Обобщенная цепная дробь - Generalized continued fraction

В комплексный анализ, раздел математики, обобщенная цепная дробь является обобщением регулярных непрерывные дроби в канонической форме, в которой частные числители и частные знаменатели могут принимать произвольные комплексные значения.

Обобщенная цепная дробь - это выражение вида

${ displaystyle x = b_ {0} + { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + { cfrac {a_ {3}} {) b_ {3} + { cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + ddots ,}}}}}}}}}$

где а_п (п > 0) - частичные числители, б_п частные знаменатели, а главный член б₀ называется целое число часть непрерывной дроби.

Последовательные сходящиеся непрерывной дроби формируются путем применения основные рекуррентные формулы:

${ displaystyle x_ {0} = { frac {A_ {0}} {B_ {0}}} = b_ {0}, qquad x_ {1} = { frac {A_ {1}} {B_ {1) }}} = { frac {b_ {1} b_ {0} + a_ {1}} {b_ {1}}}, qquad x_ {2} = { frac {A_ {2}} {B_ {2 }}} = { frac {b_ {2} (b_ {1} b_ {0} + a_ {1}) + a_ {2} b_ {0}} {b_ {2} b_ {1} + a_ {2 }}}, qquad cdots ,}$

куда А_п это числитель и B_п это знаменатель, называется континуанты,^[1][2] из пй сходящийся. Они даются рекурсией^[3]

${ Displaystyle A_ {n} = b_ {n} A_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-2}, qquad B_ {n} = b_ {n} B_ {n-1} + a_ { n} B_ {n-2} qquad (n geq 1) ,}$

с начальными значениями

${ displaystyle A _ {- 1} = 1, quad A_ {0} = b_ {0}, quad B _ {- 1} = 0, quad B_ {0} = 1.}$

Если последовательность подходящих дробей {Икс_п} приближается к пределу, непрерывная дробь сходится и имеет определенное значение. Если последовательность подходящих дробей никогда не приближается к пределу, непрерывная дробь расходится. Он может расходиться из-за колебания (например, нечетные и четные сходящиеся могут приближаться к двум разным пределам) или может давать бесконечное количество нулевых знаменателей. B_п.

История

История непрерывных дробей начинается с Евклидов алгоритм,^[4] процедура поиска наибольший общий делитель двух натуральных чисел м и п. В этом алгоритме появилась идея деления для извлечения нового остатка, а затем многократного деления на новый остаток.

Прошло почти две тысячи лет назад Рафаэль Бомбелли^[5] разработал техника аппроксимации корней квадратных уравнений с непрерывными дробями в середине шестнадцатого века. Теперь темпы развития ускорились. Всего 24 года спустя, в 1613 году, Пьетро Катальди ввел первые формальные обозначения^[6] для обобщенной цепной дроби. Катальди представил непрерывную дробь как

${ displaystyle a_ {0}. ,}$ &${ displaystyle n_ {1} over d_ {1}.}$ &${ displaystyle n_ {2} over d_ {2}.}$ &${ displaystyle {n_ {3} over d_ {3}},}$

с точками, указывающими, где идет следующая дробь, и каждый & представляет современный знак плюс.

В конце семнадцатого века Джон Уоллис^[7] ввел в математическую литературу термин «непрерывная дробь». Новые методы математического анализа (Ньютона и Лейбница исчисление ) недавно вышла на сцену, и поколение современников Уоллиса применили эту новую фразу.

В 1748 г. Эйлер опубликовал теорему, показывающую, что конкретный вид цепной дроби эквивалентен некоторому очень общему бесконечная серия.^[8] Формула непрерывной дроби Эйлера до сих пор является основой многих современных доказательств сходимость цепных дробей.

В 1761 г. Иоганн Генрих Ламберт дал первый доказательство того, что π иррационально, используя следующую цепную дробь для загар Икс:^[9]

${ displaystyle tan (x) = { cfrac {x} {1 + { cfrac {-x ^ {2}} {3 + { cfrac {-x ^ {2}} {5 + { cfrac {) -x ^ {2}} {7 + {} ddots}}}}}}}}}$

Непрерывные дроби также могут применяться к задачам в теория чисел, и особенно полезны при изучении Диофантовы уравнения. В конце восемнадцатого века Лагранж использовали цепные дроби для построения общего решения Уравнение Пелла, таким образом отвечая на вопрос, который интересовал математиков более тысячи лет.^[10] Удивительно, но открытие Лагранжа подразумевает, что разложение канонической цепной дроби квадратный корень любого целого неквадратного числа является периодическим, и что, если период имеет длину п > 1, он содержит палиндромный строка длины п - 1.

В 1813 г. Гаусс полученный из комплексных значений гипергеометрические функции что сейчас называется Непрерывные дроби Гаусса.^[11] Они могут использоваться для выражения многих элементарных функций и некоторых более сложных функций (таких как Функции Бесселя ), как цепные дроби, быстро сходящиеся почти всюду в комплексной плоскости.

