Бесконечные композиции аналитических функций - Infinite compositions of analytic functions

В математике бесконечный композиции из аналитические функции (ICAF) предложить альтернативные формулировки аналитические непрерывные дроби, серии, товары и другие бесконечные расширения, и теория, развивающаяся из таких композиций, может пролить свет на конвергенция / расхождение этих расширений. Некоторые функции могут быть расширены напрямую до бесконечных композиций. Кроме того, можно использовать ICAF для оценки решений фиксированная точка уравнения с бесконечными разложениями. Сложная динамика предлагает другое место для итерация систем функций а не одну функцию. Для бесконечных композиций единственная функция видеть Итерированная функция. Для композиций конечного числа функций, полезных в фрактал теория, см. Система повторяющихся функций.

Хотя в названии этой статьи указаны аналитические функции, есть результаты для более общих функции комплексной переменной также.

Обозначение

Есть несколько обозначений, описывающих бесконечные композиции, в том числе следующие:

Форвардные составы: F_{k, n}(z) = ж_k ∘ ж_k+1 ∘ ... ∘ ж_п−1 ∘ ж_п(z).

Обратные композиции: грамм_{k, n}(z) = ж_п ∘ ж_п−1 ∘ ... ∘ ж_k+1 ∘ ж_k(z)

В каждом случае сходимость интерпретируется как наличие следующих ограничений:

${ displaystyle lim _ {n to infty} F_ {1, n} (z), qquad lim _ {n to infty} G_ {1, n} (z).}$

Для удобства установите F_п(z) = F_1,п(z) и грамм_п(z) = грамм_1,п(z).

Можно также написать ${ Displaystyle F_ {n} (z) = { underset {k = 1} { overset {n} { mathop {R}}}} , f_ {k} (z) = f_ {1} circ f_ {2} circ cdots circ f_ {n} (z)}$ и${ Displaystyle G_ {n} (z) = { underset {k = 1} { overset {n} { mathop {L}}}} , g_ {k} (z) = g_ {n} circ g_ {n-1} circ cdots circ g_ {1} (z)}$

Теорема о сжатии

Многие результаты можно рассматривать как продолжение следующего результата:

Теорема о сжатии для аналитических функций.^[1] Позволять ж быть аналитичным в односвязной области S и непрерывно на закрытии S из S. Предполагать ж(S) - ограниченное множество, содержащееся в S. Тогда для всех z в S существует привлекательная фиксированная точка α из ж в S такой, что:

${ Displaystyle F_ {N} (Z) = (е circ f circ cdots circ f) (z) к альфа,}$

Бесконечные композиции сжимающих функций

Позволять {ж_п} - последовательность функций, аналитических в односвязной области S. Предположим, что существует компакт Ω ⊂ S так что для каждого п, ж_п(S) ⊂ Ω.

Теорема о прямой (внутренней или правой) композиции. {F_п} сходится равномерно на компактных подмножествах S к постоянной функции F(z) = λ.^[2]

Теорема обратной (внешней или левой) композиции. {грамм_п} сходится равномерно на компактных подмножествах S к γ ∈ Ω тогда и только тогда, когда последовательность неподвижных точек {γ_п} из {ж_п} сходится к γ.^[3]

Дополнительная теория, являющаяся результатом исследований, основанных на этих двух теоремах, в частности теореме о прямых композициях, включает анализ местоположения для полученных здесь пределов [1]. Для другого подхода к теореме обратных композиций см. [2].

Что касается теоремы об обратных композициях, пример ж_2п(z) = 1/2 и ж_2п−1(z) = −1/2 для S = {z : |z| <1} демонстрирует неадекватность простого требования сжатия в компактное подмножество, как теорема о прямых композициях.

Для функций, не обязательно аналитических, Липшиц условие достаточно:

Теорема.^[4] Предполагать ${ displaystyle S}$ односвязное компактное подмножество ${ displaystyle mathbb {C}}$ и разреши ${ displaystyle t_ {n}: от S до S}$ - семейство функций, удовлетворяющее

${ displaystyle forall n, forall z_ {1}, z_ {2} in S, exists rho: quad left | t_ {n} (z_ {1}) - t_ {n} (z_ { 2}) right | leq rho | z_ {1} -z_ {2} |, quad rho <1.}$

Определять:

${ Displaystyle { begin {align} G_ {n} (z) & = left (t_ {n} circ t_ {n-1} circ cdots circ t_ {1} right) (z) F_ {n} (z) & = left (t_ {1} circ t_ {2} circ cdots circ t_ {n} right) (z) end {выравнивается}}}$

потом ${ Displaystyle F_ {п} (г) к бета в S}$ равномерно на ${ displaystyle S.}$ Если ${ Displaystyle альфа _ {п}}$ единственная неподвижная точка ${ displaystyle t_ {n}}$ тогда ${ Displaystyle G_ {п} (г) к альфа}$ равномерно на ${ displaystyle S}$ если и только если ${ displaystyle | alpha _ {n} - alpha | = varepsilon _ {n} to 0}$.

