Обратные тригонометрические функции - Inverse trigonometric functions

Тригонометрия
Контур История Применение Функции  (обратный ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  (обратные функции ) Производные

В математика, то обратные тригонометрические функции (иногда также называется функции дуги,^{[1][2][3][4][5]} антитригонометрические функции^[6] или циклометрические функции^[7][8][9]) являются обратные функции из тригонометрические функции (с соответствующим ограничением домены ). В частности, они противоположны синус, косинус, касательная, котангенс, секущий, и косеканс функции,^[10][11] и используются для получения угла из любого из тригонометрических соотношений угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в инженерное дело, навигация, физика, и геометрия.

Обозначение

Существует несколько обозначений обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенное соглашение - называть обратные тригонометрические функции префиксом arc-: arcsin (Икс), arccos (Икс), арктан (Икс), так далее.^[10][6] (Это соглашение используется на протяжении всей статьи.) Это обозначение возникает из следующих геометрических соотношений:^{[нужна цитата ]}При измерении в радианах угол θ радианы будут соответствовать дуге длиной rθ, где р это радиус круга. Таким образом, в единичный круг, "дуга, косинус которой равен Икс"совпадает с" углом, косинус которого равен Икс", поскольку длина дуги окружности в радиусах равна измерению угла в радианах.^[12] В языках компьютерного программирования обратные тригонометрические функции обычно называются сокращенными формами asin, acos, atan.^{[нужна цитата ]}

Обозначения грех⁻¹(Икс), потому что⁻¹(Икс), загар⁻¹(Икс)и т. д., как введено Джон Гершель в 1813 г.,^[13][14] также часто используются в англоязычных источниках^[6]- условности, согласующиеся с обозначением обратная функция. Это может логически противоречить общей семантике таких выражений, как грех²(Икс), которые относятся к числовой степени, а не к композиции функций, и поэтому могут привести к путанице между мультипликативный обратный или взаимно и композиционная инверсия.^[15] Путаница несколько смягчается тем фактом, что каждая из взаимных тригонометрических функций имеет собственное имя - например, (cos (Икс))⁻¹ = сек (Икс). Тем не менее некоторые авторы не рекомендуют использовать его из-за его двусмысленности.^[6][16] Еще одно соглашение, используемое несколькими авторами, - это использование верхний регистр первая буква вместе с ⁻¹ надстрочный индекс: Грех⁻¹(Икс), Cos⁻¹(Икс), Загар⁻¹(Икс), так далее.^[17] Это потенциально позволяет избежать путаницы с мультипликативным обратным, которое должно быть представлено как грех⁻¹(Икс), потому что⁻¹(Икс), так далее.

С 2009 г. ISO 80000-2 В стандарте указан только префикс "arc" для обратных функций.

Основные свойства

Основные ценности

Поскольку ни одна из шести тригонометрических функций не является один к одному, они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Следовательно диапазоны обратных функций являются собственными подмножества областей определения исходных функций.

Например, используя функция в том смысле многозначные функции, так же как квадратный корень функция у = √Икс можно определить из у² = Икс, функция у = arcsin (Икс) определяется так, что грех (у) = Икс. Для данного реального числа Икс, с участием −1 ≤ Икс ≤ 1, существует несколько (на самом деле счетно бесконечных) чисел у такой, что грех (у) = Икс; Например, грех (0) = 0, но также грех (π) = 0, грех (2π) = 0и т. д. Если требуется только одно значение, функция может быть ограничена его главный филиал. С этим ограничением для каждого Икс в домене выражение arcsin (Икс) будет оценивать только одно значение, называемое его основная стоимость. Эти свойства применяются ко всем обратным тригонометрическим функциям.

Основные инверсии перечислены в следующей таблице.

(Примечание: некоторые авторы определяют диапазон арксеканса как (0 ≤ у < π/2 или π ≤ у < 3π/2 ), поскольку касательная функция неотрицательна в этой области. Это делает некоторые вычисления более последовательными. Например, используя этот диапазон, загар (arcsec (Икс)) = √Икс² − 1, тогда как с диапазоном (0 ≤ у < π/2 или π/2 < у ≤ π ), нам пришлось бы написать загар (arcsec (Икс)) = ±√Икс² − 1, поскольку касательная неотрицательна на 0 ≤ у < π/2, но не положительный на π/2 < у ≤ π. По той же причине те же авторы определяют диапазон арккосеканса как -π < у ≤ −π/2 или 0 < у ≤ π/2.)

Если Икс разрешено быть комплексное число, то диапазон у относится только к его реальной части.

