В математике бесконечный композиции из аналитические функции (ICAF) предложить альтернативные формулировки аналитические непрерывные дроби, серии, товары и другие бесконечные расширения, и теория, развивающаяся из таких композиций, может пролить свет на конвергенция / расхождение этих расширений. Некоторые функции могут быть расширены напрямую до бесконечных композиций. Кроме того, можно использовать ICAF для оценки решений фиксированная точка уравнения с бесконечными разложениями. Сложная динамика предлагает другое место для итерация систем функций а не одну функцию. Для бесконечных композиций единственная функция видеть Итерированная функция. Для композиций конечного числа функций, полезных в фрактал теория, см. Система повторяющихся функций.
Хотя в названии этой статьи указаны аналитические функции, есть результаты для более общих функции комплексной переменной также.
Обозначение
Есть несколько обозначений, описывающих бесконечные композиции, в том числе следующие:
Форвардные составы: Fk, n(z) = жk ∘ жk+1 ∘ ... ∘ жп−1 ∘ жп(z).
Обратные композиции: граммk, n(z) = жп ∘ жп−1 ∘ ... ∘ жk+1 ∘ жk(z)
В каждом случае сходимость интерпретируется как наличие следующих ограничений:
![lim _ {n to infty} F_ {1, n} (z), qquad lim _ {n to infty} G_ {1, n} (z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5464a4aa93669dfc04024eb38a121c27c9caafc8)
Для удобства установите Fп(z) = F1,п(z) и граммп(z) = грамм1,п(z).
Можно также написать
и![{ Displaystyle G_ {n} (z) = { underset {k = 1} { overset {n} { mathop {L}}}} , g_ {k} (z) = g_ {n} circ g_ {n-1} circ cdots circ g_ {1} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816a95c26c5a7b55c6d882acfa1699c98773dc53)
Теорема о сжатии
Многие результаты можно рассматривать как продолжение следующего результата:
- Теорема о сжатии для аналитических функций.[1] Позволять ж быть аналитичным в односвязной области S и непрерывно на закрытии S из S. Предполагать ж(S) - ограниченное множество, содержащееся в S. Тогда для всех z в S существует привлекательная фиксированная точка α из ж в S такой, что:
![F_ {n} (z) = (f circ f circ cdots circ f) (z) to alpha,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1911d4b49ab85012bc60acf0522305ac74cbf47f)
Бесконечные композиции сжимающих функций
Позволять {жп} - последовательность функций, аналитических в односвязной области S. Предположим, что существует компакт Ω ⊂ S так что для каждого п, жп(S) ⊂ Ω.
- Теорема о прямой (внутренней или правой) композиции. {Fп} сходится равномерно на компактных подмножествах S к постоянной функции F(z) = λ.[2]
- Теорема обратной (внешней или левой) композиции. {граммп} сходится равномерно на компактных подмножествах S к γ ∈ Ω тогда и только тогда, когда последовательность неподвижных точек {γп} из {жп} сходится к γ.[3]
Дополнительная теория, являющаяся результатом исследований, основанных на этих двух теоремах, в частности теореме о прямых композициях, включает анализ местоположения для полученных здесь пределов [1]. Для другого подхода к теореме обратных композиций см. [2].
Что касается теоремы об обратных композициях, пример ж2п(z) = 1/2 и ж2п−1(z) = −1/2 для S = {z : |z| <1} демонстрирует неадекватность простого требования сжатия в компактное подмножество, как теорема о прямых композициях.
Для функций, не обязательно аналитических, Липшиц условие достаточно:
- Теорема.[4] Предполагать
односвязное компактное подмножество
и разреши
- семейство функций, удовлетворяющее![{ displaystyle forall n, forall z_ {1}, z_ {2} in S, exists rho: quad left | t_ {n} (z_ {1}) - t_ {n} (z_ { 2}) right | leq rho | z_ {1} -z_ {2} |, quad rho <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76a760f537fa3f32fcd2b8ec30b829dbc8fd598)
- Определять:
![{ Displaystyle { begin {align} G_ {n} (z) & = left (t_ {n} circ t_ {n-1} circ cdots circ t_ {1} right) (z) F_ {n} (z) & = left (t_ {1} circ t_ {2} circ cdots circ t_ {n} right) (z) end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348456a8b60b8b9003487215d95d77f27b17748b)
- потом
равномерно на
Если
единственная неподвижная точка
тогда
равномерно на
если и только если
.