Бесконечные композиции других функций

Бесконтактные сложные функции

Полученные результаты^[5] с участием целые функции включите следующее в качестве примеров. Набор

${ displaystyle { begin {align} f_ {n} (z) & = a_ {n} z + c_ {n, 2} z ^ {2} + c_ {n, 3} z ^ {3} + cdots rho _ {n} & = sup _ {r} left { left | c_ {n, r} right | ^ { frac {1} {r-1}} right } конец {выровнен}}}$

Тогда верны следующие результаты:

Теорема E1.^[6] Если а_п ≡ 1,

${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} rho _ {п} < infty}$

тогда F_п → F, весь.

Теорема E2.^[5] Установить ε_п = |а_п−1 | предположим, что существует неотрицательное δ_п, M₁, M₂, р такое, что имеет место следующее:

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 1} ^ { infty} varepsilon _ {n} & < infty, сумма _ {n = 1} ^ { infty} delta _ {n} & < infty, prod _ {n = 1} ^ { infty} (1+ delta _ {n}) &$

потом грамм_п(z) → грамм(z), аналитическая для |z| < р. Сходимость равномерна на компактных подмножествах {z : |z| < р}.

Дополнительные элементарные результаты включают:

Теорема GF3.^[4] Предполагать ${ Displaystyle е_ {п} (г) = г + ро _ {п} varphi (г)}$ где есть ${ displaystyle R, M> 0}$ такой, что ${ Displaystyle | г |$ подразумевает ${ displaystyle | varphi (z) |$ Кроме того, предположим ${ Displaystyle rho _ {k} geq 0, sum _ {k = 1} ^ { infty} rho _ {k} < infty}$ и ${ displaystyle R> M sum _ {k = 1} ^ { infty} rho _ {k}.}$ Тогда для ${ Displaystyle R *$

${ Displaystyle G_ {n} (z) эквив left (f_ {n} circ f_ {n-1} circ cdots circ f_ {1} right) (z) к G (z) qquad { text {for}} {z: | z |$

Теорема GF4.^[4] Предполагать ${ Displaystyle е_ {п} (г) = г + ро _ {п} varphi (г)}$ где есть ${ displaystyle R, M> 0}$ такой, что ${ Displaystyle | г |$ и ${ displaystyle | zeta |$ подразумевают ${ displaystyle | varphi (z) |$ и ${ displaystyle | varphi (z) - varphi ( zeta) | leq r | z- zeta |.}$ Кроме того, предположим ${ Displaystyle rho _ {k} geq 0, sum _ {k = 1} ^ { infty} rho _ {k} < infty}$ и ${ displaystyle R> M sum _ {k = 1} ^ { infty} rho _ {k}.}$ Тогда для ${ Displaystyle R *$

${ Displaystyle F_ {N} (z) Equiv left (f_ {1} circ f_ {2} circ cdots circ f_ {n} right) (z) to F (z) qquad { text {for}} {z: | z |$

Теорема GF5.^[5] Позволять ${ displaystyle f_ {n} (z) = z + zg_ {n} (z),}$ аналитический для |z| < р₀, с |грамм_п(z)| ≤ Cβ_п,

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} beta _ {n} < infty.}$

Выберите 0 < р < р₀ и определить

${ Displaystyle R = R (r) = { frac {R_ {0} -r} { prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + C beta _ {n})}}.}$

потом F_п → F равномерно для |z| ≤ р. Более того,

${ displaystyle left | F '(z) right | leq prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + { tfrac {R_ {0}} {r}} C beta _ {n} right).}$

Пример GF1: ${ displaystyle F_ {40} (x + iy) = { underset {k = 1} { overset {40} { mathop {R}}}} left ({ frac {x + iy} {1+ { tfrac {1} {4 ^ {k}}} (x cos (y) + iy sin (x))}} right), qquad [-20,20]}$

Пример GF1: Репродуктивная вселенная - топографическое (модульное) изображение бесконечной композиции.

