + 1}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 times 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2 + 1}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 times 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2-1}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 times 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {3}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 times 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {3}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 times 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 times 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {3}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 times 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3)) }}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 times 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {3)) }}}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {3 times 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}) + { sqrt {3}}}}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {3 times 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2)) + { sqrt {3}}}}}}}}}} {2}}}

и так далее.

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(5 × 2^п)

{ displaystyle cos { frac {2 pi} {5}} = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 times 2 ^ {0}}} = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}}}

( Следовательно

{ displaystyle 2 + 2 cos { frac { pi} {5}} = 2 + { sqrt {1,25}} + 0,5}

)

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 times 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2.5 + { sqrt {1.25}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 times 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {1.5 - { sqrt {1.25}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 times 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2,5 + { sqrt {1.25}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 times 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2,5 + { sqrt {1.25}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 times 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2.5 + { sqrt {1.25) }}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 times 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2,5 + { sqrt {1,25) }}}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 times 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2.5}) + { sqrt {1.25}}}}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 times 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2.5)) + { sqrt {1.25}}}}}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {5 times 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2)) + { sqrt {2.5 + { sqrt {1.25}}}}}}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {5 times 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2)) + { sqrt {2.5 + { sqrt {1.25}}}}}}}}}}}} {2}}}

и так далее.

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(5 × 3 × 2^п)

{ displaystyle cos { frac { pi} {15 times 2 ^ {0}}} = { frac {{ sqrt {{ sqrt {0.703125}} + 1.875}} + { sqrt {0.3125}) } -0,25} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15 times 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {{ sqrt {{ sqrt {0,703125}} + 1,875}} + { sqrt {0,3125}} + 1,75}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {15 times 2 ^ {1}}} = { frac { sqrt {2.25 - { sqrt {{ sqrt {0.703125}} + 1.875}} - { sqrt {0.3125}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15 times 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {{ sqrt {{ sqrt {0,703125}}} + 1,875 }} + { sqrt {0.3125}} + 1.75}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {15 times 2 ^ {2}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {{ sqrt {{ sqrt { sqrt {0,703125}}} + 1,875) }} + { sqrt {0.3125}} + 1.75}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15 times 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {{ sqrt {{ sqrt) {0,703125}} + 1,875}} + { sqrt {0,3125}} + 1,75}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {15 times 2 ^ {3}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {{ sqrt {{ sqrt) {0,703125}} + 1,875}} + { sqrt {0,3125}} + 1,75}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15 times 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {{)} sqrt {{ sqrt {0.703125}} + 1.875}} + { sqrt {0.3125}} + 1.75}}}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {15 times 2 ^ {4}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {{) sqrt {{ sqrt {0.703125}} + 1.875}} + { sqrt {0.3125}} + 1.75}}}}}}}}} {2}}}

{ displaystyle cos { frac { pi} {15 times 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2)) + { sqrt {{ sqrt {{ sqrt {0.703125}} + 1.875}} + { sqrt {0.3125}} + 1.75}}}}}}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {15 times 2 ^ {5}}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2) + { sqrt {{ sqrt {{ sqrt {0.703125}} + 1.875}} + { sqrt {0.3125}} + 1.75}}}}}}}}}} {2}}}

и так далее.

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(17 × 2^п)

Если ${ displaystyle M = 2 (17 + { sqrt {17}})}$ и ${ displaystyle N = 2 (17 - { sqrt {17}})}$ тогда

{ displaystyle cos { frac { pi} {17}} = { frac { sqrt {M-4 + 2 ({ sqrt {N}} + { sqrt {2 (2M-N + { sqrt {17N}} - { sqrt {N}} - 8 { sqrt {M}})}})}} {8}}.}

Следовательно, применяя индукцию:

{ displaystyle cos { frac { pi} {17 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {30 + 2 { sqrt {17}} + { sqrt {136-8 { sqrt {17}}}} + { sqrt {272 + 48 { sqrt {17}} + 8 { sqrt {34-2 { sqrt {17}}}}} times ({ sqrt {17} } -1) -64 { sqrt {34 + 2 { sqrt {17}}}}}}}}} {8}};}