Бесконечные композиции других функций
Бесконтактные сложные функции
Полученные результаты[5] с участием целые функции включите следующее в качестве примеров. Набор
![{ displaystyle { begin {align} f_ {n} (z) & = a_ {n} z + c_ {n, 2} z ^ {2} + c_ {n, 3} z ^ {3} + cdots rho _ {n} & = sup _ {r} left { left | c_ {n, r} right | ^ { frac {1} {r-1}} right } конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e1fcb4c5239903944113eb3ec57539f0515b6a)
Тогда верны следующие результаты:
- Теорема E1.[6] Если ап ≡ 1,
![sum _ {n = 1} ^ { infty} rho _ {n} < infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8330db6e7de67a7d82ba36a8a0dfac3d1ba336b)
- тогда Fп → F, весь.
- Теорема E2.[5] Установить εп = |ап−1 | предположим, что существует неотрицательное δп, M1, M2, р такое, что имеет место следующее:
![{ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 1} ^ { infty} varepsilon _ {n} & < infty, сумма _ {n = 1} ^ { infty} delta _ {n} & < infty, prod _ {n = 1} ^ { infty} (1+ delta _ {n}) & <M_ {1}, prod _ {n = 1 } ^ { infty} (1+ varepsilon _ {n}) & <M_ {2}, rho _ {n} & <{ frac { delta _ {n}} {RM_ {1} M_ {2}}}. End {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db7c9592238e34dc1c4f0076b46b4b16adb1fe2)
- потом граммп(z) → грамм(z), аналитическая для |z| < р. Сходимость равномерна на компактных подмножествах {z : |z| < р}.
Дополнительные элементарные результаты включают:
- Теорема GF3.[4] Предполагать
где есть
такой, что
подразумевает
Кроме того, предположим
и
Тогда для ![{ Displaystyle R * <R-M sum _ {k = 1} ^ {n} rho _ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce63c59c17bbeb2f405fec26b56363983529cf07)
![{ Displaystyle G_ {n} (z) эквив left (f_ {n} circ f_ {n-1} circ cdots circ f_ {1} right) (z) к G (z) qquad { text {for}} {z: | z | <R * }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5362ae4861e6c7a0f7b5a7dbe61279312a828e7b)
- Теорема GF4.[4] Предполагать
где есть
такой, что
и
подразумевают
и
Кроме того, предположим
и
Тогда для ![{ Displaystyle R * <R-M sum _ {k = 1} ^ {n} rho _ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce63c59c17bbeb2f405fec26b56363983529cf07)
![{ Displaystyle F_ {N} (z) Equiv left (f_ {1} circ f_ {2} circ cdots circ f_ {n} right) (z) to F (z) qquad { text {for}} {z: | z | <R * }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9406be664db7eb8e4306f781b3c5cbc134b6344)
- Теорема GF5.[5] Позволять
аналитический для |z| < р0, с |граммп(z)| ≤ Cβп,![{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} beta _ {n} < infty.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda2a56b36025bf0a79c6a78d6cf5900e6991cb4)
- Выберите 0 < р < р0 и определить
![{ Displaystyle R = R (r) = { frac {R_ {0} -r} { prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + C beta _ {n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bef41ae594a9daf779c82ec77b03aecdd50ef14)
- потом Fп → F равномерно для |z| ≤ р. Более того,
![{ displaystyle left | F '(z) right | leq prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + { tfrac {R_ {0}} {r}} C beta _ {n} right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c1107e0dc7f09fbdab94e78698ed193bbb71aa)
Пример GF1: ![{ displaystyle F_ {40} (x + iy) = { underset {k = 1} { overset {40} { mathop {R}}}} left ({ frac {x + iy} {1+ { tfrac {1} {4 ^ {k}}} (x cos (y) + iy sin (x))}} right), qquad [-20,20]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df236f6e54a2de13d31929298ca04befdcf9c82b)
Пример GF1: Репродуктивная вселенная - топографическое (модульное) изображение бесконечной композиции.