Пример GF2: ${ displaystyle G_ {40} (x + iy) = { underset {k = 1} { overset {40} { mathop {L}}}} , left ({ frac {x + iy} { 1 + { tfrac {1} {2 ^ {k}}} (x cos (y) + iy sin (x))}} right), qquad [-20,20]}$

Пример GF2: Метрополис на 30К - Топографическое (модульное) изображение бесконечной композиции.

Дробно-линейные преобразования

Полученные результаты^[5] для композиций дробно-линейные преобразования (Мёбиуса) включите в качестве примеров следующее:

Теорема LFT1. О множестве сходимости последовательности {F_п} неособых LFT, предельная функция:

• (а) неособая ЛПФ,
• (b) функция, принимающая два различных значения, или
• (c) постоянная.

В (а) последовательность сходится всюду в расширенной плоскости. В (b) последовательность сходится либо всюду, и к одному и тому же значению везде, кроме одной точки, либо она сходится только в двух точках. Случай (c) может иметь место при любом возможном множестве сходимости.^[7]

Теорема LFT2.^[8] Если {F_п} сходится к LFT, то ж_п сходятся к тождественной функции ж(z) = z.

Теорема LFT3.^[9] Если ж_п → ж и все функции гиперболический или же локсодромный Преобразования Мёбиуса, то F_п(z) → λ, константа, для всех ${ Displaystyle Z neq beta = lim _ {n to infty} beta _ {n}}$, куда {β_п} - отталкивающие неподвижные точки {ж_п}.

Теорема LFT4.^[10] Если ж_п → ж куда ж является параболический с неподвижной точкой γ. Пусть неподвижные точки {ж_п} быть {γ_п} и {β_п}. Если

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left | gamma _ {n} - beta _ {n} right | < infty quad { text {and}} quad sum _ {n = 1} ^ { infty} n left | beta _ {n + 1} - beta _ {n} right | < infty}$

тогда F_п(z) → λ, постоянная в расширенной комплексной плоскости для всех z.

Примеры и приложения

Непрерывные дроби

Значение бесконечной цепной дроби

${ displaystyle { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + cdots}}}}}$

можно выразить как предел последовательности {F_п(0)} где

${ displaystyle f_ {n} (z) = { frac {a_ {n}} {b_ {n} + z}}.}.$

В качестве простого примера, хорошо известный результат (Worpitsky Circle *^[11]) следует из применения теоремы (А):

Рассмотрим непрерывную дробь

${ displaystyle { cfrac {a_ {1} zeta} {1 + { cfrac {a_ {2} zeta} {1+ cdots}}}}}$

с

${ displaystyle f_ {n} (z) = { frac {a_ {n} zeta} {1 + z}}.}.$

Предположим, что | ζ | <1 и |z| < р <1. Тогда при 0 < р < 1,

${ displaystyle | a_ {n} |$, аналитический для |z| <1. Установить р = 1/2.

Пример. ${ displaystyle F (z) = { frac {(i-1) z} {1 + i + z { text {}} +}} { text {}} { frac {(2-i) z } {1 + 2i + z { text {}} +}} { text {}} { frac {(3-i) z} {1 + 3i + z { text {}} +}} cdots ,}$ ${ displaystyle [-15,15]}$

Пример: Непрерывная дробь1 - Топографическое изображение (модули) непрерывной дроби (по одному для каждой точки) на комплексной плоскости. [-15,15]

Пример.^[5] А форма непрерывной дроби с фиксированной точкой (единственная переменная).

${ displaystyle f_ {k, n} (z) = { frac { alpha _ {k, n} beta _ {k, n}} { alpha _ {k, n} + beta _ {k, n} -z}}, alpha _ {k, n} = alpha _ {k, n} (z), beta _ {k, n} = beta _ {k, n} (z), F_ {n} (z) = left (f_ {1, n} circ cdots circ f_ {n, n} right) (z)}$

${ Displaystyle альфа _ {к, п} = х соз (ty) + iy sin (tx), beta _ {k, n} = cos (ty) + i sin (tx), t = k / n}$

Пример: Бесконечная брошь - топографическое изображение (модулей) форма непрерывной дроби в комплексной плоскости. (6 <х <9,6), (4,8 <у <8)

Прямое функциональное расширение

Примеры, иллюстрирующие преобразование функции непосредственно в композицию, следующие:

Пример 1.^[6][12] Предполагать ${ displaystyle phi}$ - целая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

${ Displaystyle { begin {case} phi (tz) = t left ( phi (z) + phi (z) ^ {2} right) & | t |> 1 phi (0) = 0 phi '(0) = 1 end {case}}}$

потом

${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {z ^ {2}} {t ^ {n}}} Longrightarrow F_ {n} (z) to phi (z)}$.

