Связывает бесконечный ряд очень общего вида с бесконечной цепной дробью.
в аналитическая теория из непрерывные дроби , Формула непрерывной дроби Эйлера это тождество, соединяющее некоторые очень общие бесконечная серия с бесконечным непрерывная дробь . Впервые опубликованное в 1748 году, оно сначала рассматривалось как простое тождество, соединяющее конечную сумму с конечной цепной дробью таким образом, что распространение на бесконечный случай было очевидным.[1] проблема сходимости для бесконечных цепных дробей с комплексными элементами.
Исходная формула Эйлер вывел формулу как соединение конечной суммы продуктов с конечным непрерывная дробь .
а 0 + а 0 а 1 + а 0 а 1 а 2 + ⋯ + а 0 а 1 а 2 ⋯ а п = а 0 1 − а 1 1 + а 1 − а 2 1 + а 2 − ⋱ ⋱ а п − 1 1 + а п − 1 − а п 1 + а п { displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n } = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - { cfrac { ddots} { ddots { cfrac {a_ {n-1}} {1 + a_ {n-1} - { cfrac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}}}} }}}}}}} ,} Личность легко устанавливается индукция на п , и поэтому применимо в пределе: если выражение слева расширено, чтобы представить сходящийся бесконечный ряд , выражение справа также может быть расширено для представления сходящейся бесконечной непрерывная дробь .
Это записано более компактно, используя обобщенная цепная дробь обозначение:
а 0 + а 0 а 1 + а 0 а 1 а 2 + ⋯ + а 0 а 1 а 2 ⋯ а п = а 0 1 + − а 1 1 + а 1 + − а 2 1 + а 2 + ⋯ − а п 1 + а п . { displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n } = { frac {a_ {0}} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} , { cfrac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} cdots { frac {-a_ {n}} {1 + a_ {n}}}.}. Формула Эйлера Если р я Икс определяется
Икс = 1 + ∑ я = 1 ∞ р 1 р 2 ⋯ р я = 1 + ∑ я = 1 ∞ ( ∏ j = 1 я р j ) , { displaystyle x = 1 + sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {1} r_ {2} cdots r_ {i} = 1 + sum _ {i = 1} ^ { infty} left ( prod _ {j = 1} ^ {i} r_ {j} right) ,,} то это равенство можно доказать по индукции
Икс = 1 1 − р 1 1 + р 1 − р 2 1 + р 2 − р 3 1 + р 3 − ⋱ { Displaystyle х = { cfrac {1} {1 - { cfrac {r_ {1}} {1 + r_ {1} - { cfrac {r_ {2}} {1 + r_ {2} - { cfrac {r_ {3}} {1 + r_ {3} - ddots}}}}}}}} ,} Здесь равенство следует понимать как эквивалентность в том смысле, что n-й сходящийся каждой непрерывной дроби равна n-й частичной сумме ряда, показанного выше. Итак, если показанный ряд сходится - или равномерно сходится, когда р я z - тогда и цепные дроби сходятся, или сходятся равномерно.[2]
Доказательство по индукции Теорема. Пусть п { displaystyle n} п + 1 { displaystyle n + 1} а 0 , а 1 , … , а п { displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n}}
∑ k = 0 п ∏ j = 0 k а j = а 0 1 + − а 1 1 + а 1 + ⋯ − а п 1 + а п { displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} prod _ {j = 0} ^ {k} a_ {j} = { frac {a_ {0}} {1 +}} , { гидроразрыв {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} cdots { frac {-a_ {n}} {1 + a_ {n}}}} и для п { displaystyle n} б 1 , … , б п { displaystyle b_ {1}, ldots, b_ {n}} − б 1 1 + б 1 + − б 2 1 + б 2 + ⋯ − б п 1 + б п ≠ − 1. { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} +}} , { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n}} {1 + b_ {n}}} neq -1.}
Доказательство. Проведем двойную индукцию. За п = 1 { displaystyle n = 1}