Пример GF2: ![{ displaystyle G_ {40} (x + iy) = { underset {k = 1} { overset {40} { mathop {L}}}} , left ({ frac {x + iy} { 1 + { tfrac {1} {2 ^ {k}}} (x cos (y) + iy sin (x))}} right), qquad [-20,20]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839c3cc0c0f01daed15bd67dbe71f2e5b28d944b)
Пример GF2: Метрополис на 30К - Топографическое (модульное) изображение бесконечной композиции.
Дробно-линейные преобразования
Полученные результаты[5] для композиций дробно-линейные преобразования (Мёбиуса) включите в качестве примеров следующее:
- Теорема LFT1. О множестве сходимости последовательности {Fп} неособых LFT, предельная функция:
- (а) неособая ЛПФ,
- (b) функция, принимающая два различных значения, или
- (c) постоянная.
В (а) последовательность сходится всюду в расширенной плоскости. В (b) последовательность сходится либо всюду, и к одному и тому же значению везде, кроме одной точки, либо она сходится только в двух точках. Случай (c) может иметь место при любом возможном множестве сходимости.[7]
- Теорема LFT2.[8] Если {Fп} сходится к LFT, то жп сходятся к тождественной функции ж(z) = z.
- Теорема LFT3.[9] Если жп → ж и все функции гиперболический или же локсодромный Преобразования Мёбиуса, то Fп(z) → λ, константа, для всех
, куда {βп} - отталкивающие неподвижные точки {жп}.
- Теорема LFT4.[10] Если жп → ж куда ж является параболический с неподвижной точкой γ. Пусть неподвижные точки {жп} быть {γп} и {βп}. Если
![{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left | gamma _ {n} - beta _ {n} right | < infty quad { text {and}} quad sum _ {n = 1} ^ { infty} n left | beta _ {n + 1} - beta _ {n} right | < infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6896411e1344572d8617632a236c5d348fa53410)
- тогда Fп(z) → λ, постоянная в расширенной комплексной плоскости для всех z.
Примеры и приложения
Непрерывные дроби
Значение бесконечной цепной дроби
![{ displaystyle { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + cdots}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9fe678d68360bca9f873bd4534aa356fcd1930)
можно выразить как предел последовательности {Fп(0)} где
![f_ {n} (z) = { frac {a_ {n}} {b_ {n} + z}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bb26258841f4b2b8b0db85a851b958c3a019e1)
В качестве простого примера, хорошо известный результат (Worpitsky Circle *[11]) следует из применения теоремы (А):
Рассмотрим непрерывную дробь
![{ displaystyle { cfrac {a_ {1} zeta} {1 + { cfrac {a_ {2} zeta} {1+ cdots}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc18070399c63766f6cf26bf788c4de353cbea1)
с
![f_ {n} (z) = { frac {a_ {n} zeta} {1 + z}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d92f64971cc71920f838bfab86af39ac72b78ed)
Предположим, что | ζ | <1 и |z| < р <1. Тогда при 0 < р < 1,
, аналитический для |z| <1. Установить р = 1/2.
Пример.
![{ displaystyle [-15,15]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a9b6aee9f6215dc59619410f4bc2dbf18a4107)
Пример: Непрерывная дробь1 - Топографическое изображение (модули) непрерывной дроби (по одному для каждой точки) на комплексной плоскости. [-15,15]
Пример.[5] А форма непрерывной дроби с фиксированной точкой (единственная переменная).
![{ displaystyle f_ {k, n} (z) = { frac { alpha _ {k, n} beta _ {k, n}} { alpha _ {k, n} + beta _ {k, n} -z}}, alpha _ {k, n} = alpha _ {k, n} (z), beta _ {k, n} = beta _ {k, n} (z), F_ {n} (z) = left (f_ {1, n} circ cdots circ f_ {n, n} right) (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bde2f1d402ed023505801b211d1ee9440eb9418)
![{ Displaystyle альфа _ {к, п} = х соз (ty) + iy sin (tx), beta _ {k, n} = cos (ty) + i sin (tx), t = k / n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba1902d39de16978f4b0be7ef74f14b73a55c64)
Пример: Бесконечная брошь - топографическое изображение (модулей) форма непрерывной дроби в комплексной плоскости. (6 <х <9,6), (4,8 <у <8)
Прямое функциональное расширение
Примеры, иллюстрирующие преобразование функции непосредственно в композицию, следующие:
Пример 1.[6][12] Предполагать
- целая функция, удовлетворяющая следующим условиям:
![{ Displaystyle { begin {case} phi (tz) = t left ( phi (z) + phi (z) ^ {2} right) & | t |> 1 phi (0) = 0 phi '(0) = 1 end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8e956a803a753a01ab03bf7b3ab36bb9a34c9a)
потом
.