Общие решения

Каждая из тригонометрических функций периодична в действительной части своего аргумента, дважды перебирая все свои значения в каждом интервале 2π:

• Синус и косеканс начинают период с 2.πk − π/2 (где k является целым числом), заканчиваем на 2πk + π/2, а затем перевернуть себя через 2πk + π/2 до 2πk + 3π/2.
• Период косинуса и секанса начинается с 2.πk, закончить на 2πk + π, а затем перевернуть себя через 2πk + π до 2πk + 2π.
• Касательная начинает свой период с 2πk − π/2, заканчивает на 2πk + π/2, а затем повторяет его (вперед) более 2πk + π/2 до 2πk + 3π/2.
• Котангенс начинает свой период с 2πk, заканчивает на 2πk + π, а затем повторяет его (вперед) более 2πk + π до 2πk + 2π.

Эта периодичность отражается в общих инверсиях, где k - некоторое целое число.

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции могут использоваться для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций, где предполагается, что р, s, Икс, и у все находятся в соответствующем диапазоне.

Символ ⇔ является логическое равенство. Выражение «LHS ⇔ RHS "означает, что либо (а) левая сторона (т.е. левая) и правая (т.е. правая) стороны и то и другое истина, иначе (б) левая и правая части и то и другое ложный; есть нет вариант (c) (например, это не возможно, чтобы утверждение LHS было истинным, а также одновременно для оператора RHS было ложным), потому что в противном случае "LHS ⇔ RHS "не было бы написано (см. Эту сноску^{[примечание 1]} для примера, иллюстрирующего эту концепцию).

Равные одинаковые тригонометрические функции

В таблице ниже показано, как два угла θ и φ должны быть связаны, если их значения при заданной тригонометрической функции равны или отрицательны друг другу.

Связь между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций приведены в таблице ниже. Быстрый способ получить их - рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, одна сторона которого равна 1, а другая - длины. Икс, затем применяя теорема Пифагора и определения тригонометрических соотношений. Чисто алгебраические выводы длиннее.^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle theta}$	${ Displaystyle грех ( тета)}$	${ Displaystyle соз ( тета)}$	${ Displaystyle загар ( тета)}$	Диаграмма
${ Displaystyle arcsin (х)}$	${ Displaystyle грех ( arcsin (х)) = х}$	${ Displaystyle соз ( arcsin (х)) = { sqrt {1-х ^ {2}}}}$	${ displaystyle tan ( arcsin (x)) = { frac {x} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${ Displaystyle arccos (х)}$	${ Displaystyle грех ( arccos (х)) = { sqrt {1-х ^ {2}}}}$	${ Displaystyle соз ( arccos (х)) = х}$	${ displaystyle tan ( arccos (x)) = { frac { sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}$
${ Displaystyle arctan (х)}$	${ displaystyle sin ( arctan (x)) = { frac {x} { sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$	${ displaystyle cos ( arctan (x)) = { frac {1} { sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$	${ Displaystyle загар ( arctan (х)) = х}$
${ displaystyle operatorname {arccot} (x)}$	${ displaystyle sin ( operatorname {arccot} (x)) = { frac {1} { sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$	${ displaystyle cos ( operatorname {arccot} (x)) = { frac {x} { sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$	${ displaystyle tan ( operatorname {arccot} (x)) = { frac {1} {x}}}$
${ displaystyle operatorname {arcsec} (x)}$	${ displaystyle sin ( operatorname {arcsec} (x)) = { frac { sqrt {x ^ {2} -1}} {x}}}$	${ displaystyle cos ( Operatorname {arcsec} (x)) = { frac {1} {x}}}$	${ displaystyle tan ( operatorname {arcsec} (x)) = { sqrt {x ^ {2} -1}}}$
${ displaystyle operatorname {arccsc} (x)}$	${ displaystyle sin ( operatorname {arccsc} (x)) = { frac {1} {x}}}$	${ displaystyle cos ( operatorname {arccsc} (x)) = { frac { sqrt {x ^ {2} -1}} {x}}}$	${ displaystyle tan ( operatorname {arccsc} (x)) = { frac {1} { sqrt {x ^ {2} -1}}}}$

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Обычные главные значения arcsin (Икс) (красный) и arccos (Икс) (синий) функции, изображенные на декартовой плоскости.

Обычные главные значения арктана (Икс) и arccot ​​(Икс) функции, изображенные на декартовой плоскости.

Основные значения угловых секунд (Икс) и arccsc (Икс) функции, изображенные на декартовой плоскости.