{ displaystyle cos { frac { pi} {17 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos { frac { pi} {17 times 2) ^ {n}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {17 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2-2 cos { frac { pi} {17 times 2) ^ {n}}}}} {2}}.}

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(257 × 2^п) и $π$ /(65537 × 2^п)

Вышеупомянутая индукция может быть применена таким же образом ко всем остальным Простые числа Ферма (F₃=2^2³+1=2⁸+1=257 и F₄=2^2⁴+1=2¹⁶+1=65537), факторы $π$ чьи радикальные выражения cos и sin известны, но их здесь очень много.

{ displaystyle cos { frac { pi} {257 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos { frac { pi} {257 times 2) ^ {n}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {257 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2-2 cos { frac { pi} {257 times 2) ^ {n}}}}} {2}};}

{ displaystyle cos { frac { pi} {65537 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos { frac { pi} {65537 times 2) ^ {n}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {65537 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2-2 cos { frac { pi} {65537 times 2 ^ {n}}}}} {2}}.}

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(255 × 2^п), $π$ /(65535 × 2^п) и $π$ /(4294967295 × 2^п)

D = 2³² - 1 = 4 294 967 295 - самый большой странный целочисленный знаменатель, для которого образуется радикал sin ( $π$ / D) и cos ( $π$ / D) известны.

Используя значения радикальной формы из приведенных выше разделов и применяя cos (A-B) = cosA cosB + sinA sinB, с последующей индукцией, мы получаем -

{ displaystyle cos { frac { pi} {255 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos ({ frac { pi} {15}} - { frac { pi} {17}})}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {255 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2-2 cos ({ frac { pi} {15}} - { frac { pi} {17}})}} {2}};}

{ displaystyle cos { frac { pi} {255 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos { frac { pi} {255 times 2) ^ {n}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {255 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2-2 cos { frac { pi} {255 times 2) ^ {n}}}}} {2}};}

Следовательно, используя значения радикальной формы из разделов выше и применяя cos (A-B) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -

{ displaystyle cos { frac { pi} {65535 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos ({ frac { pi} {255}} - { frac { pi} {257}})}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {65535 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2-2 cos ({ frac { pi} {255}} - { frac { pi} {257}})}} {2}};}

{ displaystyle cos { frac { pi} {65535 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos { frac { pi} {65535 times 2) ^ {n}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {65535 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2-2 cos { frac { pi} {65535 times 2 ^ {n}}}}} {2}}.}

Наконец, используя значения радикальной формы из приведенных выше разделов и применяя cos (A-B) = cosA cosB + sinA sinB, с последующей индукцией, мы получаем -

{ displaystyle cos { frac { pi} {4294967295 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos ({ frac { pi} {65535}}} - { frac { pi} {65537}})}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {4294967295 times 2 ^ {0}}} = { frac { sqrt {2-2 cos ({ frac { pi} {65535}} - { frac { pi} {65537}})}} {2}};}

{ displaystyle cos { frac { pi} {4294967295 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2 + 2 cos { frac { pi} {4294967295 times 2) ^ {n}}}}} {2}}}

и

{ displaystyle sin { frac { pi} {4294967295 times 2 ^ {n + 1}}} = { frac { sqrt {2-2 cos { frac { pi} {4294967295 times 2 ^ {n}}}}} {2}}.}

Расширение радикальной формы вышеупомянутого очень велико, поэтому выражено в более простой форме выше.

п × $π$ /(5 × 2^м)

Хорда (36 °) = а/б = 1/φ, т.е. обратная величина Золотое сечение, от Теорема Птолемея

Геометрический метод

Применение Теорема Птолемея к циклический четырехугольник ABCD, определяемый четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, мы можем найти, что:

{ displaystyle operatorname {crd} 36 ^ { circ} = operatorname {crd} ( angle mathrm {ADB}) = { frac {a} {b}} = { frac {2} {1+ { sqrt {5}}}} = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}}}

что является обратным 1/φ из Золотое сечение. crd это аккорд функция

{ displaystyle operatorname {crd} { theta} = 2 sin { frac { theta} {2}}. ,}

(Смотрите также Таблица аккордов Птолемея.)