Пример 2.[6]
![{ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {z ^ {2}} {2 ^ {n}}} Longrightarrow F_ {n} (z) to { frac {1} {2} } left (e ^ {2z} -1 right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b0dac02aba53f1bb9ca3fec6333471cfb3a72b)
Пример 3.[5]
![{ displaystyle f_ {n} (z) = { frac {z} {1 - { tfrac {z ^ {2}} {4 ^ {n}}}}}} Longrightarrow F_ {n} (z) в tan (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d949ccb92a1e0dd8b7aba7383b1e5adcc0b47d5)
Пример 4.[5]
![{ displaystyle g_ {n} (z) = { frac {2 cdot 4 ^ {n}} {z}} left ({ sqrt {1 + { frac {z ^ {2}}} {4 ^ {n}}}}} - 1 right) Longrightarrow G_ {n} (z) to arctan (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070c5cac78da12914682ae0f7645c0b0f7cfcab1)
Расчет фиксированных точек
Теорема (B) может применяться для определения неподвижных точек функций, определяемых бесконечными разложениями или некоторыми интегралами. Следующие примеры иллюстрируют процесс:
Пример FP1.[3] Для | ζ | ≤ 1 пусть
![{ Displaystyle G ( zeta) = { frac { tfrac {e ^ { zeta}} {4}} {3+ zeta + { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {8} } {3+ zeta + { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {12}} {3+ zeta + cdots}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b06d8cb204ec9a27bb918422a45e7a760171e59)
Чтобы найти α = грамм(α), сначала определим:
![{ displaystyle { begin {align} t_ {n} (z) & = { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {4n}} {3+ zeta + z}} f_ {n } ( zeta) & = t_ {1} circ t_ {2} circ cdots circ t_ {n} (0) end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cb782f4227b6328d8e194d1bf33c703eec85ea)
Затем вычислите
с ζ = 1, что дает: α = 0,087118118 ... с точностью до десяти десятичных знаков после десяти итераций.
- Теорема FP2.[5] Пусть φ (ζ, т) быть аналитичным в S = {z : |z| < р} для всех т в [0, 1] и непрерывно в т. Набор
![{ displaystyle f_ {n} ( zeta) = { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} varphi left ( zeta, { tfrac {k} {n }}верно).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb2c83e375b9b9efe8f550f789441a1d28d0341)
- Если | φ (ζ, т)| ≤ р < р для ζ ∈ S и т ∈ [0, 1], то
![{ displaystyle zeta = int _ {0} ^ {1} varphi ( zeta, t) , dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23aa3fa66bd55bc0c80d59eb13a0908efd825440)
- имеет единственное решение, α в S, с
![{ displaystyle lim _ {n to infty} G_ {n} ( zeta) = alpha.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c8de7020e09ba1545de7e3cfe69a955b78b877)
Функции эволюции
Рассмотрим временной интервал, нормированный на я = [0, 1]. ICAF могут быть построены для описания непрерывного движения точки, z, на интервале, но таким образом, чтобы в каждый «момент» движение было практически нулевым (см. Стрела Зенона ): Для интервала, разделенного на n равных подинтервалов, 1 ≤ k ≤ п набор
аналитический или просто непрерывный - в области S, так что
для всех k и все z в S,
и
.
