Список интегралов обратных тригонометрических функций - List of integrals of inverse trigonometric functions

Тригонометрия
Контур История использование Функции  (обратный ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  (обратные функции ) Производные

Ниже приводится список неопределенные интегралы (первообразные ) выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. Полный список интегральных формул см. списки интегралов.

• Обратные тригонометрические функции также известны как «дуговые функции».
• C используется для произвольного постоянная интеграции это может быть определено только в том случае, если что-то известно о значении интеграла в какой-то момент. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразных.
• Существует три общих обозначения обратных тригонометрических функций. Например, функцию арксинуса можно было бы записать как грех⁻¹, как в, или, как используется на этой странице, Arcsin.
• Для каждой формулы обратного тригонометрического интегрирования ниже есть соответствующая формула в список интегралов обратных гиперболических функций.

Формулы интегрирования функции арксинуса

${ displaystyle int arcsin (x) , dx = x arcsin (x) + { sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

${ displaystyle int arcsin (ax) , dx = x arcsin (ax) + { frac { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} {a}} + C}$

${ displaystyle int x arcsin (ax) , dx = { frac {x ^ {2} arcsin (ax)} {2}} - { frac { arcsin (ax)} {4 , a ^ {2}}} + { frac {x { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {4 , a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} arcsin (ax) , dx = { frac {x ^ {3} arcsin (ax)} {3}} + { frac { left (a ^ {2 } x ^ {2} +2 right) { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {9 , a ^ {3}}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {m} arcsin (ax) , dx = { frac {x ^ {m + 1} arcsin (ax)} {m + 1}} , - , { frac {a} {m + 1}} int { frac {x ^ {m + 1}} { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} , dx quad (m neq -1)}$

${ displaystyle int arcsin (ax) ^ {2} , dx = -2x + x arcsin (ax) ^ {2} + { frac {2 { sqrt {1-a ^ {2} x ^) {2}}} arcsin (ax)} {a}} + C}$

${ displaystyle int arcsin (ax) ^ {n} , dx = x arcsin (ax) ^ {n} , + , { frac {n { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} arcsin (ax) ^ {n-1}} {a}} , - , n , (n-1) int arcsin (ax) ^ {n-2} , dx}$

${ displaystyle int arcsin (ax) ^ {n} , dx = { frac {x arcsin (ax) ^ {n + 2}} {(n + 1) , (n + 2)}} , + , { frac {{ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} arcsin (ax) ^ {n + 1}} {a , (n + 1)}} , - , { frac {1} {(n + 1) , (n + 2)}} int arcsin (ax) ^ {n + 2} , dx quad (n neq -1 , -2)}$

Формулы интегрирования функции арккосинуса

${ displaystyle int arccos (x) , dx = x arccos (x) - { sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

${ displaystyle int arccos (ax) , dx = x arccos (ax) - { frac { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} {a}} + C}$

${ displaystyle int x arccos (ax) , dx = { frac {x ^ {2} arccos (ax)} {2}} - { frac { arccos (ax)} {4 , a ^ {2}}} - { frac {x { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {4 , a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} arccos (ax) , dx = { frac {x ^ {3} arccos (ax)} {3}} - { frac { left (a ^ {2 } x ^ {2} +2 right) { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} {9 , a ^ {3}}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {m} arccos (ax) , dx = { frac {x ^ {m + 1} arccos (ax)} {m + 1}} , + , { frac {a} {m + 1}} int { frac {x ^ {m + 1}} { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}}} , dx quad (m neq -1)}$

${ displaystyle int arccos (ax) ^ {2} , dx = -2x + x arccos (ax) ^ {2} - { frac {2 { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} arccos (ax)} {a}} + C}$

${ displaystyle int arccos (ax) ^ {n} , dx = x arccos (ax) ^ {n} , - , { frac {n { sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} arccos (ax) ^ {n-1}} {a}} , - , n , (n-1) int arccos (ax) ^ {n-2} , dx}$

${ displaystyle int arccos (ax) ^ {n} , dx = { frac {x arccos (ax) ^ {n + 2}} {(n + 1) , (n + 2)}} , - , { frac {{ sqrt {1-a ^ {2} x ^ {2}}} arccos (ax) ^ {n + 1}} {a , (n + 1)}} , - , { frac {1} {(n + 1) , (n + 2)}} int arccos (ax) ^ {n + 2} , dx quad (n neq -1 , -2)}$

Формулы интегрирования функции арктангенса

${ displaystyle int arctan (x) , dx = x arctan (x) - { frac { ln left (x ^ {2} +1 right)} {2}} + C}$

${ displaystyle int arctan (ax) , dx = x arctan (ax) - { frac { ln left (a ^ {2} x ^ {2} +1 right)} {2 , a}} + C}$