Таким образом

{ displaystyle sin 18 ^ { circ} = { frac {1} {1 + { sqrt {5}}}} = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}}. }

(В качестве альтернативы, не используя теорему Птолемея, обозначьте как X пересечение AC и BD и отметьте, рассматривая углы, что треугольник AXB равнобедренный, поэтому AX = AB =а. Треугольники AXD и CXB - это аналогичный, потому что AD параллельна BC. Итак, XC =а·(а/б). Но AX + XC = AC, поэтому а + а²/б = б. Решение этого дает а/б = 1/φ, как указано выше).

так же

{ displaystyle operatorname {crd} 108 ^ { circ} = operatorname {crd} ( angle mathrm {ABC}) = { frac {b} {a}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}},}

так

{ displaystyle sin 54 ^ { circ} = cos 36 ^ { circ} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {4}}.}

Алгебраический метод

Если θ равно 18 ° или -54 °, тогда 2θ и 3θ в сумме дают 5θ = 90 ° или -270 °, поэтому sin 2θ равен cos 3θ.

{ displaystyle (2 sin theta) cos theta = sin 2 theta = cos 3 theta = 4 cos ^ {3} theta -3 cos theta = (4 cos ^ {2 } theta -3) cos theta = (1-4 sin ^ {2} theta) cos theta}

Так,

{ Displaystyle 4 грех ^ {2} тета +2 грех тета -1 = 0}

, что означает

{ displaystyle sin theta = sin (18 ^ { circ}, - 54 ^ { circ}) = { frac {-1 pm { sqrt {5}}} {4}}.}

Следовательно,

{ displaystyle sin (18 ^ { circ}) = cos (72 ^ { circ}) = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}}}

и

{ displaystyle sin (54 ^ { circ}) = cos (36 ^ { circ}) = { frac {{ sqrt {5}} + 1} {4}}}

и

{ displaystyle sin (36 ^ { circ}) = cos (54 ^ { circ}) = { frac { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} {4}}}

и

{ displaystyle sin (72 ^ { circ}) = cos (18 ^ { circ}) = { frac { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} {4}}.}

Альтернативно, многоугловые формулы для функций 5Икс, где Икс ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5Икс ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, можно решить для функций Икс, поскольку мы знаем значения функции 5Икс. Формулы для нескольких углов:

{ Displaystyle грех 5x = 16 грех ^ {5} х-20 грех ^ {3} х + 5 грех х, ,}

{ Displaystyle соз 5x = 16 соз ^ {5} х-20 соз ^ {3} х + 5 соз х. ,}

Когда грех 5Икс = 0 или cos 5Икс = 0, положим y = грехИкс или y = cos x и решаем относительно y:

{ displaystyle 16y ^ {5} -20y ^ {3} + 5y = 0. ,}

Одно решение равно нулю, и полученный уравнение четвертой степени может быть решена как квадратичная по y².

Когда грех 5Икс = 1 или cos 5Икс = 1, снова положим y = грехИкс или y = cos x и решаем относительно y:

{ displaystyle 16y ^ {5} -20y ^ {3} + 5y-1 = 0, ,}

что влияет на:

{ Displaystyle (y-1) влево (4y ^ {2} + 2y-1 right) ^ {2} = 0. ,}

п × $π$ /20

9 ° - это 45 - 36, а 27 ° - это 45 - 18; поэтому мы используем формулы вычитания синуса и косинуса.

п × $π$ /30

6 ° - это 36-30, 12 ° - это 30-18, 24 ° - это 54-30, и 42 ° - это 60-18; поэтому мы используем формулы вычитания для синуса и косинуса.

п × $π$ /60

3 ° - это 18-15, 21 ° - это 36-15, 33 ° - это 18 + 15, а 39 ° - это 54-15, поэтому мы используем формулы вычитания (или сложения) для синуса и косинуса.

Стратегии упрощения выражений

Рационализация знаменателя

Если знаменатель представляет собой квадратный корень, умножьте числитель и знаменатель на этот радикал.

