Многогранник Клейна - Википедия - Klein polyhedron

в геометрия чисел, то Многогранник Клейна, названный в честь Феликс Кляйн, используется для обобщения концепции непрерывные дроби в более высокие измерения.

Определение

Позволять ${ displaystyle textstyle C}$ быть закрытым симплициальный конус в Евклидово пространство ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ . В Многогранник Клейна из ${ displaystyle textstyle C}$ это выпуклый корпус ненулевых точек ${ displaystyle textstyle C cap mathbb {Z} ^ {n}}$ .

Отношение к непрерывным дробям

Предполагать ${ displaystyle textstyle alpha> 0}$ - иррациональное число. В ${ Displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ , конусы, порожденные ${ Displaystyle textstyle {(1, альфа), (1,0) }}$ и по ${ Displaystyle textstyle {(1, альфа), (0,1) }}$ дают два многогранника Клейна, каждый из которых ограничен последовательностью прилегающих отрезков прямых. Определить целая длина отрезка прямой на единицу меньше, чем размер его пересечения с ${ Displaystyle textstyle mathbb {Z} ^ {п}}$ . Тогда целые длины ребер этих двух многогранников Клейна кодируют расширение непрерывной дроби ${ displaystyle textstyle alpha}$ , один соответствует четным членам, а другой - нечетным.

Графы, связанные с многогранником Клейна

Предполагать ${ displaystyle textstyle C}$ порождается базисом ${ Displaystyle textstyle (а_ {я})}$ из ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ (так что ${ displaystyle textstyle C = { sum _ {i} lambda _ {i} a_ {i}: ( forall i) ; lambda _ {i} geq 0 }}$ ), и разреши ${ Displaystyle textstyle (ш_ {я})}$ - дуальный базис (так что ${ displaystyle textstyle C = {x: ( forall i) ; langle w_ {i}, x rangle geq 0 }}$ ). Написать ${ Displaystyle textstyle D (х)}$ для линии, порожденной вектором ${ displaystyle textstyle x}$ , и ${ Displaystyle textstyle Н (х)}$ для гиперплоскости, ортогональной ${ displaystyle textstyle x}$ .

Назовите вектор ${ displaystyle textstyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ иррациональный если ${ displaystyle textstyle H (x) cap mathbb {Q} ^ {n} = {0 }}$ ; и называть конус ${ displaystyle textstyle C}$ иррационально, если все векторы ${ displaystyle textstyle a_ {i}}$ и ${ displaystyle textstyle w_ {i}}$ иррациональны.

Граница ${ displaystyle textstyle V}$ многогранника Клейна называется плыть. Связанный с парусом ${ displaystyle textstyle V}$ иррационального конуса два графики:

график ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ чьи вершины являются вершинами ${ displaystyle textstyle V}$ , две соединяемые вершины, если они являются концами (одномерного) ребра ${ displaystyle textstyle V}$ ;
график ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ чьи вершины ${ Displaystyle textstyle (п-1)}$ -мерные грани (камеры) из ${ displaystyle textstyle V}$ , две камеры соединяются, если они ${ Displaystyle textstyle (п-2)}$ -мерное лицо.

Оба этих графа структурно связаны с ориентированным графом ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ чье множество вершин ${ displaystyle textstyle mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Q})}$ , где вершина ${ displaystyle textstyle A}$ соединяется с вершиной ${ displaystyle textstyle B}$ если и только если ${ displaystyle textstyle A ^ {- 1} B}$ имеет форму ${ displaystyle textstyle UW}$ куда

{ displaystyle U = left ({ begin {array} {cccc} 1 & cdots & 0 & c_ {1} vdots & ddots & vdots & vdots 0 & cdots & 1 & c_ {n-1} 0 & cdots & 0 & c_ {n} end {array}} right)}

(с ${ displaystyle textstyle c_ {i} in mathbb {Q}}$ , ${ displaystyle textstyle c_ {n} neq 0}$ ) и ${ displaystyle textstyle W}$ матрица перестановок. При условии, что ${ displaystyle textstyle V}$ был триангулированный, вершины каждого из графов ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ и ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ можно описать в терминах графика ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ :

Учитывая любой путь ${ displaystyle textstyle (x_ {0}, x_ {1}, ldots)}$ в ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ , можно найти путь ${ displaystyle textstyle (A_ {0}, A_ {1}, ldots)}$ в ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ такой, что ${ displaystyle textstyle x_ {k} = A_ {k} (e)}$ , куда ${ displaystyle textstyle e}$ это вектор ${ displaystyle textstyle (1, ldots, 1) in mathbb {R} ^ {n}}$ .
Учитывая любой путь ${ displaystyle textstyle ( sigma _ {0}, sigma _ {1}, ldots)}$ в ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ , можно найти путь ${ displaystyle textstyle (A_ {0}, A_ {1}, ldots)}$ в ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ такой, что ${ displaystyle textstyle sigma _ {k} = A_ {k} ( Delta)}$ , куда ${ displaystyle textstyle Delta}$ это ${ Displaystyle textstyle (п-1)}$ -размерный стандартный симплекс в ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Обобщение теоремы Лагранжа.