Главный пример[5]
![{ displaystyle { begin {align} g_ {k, n} (z) & = z + { frac {1} {n}} phi left (z, { tfrac {k} {n}} right ) G_ {k, n} (z) & = left (g_ {k, n} circ g_ {k-1, n} circ cdots circ g_ {1, n} right) (z ) G_ {n} (z) & = G_ {n, n} (z) end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0beefc10ea6aca745fddb48c6618fbf76bd34ff)
подразумевает
![{ displaystyle lambda _ {n} (z) doteq G_ {n} (z) -z = { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} phi left (G_ {k-1, n} (z) { tfrac {k} {n}} right) doteq { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} psi left (z, { tfrac {k} {n}} right) sim int _ {0} ^ {1} psi (z, t) , dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4485f3194f781ffb0180a6da6c1ea75ed0504e)
где интеграл определен корректно, если
имеет решение в закрытой форме z(т). потом
![{ displaystyle lambda _ {n} (z_ {0}) приблизительно int _ {0} ^ {1} phi (z (t), t) , dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636f7adc6d3817010cdc1f48df99797a9762f28b)
В противном случае подынтегральное выражение определяется плохо, хотя значение интеграла легко вычисляется. В этом случае интеграл можно было бы назвать «виртуальным» интегралом.
Пример. ![{ displaystyle phi (z, t) = { frac {2t- cos y} {1- sin x cos y}} + я { frac {1-2t sin x} {1- sin x cos y}}, int _ {0} ^ {1} psi (z, t) , dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a7fe433d37807ddb7a0eb404b0ca88495f8de1)
Пример 1: Виртуальные туннели - Топографическое изображение (модулей) виртуальных интегралов (по одному для каждой точки) в комплексной плоскости. [-10,10]
Два контура, стремящиеся к привлекательной фиксированной точке (красный слева). Белый контур (c = 2) завершается до достижения фиксированной точки. Второй контур (c(п) = квадратный корень из п) заканчивается в фиксированной точке. Для обоих контуров п = 10,000
Пример.[13] Позволять:
![{ displaystyle g_ {n} (z) = z + { frac {c_ {n}} {n}} phi (z), quad { text {with}} quad f (z) = z + phi (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983ff5cc1da41b0445848ac15565328c43201a56)
Далее установите
и Тп(z) = Тп, п(z). Позволять
![{ Displaystyle T (z) = lim _ {n to infty} T_ {n} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9eea6062be72d79dd781edac1260bc3ac24039)
когда этот предел существует. Последовательность {Тп(z)} определяет контуры γ = γ (cп, z), которые следуют за потоком векторного поля ж(z). Если существует притягивающая неподвижная точка α, то есть |ж(z) - α | ≤ ρ |z - α | для 0 ≤ ρ <1, то Тп(z) → Т(z) ≡ α вдоль γ = γ (cп, z), при условии (например)
. Если cп ≡ c > 0, то Тп(z) → Т(z), точка контура γ = γ (c, z). Легко видеть, что
![{ Displaystyle oint _ { gamma} phi ( zeta) , d zeta = lim _ {n to infty} { frac {c} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} phi ^ {2} left (T_ {k-1, n} (z) right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0eab336948501e9038e7849e29b91ee6df9fef6)
и
![{ Displaystyle L ( gamma (z)) = lim _ {n to infty} { frac {c} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} left | phi слева (T_ {k-1, n} (z) right) right |,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54de7282d1729690795899efea943a22659416d8)
когда эти ограничения существуют.
Эти концепции мало связаны с теория активного контура в обработке изображений, и являются простыми обобщениями Метод Эйлера
Самовоспроизводящиеся расширения
Серии
Ряд, рекурсивно определяемый формулой жп(z) = z + граммп(z) обладают тем свойством, что n-й член основан на сумме первых п - 1 семестр. Чтобы воспользоваться теоремой (GF3), необходимо показать ограниченность в следующем смысле: если каждый жп определено для |z| < M тогда |граммп(z)| < M должен следовать до |жп(z) − z| = |граммп(z)| ≤ Cβп определяется для итерационных целей. Это потому что
происходит на протяжении всего расширения. Ограничение
![{ displaystyle | z | <R = M-C sum _ {k = 1} ^ { infty} beta _ {k}> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43c431ca758889fd7b6e1890fa50ac463a3170e)
служит этой цели. потом граммп(z) → грамм(z) равномерно на ограниченной области.