Обозначение

Представленное во введении выражение длинной непрерывной дроби, вероятно, является наиболее интуитивно понятной формой для читателя. К сожалению, в книге он занимает много места (да и для наборщика это непросто). Итак, математики придумали несколько альтернативных обозначений. Один удобный способ выразить обобщенную цепную дробь выглядит так:

${ displaystyle x = b_ {0} + { frac {a_ {1}} {b_ {1} +}} , { frac {a_ {2}} {b_ {2} +}} , { гидроразрыв {a_ {3}} {b_ {3} +}} cdots}$

Pringsheim написал обобщенную цепную дробь следующим образом:

${ displaystyle x = b_ {0} + { frac {a_ {1} mid} { mid b_ {1}}} + { frac {a_ {2} mid} { mid b_ {2}} } + { frac {a_ {3} mid} { mid b_ {3}}} + cdots ,}$.

Карл Фридрих Гаусс вызвал более знакомый бесконечный продукт Π когда он разработал это обозначение:

${ displaystyle x = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}} . ,}$

Здесь «К» означает Kettenbruch, немецкое слово для «непрерывной дроби». Это, вероятно, самый компактный и удобный способ выразить непрерывные дроби; однако он не получил широкого распространения среди английских наборщиков.

Некоторые элементарные соображения

Вот некоторые элементарные результаты, имеющие принципиальное значение для дальнейшего развития аналитической теории цепных дробей.

Частные числители и знаменатели

Если один из частичных числителей а_п+1 равен нулю, бесконечная цепная дробь

${ displaystyle b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}} , }$

на самом деле просто конечная цепная дробь с п дробные члены, и, следовательно, рациональная функция из первых п а_яи первый (п + 1) б_яс. Такой объект малоинтересен с точки зрения математического анализа, поэтому обычно предполагается, что ни один из а_я = 0. Нет необходимости накладывать это ограничение на частные знаменатели. б_я.

Детерминантная формула

Когда пй сходящийся дроби непрерывной дроби

${ displaystyle x_ {n} = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset {n} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i} }} ,}$

выражается простой дробью Икс_п = А_п/B_п мы можем использовать детерминантная формула

${ Displaystyle A_ {n-1} B_ {n} -A_ {n} B_ {n-1} = (- 1) ^ {n} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n} = Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i})}$

(1)

связать числители и знаменатели последовательных подходящих дробей Икс_п и Икс_п-1 для другого. Доказательство этого легко увидеть по индукции.

Базовый вариант

Это банально правда.

Индуктивный шаг

Предположим, что (1) выполняется для ${ displaystyle n-1}$.Тогда нам нужно увидеть, что то же соотношение справедливо для ${ displaystyle n}$.Подставляя значение ${ displaystyle A_ {n}}$ и ${ displaystyle B_ {n}}$ в 1 мы получаем:

${ displaystyle { begin {align} & = b_ {n} A_ {n-1} B_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-1} B_ {n-2} -b_ {n} A_ {n-1} B_ {n-1} -a_ {n} A_ {n-2} B_ {n-1} & = a_ {n} (A_ {n-1} B_ {n-2} - A_ {n-2} B_ {n-1}) end {выравнивается}}}$

что верно в силу нашей гипотезы индукции.

${ Displaystyle A_ {n-1} B_ {n} -A_ {n} B_ {n-1} = (- 1) ^ {n} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n} = Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i}) ,}$

В частности, если ни один B_п ни B_п-1 равен нулю, мы можем выразить разницу между п-1-й и пth (п > 0) такие сходящиеся:

${ displaystyle x_ {n-1} -x_ {n} = { frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} - { frac {A_ {n}} {B_ {n}}) }} = (- 1) ^ {n} { frac {a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n}} {B_ {n} B_ {n-1}}} = { frac { Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i})} {B_ {n} B_ {n-1}}}. ,}$

Преобразование эквивалентности

Если {c_я} = {c₁, c₂, c₃, ...} - любая бесконечная последовательность ненулевых комплексных чисел, которую мы можем доказать с помощью индукция, который

${ displaystyle b_ {0} + { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + { cfrac {a_ {3}} {b_ {) 3} + { cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + ddots ,}}}}}}}} = b_ {0} + { cfrac {c_ {1} a_ {1}} { c_ {1} b_ {1} + { cfrac {c_ {1} c_ {2} a_ {2}} {c_ {2} b_ {2} + { cfrac {c_ {2} c_ {3} a_ {3} a_ { 3}} {c_ {3} b_ {3} + { cfrac {c_ {3} c_ {4} a_ {4}} {c_ {4} b_ {4} + ddots ,}}}}}} }}}$

где равенство понимается как эквивалентность, то есть последовательные подходящие дроби непрерывной дроби слева точно такие же, как подходящие дроби дроби справа.

Преобразование эквивалентности является совершенно общим, но два частных случая заслуживают особого упоминания. Во-первых, если ни один из а_я равны нулю последовательность {c_я} можно выбрать так, чтобы каждый частичный числитель был равен 1:

${ displaystyle b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {1} {c_ {i} b_ {i}}} ,}$

куда c₁ = 1/а₁, c₂ = а₁/а₂, c₃ = а₂/(а₁а₃), и вообще c_п+1 = 1/(а_п+1c_п).