Лагранж доказал, что для иррационального действительного числа ${ displaystyle textstyle alpha}$ , разложение непрерывной дроби ${ displaystyle textstyle alpha}$ является периодический если и только если ${ displaystyle textstyle alpha}$ это квадратичный иррациональный. Многогранники Клейна позволяют обобщить этот результат.

Позволять ${ Displaystyle textstyle К substeq mathbb {R}}$ быть полностью реальным поле алгебраических чисел степени ${ displaystyle textstyle n}$ , и разреши ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}: K to mathbb {R}}$ быть ${ displaystyle textstyle n}$ реальные вложения ${ displaystyle textstyle K}$ . Симплициальный конус ${ displaystyle textstyle C}$ как говорят расколоть над ${ displaystyle textstyle K}$ если ${ displaystyle textstyle C = {x in mathbb {R} ^ {n}: ( forall i) ; alpha _ {i} ( omega _ {1}) x_ {1} + ldots + alpha _ {i} ( omega _ {n}) x_ {n} geq 0 }}$ куда ${ displaystyle textstyle omega _ {1}, ldots, omega _ {n}}$ это основа для ${ displaystyle textstyle K}$ над ${ displaystyle textstyle mathbb {Q}}$ .

Дан путь ${ displaystyle textstyle (A_ {0}, A_ {1}, ldots)}$ в ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ , позволять ${ displaystyle textstyle R_ {k} = A_ {k + 1} A_ {k} ^ {- 1}}$ . Путь называется периодический, с периодом ${ displaystyle textstyle m}$ , если ${ displaystyle textstyle R_ {k + qm} = R_ {k}}$ для всех ${ Displaystyle textstyle к, д geq 0}$ . В матрица периодов такого пути определяется как ${ displaystyle textstyle A_ {m} A_ {0} ^ {- 1}}$ . Путь в ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ или же ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ связанный с таким путем, также называется периодическим с той же матрицей периодов.

Обобщенная теорема Лагранжа утверждает, что для иррационального симплициального конуса ${ Displaystyle textstyle С substeq mathbb {R} ^ {п}}$ , с генераторами ${ Displaystyle textstyle (а_ {я})}$ и ${ Displaystyle textstyle (ш_ {я})}$ как указано выше и с парусом ${ displaystyle textstyle V}$ , следующие три условия эквивалентны:

${ displaystyle textstyle C}$ разбивается над некоторым вполне вещественным полем алгебраических чисел степени ${ displaystyle textstyle n}$ .
Для каждого из ${ displaystyle textstyle a_ {i}}$ существует периодический путь вершин ${ displaystyle textstyle x_ {0}, x_ {1}, ldots}$ в ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ так что ${ displaystyle textstyle x_ {k}}$ асимптотически приближаться к линии ${ Displaystyle textstyle D (а_ {я})}$ ; и все матрицы периодов этих путей коммутируют.
Для каждого из ${ displaystyle textstyle w_ {i}}$ есть периодический путь камер ${ displaystyle textstyle sigma _ {0}, sigma _ {1}, ldots}$ в ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ так что ${ displaystyle textstyle sigma _ {k}}$ асимптотически приближаться к гиперплоскости ${ Displaystyle textstyle H (ш_ {я})}$ ; и все матрицы периодов этих путей коммутируют.

Пример

Брать ${ displaystyle textstyle n = 2}$ и ${ Displaystyle textstyle К = mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ . Тогда симплициальный конус ${ displaystyle textstyle {(x, y): x geq 0, vert y vert leq x / { sqrt {2}} }}$ разделен на ${ displaystyle textstyle K}$ . Вершины паруса - это точки ${ displaystyle textstyle (p_ {k}, pm q_ {k})}$ соответствующие четным подходящим дробям ${ displaystyle textstyle p_ {k} / q_ {k}}$ непрерывной дроби для ${ displaystyle textstyle { sqrt {2}}}$ . Путь вершин ${ displaystyle textstyle (x_ {k})}$ в положительном квадранте, начиная с ${ displaystyle textstyle (1,0)}$ и двигаться в позитивном направлении - это ${ Displaystyle textstyle ((1,0), (3,2), (17,12), (99,70), ldots)}$ . Позволять ${ displaystyle textstyle sigma _ {k}}$ быть отрезком линии, соединяющим ${ displaystyle textstyle x_ {k}}$ к ${ displaystyle textstyle x_ {k + 1}}$ . Написать ${ displaystyle textstyle { bar {x}} _ {k}}$ и ${ displaystyle textstyle { bar { sigma}} _ {k}}$ для размышлений ${ displaystyle textstyle x_ {k}}$ и ${ displaystyle textstyle sigma _ {k}}$ в ${ displaystyle textstyle x}$ -ось. Позволять ${ displaystyle textstyle T = left ({ begin {array} {cc} 3 & 4 2 & 3 end {array}} right)}$ , так что ${ displaystyle textstyle x_ {k + 1} = Tx_ {k}}$ , и разреши ${ displaystyle textstyle R = left ({ begin {array} {cc} 6 & 1 - 1 & 0 end {array}} right) = left ({ begin {array} {cc} 1 & 6 0 & -1 end {array}} right) left ({ begin {array} {cc} 0 & 1 1 & 0 end {array}} right)}$ .