Дополнительные углы:

${ displaystyle { begin {align} arccos (x) & = { frac { pi} {2}} - arcsin (x) [0.5em] operatorname {arccot} (x) & = { frac { pi} {2}} - arctan (x) [0.5em] operatorname {arccsc} (x) & = { frac { pi} {2}} - operatorname {arcsec} ( х) конец {выровнено}}}$

Отрицательные аргументы:

${ Displaystyle { begin {align} arcsin (-x) & = - arcsin (x) arccos (-x) & = pi - arccos (x) arctan (-x) & = - arctan (x) operatorname {arccot} (- x) & = pi - operatorname {arccot} (x) operatorname {arcsec} (- x) & = pi - operatorname { arcsec} (x) operatorname {arccsc} (- x) & = - operatorname {arccsc} (x) end {выровнено}}}$

Взаимные аргументы:

${ displaystyle { begin {align} arccos left ({ frac {1} {x}} right) & = operatorname {arcsec} (x) [0.3em] arcsin left ({ frac {1} {x}} right) & = operatorname {arccsc} (x) [0.3em] arctan left ({ frac {1} {x}} right) & = { frac { pi} {2}} - arctan (x) = operatorname {arccot} (x) ,, { text {if}} x> 0 [0.3em] arctan left ({ frac {1} {x}} right) & = - { frac { pi} {2}} - arctan (x) = operatorname {arccot} (x) - pi ,, { text {если }} x <0 [0.3em] operatorname {arccot} left ({ frac {1} {x}} right) & = { frac { pi} {2}} - operatorname {arccot } (x) = arctan (x) ,, { text {if}} x> 0 [0.3em] operatorname {arccot} left ({ frac {1} {x}} right) & = { frac {3 pi} {2}} - operatorname {arccot} (x) = pi + arctan (x) ,, { text {if}} x <0 [0.3em ] operatorname {arcsec} left ({ frac {1} {x}} right) & = arccos (x) [0.3em] operatorname {arccsc} left ({ frac {1} { x}} right) & = arcsin (x) end {align}}}$

Полезные идентификаторы, если у вас есть только фрагмент таблицы синусов:

${ displaystyle { begin {align} arccos (x) & = arcsin left ({ sqrt {1-x ^ {2}}} right) ,, { text {if}} 0 leq x leq 1 { text {, из которого вы получаете}} arccos & left ({ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}} right) = arcsin left ({ frac {2x} {1 + x ^ {2}}} right) ,, { text {if}} 0 leq x leq 1 arcsin & left ({ sqrt {1-x ^ {2}}} right) = { frac { pi} {2}} - operatorname {sgn} (x) arcsin (x) arccos (x) & = { frac {1} {2}} arccos left (2x ^ {2} -1 right) ,, { text {if}} 0 leq x leq 1 arcsin (x) & = { frac {1} {2}} arccos left (1-2x ^ {2} right) ,, { text {if}} 0 leq x leq 1 arcsin (x) & = arctan left ({ frac {x} { sqrt {1-x ^ {2}}}} right) arctan (x) & = arcsin left ({ frac {x} { sqrt {1 + x ^ {2}}}} right) operatorname {arccot} (x) & = arccos left ({ frac {x} { sqrt {1 + x ^ {2} }}} right) end {выровнен}}}$

Каждый раз, когда здесь используется квадратный корень из комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой частью, если квадрат был отрицательным действительным).

Полезная форма, которая следует непосредственно из приведенной выше таблицы:

${ displaystyle arctan left (x right) = arccos left ({ sqrt { frac {1} {1 + x ^ {2}}}} right) ,, { text {if} } x geq 0}$.

Это получается, если признать, что ${ displaystyle cos left ( arctan left (x right) right) = { sqrt { frac {1} {1 + x ^ {2}}}} = cos left ( arccos влево ({ sqrt { frac {1} {1 + x ^ {2}}}} right) right)}$.

От формула полуугла, ${ displaystyle tan left ({ tfrac { theta} {2}} right) = { tfrac { sin ( theta)} {1+ cos ( theta)}}}$, мы получаем:

${ displaystyle { begin {align} arcsin (x) & = 2 arctan left ({ frac {x} {1 + { sqrt {1-x ^ {2}}}}} right) [0.5em] arccos (x) & = 2 arctan left ({ frac { sqrt {1-x ^ {2}}} {1 + x}} right) ,, { text { if}} - 1$

Формула сложения арктангенса

${ displaystyle arctan (u) pm arctan (v) = arctan left ({ frac {u pm v} {1 mp uv}} right) { pmod { pi}} , , quad uv neq 1 ,.}$

Это происходит от касательной формула сложения

${ displaystyle tan ( alpha pm beta) = { frac { tan ( alpha) pm tan ( beta)} {1 mp tan ( alpha) tan ( beta)} } ,,}$

позволяя

${ Displaystyle альфа = arctan (u) ,, quad beta = arctan (v) ,.}$

В исчислении

Производные обратных тригонометрических функций

Основная статья: Дифференциация тригонометрических функций

В производные для комплексных значений z являются следующими:

${ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dz}} arcsin (z) & {} = { frac {1} { sqrt {1-z ^ {2}}}} ; ; & z & {} neq -1, + 1 { frac {d} {dz}} arccos (z) & {} = - { frac {1} { sqrt {1-z ^ {2} }}} ;; & z & {} neq -1, + 1 { frac {d} {dz}} arctan (z) & {} = { frac {1} {1 + z ^ {2 }}} ;; & z & {} neq -i, + i { frac {d} {dz}} operatorname {arccot} (z) & {} = - { frac {1} {1+ z ^ {2}}} ;; & z & {} neq -i, + i { frac {d} {dz}} operatorname {arcsec} (z) & {} = { frac {1} {z ^ {2} { sqrt {1 - { frac {1} {z ^ {2}}}}}}} ;; & z & {} neq -1,0, + 1 { frac {d} {dz}} operatorname {arccsc} (z) & {} = - { frac {1} {z ^ {2} { sqrt {1 - { frac {1} {z ^ {2}) }}}}}} ;; & z & {} neq -1,0, + 1 конец {выровнено}}}$

Только для реальных значений Икс:

${ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} operatorname {arcsec} (x) & {} = { frac {1} {| x | { sqrt {x ^ {2} -1}}}} ;; & | x |> 1 { frac {d} {dx}} operatorname {arccsc} (x) & {} = - { frac {1} {| x | { sqrt {x ^ {2} -1}}}} ;; & | x |> 1 конец {выровнено}}}$

Для вывода образца: если ${ Displaystyle тета = arcsin (х)}$, мы получаем:

${ displaystyle { frac {d arcsin (x)} {dx}} = { frac {d theta} {d sin ( theta)}} = { frac {d theta} { cos ( theta) , d theta}} = { frac {1} { cos ( theta)}} = { frac {1} { sqrt {1- sin ^ {2} ( theta)} }} = { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$

Выражение в виде определенных интегралов

Интегрирование производной и фиксация значения в одной точке дает выражение для обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:

${ displaystyle { begin {align} arcsin (x) & {} = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { sqrt {1-z ^ {2}}}} , dz ;, & | x | & {} leq 1 arccos (x) & {} = int _ {x} ^ {1} { frac {1} { sqrt {1-z ^ { 2}}}} , dz ;, & | x | & {} leq 1 arctan (x) & {} = int _ {0} ^ {x} { frac {1} {z ^ {2} +1}} , dz ;, operatorname {arccot} (x) & {} = int _ {x} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {2 } +1}} , dz ;, operatorname {arcsec} (x) & {} = int _ {1} ^ {x} { frac {1} {z { sqrt {z ^ { 2} -1}}}} , dz = pi + int _ {x} ^ {- 1} { frac {1} {z { sqrt {z ^ {2} -1}}}} , dz ;, & x & {} geq 1 operatorname {arccsc} (x) & {} = int _ {x} ^ { infty} { frac {1} {z { sqrt {z ^ {2} -1}}}} , dz = int _ {- infty} ^ {x} { frac {1} {z { sqrt {z ^ {2} -1}}}} , dz ;, & x & {} geq 1 конец {выровнено}}}$

Когда Икс равно 1, интегралы с ограниченной областью определения равны несобственные интегралы, но все же четко определенным.

Бесконечная серия

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также могут быть вычислены с использованием степенной ряд, следующим образом. Для арксинуса ряд может быть получен путем разложения его производной: ${ textstyle { tfrac {1} { sqrt {1-z ^ {2}}}}}$, как биномиальный ряд, и интегрирование по почеркам (с использованием интегрального определения, как указано выше). Ряд для арктангенса может быть получен аналогичным образом, разложив его производную ${ textstyle { frac {1} {1 + z ^ {2}}}}$ в геометрическая серия, и применяя приведенное выше интегральное определение (см. Серия Лейбница ).

${ Displaystyle { begin {align} arcsin (z) & = z + left ({ frac {1} {2}} right) { frac {z ^ {3}} {3}} + left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) { frac {z ^ {5}} {5}} + left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) { frac {z ^ {7}} {7}} + cdots [5pt] & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} { frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} [5pt] & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n)!} {(2 ^ {n} n!) ^ {2}}} { frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1} } ,; qquad | z | leq 1 end {align}}}$

${ displaystyle arctan (z) = z - { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {5}} {5}} - { frac {z ^ {7} } {7}} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} , ; qquad | z | leq 1 qquad z neq i, -i}$

Ряды для других обратных тригонометрических функций могут быть даны в их терминах в соответствии с приведенными выше соотношениями. Например, ${ Displaystyle arccos (х) = пи / 2- arcsin (х)}$, ${ Displaystyle OperatorName {arccsc} (х) = arcsin (1 / х)}$, и так далее. Другая серия представлена:^[18]

${ displaystyle 2 left ( arcsin left ({ frac {x} {2}} right) right) ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { x ^ {2n}} {n ^ {2} { binom {2n} {n}}}}.}$

Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем его Серия Тейлор:

${ displaystyle arctan (z) = { frac {z} {1 + z ^ {2}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {2kz ^ {2}} {(2k + 1) (1 + z ^ {2})}}.}.$^[19]

(Срок в сумме п = 0 - это пустой продукт, так и 1.)