Во-вторых, если ни один из частных знаменателей б_я равны нулю, мы можем использовать аналогичную процедуру для выбора другой последовательности {d_я}, чтобы сделать каждый частный знаменатель равным 1:

${ displaystyle b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {d_ {i} a_ {i}} {1}} ,}$

куда d₁ = 1/б₁ и иначе d_п+1 = 1/(б_пб_п+1).

Эти два частных случая преобразования эквивалентности чрезвычайно полезны, когда общие проблема сходимости анализируется.

Простые концепции конвергенции

Как уже отмечалось, непрерывная дробь

${ displaystyle x = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}} ,}$

сходится, если последовательность подходящих дробей {Икс_п} стремится к конечному пределу.

Понятие абсолютная конвергенция играет центральную роль в теории бесконечная серия. Соответствующего понятия не существует в аналитической теории цепных дробей - иными словами, математики не говорят о абсолютно сходящийся непрерывная дробь. Однако иногда понятие абсолютной конвергенции все же входит в дискуссию, особенно при изучении проблемы конвергенции. Например, конкретная непрерывная дробь

${ displaystyle x = { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {1} {b_ {i}}} ,}$

расходится колебанием, если ряд б₁ + б₂ + б₃ + ... абсолютно сходится.^[12]

Иногда частные числители и частные знаменатели непрерывной дроби выражаются как функции комплексной переменной. z. Например, относительно простая функция^[13] можно определить как

${ displaystyle f (z) = { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {1} {z}}. ,}$

Для такой непрерывной дроби понятие равномерное схождение возникает вполне естественно. Непрерывная часть одной или нескольких сложных переменных равна равномерно сходящийся в открытый район Ω, если подходящие дроби сходятся равномерно в каждой точке Ω. Или, точнее: если для каждого ε > 0 целое число M можно найти так, что абсолютная величина разницы

${ displaystyle f (z) -f_ {n} (z) = { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i} (z )} {b_ {i} (z)}} - { underset {i = 1} { overset {n} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i} (z)} {b_ {i} (z)}} ,}$

меньше чем ε за каждую точку z в открытой окрестности Ω всякий раз, когда п > M, непрерывная дробь, определяющая ж(z) сходится равномерно на Ω. (Здесь ж_п(z) обозначает п-я сходящаяся дробь непрерывной дроби, вычисленная в точке z внутри Ω и ж(z) - значение бесконечной цепной дроби в точке z.)

В Теорема Слешинского – Прингсхейма обеспечивает достаточное условие сходимости.

Четные и нечетные сходящиеся

Иногда бывает необходимо разделить непрерывную дробь на четную и нечетную части. Например, если непрерывная дробь расходится колебанием между двумя различными предельными точками п и q, то последовательность {Икс₀, Икс₂, Икс₄, ...} должны сходиться к одному из них, а {Икс₁, Икс₃, Икс₅, ...} должны сходиться к другому. В такой ситуации может быть удобно выразить исходную непрерывную дробь как две разные непрерывные дроби, одна из которых сходится к п, а другой сходится к q.

Формулы для четной и нечетной частей непрерывной дроби можно записать наиболее компактно, если дробь уже преобразована так, что все ее частные знаменатели равны единице. В частности, если

${ displaystyle x = { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {1}} ,}$

- непрерывная дробь, то четная часть Икс_четное и странная часть Икс_{странный} даны

${ displaystyle x _ { mathrm {even}} = { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {2} - { cfrac {a_ {2} a_ {3}} {1 + a_ {3} + a_ {4} - { cfrac {a_ {4} a_ {5}} {1 + a_ {5} + a_ {6} - { cfrac {a_ {6} a_ {7}} {1 + a_ {7 } + a_ {8} - ddots}}}}}}}} ,}$

и

${ displaystyle x _ { mathrm {odd}} = a_ {1} - { cfrac {a_ {1} a_ {2}} {1 + a_ {2} + a_ {3} - { cfrac {a_ {3}) } a_ {4}} {1 + a_ {4} + a_ {5} - { cfrac {a_ {5} a_ {6}} {1 + a_ {6} + a_ {7} - { cfrac {a_ {7} a_ {8}} {1 + a_ {8} + a_ {9} - ddots}}}}}}}} ,}$

соответственно. Точнее, если последовательные подходящие дроби непрерывной дроби Икс находятся {Икс₁, Икс₂, Икс₃, ...}, то последовательные подходящие дроби Икс_четное как написано выше: {Икс₂, Икс₄, Икс₆, ...}, и последовательные подходящие Икс_{странный} находятся {Икс₁, Икс₃, Икс₅, ...}.^[14]

Условия иррациональности

Если ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, { text {. . .}}}$ и ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, { text {. . .}}}$ положительные целые числа с ${ displaystyle a_ {k}}$ ≤ ${ displaystyle b_ {k}}$ для всех достаточно больших ${ displaystyle k}$, тогда