Пример 2.^[6]

${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {z ^ {2}} {2 ^ {n}}} Longrightarrow F_ {n} (z) to { frac {1} {2} } left (e ^ {2z} -1 right)}$

Пример 3.^[5]

${ displaystyle f_ {n} (z) = { frac {z} {1 - { tfrac {z ^ {2}} {4 ^ {n}}}}}} Longrightarrow F_ {n} (z) в tan (z)}$

Пример 4.^[5]

${ displaystyle g_ {n} (z) = { frac {2 cdot 4 ^ {n}} {z}} left ({ sqrt {1 + { frac {z ^ {2}}} {4 ^ {n}}}}} - 1 right) Longrightarrow G_ {n} (z) to arctan (z)}$

Расчет фиксированных точек

Теорема (B) может применяться для определения неподвижных точек функций, определяемых бесконечными разложениями или некоторыми интегралами. Следующие примеры иллюстрируют процесс:

Пример FP1.^[3] Для | ζ | ≤ 1 пусть

${ Displaystyle G ( zeta) = { frac { tfrac {e ^ { zeta}} {4}} {3+ zeta + { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {8} } {3+ zeta + { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {12}} {3+ zeta + cdots}}}}}}}$

Чтобы найти α = грамм(α), сначала определим:

${ displaystyle { begin {align} t_ {n} (z) & = { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {4n}} {3+ zeta + z}} f_ {n } ( zeta) & = t_ {1} circ t_ {2} circ cdots circ t_ {n} (0) end {выровнено}}}$

Затем вычислите ${ Displaystyle G_ {n} ( zeta) = f_ {n} circ cdots circ f_ {1} ( zeta)}$ с ζ = 1, что дает: α = 0,087118118 ... с точностью до десяти десятичных знаков после десяти итераций.

Теорема FP2.^[5] Пусть φ (ζ, т) быть аналитичным в S = {z : |z| < р} для всех т в [0, 1] и непрерывно в т. Набор

${ displaystyle f_ {n} ( zeta) = { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} varphi left ( zeta, { tfrac {k} {n }}верно).}$

Если | φ (ζ, т)| ≤ р < р для ζ ∈ S и т ∈ [0, 1], то

${ displaystyle zeta = int _ {0} ^ {1} varphi ( zeta, t) , dt}$

имеет единственное решение, α в S, с ${ displaystyle lim _ {n to infty} G_ {n} ( zeta) = alpha.}$

Функции эволюции

Рассмотрим временной интервал, нормированный на я = [0, 1]. ICAF могут быть построены для описания непрерывного движения точки, z, на интервале, но таким образом, чтобы в каждый «момент» движение было практически нулевым (см. Стрела Зенона ): Для интервала, разделенного на n равных подинтервалов, 1 ≤ k ≤ п набор ${ Displaystyle г_ {к, п} (г) = г + varphi _ {к, п} (г)}$ аналитический или просто непрерывный - в области S, так что

${ Displaystyle lim _ {п к infty} varphi _ {к, п} (г) = 0}$ для всех k и все z в S,

и ${ displaystyle g_ {k, n} (z) in S}$.

Главный пример^[5]

${ displaystyle { begin {align} g_ {k, n} (z) & = z + { frac {1} {n}} phi left (z, { tfrac {k} {n}} right ) G_ {k, n} (z) & = left (g_ {k, n} circ g_ {k-1, n} circ cdots circ g_ {1, n} right) (z ) G_ {n} (z) & = G_ {n, n} (z) end {align}}}$

подразумевает

${ displaystyle lambda _ {n} (z) doteq G_ {n} (z) -z = { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} phi left (G_ {k-1, n} (z) { tfrac {k} {n}} right) doteq { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} psi left (z, { tfrac {k} {n}} right) sim int _ {0} ^ {1} psi (z, t) , dt,}$

где интеграл определен корректно, если ${ Displaystyle { tfrac {dz} {dt}} = phi (z, t)}$ имеет решение в закрытой форме z(т). потом

${ displaystyle lambda _ {n} (z_ {0}) приблизительно int _ {0} ^ {1} phi (z (t), t) , dt.}$

В противном случае подынтегральное выражение определяется плохо, хотя значение интеграла легко вычисляется. В этом случае интеграл можно было бы назвать «виртуальным» интегралом.