В качестве альтернативы это можно выразить как

${ displaystyle arctan (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)!}} { frac {z ^ {2n + 1}} {(1 + z ^ {2}) ^ {n + 1}}}.}.$

Другой ряд для функции арктангенса дается выражением

${ displaystyle arctan (z) = i sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2n-1}} left ({ frac {1} {(1 + 2i / z) ^ {2n-1}}} - { frac {1} {(1-2i / z) ^ {2n-1}}} right),}$

где ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ это мнимая единица.^{[нужна цитата ]}

Непрерывные дроби для арктангенса

Две альтернативы степенному ряду для арктангенса: обобщенные непрерывные дроби:

${ Displaystyle arctan (z) = { frac {z} {1 + { cfrac {(1z) ^ {2}} {3-1z ^ {2} + { cfrac {(3z) ^ {2} } {5-3z ^ {2} + { cfrac {(5z) ^ {2}} {7-5z ^ {2} + { cfrac {(7z) ^ {2}} {9-7z ^ {2 } + ddots}}}}}}}}}} = { frac {z} {1 + { cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + { cfrac {(2z) ^ {2} } {5 + { cfrac {(3z) ^ {2}} {7 + { cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ ddots}}}}}}}}}}}$

Второй из них действителен в комплексной плоскости разреза. Есть два разреза, от -я в бесконечно удаленную точку по воображаемой оси, а от я в бесконечно удаленную точку вверх по той же оси. Он лучше всего работает для действительных чисел от -1 до 1. Частичные знаменатели - это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) - просто (нз)², причем каждый идеальный квадрат встречается один раз. Первый был разработан Леонард Эйлер; второй Карл Фридрих Гаусс используя Гауссов гипергеометрический ряд.

Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций

Для реальных и комплексных значений z:

${ Displaystyle { begin {align} int arcsin (z) , dz & {} = z , arcsin (z) + { sqrt {1-z ^ {2}}} + C int arccos (z) , dz & {} = z , arccos (z) - { sqrt {1-z ^ {2}}} + C int arctan (z) , dz & {} = z , arctan (z) - { frac {1} {2}} ln left (1 + z ^ {2} right) + C int operatorname {arccot} (z) , dz & {} = z , operatorname {arccot} (z) + { frac {1} {2}} ln left (1 + z ^ {2} right) + C int operatorname { arcsec} (z) , dz & {} = z , operatorname {arcsec} (z) - ln left [z left (1 + { sqrt { frac {z ^ {2} -1} { z ^ {2}}}} right) right] + C int operatorname {arccsc} (z) , dz & {} = z , operatorname {arccsc} (z) + ln left [z left (1 + { sqrt { frac {z ^ {2}}}} {z ^ {2}}}} right) right] + C end {выровнено}}}$

Серьезно Икс ≥ 1:

${ displaystyle { begin {align} int operatorname {arcsec} (x) , dx & {} = x , operatorname {arcsec} (x) - ln left (x + { sqrt {x ^ { 2} -1}} right) + C int operatorname {arccsc} (x) , dx & {} = x , operatorname {arccsc} (x) + ln left (x + { sqrt {x ^ {2} -1}} right) + C end {align}}}$

Для всех настоящих Икс не между -1 и 1:

${ displaystyle { begin {align} int operatorname {arcsec} (x) , dx & {} = x , operatorname {arcsec} (x) - operatorname {sgn} (x) ln left ( left | x + { sqrt {x ^ {2} -1}} right | right) + C int operatorname {arccsc} (x) , dx & {} = x , operatorname {arccsc } (x) + operatorname {sgn} (x) ln left ( left | x + { sqrt {x ^ {2} -1}} right | right) + C end {выровнено}}}$

Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных, так и положительных значений функций дуги дуги и дуги. Знаковая функция также необходима из-за абсолютных значений в производные двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно дополнительно упростить, используя логарифмические определения обратные гиперболические функции:

${ displaystyle { begin {align} int operatorname {arcsec} (x) , dx & {} = x , operatorname {arcsec} (x) - operatorname {arcosh} (| x |) + C int operatorname {arccsc} (x) , dx & {} = x , operatorname {arccsc} (x) + operatorname {arcosh} (| x |) + C конец {выровнено}}}$

Абсолютное значение в аргументе функции arcosh создает отрицательную половину ее графика, что делает его идентичным логарифмической функции signum, показанной выше.

Все эти первообразные могут быть получены с использованием интеграция по частям и простые производные формы, показанные выше.