а 0 1 + − а 1 1 + а 1 = а 0 1 + − а 1 1 + а 1 = а 0 ( 1 + а 1 ) 1 = а 0 + а 0 а 1 = ∑ k = 0 1 ∏ j = 0 k а j { displaystyle { frac {a_ {0}} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1}}} = { frac {a_ {0}} {1 + { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1}}}}} = { frac {a_ {0} (1 + a_ {1})} {1}} = a_ {0} + a_ {0} a_ {1} = sum _ {k = 0} ^ {1} prod _ {j = 0} ^ {k} a_ {j}} и
− б 1 1 + б 1 ≠ − 1. { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1}}} neq -1.} Теперь предположим, что оба утверждения верны для некоторых п ≥ 1 { Displaystyle п geq 1}
У нас есть − б 1 1 + б 1 + − б 2 1 + б 2 + ⋯ − б п + 1 1 + б п + 1 = − б 1 1 + б 1 + Икс { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} +}} , { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n + 1}} {1 + b_ {n + 1}}} = { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} + x}}} Икс = − б 2 1 + б 2 + ⋯ − б п + 1 1 + б п + 1 ≠ − 1 { displaystyle x = { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n + 1}} {1 + b_ {n + 1}}} neq -1}
применяя предположение индукции к б 2 , … , б п + 1 { displaystyle b_ {2}, ldots, b_ {n + 1}}
Но − б 1 1 + б 1 + Икс = − 1 { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} + x}} = - 1} б 1 = 1 + б 1 + Икс { displaystyle b_ {1} = 1 + b_ {1} + x} Икс = − 1 { displaystyle x = -1}
− б 1 1 + б 1 + − б 2 1 + б 2 + ⋯ − б п + 1 1 + б п + 1 ≠ − 1 , { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} +}} , { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n + 1}} {1 + b_ {n + 1}}} neq -1,} завершая эту индукцию.
Обратите внимание, что для Икс ≠ − 1 { Displaystyle х neq -1}
1 1 + − а 1 + а + Икс = 1 1 − а 1 + а + Икс = 1 + а + Икс 1 + Икс = 1 + а 1 + Икс ; { displaystyle { frac {1} {1 +}} , { frac {-a} {1 + a + x}} = { frac {1} {1 - { frac {a} {1+ a + x}}}} = { frac {1 + a + x} {1 + x}} = 1 + { frac {a} {1 + x}};} если Икс = − 1 − а { Displaystyle х = -1-а}
С помощью а = а 1 { displaystyle a = a_ {1}} Икс = − а 2 1 + а 2 + ⋯ − а п + 1 1 + а п + 1 ≠ − 1 { displaystyle x = { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1} }} neq -1} а 1 , а 2 , … , а п + 1 { displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n + 1}}
а 0 + а 0 а 1 + а 0 а 1 а 2 + ⋯ + а 0 а 1 а 2 а 3 ⋯ а п + 1 = а 0 + а 0 ( а 1 + а 1 а 2 + ⋯ + а 1 а 2 а 3 ⋯ а п + 1 ) = а 0 + а 0 ( а 1 1 + − а 2 1 + а 2 + ⋯ − а п + 1 1 + а п + 1 ) = а 0 ( 1 + а 1 1 + − а 2 1 + а 2 + ⋯ − а п + 1 1 + а п + 1 ) = а 0 ( 1 1 + − а 1 1 + а 1 + − а 2 1 + а 2 + ⋯ − а п + 1 1 + а п + 1 ) = а 0 1 + − а 1 1 + а 1 + − а 2 1 + а 2 + ⋯ − а п + 1 1 + а п + 1 , { displaystyle { begin {align} a_ {0} + & a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2 } a_ {3} cdots a_ {n + 1} & = a_ {0} + a_ {0} (a_ {1} + a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {1} a_ { 2} a_ {3} cdots a_ {n + 1}) & = a_ {0} + a_ {0} { big (} { frac {a_ {1}} {1 +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}} { big) } & = a_ {0} { big (} 1 + { frac {a_ {1}} {1 +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} + }} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}} { big)} & = a_ {0} { big (} { frac {1} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} + }} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}} { big)} & = { frac {a_ {0}} {1+ }} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}}, end {выравнивается}}} завершая другую индукцию.