Если знаменатель представляет собой сумму или разность двух членов, умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. Сопряжение идентично, за исключением изменения знака между членами.

Иногда нужно несколько раз рационализировать знаменатель.

Разделение дроби на две части

Иногда помогает разбить дробь на сумму двух дробей, а затем упростить обе по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Этот план может помочь, если есть сложный термин, в котором есть только один вид радикалов. Возведите термин в квадрат, объедините похожие термины и извлеките квадратный корень. Это может оставить большой радикал с меньшим радикалом внутри, но часто он лучше, чем оригинал.

Упрощение вложенных радикальных выражений

В общем случае вложенные радикалы не могут быть уменьшены. Но если

{ displaystyle { sqrt {a pm b { sqrt {c}}}} ,}

с участием а, б, и c рационально, у нас есть

{ Displaystyle R = { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} c}} ,}

рационально, то оба

{ displaystyle d = { frac {a + R} {2}} { text {and}} e = { frac {a-R} {2}} ,}

рациональны; тогда у нас есть

{ displaystyle { sqrt {a pm b { sqrt {c}}}} = { sqrt {d}} pm { sqrt {e}}. ,}

Например,

{ displaystyle 4 sin 18 ^ { circ} = { sqrt {6-2 { sqrt {5}}}} = { sqrt {5}} - 1. ,}

{ displaystyle 4 sin 15 ^ { circ} = 2 { sqrt {2 - { sqrt {3}}}} = { sqrt {2}} left ({ sqrt {3}} - 1 правильно).}

Смотрите также

Конструируемый многоугольник, для которого косинус или синус каждого угла имеет точное выражение в квадратных корнях
Гептадекагональная конструкция, что дает точное выражение для cos2 $π$ /17
Список тригонометрических тождеств
Теорема Нивена о рациональных значениях синуса рационального кратного $π$
Таблица аккордов Птолемея
Тригонометрические функции
Тригонометрическое число, значение тригонометрической функции рационального кратного $π$
Единицы измерения угла

использованная литература

^ ^а ^б Брэди, Брайан (сентябрь 2002 г.). «Точные значения синуса и косинуса, кратных 18 °: геометрический подход». Математический журнал колледжа. 33 (4): 318–319. Дои:10.2307/1559057. JSTOR 1559057.

Вайсштейн, Эрик В. «Конструируемый многоугольник». MathWorld.

Вайсштейн, Эрик В. «Углы тригонометрии». MathWorld.

$π$ /3 (60°) — $π$ /6 (30°) — $π$ /12 (15°) — $π$ /24 (7.5°)
$π$ /4 (45°) — $π$ /8 (22.5°) — $π$ /16 (11.25°) — $π$ /32 (5.625°)
$π$ /5 (36°) — $π$ /10 (18°) — $π$ /20 (9°)
$π$ /7 — $π$ /14
$π$ /9 (20°) — $π$ /18 (10°)
$π$ /11
$π$ /13
$π$ /15 (12°) — $π$ /30 (6°)
$π$ /17
$π$ /19
$π$ /23

Бракен, Пол; Чижек, Иржи (2002). "Оценка сумм квантово-механических возмущений в терминах квадратичных сурдов и их использование в приближении ζ(3)/ $π$ ³". Int. J. Quantum Chem.. 90 (1): 42–53. Дои:10.1002 / qua.1803.
Конвей, Джон Х .; Радин, Чарльз; Садун, Лоренцо (1999). «Об углах, квадраты тригонометрических функций которых рациональны». Диск. И комп. Geom. 22 (3): 321–332. arXiv:math-ph / 9812019. Дои:10.1007 / PL00009463. Г-Н 1706614.
Гирстмэр, Курт (1997). «Некоторые линейные отношения между значениями тригонометрических функций при k $π$ /п". Acta Arithmetica. 81 (4): 387–398. Дои:10.4064 / aa-81-4-387-398. Г-Н 1472818.
Гурак, С. (2006). «О минимальном полиноме от периодов Гаусса для простых степеней». Математика вычислений. 75 (256): 2021–2035. Bibcode:2006MaCom..75.2021G. Дои:10.1090 / S0025-5718-06-01885-0. Г-Н 2240647.
Серви, Л. Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Амер. Математика. Ежемесячно. 110 (4): 326–330. Дои:10.2307/3647881. JSTOR 3647881. Г-Н 1984573.