${ displaystyle int x arctan (ax) , dx = { frac {x ^ {2} arctan (ax)} {2}} + { frac { arctan (ax)} {2 , a ^ {2}}} - { frac {x} {2 , a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} arctan (ax) , dx = { frac {x ^ {3} arctan (ax)} {3}} + { frac { ln left (a ^ {2} x ^ {2} +1 right)} {6 , a ^ {3}}} - { frac {x ^ {2}} {6 , a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {m} arctan (ax) , dx = { frac {x ^ {m + 1} arctan (ax)} {m + 1}} - { frac {a} { m + 1}} int { frac {x ^ {m + 1}} {a ^ {2} x ^ {2} +1}} , dx quad (m neq -1)}$

Формулы интегрирования функции арккотангенса

${ displaystyle int operatorname {arccot} (x) , dx = x operatorname {arccot} (x) + { frac { ln left (x ^ {2} +1 right)} {2} } + C}$

${ displaystyle int operatorname {arccot} (ax) , dx = x operatorname {arccot} (ax) + { frac { ln left (a ^ {2} x ^ {2} +1 right )} {2 , a}} + C}$

${ displaystyle int x operatorname {arccot} (ax) , dx = { frac {x ^ {2} operatorname {arccot} (ax)} {2}} + { frac { operatorname {arccot} (ax)} {2 , a ^ {2}}} + { frac {x} {2 , a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} operatorname {arccot} (ax) , dx = { frac {x ^ {3} operatorname {arccot} (ax)} {3}} - { frac { ln left (a ^ {2} x ^ {2} +1 right)} {6 , a ^ {3}}} + { frac {x ^ {2}} {6 , a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {m} operatorname {arccot} (ax) , dx = { frac {x ^ {m + 1} operatorname {arccot} (ax)} {m + 1}} + { frac {a} {m + 1}} int { frac {x ^ {m + 1}} {a ^ {2} x ^ {2} +1}} , dx quad (m neq - 1)}$

Формулы интегрирования функции Arcsecant

${ displaystyle int operatorname {arcsec} (x) , dx = x operatorname {arcsec} (x) , - , ln left ( left | x right | + { sqrt {x ^) {2} -1}} right) , + , C = x operatorname {arcsec} (x) - operatorname {arcosh} | x | + C}$

${ displaystyle int operatorname {arcsec} (ax) , dx = x operatorname {arcsec} (ax) - { frac {1} {a}} , operatorname {arcosh} | ax | + C}$

${ displaystyle int x operatorname {arcsec} (ax) , dx = { frac {x ^ {2} operatorname {arcsec} (ax)} {2}} - { frac {x} {2 , a}} { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} operatorname {arcsec} (ax) , dx = { frac {x ^ {3} operatorname {arcsec} (ax)} {3}} , - , { frac { operatorname {arcosh} | ax |} {6 , a ^ {3}}} , - , { frac {x ^ {2}} {6 , a}} { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} , + , C}$

${ displaystyle int x ^ {m} operatorname {arcsec} (ax) , dx = { frac {x ^ {m + 1} operatorname {arcsec} (ax)} {m + 1}} , - , { frac {1} {a , (m + 1)}} int { frac {x ^ {m-1}} { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ { 2} x ^ {2}}}}}} , dx quad (m neq -1)}$

Формулы интегрирования функции арккосеканса

${ displaystyle int operatorname {arccsc} (x) , dx = x operatorname {arccsc} (x) , + , ln left ( left | x right | + { sqrt {x ^) {2} -1}} right) , + , C = x operatorname {arccsc} (x) , + , operatorname {arcosh} | x | , + , C}$

${ displaystyle int operatorname {arccsc} (ax) , dx = x operatorname {arccsc} (ax) + { frac {1} {a}} , operatorname {arctanh} , { sqrt { 1 - { frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} + C}$

${ displaystyle int x operatorname {arccsc} (ax) , dx = { frac {x ^ {2} operatorname {arccsc} (ax)} {2}} + { frac {x} {2 , a}} { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} operatorname {arccsc} (ax) , dx = { frac {x ^ {3} operatorname {arccsc} (ax)} {3}} , + , { frac {1} {6 , a ^ {3}}} , operatorname {arctanh} , { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}} }} , + , { frac {x ^ {2}} {6 , a}} { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ {2} x ^ {2}}}} } , + , C}$

${ displaystyle int x ^ {m} operatorname {arccsc} (ax) , dx = { frac {x ^ {m + 1} operatorname {arccsc} (ax)} {m + 1}} , + , { frac {1} {a , (m + 1)}} int { frac {x ^ {m-1}} { sqrt {1 - { frac {1} {a ^ { 2} x ^ {2}}}}}} , dx quad (m neq -1)}$