${ displaystyle x = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}} ,}$

сходится к иррациональному пределу.^[15]

Основные формулы повторения

Частные числители и знаменатели последовательных подходящих дробей связаны соотношением основные рекуррентные формулы:

${ displaystyle { begin {align} A _ {- 1} & = 1 & B _ {- 1} & = 0 A_ {0} & = b_ {0} & B_ {0} & = 1 A_ {n + 1 } & = b_ {n + 1} A_ {n} + a_ {n + 1} A_ {n-1} & B_ {n + 1} & = b_ {n + 1} B_ {n} + a_ {n + 1 } B_ {n-1} , end {выровнено}}}$

Последовательные подходящие дроби непрерывной дроби задаются выражением

${ displaystyle x_ {n} = { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}. ,}$

Эти рекуррентные соотношения обусловлены Джон Уоллис (1616-1703) и Леонард Эйлер (1707-1783).^[16]

В качестве примера рассмотрим правильная цепная дробь в канонической форме что представляет собой золотое сечение φ:

${ Displaystyle х = 1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1+ ddots ,}}} }}}}}}$

Применяя основные рекуррентные формулы, мы обнаруживаем, что последовательные числители А_п равны {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} и следующие друг за другом знаменатели B_п являются {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}, Числа Фибоначчи. Поскольку все частные числители в этом примере равны единице, формула определителя гарантирует, что абсолютное значение разности между последовательными сходящимися приближается к нулю довольно быстро.

Дробно-линейные преобразования

Дробно-линейное преобразование (LFT) - это сложная функция формы

${ Displaystyle ш = е (г) = { гидроразрыва {а + bz} {с + dz}}, ,}$

куда z - комплексная переменная, а а, б, c, d - произвольные комплексные константы такие, что ${ displaystyle c + dz neq 0}$. Дополнительное ограничение - это объявление ≠ до н.э - обычно налагается, чтобы исключить случаи, когда ш = ж(z) - постоянная. Дробно-линейное преобразование, также известное как Преобразование Мёбиуса, обладает множеством интересных свойств. Четыре из них имеют первостепенное значение для развития аналитической теории непрерывных дробей.

• Если d ≠ 0 LFT имеет один или два фиксированные точки. В этом можно убедиться, рассмотрев уравнение

${ Displaystyle е (Z) = Z Rightarrow dz ^ {2} + cz = a + bz ,}$

что явно квадратное уровненеие в z. Корни этого уравнения - неподвижные точки ж(z). Если дискриминант (c − б)² + 4объявление равно нулю, LFT фиксирует одну точку; в противном случае он имеет две неподвижные точки.

• Если объявление ≠ до н.э LFT - это обратимый конформное отображение из расширенная комплексная плоскость на себя. Другими словами, этот LFT имеет обратную функцию

${ Displaystyle Z = г (ш) = { гидроразрыва {-a + cw} {b-dw}} ,}$

такой, что ж(грамм(z)) = грамм(ж(z)) = z за каждую точку z в расширенной комплексной плоскости, и оба ж и грамм сохранять углы и формы в исчезающе малых масштабах. Из формы z = грамм(ш) Мы видим, что грамм также является LFT.

• В сочинение двух разных LFT, для которых объявление ≠ до н.э сам по себе LFT, для которого объявление ≠ до н.э. Другими словами, множество всех LFT, для которых объявление ≠ до н.э закрывается по композиции функций. Совокупность всех таких LFT - вместе с композицией функций "групповой операции" - известна как группа автоморфизмов расширенной комплексной плоскости.
• Если б = 0 LFT сводится к

${ Displaystyle ш = е (г) = { гидроразрыва {а} {с + dz}}, ,}$

что очень просто мероморфная функция из z с одним простой полюс (при -c/d) и остаток равно а/d. (Смотрите также Серия Laurent.)

Непрерывная фракция как состав LFT

Рассмотрим последовательность простых дробно-линейных преобразований

${ displaystyle tau _ {0} (z) = b_ {0} + z, quad tau _ {1} (z) = { frac {a_ {1}} {b_ {1} + z}} , quad tau _ {2} (z) = { frac {a_ {2}} {b_ {2} + z}}, quad tau _ {3} (z) = { frac {a_ { 3}} {b_ {3} + z}}, quad cdots ,}$

Здесь мы используем греческую букву τ (тау) для представления каждого простого LFT, и мы принимаем условные обозначения круга для композиции функций. Мы также вводим новый символ Τ_п представлять состав п+1 маленький τs - то есть,

${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {1}} (z) = tau _ {0} circ tau _ {1} (z) = tau _ {0} ( tau _ {1} (z)), quad { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {2}} (z) = tau _ {0} circ tau _ {1 } circ tau _ {2} (z) = tau _ {0} ( tau _ {1} ( tau _ {2} (z))), ,}$

и так далее. Путем прямой подстановки из первого набора выражений во второй мы видим, что