Пример. ${ displaystyle phi (z, t) = { frac {2t- cos y} {1- sin x cos y}} + я { frac {1-2t sin x} {1- sin x cos y}}, int _ {0} ^ {1} psi (z, t) , dt}$

Пример 1: Виртуальные туннели - Топографическое изображение (модулей) виртуальных интегралов (по одному для каждой точки) в комплексной плоскости. [-10,10]

Два контура, стремящиеся к привлекательной фиксированной точке (красный слева). Белый контур (c = 2) завершается до достижения фиксированной точки. Второй контур (c(п) = квадратный корень из п) заканчивается в фиксированной точке. Для обоих контуров п = 10,000

Пример.^[13] Позволять:

${ displaystyle g_ {n} (z) = z + { frac {c_ {n}} {n}} phi (z), quad { text {with}} quad f (z) = z + phi (z).}$

Далее установите ${ Displaystyle T_ {1, n} (z) = g_ {n} (z), T_ {k, n} (z) = g_ {n} (T_ {k-1, n} (z)),}$ и Т_п(z) = Т_{п, п}(z). Позволять

${ Displaystyle T (z) = lim _ {n to infty} T_ {n} (z)}$

когда этот предел существует. Последовательность {Т_п(z)} определяет контуры γ = γ (c_п, z), которые следуют за потоком векторного поля ж(z). Если существует притягивающая неподвижная точка α, то есть |ж(z) - α | ≤ ρ |z - α | для 0 ≤ ρ <1, то Т_п(z) → Т(z) ≡ α вдоль γ = γ (c_п, z), при условии (например) ${ displaystyle c_ {n} = { sqrt {n}}}$. Если c_п ≡ c > 0, то Т_п(z) → Т(z), точка контура γ = γ (c, z). Легко видеть, что

${ Displaystyle oint _ { gamma} phi ( zeta) , d zeta = lim _ {n to infty} { frac {c} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} phi ^ {2} left (T_ {k-1, n} (z) right)}$

и

${ Displaystyle L ( gamma (z)) = lim _ {n to infty} { frac {c} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} left | phi слева (T_ {k-1, n} (z) right) right |,}$

когда эти ограничения существуют.

Эти концепции мало связаны с теория активного контура в обработке изображений, и являются простыми обобщениями Метод Эйлера

Самовоспроизводящиеся расширения

Серии

Ряд, рекурсивно определяемый формулой ж_п(z) = z + грамм_п(z) обладают тем свойством, что n-й член основан на сумме первых п - 1 семестр. Чтобы воспользоваться теоремой (GF3), необходимо показать ограниченность в следующем смысле: если каждый ж_п определено для |z| < M тогда |грамм_п(z)| < M должен следовать до |ж_п(z) − z| = |грамм_п(z)| ≤ Cβ_п определяется для итерационных целей. Это потому что ${ displaystyle g_ {n} (G_ {n-1} (z))}$ происходит на протяжении всего расширения. Ограничение

${ displaystyle | z | 0}$

служит этой цели. потом грамм_п(z) → грамм(z) равномерно на ограниченной области.

Пример (S1). Набор

${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {1} { rho n ^ {2}}} { sqrt {z}}, qquad rho> { sqrt { frac { pi } {6}}}}$

и M = ρ². потом р = ρ² - (π / 6)> 0. Тогда, если ${ Displaystyle S = left {z: | z | 0 right }}$, z в S подразумевает |грамм_п(z)| < M и теорема (GF3) применима, так что

${ displaystyle { begin {align} G_ {n} (z) & = z + g_ {1} (z) + g_ {2} (G_ {1} (z)) + g_ {3} (G_ {2 } (z)) + cdots + g_ {n} (G_ {n-1} (z)) & = z + { frac {1} { rho cdot 1 ^ {2}}} { sqrt {z}} + { frac {1} { rho cdot 2 ^ {2}}} { sqrt {G_ {1} (z)}} + { frac {1} { rho cdot 3 ^ {2}}} { sqrt {G_ {2} (z)}} + cdots + { frac {1} { rho cdot n ^ {2}}} { sqrt {G_ {n-1} (z)}} end {выровнен}}}$

сходится абсолютно, следовательно, сходится.