пример

С помощью ${ Displaystyle int U , dv = uv- int v , du}$ (т.е. интеграция по частям ), набор

${ displaystyle { begin {align} u & = arcsin (x) & dv & = dx du & = { frac {dx} { sqrt {1-x ^ {2}}}} & v & = x end {выровнено }}}$

потом

${ displaystyle int arcsin (x) , dx = x arcsin (x) - int { frac {x} { sqrt {1-x ^ {2}}}} , dx,}$

что простым замена ${ Displaystyle ш = 1-х ^ {2}, dw = -2x , dx}$ дает окончательный результат:

${ displaystyle int arcsin (x) , dx = x arcsin (x) + { sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

Продолжение до комплексной плоскости

А Риманова поверхность для аргумента отношения загар z = Икс. Оранжевый лист посередине - это основной лист, представляющий арктан Икс. Синий лист вверху и зеленый лист внизу заменены 2π и −2π соответственно.

Поскольку обратные тригонометрические функции равны аналитические функции, их можно продолжить от действительной прямой до комплексной плоскости. Это приводит к функциям с несколькими листами и точки разветвления. Один из возможных способов определения расширения:

${ displaystyle arctan (z) = int _ {0} ^ {z} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} quad z neq -i, + i}$

где часть мнимой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и + i), является срезанная ветка между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать срез ответвления. Для z не на срезе ветки, прямой путь от 0 до z такой путь. Для z на разрезе ветви путь должен приближаться от Re [x]> 0 для верхнего разреза ветви и от Re [x] <0 для разреза нижней ветви.

Тогда функция арксинуса может быть определена как:

${ displaystyle arcsin (z) = arctan left ({ frac {z} { sqrt {1-z ^ {2}}}} right) quad z neq -1, + 1}$

где (функция квадратного корня разрезается вдоль отрицательной действительной оси и) часть действительной оси, которая не лежит строго между -1 и +1, является ветвью, разрезанной между основным листом arcsin и другими листами;

${ displaystyle arccos (z) = { frac { pi} {2}} - arcsin (z) quad z neq -1, + 1}$

который имеет тот же разрез, что и arcsin;

${ displaystyle operatorname {arccot} (z) = { frac { pi} {2}} - arctan (z) quad z neq -i, i}$

который имеет тот же разрез, что и арктан;

${ displaystyle operatorname {arcsec} (z) = arccos left ({ frac {1} {z}} right) quad z neq -1,0, + 1}$

где часть действительной оси между -1 и +1 включительно представляет собой разрез между основным листом arcsec и другими листами;

${ displaystyle operatorname {arccsc} (z) = arcsin left ({ frac {1} {z}} right) quad z neq -1,0, + 1}$

который имеет тот же разрез, что и arcsec.

Логарифмические формы

Эти функции также могут быть выражены с помощью комплексные логарифмы. Это расширяет их домены к комплексная плоскость естественным образом. Следующие тождества для главных значений функций выполняются везде, где они определены, даже на их сечениях ветвей.

${ displaystyle { begin {align} arcsin (z) & {} = - я ln left ({ sqrt {1-z ^ {2}}} + iz right) = i ln left ( { sqrt {1-z ^ {2}}} - iz right) & {} = operatorname {arccsc} left ({ frac {1} {z}} right) [10pt] arccos (z) & {} = - я ln left ({ sqrt {1-z ^ {2}}} + z right) = { frac { pi} {2}} - arcsin (z) & {} = operatorname {arcsec} left ({ frac {1} {z}} right) [10pt] arctan (z) & {} = - { frac {i} {2}} ln left ({ frac {iz} {i + z}} right) = - { frac {i} {2}} ln left ({ frac {1 + iz} {1-iz} } right) & {} = operatorname {arccot} left ({ frac {1} {z}} right) [10pt] operatorname {arccot} (z) & {} = - { frac {i} {2}} ln left ({ frac {z + i} {zi}} right) = - { frac {i} {2}} ln left ({ frac {iz- 1} {iz + 1}} right) & {} = arctan left ({ frac {1} {z}} right) [10pt] operatorname {arcsec} (z) & {} = -i ln left (i { sqrt {1 - { frac {1} {z ^ {2}}}}} + { frac {1} {z}} right) = { frac { pi} {2}} - operatorname {arccsc} (z) & {} = arccos left ({ frac {1} {z}} right) [10pt] operatorname {arccsc} (z) & {} = - i ln left ({ sqrt {1 - { frac {1} {z ^ {2}}}}} + { frac {i} {z}} right) = i ln left ({ sqrt {1 - { frac {1} {z ^ { 2}}}}} - { frac {i} {z}} right) & {} = arcsin left ({ frac {1} {z}} right) end {выравнивается}}}$

Обобщение

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольного треугольника, их можно обобщить, используя Формула Эйлера чтобы образовать прямоугольный треугольник на комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:

${ displaystyle ce ^ { theta i} = c cos ( theta) + ci sin ( theta)}$

или

${ displaystyle ce ^ { theta i} = a + bi}$

где ${ displaystyle a}$ это прилегающая сторона, ${ displaystyle b}$ противоположная сторона, и ${ displaystyle c}$ это гипотенуза. Отсюда мы можем решить ${ displaystyle theta}$.