${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {1}} (z) & = tau _ {0} circ tau _ {1} (z) & = & quad b_ {0} + { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + z}} { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {2}} ( z) & = tau _ {0} circ tau _ {1} circ tau _ {2} (z) & = & quad b_ {0} + { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + z}}}} , end {align}}}$

и в целом

${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n}} (z) = tau _ {0} circ tau _ {1} circ tau _ {2} circ cdots circ tau _ {n} (z) = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset {n} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i} } {b_ {i}}} ,}$

где последний частный знаменатель в конечной цепной дроби K понимается как б_п + z. И с тех пор б_п + 0 = б_п, изображение точки z = 0 при повторной LFT Τ_п действительно является значением конечной цепной дроби с п частичные числители:

${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n}} (0) = { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n + 1}} ( infty ) = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset {n} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i}}}. ,}$

Геометрическая интерпретация

Определение конечной цепной дроби как изображения точки при повторении линейное функциональное преобразование Τ_п(z) приводит к интуитивно привлекательной геометрической интерпретации бесконечных цепных дробей.

Отношения

${ displaystyle x_ {n} = b_ {0} + { underset {i = 1} { overset {n} { mathrm {K}}}} { frac {a_ {i}} {b_ {i} }} = { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} = { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n}} (0) = { boldsymbol { mathrm { T}}} _ { boldsymbol {n + 1}} ( infty) ,}$

можно понять, переписав Τ_п(z) и Τ_п+1(z) с точки зрения основные рекуррентные формулы:

${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n}} (z) & = { frac {(b_ {n} + z) A_ {n-1 } + a_ {n} A_ {n-2}} {(b_ {n} + z) B_ {n-1} + a_ {n} B_ {n-2}}} и { boldsymbol { mathrm {T }}} _ { boldsymbol {n}} (z) & = { frac {zA_ {n-1} + A_ {n}} {zB_ {n-1} + B_ {n}}}; { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n + 1}} (z) & = { frac {(b_ {n + 1} + z) A_ {n} + a_ {n + 1} A_ {n-1}} {(b_ {n + 1} + z) B_ {n} + a_ {n + 1} B_ {n-1}}} & { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n + 1}} (z) & = { frac {zA_ {n} + A_ {n + 1}} {zB_ {n} + B_ {n + 1}}}. , end { выровнено}}}$

В первом из этих уравнений отношение стремится к А_п/B_п в качестве z стремится к нулю. Во втором случае отношение стремится к А_п/B_п в качестве z стремится к бесконечности. Это приводит нас к нашей первой геометрической интерпретации. Если непрерывная дробь сходится, последовательные подходящие дроби А_п/B_п в конечном итоге произвольно близко друг к другу. Поскольку дробно-линейное преобразование Τ_п(z) это непрерывное отображение, должно быть соседство z = 0, который отображается в сколь угодно малую окрестность Τ_п(0) = А_п/B_п. Точно так же должна существовать окрестность бесконечно удаленной точки, которая отображается в сколь угодно малую окрестность точки. Τ_п(∞) = А_п-1/B_п-1. Итак, если цепная дробь сходится, преобразование Τ_п(z) отображает оба очень маленьких z и очень большой z в сколь угодно малую окрестность Икс, значение непрерывной дроби, как п становится все больше и больше.

А как насчет промежуточных значений z? Что ж, поскольку последовательные конвергенты становятся все ближе друг к другу, мы должны иметь

${ displaystyle { frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} приблизительно { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} quad Rightarrow quad { frac {A_ {n-1}} {A_ {n}}} приблизительно { frac {B_ {n-1}} {B_ {n}}} = k ,}$

куда k - константа, введенная для удобства. Но тогда, подставив в выражение для Τ_п(z) мы получаем

${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} _ { boldsymbol {n}} (z) = { frac {zA_ {n-1} + A_ {n}} {zB_ {n-1} + B_ {n}}} = { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} left ({ frac {z { frac {A_ {n-1}}} {A_ {n}}} + 1} {z { frac {B_ {n-1}} {B_ {n}}} + 1}} right) приблизительно { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} left ( { frac {zk + 1} {zk + 1}} right) = { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} ,}$

так что даже промежуточные значения z (кроме случаев, когда z ≈ −k⁻¹) отображаются в сколь угодно малую окрестность Икс, значение непрерывной дроби, как п становится все больше и больше. Интуитивно кажется, что сходящаяся цепная дробь отображает всю расширенную комплексную плоскость в одну точку.^[17]

Обратите внимание, что последовательность {Τ_п} находится внутри группа автоморфизмов расширенной комплексной плоскости, так как каждый Τ_п - дробно-линейное преобразование, для которого ab ≠ CD. И каждый член этой группы автоморфизмов отображает расширенную комплексную плоскость в себя, а не в одну из Τ_пs может отобразить плоскость в одну точку. Но в пределе последовательность {Τ_п} определяет бесконечную цепную дробь, которая (если сходится) представляет единственную точку на комплексной плоскости.