Например, выражение а 0 + а 0 а 1 + а 0 а 1 а 2 + а 0 а 1 а 2 а 3 { displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ {3}}
а 0 + а 0 а 1 + а 0 а 1 а 2 + а 0 а 1 а 2 а 3 = а 0 ( а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 ) = а 0 1 а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 = а 0 а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 − а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 = а 0 1 − а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 = а 0 1 − а 1 а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) + 1 а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 = а 0 1 − а 1 а 1 ( а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 ) а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 + а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 − а 2 ( а 3 + 1 ) а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 = а 0 1 − а 1 1 + а 1 − а 2 ( а 3 + 1 ) а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 = а 0 1 − а 1 1 + а 1 − а 2 а 2 ( а 3 + 1 ) + 1 а 3 + 1 = а 0 1 − а 1 1 + а 1 − а 2 а 2 ( а 3 + 1 ) а 3 + 1 + а 3 + 1 а 3 + 1 − а 3 а 3 + 1 = а 0 1 − а 1 1 + а 1 − а 2 1 + а 2 − а 3 1 + а 3 { displaystyle { begin {align} a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} & = a_ {0} (a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1) [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} { cfrac {1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} }} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} { cfrac {a_) {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {2 } (a_ {3} +1) +1}} + { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} { 1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) + 1}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2) }} { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {3} +1}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0} } {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {{ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {3} +1 }} + { cfrac {a_ {3} +1} {a_ {3} +1}} - { cfrac {a_ {3}} {a_ {3} +1}}}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - { cfrac {a_) {3}} {1 + a_ {3}}}}}}}}} end {align}}} Это может быть применено к последовательности любой длины и, следовательно, также применимо к бесконечному случаю.
Примеры Экспоненциальная функция Экспоненциальная функция е z вся функция с разложением в степенной ряд, равномерно сходящимся на каждой ограниченной области комплексной плоскости.
е z = 1 + ∑ п = 1 ∞ z п п ! = 1 + ∑ п = 1 ∞ ( ∏ j = 1 п z j ) { displaystyle e ^ {z} = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} left ( prod _ {j = 1} ^ {n} { frac {z} {j}} right) ,} Применять формулу непрерывной дроби Эйлера просто:
е z = 1 1 − z 1 + z − 1 2 z 1 + 1 2 z − 1 3 z 1 + 1 3 z − 1 4 z 1 + 1 4 z − ⋱ . { displaystyle e ^ {z} = { cfrac {1} {1 - { cfrac {z} {1 + z - { cfrac {{ frac {1} {2}} z} {1 + { frac {1} {2}} z - { cfrac {{ frac {1} {3}} z} {1 + { frac {1} {3}} z - { cfrac {{ frac {1) } {4}} z} {1 + { frac {1} {4}} z- ddots}}}}}}}}}}. ,} Применяя преобразование эквивалентности который состоит из очистки дробей, этот пример упрощен до