Пример (S1). Набор
![f_ {n} (z) = z + { frac {1} { rho n ^ {2}}} { sqrt {z}}, qquad rho> { sqrt { frac { pi} {6 }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c541c6b27487353c45acda98c5aea10250e59e0b)
и M = ρ2. потом р = ρ2 - (π / 6)> 0. Тогда, если
, z в S подразумевает |граммп(z)| < M и теорема (GF3) применима, так что
![{ begin {align} G_ {n} (z) & = z + g_ {1} (z) + g_ {2} (G_ {1} (z)) + g_ {3} (G_ {2} (z )) + cdots + g_ {n} (G_ {n-1} (z)) & = z + { frac {1} { rho cdot 1 ^ {2}}} { sqrt {z} } + { frac {1} { rho cdot 2 ^ {2}}} { sqrt {G_ {1} (z)}} + { frac {1} { rho cdot 3 ^ {2} }} { sqrt {G_ {2} (z)}} + cdots + { frac {1} { rho cdot n ^ {2}}} { sqrt {G_ {n-1} (z) }} end {выровнены}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6358d0fb228b680e5d5d8696c43d1572258422e0)
сходится абсолютно, следовательно, сходится.
Пример (S2): ![{ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {1} {n ^ {2}}} cdot varphi (z), varphi (z) = 2 cos (x / y) + i2 sin (x / y),> G_ {n} (z) = f_ {n} circ f_ {n-1} circ cdots circ f_ {1} (z), qquad [-10,10 ], n = 50}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7aabcf72069505971d0f58a1c815cef9dca60ce)
Пример (S2) - Топографическое изображение (модулей) самопорожденного ряда.
Товары
Продукт, рекурсивно определяемый как
![{ displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z)), qquad | z | leqslant M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d56c2b36ad1c75a93f02984bb14b96585cbec8)
имеет вид
![G_ {n} (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n} left (1 + g_ {k} left (G_ {k-1} (z) right) right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dcf6e54e34e69525ec73cf27827fa8da8716bb)
Для применения теоремы GF3 требуется, чтобы:
![{ displaystyle left | zg_ {n} (z) right | leq C beta _ {n}, qquad sum _ {k = 1} ^ { infty} beta _ {k} < infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b188d34dc6b7605cbe96131afd018613471fc163)
Еще раз, условие ограниченности должно поддерживать
![{ displaystyle left | G_ {n-1} (z) g_ {n} (G_ {n-1} (z)) right | leq C beta _ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0565425be484d20942768161a99305d88d00ad)
Если кто знает Cβп заранее достаточно будет:
![{ displaystyle | z | leqslant R = { frac {M} {P}} qquad { text {where}} quad P = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + C beta _ {n} right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49166785efab9954067c55638f3d831f737f5277)
потом граммп(z) → грамм(z) равномерно на ограниченной области.
Пример (P1). Предполагать
с
наблюдая после нескольких предварительных вычислений, что |z| ≤ 1/4 означает |граммп(z) | <0,27. потом
![{ displaystyle left | G_ {n} (z) { frac {G_ {n} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} right | <(0,02) { frac {1} {n ^ {3}}} = C beta _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8721edf5b71eebd36d18b4899bdc73549ee71464)
и
![{ Displaystyle G_ {n} (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (1 + { frac {G_ {k} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895ddffc8bf7f9922614643f2110de2bdc127523)
сходится равномерно.
Пример (P2).
![{ displaystyle g_ {k, n} (z) = z left (1 + { frac {1} {n}} varphi left (z, { tfrac {k} {n}} right) верно),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6475274093f8bea25d87938bb4ed288f07ce22)
![{ displaystyle G_ {n, n} (z) = left (g_ {n, n} circ g_ {n-1, n} circ cdots circ g_ {1, n} right) (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n} (1 + P_ {k, n} (z)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1730214534c24399d3e7f58a1eb5fd37159c2d3b)
![{ displaystyle P_ {k, n} (z) = { frac {1} {n}} varphi left (G_ {k-1, n} (z), { tfrac {k} {n}}) верно),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e5257410081a7c1b00dee63501ef6eede27f80)
![{ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (1 + P_ {k, n} (z) right) = 1 + P_ {1, n} (z) + P_ {2 , n} (z) + cdots + P_ {k-1, n} (z) + R_ {n} (z) sim int _ {0} ^ {1} pi (z, t) , dt + 1 + R_ {n} (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0df69fdf1babda5ae8bf407fad24cdd4dfe043e)
![{ displaystyle varphi (z) = x cos (y) + iy sin (x), int _ {0} ^ {1} (z pi (z, t) -1) , dt, qquad [-15,15]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccd07603135c9429a910b31e26caacd26d0ef41)
Пример (P2): Вселенная Пикассо - виртуальный интеграл, производный от самогенерирующегося бесконечного продукта. Щелкните изображение для увеличения разрешения.