${ Displaystyle { begin {выровнено} е ^ { ln (c) + theta i} & = a + bi ln c + theta i & = ln (a + bi) theta & = имя оператора {Im} left ( ln (a + bi) right) end {выровнено}}}$

или

${ displaystyle theta = -i ln left ({ frac {a + bi} {c}} right) = i ln left ({ frac {c} {a + bi}} right) }$

Простое взятие мнимой части работает для любых реальных ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$, но если ${ displaystyle a}$ или ${ displaystyle b}$ является комплексным, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы не исключить действительную часть результата. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорируя действительную часть ${ Displaystyle ln (а + би)}$ также удаляет ${ displaystyle c}$ из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, введя длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон равной 1, а одну из оставшихся сторон равной нашему входу ${ displaystyle z}$, мы получаем формулу для одной из обратных триггерных функций, всего для шести уравнений. Поскольку обратные триггерные функции требуют только одного входа, мы должны поместить конечную сторону треугольника через два других, используя Теорема Пифагора связь

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных триггерных функций и эквивалентные выражения для ${ displaystyle theta}$ которые возникают в результате включения значений в приведенные выше уравнения и упрощения.

${ displaystyle { begin {align} & a && b && c && theta && theta _ {упрощенный} && theta _ {a, b in mathbb {R}} arcsin (z) & { sqrt {1 -z ^ {2}}} && z && 1 && - i ln left ({ frac {{ sqrt {1-z ^ {2}}} + zi} {1}} right) && = - i ln left ({ sqrt {1-z ^ {2}}} + zi right) && operatorname {Im} left ( ln left ({ sqrt {1-z ^ {2}}} + zi right) right) arccos (z) & z && { sqrt {1-z ^ {2}}} && 1 && - i ln left ({ frac {z + i { sqrt {1-z ^ {2}}}} {1}} right) && = - i ln left (z + { sqrt {z ^ {2} -1}} right) && operatorname {Im} left ( ln left (z + { sqrt {z ^ {2} -1}} right) right) arctan (z) & 1 && z && { sqrt {1 + z ^ {2}}} && i ln left ({ frac { sqrt {1 + z ^ {2}}} {1 + zi}} right) && = { frac {i} {2}} ln left ({ frac {i + z} {iz}} right) && operatorname {Im} left ( ln left (1 + zi right) right) operatorname {arccot} (z) & z && 1 && { sqrt { z ^ {2} +1}} && i ln left ({ frac { sqrt {z ^ {2} +1}} {z + i}} right) && = { frac {i} {2 }} ln left ({ frac {zi} {z + i}} right) && operatorname {Im} left ( ln left (z + i right) right) operatorname { arcsec} (z) & 1 && { sqrt {z ^ {2} -1}} && z && - i ln left ({ frac {1 + i { sqrt {z ^ {2} -1}}} {z}} right) && = - i ln left ({ frac {1} {z}} + { sqrt {{ frac {1} {z ^ {2}}} - 1}} right) && operatorname {Im} left ( ln left (1 + { sqrt {1-z ^ {2}}} right) right) имя оператора {arccsc} (z) & { sqrt {z ^ {2} -1}} && 1 && z && - i ln left ({ frac {{ sqrt {z ^ {2} -1}} + i} {z}} right) && = - i ln left ({ sqrt {1 - { frac {1} {z ^ {2}}}}} + { frac { i} {z}} right) && operatorname {Im} left ( ln left ({ sqrt {z ^ {2} -1}} + i right) right) end {выровнено }}}$

В этом смысле все обратные триггерные функции можно рассматривать как частные случаи комплекснозначной лог-функции. Поскольку это определение работает для любых комплексных значений ${ displaystyle z}$, это определение позволяет гиперболические углы в качестве выходов и может использоваться для дальнейшего определения обратные гиперболические функции. Элементарные доказательства соотношений могут также продолжаться через разложение до экспоненциальных форм тригонометрических функций.

Пример доказательства

${ Displaystyle грех ( фи) = г}$

${ displaystyle phi = arcsin (z)}$

С использованием экспоненциальное определение синуса, получается

${ Displaystyle Z = { гидроразрыва {е ^ { phi i} -e ^ {- phi i}} {2i}}}$

Позволять

${ Displaystyle хи = е ^ { фи я}}$

Решение для ${ displaystyle phi}$

${ Displaystyle Z = { гидроразрыва { xi - { frac {1} { xi}}} {2i}}}$

${ displaystyle 2iz = { xi - { frac {1} { xi}}}}$

${ displaystyle { xi -2iz - { frac {1} { xi}}} = 0}$

${ Displaystyle xi ^ {2} -2i xi z-1 , = , 0}$

${ displaystyle xi = iz pm { sqrt {1-z ^ {2}}} = e ^ { phi i}}$

${ Displaystyle фи я = пер влево (iz pm { sqrt {1-z ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle phi = -i ln left (iz pm { sqrt {1-z ^ {2}}} right)}$