внешние ссылки

Конструируемые правильные многоугольники
Именование полигонов
Синус и косинус в сурдах в некоторых случаях включает альтернативные выражения, а также выражения для некоторых других углов

[Bradie-1] а ^б Брэди, Брайан (сентябрь 2002 г.). «Точные значения синуса и косинуса, кратных 18 °: геометрический подход». Математический журнал колледжа. 33 (4): 318–319. Дои:10.2307/1559057. JSTOR 1559057.

[1]

Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах - Trigonometric constants expressed in real radicals

Сфера применения этой статьи

Дальнейшие углы

0 °: основной

1,5 °: правильный гекатоникосагон (многоугольник со 120 сторонами)

1.875 °: правильный эннаконтагексагон (96-сторонний многоугольник)

2.25 °: правильный восьмиугольник (80-сторонний многоугольник)

2,8125 °: правильный гексаконатетрагон (64-сторонний многоугольник)

3 °: правильный шестиугольник (многоугольник с 60 сторонами)

3.75 °: правильный четырехугольник (48-сторонний многоугольник)

4.5 °: правильный четырехугольник (40-сторонний многоугольник)

5.625 °: обычный триаконтадигон (32-сторонний многоугольник)

6 °: правильный триаконтагон (30-сторонний многоугольник)

7,5 °: правильный икоситетракон (24-сторонний многоугольник)

9 °: правильный икосугольник (20-сторонний многоугольник)

11,25 °: правильный шестиугольник (16-сторонний многоугольник)

12 °: правильный пятиугольник (15-сторонний многоугольник)

15 °: правильный двенадцатигранник (12-сторонний многоугольник)

18 °: правильный десятиугольник (10-сторонний многоугольник)[1]

21 °: сумма 9 ° + 12 °

22,5 °: правильный восьмиугольник

24 °: сумма 12 ° + 12 °

27 °: сумма 12 ° + 15 °

30 °: правильный шестиугольник

33 °: сумма 15 ° + 18 °

36 °: правильный пятиугольник

39 °: сумма 18 ° + 21 °

42 °: сумма 21 ° + 21 °

45 °: квадрат

54 °: сумма 27 ° + 27 °

60 °: равносторонний треугольник

67,5 °: сумма 7,5 ° + 60 °

72 °: сумма 36 ° + 36 °

75 °: сумма 30 ° + 45 °

90 °: основной

Список тригонометрических констант 2π / n

Заметки

Использование констант

Деривационные треугольники

Расчетные тригонометрические значения синуса и косинуса

Тривиальные ценности

Радикальная форма, грех и соз π/(3 × 2п)

Радикальная форма, грех и соз π/(5 × 2п)

Радикальная форма, грех и соз π/(5 × 3 × 2п)

Радикальная форма, грех и соз π/(17 × 2п)

Радикальная форма, грех и соз π/(257 × 2п) и π/(65537 × 2п)

Радикальная форма, грех и соз π/(255 × 2п), π/(65535 × 2п) и π/(4294967295 × 2п)

п × π/(5 × 2м)

Геометрический метод

Алгебраический метод

п × π/20

п × π/30

п × π/60

Стратегии упрощения выражений

Рационализация знаменателя

Разделение дроби на две части

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Упрощение вложенных радикальных выражений

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

18 °: правильный десятиугольник (10-сторонний многоугольник)^[1]

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(3 × 2^п)

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(5 × 2^п)

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(5 × 3 × 2^п)

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(17 × 2^п)

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(257 × 2^п) и $π$ /(65537 × 2^п)

Радикальная форма, грех и соз $π$ /(255 × 2^п), $π$ /(65535 × 2^п) и $π$ /(4294967295 × 2^п)

п × $π$ /(5 × 2^м)

п × $π$ /20

п × $π$ /30

п × $π$ /60