Как это возможно? Подумайте об этом так. Когда бесконечная цепная дробь сходится, соответствующая последовательность {Τ_п} LFT "фокусирует" плоскость в направлении Икс, значение непрерывной дроби. На каждом этапе процесса все большая и большая область плоскости отображается в окрестности Икс, и все меньшие и меньшие области плоскости, которые остались, растягиваются все тоньше, чтобы покрыть все за пределами этой окрестности.^[18]

А как насчет расходящихся непрерывных дробей? Можно ли их также интерпретировать геометрически? Одним словом, да. Мы различаем три случая.

1. Две последовательности {Τ_2п-1} и {Τ_2п} могут сами определять две сходящиеся непрерывные дроби, которые имеют два разных значения, Икс_{странный} и Икс_четное. В этом случае цепная дробь, определяемая последовательностью {Τ_п} расходится колебанием между двумя разными предельными точками. А на самом деле эту идею можно обобщить - последовательности {Τ_п} могут быть сконструированы так, чтобы колебаться между тремя, четырьмя или даже любым количеством предельных точек. Интересные примеры этого случая возникают, когда последовательность {Τ_п} представляет собой подгруппа конечного порядка внутри группы автоморфизмов над расширенной комплексной плоскостью.
2. Последовательность {Τ_п} может дать бесконечное количество нулевых знаменателей B_я при этом также производя подпоследовательность конечных подходящих дробей. Эти конечные сходящиеся элементы могут не повторяться или образовывать узнаваемый колебательный паттерн. Или они могут сходиться к конечному пределу или даже колебаться между несколькими конечными пределами. Независимо от того, как ведут себя конечные подходящие дроби, цепная дробь, определяемая последовательностью {Τ_п} расходится колебанием с бесконечно удаленной точкой.^[19]
3. Последовательность {Τ_п} может давать не более конечного числа нулевых знаменателей B_я. в то время как подпоследовательность конечных сходящихся элементов дико танцует вокруг плоскости по шаблону, который никогда не повторяется и никогда не приближается к какому-либо конечному пределу.

Интересные примеры случаев 1 и 3 можно построить, изучив простую цепную дробь

${ displaystyle x = 1 + { cfrac {z} {1 + { cfrac {z} {1 + { cfrac {z} {1 + { cfrac {z} {1+ ddots}}}}} }}} ,}$

куда z любое действительное число такое, что z < −¼.^[20]

Формула непрерывной дроби Эйлера

Эйлер доказал следующее тождество:^[8]

${ displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n } = { frac {a_ {0}} {1 -}} { frac {a_ {1}} {1 + a_ {1} -}} { frac {a_ {2}} {1 + a_ {2 } -}} cdots { frac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}. ,}$

Из этого можно получить много других результатов, например

${ displaystyle { frac {1} {u_ {1}}} + { frac {1} {u_ {2}}} + { frac {1} {u_ {3}}} + cdots + { frac {1} {u_ {n}}} = { frac {1} {u_ {1} -}} { frac {u_ {1} ^ {2}} {u_ {1} + u_ {2} - }} { frac {u_ {2} ^ {2}} {u_ {2} + u_ {3} -}} cdots { frac {u_ {n-1} ^ {2}} {u_ {n- 1} + u_ {n}}}, ,}$

и

${ displaystyle { frac {1} {a_ {0}}} + { frac {x} {a_ {0} a_ {1}}} + { frac {x ^ {2}} {a_ {0}) a_ {1} a_ {2}}} + cdots + { frac {x ^ {n}} {a_ {0} a_ {1} a_ {2} ldots a_ {n}}} = { frac { 1} {a_ {0} -}} { frac {a_ {0} x} {a_ {1} + x -}} { frac {a_ {1} x} {a_ {2} + x-}} cdots { frac {a_ {n-1} x} {a_ {n} + x}}. ,}$

Формула Эйлера, соединяющая непрерывные дроби и ряды, является мотивацией для фундаментальные неравенства^{[ссылка или требуется разъяснение ]}, а также основа элементарных подходов к проблема сходимости.

Примеры

Трансцендентные функции и числа

Вот две непрерывные дроби, которые можно построить с помощью Тождество Эйлера.

${ displaystyle e ^ {x} = { frac {x ^ {0}} {0!}} + { frac {x ^ {1}} {1!}} + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots = 1 + { cfrac {x} {1 - { cfrac {1x} {2 + x - { cfrac {2x} {3 + x - { cfrac {3x} {4 + x- ddots}}}}}}}}}$

${ displaystyle log (1 + x) = { frac {x ^ {1}} {1}} - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3} } {3}} - { frac {x ^ {4}} {4}} + cdots = { cfrac {x} {1-0x + { cfrac {1 ^ {2} x} {2-1x + { cfrac {2 ^ {2} x} {3-2x + { cfrac {3 ^ {2} x} {4-3x + ddots}}}}}}}}}$

Вот дополнительные обобщенные цепные дроби:

${ displaystyle tan ^ {- 1} { cfrac {x} {y}} = { cfrac {xy} {1y ^ {2} + { cfrac {(1xy) ^ {2}} {3y ^ { 2} -1x ^ {2} + { cfrac {(3xy) ^ {2}} {5y ^ {2} -3x ^ {2} + { cfrac {(5xy) ^ {2}} {7y ^ { 2} -5x ^ {2} + ddots}}}}}}} = { cfrac {x} {1y + { cfrac {(1x) ^ {2}} {3y + { cfrac {(2x) ^ {2}} {5y + { cfrac {(3x) ^ {2}} {7y + ddots}}}}}}}}}$

${ displaystyle e ^ {x / y} = 1 + { cfrac {2x} {2y-x + { cfrac {x ^ {2}} {6y + { cfrac {x ^ {2}} {10y + { cfrac) {x ^ {2}} {14y + { cfrac {x ^ {2}} {18y + ddots}}}}}}}}}; ; e ^ {2} = 7 + { cfrac {2} {5 + { cfrac {1} {7 + { cfrac {1} {9 + { cfrac {1} {11+ ddots}}}}}}}}}$

${ displaystyle log left (1 + { frac {x} {y}} right) = { cfrac {x} {y + { cfrac {1x} {2 + { cfrac {1x} {3y + { cfrac {2x} {2 + { cfrac {2x} {5y + { cfrac {3x} {2+ ddots}}}}}}}}}}}} = { cfrac {2x} {2y + x - { cfrac {(1x) ^ {2}} {3 (2y + x) - { cfrac {(2x) ^ {2}} {5 (2y + x) - { cfrac {(3x) ^ { 2}} {7 (2y + x) - ddots}}}}}}}}}$

Последний основан на алгоритме, разработанном Алексеем Николаевичем Хованским в 1970-х годах.^[21]

Пример: натуральный логарифм 2 (= [0; 1,2,3,1,5,2 / 3,7,1 / 2,9,2 / 5, ..., 2k-1,2 / k, ...] ≈ 0,693147. ..):^[22]

${ Displaystyle журнал 2 = журнал (1 + 1) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {2} {2} + { cfrac {2} {5 + { cfrac {3} {2+ ddots}}}}}}}}}}} = { cfrac {2} {3 - { cfrac {1 ^ { 2}} {9 - { cfrac {2 ^ {2}} {15 - { cfrac {3 ^ {2}} {21- ddots}}}}}}}}}$

π

Вот три из πс наиболее известные обобщенные непрерывные дроби, первая и третья из которых являются производными от их соответствующих арктангенс формулы выше, установив Икс=у= 1 и умножение на четыре. В Формула Лейбница для π:

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2}} } {2+ ddots}}}}}}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {4 (-1) ^ {n}} {2n + 1}} = { frac {4} {1}} - { frac {4} {3}} + { frac {4} {5}} - { frac {4} {7}} + - cdots}$

сходится слишком медленно, требуется примерно 3 x 10^п сроки достижения п-десятичная точность. Ряд, полученный Нилаканта Сомаяджи:

${ displaystyle pi = 3 + { cfrac {1 ^ {2}} {6 + { cfrac {3 ^ {2}} {6 + { cfrac {5 ^ {2}} {6+ ddots} }}}}} = 3- sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n (n + 1) (2n + 1)}} = 3 + { frac {1} {1 cdot 2 cdot 3}} - { frac {1} {2 cdot 3 cdot 5}} + { frac {1} {3 cdot 4 cdot 7} } - + cdots}$

- гораздо более очевидное выражение, но все же сходится довольно медленно, требуя почти 50 членов для пяти знаков после запятой и почти 120 для шести. Оба сходятся сублинейно к π. С другой стороны:

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {3 + { cfrac {2 ^ {2}} {5 + { cfrac {3 ^ {2}} } {7+ ddots}}}}}}}} = 4-1 + { frac {1} {6}} - { frac {1} {34}} + { frac {16} {3145} } - { frac {4} {4551}} + { frac {1} {6601}} - { frac {1} {38341}} + - cdots}$

сходится линейно к π, добавляя по крайней мере три десятичных знака точности на четыре члена, что немного быстрее, чем формула арксинуса для π:

${ displaystyle pi = 6 sin ^ {- 1} left ({ frac {1} {2}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {3 cdot { binom {2n} {n}}} {16 ^ {n} (2n + 1)}} = { frac {3} {16 ^ {0} cdot 1}} + { frac {6} {16 ^ {1} cdot 3}} + { frac {18} {16 ^ {2} cdot 5}} + { frac {60} {16 ^ {3} cdot 7}} + cdots !}$

который добавляет не менее трех десятичных цифр на пять членов.^[23]

Примечание. Использование непрерывной дроби для ${ displaystyle tan ^ {- 1} { frac {x} {y}}}$ цитируется выше с наиболее известными Машиноподобная формула дает еще более быстрое, хотя и линейно сходящееся выражение:

${ displaystyle pi = 16 tan ^ {- 1} { cfrac {1} {5}} , - , 4 tan ^ {- 1} { cfrac {1} {239}} = { cfrac {16} {u + { cfrac {1 ^ {2}} {3u + { cfrac {2 ^ {2}} {5u + { cfrac {3 ^ {2}} {7u + ddots}}}}}} }} , - , { cfrac {4} {v + { cfrac {1 ^ {2}} {3v + { cfrac {2 ^ {2}} {5v + { cfrac {3 ^ {2}} { 7v + ddots}}}}}}}}.}$