Непрерывные дроби
Пример (CF1): Самовоспроизводящаяся цепная дробь.[5][3]
![{ displaystyle { begin {align} F_ {n} (z) & = { frac { rho (z)} { delta _ {1} +}} { frac { rho (F_ {1} ( z))} { delta _ {2} +}} { frac { rho (F_ {2} (z))} { delta _ {3} +}} cdots { frac { rho (F_ {n-1} (z))} { delta _ {n}}}, rho (z) & = { frac { cos (y)} { cos (y) + sin (x )}} + i { frac { sin (x)} { cos (y) + sin (x)}}, qquad [0 <x <20], [0 <y <20], qquad дельта _ {к} эквив 1 конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2b2e388311d7527c9699373c5946c299e315c0)
Пример CF1: Убывающая отдача - топографическое изображение (модулей) самогенерирующейся непрерывной дроби.
Пример (CF2): Лучше всего описать как самовоспроизводящийся Непрерывная дробь Эйлера.[5]
![{ Displaystyle G_ {n} (z) = { frac { rho (G_ {n-1} (z))} {1+ rho (G_ {n-1} (z)) -}} { frac { rho (G_ {n-2} (z))} {1+ rho (G_ {n-2} (z)) -}} cdots { frac { rho (G_ {1} ( z))} {1+ rho (G_ {1} (z)) -}} { frac { rho (z)} {1+ rho (z) -z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5c82ecb19362e1e8c340db9100019bccad752d)
![{ Displaystyle rho (z) = rho (x + iy) = x cos (y) + iy sin (x), qquad [-15,15], n = 30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75164df889809c9b4f85263e07c9603dcc086739)
Пример CF2: Dream of Gold - топографическое (по модулю) изображение самогенерирующейся обратной цепной дроби Эйлера.
Рекомендации
- ^ П. Хенрици, Прикладной и вычислительный комплексный анализ, Vol. 1 (Wiley, 1974)
- ^ Л. Лоренцен, Состав сокращений, J. Comp & Appl Math. 32 (1990)
- ^ а б Дж. Гилл, Использование последовательности Fп(z) = жп ∘ ... ∘ ж1(z) при вычислении неподвижных точек цепных дробей, произведений и рядов Appl. Нумер. Математика. 8 (1991)
- ^ а б c Дж. Гилл, Введение в элементарную теорию бесконечных композиций комплексных функций, Comm. Анальный. Чт. Продолж. Frac., Vol XXIII (2017) и researchgate.net
- ^ а б c d е ж грамм час я j k Дж. Гилл, Математические заметки Джона Гилла, researchgate.net
- ^ а б c С. Кодзима, Сходимость бесконечных композиций целых функций, arXiv: 1009.2833v1
- ^ Г. Пираниан и В. Трон, Свойства сходимости последовательностей дробно-линейных преобразований, Math. J., Vol. 4 (1957)
- ^ J. DePree & W. Thron, О последовательностях преобразований Мебиуса, Math. З., Т. 80 (1962)
- ^ А. Магнус и М. Манделл, О сходимости последовательностей дробно-линейных преобразований, Math. Z.115 (1970)
- ^ Дж. Гилл, Бесконечные композиции преобразований Мебиуса, Trans. Амер. Математика. Soc., Том 176 (1973)
- ^ Л. Лоренцен, Х. Вааделанд, Непрерывные дроби с приложениями, Северная Голландия (1992)
- ^ Н. Штейнмец, Рациональная итерация, Вальтер де Грюйтер, Берлин (1993)
- ^ Дж. Гилл, Неофициальные заметки: контуры Зенона, параметрические формы и интегралы, Comm. Анальный. Чт. Продолж. Фракция, Том XX (2014)