(выбрана положительная ветвь)

${ displaystyle phi = arcsin (z) = - я ln left (iz + { sqrt {1-z ^ {2}}} right)}$

Графики цветового круга из обратные тригонометрические функции в комплексная плоскость

${ Displaystyle arcsin (г)}$	${ Displaystyle arccos (г)}$	${ Displaystyle arctan (г)}$	${ displaystyle operatorname {arccot} (z)}$	${ displaystyle operatorname {arcsec} (z)}$	${ displaystyle operatorname {arccsc} (z)}$

Приложения

Применение: определение угла прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник.

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить оставшиеся два угла прямоугольный треугольник когда известны длины сторон треугольника. Вспоминая определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, следует, что

${ displaystyle theta = arcsin left ({ frac { text {напротив}} { text {hypotenuse}}} right) = arccos left ({ frac { text {смежный}} { текст {гипотенуза}}} right).}$

Часто гипотенуза неизвестна, и ее необходимо вычислить перед использованием арксинуса или арккозинуса с использованием Теорема Пифагора: ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = h ^ {2}}$ где ${ displaystyle h}$ - длина гипотенузы. В этой ситуации может пригодиться арктангенс, поскольку длина гипотенузы не нужна.

${ Displaystyle theta = arctan left ({ frac { text {напротив}} { text {смежный}}} right) ,.}$

Например, предположим, что крыша опускается на 8 футов, когда заканчивается на 20 футов. Крыша делает угол θ с горизонталью, где θ можно вычислить следующим образом:

${ displaystyle theta = arctan left ({ frac { text {напротив}} { text {смежный}}} right) = arctan left ({ frac { text {rise}} { текст {run}}} right) = arctan left ({ frac {8} {20}} right) приблизительно 21,8 ^ { circ} ,.}$

В информатике и инженерии

Двухаргументный вариант арктангенса

Два аргумента atan2 функция вычисляет арктангенс у / Икс данный у и Икс, но с диапазоном (-π, π]. Другими словами, atan2 (у, Икс) - угол между положительными Икс-ось плоскости и точка (Икс, у) на нем со знаком плюс для углов против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, у > 0) и отрицательный знак для углов по часовой стрелке (нижняя полуплоскость, у <0). Впервые он был представлен на многих языках программирования, но теперь он также широко используется в других областях науки и техники.

С точки зрения стандарта арктан функция, то есть с диапазоном (-π/2, π/2), его можно выразить следующим образом:

${ displaystyle operatorname {atan2} (y, x) = { begin {cases} arctan ({ frac {y} {x}}) & quad x> 0 arctan ({ frac {y } {x}}) + pi & quad y geq 0 ;, ; x <0 arctan ({ frac {y} {x}}) - pi & quad y <0 ;, ; x <0 { frac { pi} {2}} & quad y> 0 ;, ; x = 0 - { frac { pi} {2}} & quad y <0 ;, ; x = 0 { text {undefined}} & quad y = 0 ;, ; x = 0 end {cases}}}$

Это также равно основная стоимость из аргумент из комплексное число Икс + яу.

Эта функция также может быть определена с помощью формулы касательных полууглов следующим образом:

${ displaystyle operatorname {atan2} (y, x) = 2 arctan left ({ frac {y} {{ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} right )}$

при условии, что либо Икс > 0 или у ≠ 0. Однако это не удается, если задано x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение не подходит для использования в вычислениях.

Приведенный выше порядок аргументов (у, Икс) кажется наиболее распространенным и, в частности, используется в Стандарты ISO такой как Язык программирования C, но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение (Икс, у), поэтому следует соблюдать осторожность. Эти варианты подробно описаны на atan2.

Функция арктангенса с параметром местоположения

Во многих приложениях^[20] решение ${ displaystyle y}$ уравнения ${ Displaystyle х = загар (у)}$ должно быть как можно ближе к заданному значению ${ displaystyle - infty < eta < infty}$. Адекватное решение получается с помощью функции арктангенса с измененным параметром

${ displaystyle y = arctan _ { eta} (x): = arctan (x) + pi cdot operatorname {rni} left ({ frac { eta - arctan (x)} { pi}} right) ,.}$

Функция ${ displaystyle operatorname {rni}}$ округляется до ближайшего целого числа.

Числовая точность

Для углов около 0 и π, арккозин - это плохо воспитанный и, таким образом, будет вычислять угол с пониженной точностью в компьютерной реализации (из-за ограниченного количества цифр).^[21] Точно так же арксинус неточен для углов около -π/ 2 и π/2.

Смотрите также

• Обратный exsecant
• Обратный Версин
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрические функции матриц

Заметки

использованная литература