Позволять ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {e}} = left ({ begin {array} {cc} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} { frac {1} {4}} & - { frac {1} {4}} end {array}} right)}$ , ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {e}} = left ({ begin {array} {cc} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} & { frac {1} {4}} end {array}} right)}$ , ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {f}} = left ({ begin {array} {cc} 3 & 1 2 & 0 end {array}} right)}$ , и ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {f}} = left ({ begin {array} {cc} 3 & 1 - 2 & 0 end {array}} right)}$ .

Пути ${ Displaystyle textstyle (М _ { mathrm {e}} R ^ {k})}$ и ${ displaystyle textstyle ({ bar {M}} _ { mathrm {e}} R ^ {k})}$ периодические (с периодом один) по ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {2}}$ , с матрицами периодов ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {e}} RM _ { mathrm {e}} ^ {- 1} = T}$ и ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {e}} R { bar {M}} _ { mathrm {e}} ^ {- 1} = T ^ {- 1}}$ . У нас есть ${ displaystyle textstyle x_ {k} = M _ { mathrm {e}} R ^ {k} (e)}$ и ${ displaystyle textstyle { bar {x}} _ {k} = { bar {M}} _ { mathrm {e}} R ^ {k} (e)}$ .
Пути ${ Displaystyle textstyle (М _ { mathrm {f}} R ^ {k})}$ и ${ displaystyle textstyle ({ bar {M}} _ { mathrm {f}} R ^ {k})}$ периодические (с периодом один) по ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {2}}$ , с матрицами периодов ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {f}} RM _ { mathrm {f}} ^ {- 1} = T}$ и ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {f}} R { bar {M}} _ { mathrm {f}} ^ {- 1} = T ^ {- 1}}$ . У нас есть ${ displaystyle textstyle sigma _ {k} = M _ { mathrm {f}} R ^ {k} ( Delta)}$ и ${ displaystyle textstyle { bar { sigma}} _ {k} = { bar {M}} _ { mathrm {f}} R ^ {k} ( Delta)}$ .

Обобщение аппроксимируемости

Настоящее число ${ displaystyle textstyle alpha> 0}$ называется плохо аппроксимируется если ${ displaystyle textstyle {q (p alpha -q): p, q in mathbb {Z}, q> 0 }}$ отделена от нуля. Иррациональное число плохо аппроксимируется тогда и только тогда, когда частные частные его непрерывной дроби ограничены.^[1] Этот факт допускает обобщение в терминах многогранников Клейна.

Учитывая симплициальный конус ${ displaystyle textstyle C = {x: ( forall i) ; langle w_ {i}, x rangle geq 0 }}$ в ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ , куда ${ displaystyle textstyle langle w_ {i}, w_ {i} rangle = 1}$ определить норма минимум из ${ displaystyle textstyle C}$ в качестве ${ displaystyle textstyle N (C) = inf { prod _ {i} langle w_ {i}, x rangle: x in mathbb {Z} ^ {n} cap C setminus { 0 } }}$ .

Данные векторы ${ displaystyle textstyle mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m} in mathbb {Z} ^ {n}}$ , позволять ${ displaystyle textstyle [ mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}] = sum _ {i_ {1} < cdots$ . Это евклидова книга ${ displaystyle textstyle { sum _ {i} lambda _ {i} mathbf {v} _ {i}: ( forall i) ; 0 leq lambda _ {i} leq 1 } }$ .

Позволять ${ displaystyle textstyle V}$ быть парусом иррационального симплициального конуса ${ displaystyle textstyle C}$ .

Для вершины ${ displaystyle textstyle x}$ из ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ , определять ${ displaystyle textstyle [x] = [ mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}]}$ куда ${ displaystyle textstyle mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}}$ примитивные векторы в ${ Displaystyle textstyle mathbb {Z} ^ {п}}$ генерируя ребра, исходящие из ${ displaystyle textstyle x}$ .
Для вершины ${ displaystyle textstyle sigma}$ из ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ , определять ${ displaystyle textstyle [ sigma] = [ mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}]}$ куда ${ displaystyle textstyle mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}}$ крайние точки ${ displaystyle textstyle sigma}$ .

потом ${ displaystyle textstyle N (C)> 0}$ если и только если ${ displaystyle textstyle {[x]: x in Gamma _ { mathrm {e}} (V) }}$ и ${ displaystyle textstyle {[ sigma]: sigma in Gamma _ { mathrm {f}} (V) }}$ оба ограничены.

Количество ${ Displaystyle textstyle [х]}$ и ${ displaystyle textstyle [ sigma]}$ называются детерминанты. В двух измерениях с конусом, порожденным ${ Displaystyle textstyle {(1, альфа), (1,0) }}$ , они представляют собой частные частные непрерывной дроби ${ displaystyle textstyle alpha}$ .

Смотрите также

Строительство (математика)