Пример (S2): ${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {1} {n ^ {2}}} cdot varphi (z), varphi (z) = 2 cos (x / y) + i2 sin (x / y),> G_ {n} (z) = f_ {n} circ f_ {n-1} circ cdots circ f_ {1} (z), qquad [-10,10 ], n = 50}$

Пример (S2) - Топографическое изображение (модулей) самопорожденного ряда.

Товары

Продукт, рекурсивно определяемый как

${ displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z)), qquad | z | leqslant M,}$

имеет вид

${ Displaystyle G_ {n} (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n} left (1 + g_ {k} left (G_ {k-1} (z) right) right) ).}$

Для применения теоремы GF3 требуется, чтобы:

${ displaystyle left | zg_ {n} (z) right | leq C beta _ {n}, qquad sum _ {k = 1} ^ { infty} beta _ {k} < infty .}$

Еще раз, условие ограниченности должно поддерживать

${ displaystyle left | G_ {n-1} (z) g_ {n} (G_ {n-1} (z)) right | leq C beta _ {n}.}$

Если кто знает Cβ_п заранее достаточно будет:

${ displaystyle | z | leqslant R = { frac {M} {P}} qquad { text {where}} quad P = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 + C beta _ {n} right).}$

потом грамм_п(z) → грамм(z) равномерно на ограниченной области.

Пример (P1). Предполагать ${ displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z))}$ с ${ displaystyle g_ {n} (z) = { tfrac {z ^ {2}} {n ^ {3}}},}$ наблюдая после нескольких предварительных вычислений, что |z| ≤ 1/4 означает |грамм_п(z) | <0,27. потом

${ displaystyle left | G_ {n} (z) { frac {G_ {n} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} right | <(0,02) { frac {1} {n ^ {3}}} = C beta _ {n}}$

и

${ Displaystyle G_ {n} (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (1 + { frac {G_ {k} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} right)}$

сходится равномерно.

Пример (P2).

${ displaystyle g_ {k, n} (z) = z left (1 + { frac {1} {n}} varphi left (z, { tfrac {k} {n}} right) верно),}$

${ displaystyle G_ {n, n} (z) = left (g_ {n, n} circ g_ {n-1, n} circ cdots circ g_ {1, n} right) (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n} (1 + P_ {k, n} (z)),}$

${ displaystyle P_ {k, n} (z) = { frac {1} {n}} varphi left (G_ {k-1, n} (z), { tfrac {k} {n}}) верно),}$

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (1 + P_ {k, n} (z) right) = 1 + P_ {1, n} (z) + P_ {2 , n} (z) + cdots + P_ {k-1, n} (z) + R_ {n} (z) sim int _ {0} ^ {1} pi (z, t) , dt + 1 + R_ {n} (z),}$

${ displaystyle varphi (z) = x cos (y) + iy sin (x), int _ {0} ^ {1} (z pi (z, t) -1) , dt, qquad [-15,15]:}$

Пример (P2): Вселенная Пикассо - виртуальный интеграл, производный от самогенерирующегося бесконечного продукта. Щелкните изображение для увеличения разрешения.

Непрерывные дроби

Пример (CF1): Самовоспроизводящаяся цепная дробь.^[5][3]

${ displaystyle { begin {align} F_ {n} (z) & = { frac { rho (z)} { delta _ {1} +}} { frac { rho (F_ {1} ( z))} { delta _ {2} +}} { frac { rho (F_ {2} (z))} { delta _ {3} +}} cdots { frac { rho (F_ {n-1} (z))} { delta _ {n}}}, rho (z) & = { frac { cos (y)} { cos (y) + sin (x )}} + i { frac { sin (x)} { cos (y) + sin (x)}}, qquad [0$

Пример CF1: Убывающая отдача - топографическое изображение (модулей) самогенерирующейся непрерывной дроби.

Пример (CF2): Лучше всего описать как самовоспроизводящийся Непрерывная дробь Эйлера.^[5]

${ Displaystyle G_ {n} (z) = { frac { rho (G_ {n-1} (z))} {1+ rho (G_ {n-1} (z)) -}} { frac { rho (G_ {n-2} (z))} {1+ rho (G_ {n-2} (z)) -}} cdots { frac { rho (G_ {1} ( z))} {1+ rho (G_ {1} (z)) -}} { frac { rho (z)} {1+ rho (z) -z}},}$

${ Displaystyle rho (z) = rho (x + iy) = x cos (y) + iy sin (x), qquad [-15,15], n = 30}$

Пример CF2: Dream of Gold - топографическое (по модулю) изображение самогенерирующейся обратной цепной дроби Эйлера.

Рекомендации