куда ${ displaystyle u = 5, ; v = 239.}$

Корни положительных чисел

В n-й корень любого положительного числа z^м можно выразить повторением z = Икс^п + у, в результате чего

${ displaystyle { sqrt [{n}] {z ^ {m}}} = { sqrt [{n}] {(x ^ {n} + y) ^ {m}}} = x ^ {m} + { cfrac {my} {nx ^ {nm} + { cfrac {(nm) y} {2x ^ {m} + { cfrac {(n + m) y} {3nx ^ {nm} + { cfrac {(2n-m) y} {2x ^ {m} + { cfrac {(2n + m) y} {5nx ^ {nm} + { cfrac {(3n-m) y} {2x ^ {m) } + ddots}}}}}}}}}}}}}$

который можно упростить, сложив каждую пару фракций в одну фракцию, чтобы

${ displaystyle { sqrt [{n}] {z ^ {m}}} = x ^ {m} + { cfrac {2x ^ {m} cdot my} {n (2z-y) -my- { cfrac {(1 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} {3n (2z-y) - { cfrac {(2 ^ {2} n ^ {2}) -m ^ {2}) y ^ {2}} {5n (2z-y) - { cfrac {(3 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} { 7n (2z-y) - { cfrac {(4 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} {9n (2z-y) - ddots}}}}} }}}}}.}$

В квадратный корень из z является частным случаем этого алгоритма корня n-й степени (м=1, п=2):

${ displaystyle { sqrt {z}} = { sqrt {x ^ {2} + y}} = x + { cfrac {y} {2x + { cfrac {y} {2x + { cfrac {3y} {6x + { cfrac {3y} {2x + ddots}}}}}}}} = x + { cfrac {2x cdot y} {2 (2z-y) -y - { cfrac {1 cdot 3y ^ {2 }} {6 (2z-y) - { cfrac {3 cdot 5y ^ {2}} {10 (2z-y) - ddots}}}}}}}$

что можно упростить, отметив, что 5/10 = 3/6 = 1/2:

${ displaystyle { sqrt {z}} = { sqrt {x ^ {2} + y}} = x + { cfrac {y} {2x + { cfrac {y} {2x + { cfrac {y} {2x + { cfrac {y} {2x + ddots}}}}}}}} = x + { cfrac {2x cdot y} {2 (2z-y) -y - { cfrac {y ^ {2}} { 2 (2z-y) - { cfrac {y ^ {2}} {2 (2z-y) - ddots}}}}}}.}.}$

Квадратный корень можно также выразить через периодическая цепная дробь, но форма выше сходится быстрее при правильном Икс и у.

Пример 1

В кубический корень из двух (2^1/3 или же ³√2 ≈ 1.259921...):

(A) «Стандартные обозначения» Икс = 1, у = 1 и 2г - у = 3:

${ displaystyle { sqrt [{3}] {2}} = 1 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {2} {2 + { cfrac {4} {9 + { cfrac {5) } {2 + { cfrac {7} {15 + { cfrac {8} {2 + { cfrac {10} {21 + { cfrac {11} {2+ ddots}}}}}}}} }}}}}}}} = 1 + { cfrac {2 cdot 1} {9-1 - { cfrac {2 cdot 4} {27 - { cfrac {5 cdot 7} {45- { cfrac {8 cdot 10} {63 - { cfrac {11 cdot 13} {81- ddots}}}}}}}}}}.}$

(B) Быстрая сходимость с Икс = 5, у = 3 и 2г - у = 253:

${ displaystyle { sqrt [{3}] {2}} = { cfrac {5} {4}} + { cfrac {0.5} {50 + { cfrac {2} {5 + { cfrac {4) } {150 + { cfrac {5} {5 + { cfrac {7} {250 + { cfrac {8} {5 + { cfrac {10} {350 + { cfrac {11} {5+ ) ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = { cfrac {5} {4}} + { cfrac {2.5 cdot 1} {253-1 - { cfrac {2 cdot 4} {759 - { cfrac {5 cdot 7} {1265 - { cfrac {8 cdot 10} {1771- ddots}}}}}}}}.}$

Пример 2

Коэффициент Погсона (100^1/5 или же ⁵√100 ≈ 2,511886 ...), с Икс = 5, у = 75 и 2г - у = 6325:

${ displaystyle { sqrt [{5}] {100}} = { cfrac {5} {2}} + { cfrac {3} {250 + { cfrac {12} {5 + { cfrac {18) } {750 + { cfrac {27} {5 + { cfrac {33} {1250 + { cfrac {42} {5+ ddots}}}}}}}}}}} = { cfrac { 5} {2}} + { cfrac {5 cdot 3} {1265-3 - { cfrac {12 cdot 18} {3795 - { cfrac {27 cdot 33} {6325 - { cfrac {42}) cdot 48} {8855- ddots}}}}}}}}.}$