е z = 1 1 − z 1 + z − z 2 + z − 2 z 3 + z − 3 z 4 + z − ⋱ { displaystyle е ^ {z} = { cfrac {1} {1 - { cfrac {z} {1 + z - { cfrac {z} {2 + z - { cfrac {2z} {3 + z) - { cfrac {3z} {4 + z- ddots}}}}}}}}}} ,} и мы можем быть уверены, что эта цепная дробь сходится равномерно в любой ограниченной области комплексной плоскости, поскольку она эквивалентна степенному ряду для е z
Натуральный логарифм В Серия Тейлор для главный филиал натурального логарифма в окрестности z = 1 хорошо известно:
бревно ( 1 + z ) = z − z 2 2 + z 3 3 − z 4 4 + ⋯ = ∑ п = 1 ∞ ( − 1 ) п + 1 z п п . { displaystyle log (1 + z) = z - { frac {z ^ {2}} {2}} + { frac {z ^ {3}} {3}} - { frac {z ^ { 4}} {4}} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1} z ^ {n}} {n}}. ,} Этот ряд сходится при |z | <1 и также может быть выражено как сумма произведений:[3]
бревно ( 1 + z ) = z + ( z ) ( − z 2 ) + ( z ) ( − z 2 ) ( − 2 z 3 ) + ( z ) ( − z 2 ) ( − 2 z 3 ) ( − 3 z 4 ) + ⋯ { displaystyle log (1 + z) = z + (z) left ({ frac {-z} {2}} right) + (z) left ({ frac {-z} {2}} right) left ({ frac {-2z} {3}} right) + (z) left ({ frac {-z} {2}} right) left ({ frac {-2z } {3}} right) left ({ frac {-3z} {4}} right) + cdots} Применение формулы Эйлера к этому выражению показывает, что
бревно ( 1 + z ) = z 1 − − z 2 1 + − z 2 − − 2 z 3 1 + − 2 z 3 − − 3 z 4 1 + − 3 z 4 − ⋱ { displaystyle log (1 + z) = { cfrac {z} {1 - { cfrac { frac {-z} {2}} {1 + { frac {-z} {2}} - { cfrac { frac {-2z} {3}} {1 + { frac {-2z} {3}} - { cfrac { frac {-3z} {4}} {1 + { frac {- 3z} {4}} - ddots}}}}}}}}} и использование преобразования эквивалентности для очистки всех дробей приводит к
бревно ( 1 + z ) = z 1 + z 2 − z + 2 2 z 3 − 2 z + 3 2 z 4 − 3 z + ⋱ { displaystyle log (1 + z) = { cfrac {z} {1 + { cfrac {z} {2-z + { cfrac {2 ^ {2} z} {3-2z + { cfrac {3) ^ {2} z} {4-3z + ddots}}}}}}}}} z | <1, потому что он эквивалентен серии, из которой он был получен.[3]
Тригонометрические функции В Серия Тейлор из синус функция сходится по всей комплексной плоскости и может быть выражена как сумма произведений.
грех Икс = ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ( 2 п + 1 ) ! Икс 2 п + 1 = Икс − Икс 3 3 ! + Икс 5 5 ! − Икс 7 7 ! + Икс 9 9 ! − ⋯ = Икс + ( Икс ) ( − Икс 2 2 ⋅ 3 ) + ( Икс ) ( − Икс 2 2 ⋅ 3 ) ( − Икс 2 4 ⋅ 5 ) + ( Икс ) ( − Икс 2 2 ⋅ 3 ) ( − Икс 2 4 ⋅ 5 ) ( − Икс 2 6 ⋅ 7 ) + ⋯ { displaystyle { begin {align} sin x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} & = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + { Frac {x ^ {9}} {9!}} - cdots [8pt] & = x + (x) left ({ frac {-x ^ {2}}) {2 cdot 3}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2 }} {4 cdot 5}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots end {align}}} Затем можно применить формулу непрерывной дроби Эйлера
Икс 1 − − Икс 2 2 ⋅ 3 1 + − Икс 2 2 ⋅ 3 − − Икс 2 4 ⋅ 5 1 + − Икс 2 4 ⋅ 5 − − Икс 2 6 ⋅ 7 1 + − Икс 2 6 ⋅ 7 − ⋱ { displaystyle { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} - ddots}}}}}}} }} Для очистки знаменателей используется преобразование эквивалентности:
грех Икс = Икс 1 + Икс 2 2 ⋅ 3 − Икс 2 + 2 ⋅ 3 Икс 2 4 ⋅ 5 − Икс 2 + 4 ⋅ 5 Икс 2 6 ⋅ 7 − Икс 2 + ⋱ . { Displaystyle грех Икс = { cfrac {x} {1 + { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3-x ^ {2} + { cfrac {2 cdot 3x ^ {2} } {4 cdot 5-x ^ {2} + { cfrac {4 cdot 5x ^ {2}} {6 cdot 7-x ^ {2} + ddots}}}}}}}}.}.} Такой же аргумент может применяться к косинус функция:
потому что Икс = ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ( 2 п ) ! Икс 2 п = 1 − Икс 2 2 ! + Икс 4 4 ! − Икс 6 6 ! + Икс 8 8 ! − ⋯ = 1 + − Икс 2 2 + ( − Икс 2 2 ) ( − Икс 2 3 ⋅ 4 ) + ( − Икс 2 2 ) ( − Икс 2 3 ⋅ 4 ) ( − Икс 2 5 ⋅ 6 ) + ⋯ = 1 1 − − Икс 2 2 1 + − Икс 2 2 − − Икс 2 3 ⋅ 4 1 + − Икс 2 3 ⋅ 4 − − Икс 2 5 ⋅ 6 1 + − Икс 2 5 ⋅ 6 − ⋱ { displaystyle { begin {align} cos x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n } & = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} - { frac {x ^ {6}} {6! }} + { frac {x ^ {8}} {8!}} - cdots [8pt] & = 1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} + left ({ frac {-x ^ {2}} {2}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} right) + left ({ frac {- x ^ {2}} {2}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} right) left ({ frac {-x ^ {2} } {5 cdot 6}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {1} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {2}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} {1 + { frac {-x ^ {2 }} {3 cdot 4}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6 }} - ddots}}}}}}}} end {align}}} ∴ потому что Икс = 1 1 + Икс 2 2 − Икс 2 + 2 Икс 2 3 ⋅ 4 − Икс 2 + 3 ⋅ 4 Икс 2 5 ⋅ 6 − Икс 2 + ⋱ . { displaystyle , следовательно, соз х = { cfrac {1} {1 + { cfrac {x ^ {2}} {2-x ^ {2} + { cfrac {2x ^ {2}} {3 cdot 4-x ^ {2} + { cfrac {3 cdot 4x ^ {2}} {5 cdot 6-x ^ {2} + ddots}}}}}}}}.}. Обратные тригонометрические функции В обратные тригонометрические функции можно представить в виде непрерывных дробей.
грех − 1 Икс = ∑ п = 0 ∞ ( 2 п − 1 ) ! ! ( 2 п ) ! ! ⋅ Икс 2 п + 1 2 п + 1 = Икс + ( 1 2 ) Икс 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) Икс 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) Икс 7 7 + ⋯ = Икс + Икс ( Икс 2 2 ⋅ 3 ) + Икс ( Икс 2 2 ⋅ 3 ) ( ( 3 Икс ) 2 4 ⋅ 5 ) + Икс ( Икс 2 2 ⋅ 3 ) ( ( 3 Икс ) 2 4 ⋅ 5 ) ( ( 5 Икс ) 2 6 ⋅ 7 ) + ⋯ = Икс 1 − Икс 2 2 ⋅ 3 1 + Икс 2 2 ⋅ 3 − ( 3 Икс ) 2 4 ⋅ 5 1 + ( 3 Икс ) 2 4 ⋅ 5 − ( 5 Икс ) 2 6 ⋅ 7 1 + ( 5 Икс ) 2 6 ⋅ 7 − ⋱ { displaystyle { begin {align} sin ^ {- 1} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n-1) !!} {(2n) !!} } cdot { frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} & = x + left ({ frac {1} {2}} right) { frac {x ^ {3}} {3}} + left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) { frac {x ^ {5}} {5}} + left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) { frac {x ^ {7}} {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ( { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) + x left ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} right) + x left ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} {1 + { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} - { cfrac { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} {1 + { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} - { cfrac { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} {1 + { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} - ddots}}} }}}}} end {выровнены}}} Преобразование эквивалентности дает
грех − 1 Икс = Икс 1 − Икс 2 2 ⋅ 3 + Икс 2 − 2 ⋅ 3 ( 3 Икс ) 2 4 ⋅ 5 + ( 3 Икс ) 2 − 4 ⋅ 5 ( 5 Икс 2 ) 6 ⋅ 7 + ( 5 Икс 2 ) − ⋱ . { displaystyle sin ^ {- 1} x = { cfrac {x} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3 + x ^ {2} - { cfrac {2 cdot) 3 (3x) ^ {2}} {4 cdot 5+ (3x) ^ {2} - { cfrac {4 cdot 5 (5x ^ {2})} {6 cdot 7+ (5x ^ {2 }) - ddots}}}}}}}}.} Непрерывная дробь для обратная тангенс просто:
загар − 1 Икс = ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п Икс 2 п + 1 2 п + 1 = Икс − Икс 3 3 + Икс 5 5 − Икс 7 7 + ⋯ = Икс + Икс ( − Икс 2 3 ) + Икс ( − Икс 2 3 ) ( − 3 Икс 2 5 ) + Икс ( − Икс 2 3 ) ( − 3 Икс 2 5 ) ( − 5 Икс 2 7 ) + ⋯ = Икс 1 − − Икс 2 3 1 + − Икс 2 3 − − 3 Икс 2 5 1 + − 3 Икс 2 5 − − 5 Икс 2 7 1 + − 5 Икс 2 7 − ⋱ = Икс 1 + Икс 2 3 − Икс 2 + ( 3 Икс ) 2 5 − 3 Икс 2 + ( 5 Икс ) 2 7 − 5 Икс 2 + ⋱ . { displaystyle { begin {align} tan ^ {- 1} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n + 1} } {2n + 1}} & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5}} - { frac {x ^ {7} } {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} right) + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} right) left ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} right) + x left ({ frac {-x ^ {2}} { 3}} right) left ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} right) left ({ frac {-5x ^ {2}} {7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3}} {1 + { frac {-x ^ {2}} { 3}} - { cfrac { frac {-3x ^ {2}} {5}} {1 + { frac {-3x ^ {2}} {5}} - { cfrac { frac {-5x) ^ {2}} {7}} {1 + { frac {-5x ^ {2}} {7}} - ddots}}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {x } {1 + { cfrac {x ^ {2}} {3-x ^ {2} + { cfrac {(3x) ^ {2}} {5-3x ^ {2} + { cfrac {(5x ) ^ {2}} {7-5x ^ {2} + ddots}}}}}}}}. End {выравнивается}}} Цепная дробь для π Мы можем использовать предыдущий пример с использованием арктангенса, чтобы построить представление непрерывной дроби π . Отметим, что
загар − 1 ( 1 ) = π 4 , { displaystyle tan ^ {- 1} (1) = { frac { pi} {4}},} И установка Икс = 1 в предыдущем результате сразу получаем
π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + ⋱ . { displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2}} } {2 + { cfrac {7 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}}}. ,} Гиперболические функции Напоминая о связи между гиперболические функции и тригонометрические функции,
грех я Икс = я грех Икс { Displaystyle грех ix = я зп х} потому что я Икс = шиш Икс , { Displaystyle соз ix = х,} И это я 2 = − 1 , { displaystyle i ^ {2} = - 1,}
грех Икс = Икс 1 − Икс 2 2 ⋅ 3 + Икс 2 − 2 ⋅ 3 Икс 2 4 ⋅ 5 + Икс 2 − 4 ⋅ 5 Икс 2 6 ⋅ 7 + Икс 2 − ⋱ { Displaystyle зп Икс = { cfrac {x} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3 + x ^ {2} - { cfrac {2 cdot 3x ^ {2}) } {4 cdot 5 + x ^ {2} - { cfrac {4 cdot 5x ^ {2}} {6 cdot 7 + x ^ {2} - ddots}}}}}}}}} шиш Икс = 1 1 − Икс 2 2 + Икс 2 − 2 Икс 2 3 ⋅ 4 + Икс 2 − 3 ⋅ 4 Икс 2 5 ⋅ 6 + Икс 2 − ⋱ . { displaystyle cosh = { cfrac {1} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {2 + x ^ {2} - { cfrac {2x ^ {2}} {3 cdot 4) + x ^ {2} - { cfrac {3 cdot 4x ^ {2}} {5 cdot 6 + x ^ {2} - ddots}}}}}}}}.} Обратные гиперболические функции В обратные гиперболические функции связаны с обратными тригонометрическими функциями аналогично тому, как гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями,
грех − 1 я Икс = я грех − 1 Икс { Displaystyle грех ^ {- 1} ix = я зп ^ {- 1} х} загар − 1 я Икс = я танх − 1 Икс , { Displaystyle tan ^ {- 1} ix = я tanh ^ {- 1} x,} И эти непрерывные дроби легко выводятся:
грех − 1 Икс = Икс 1 + Икс 2 2 ⋅ 3 − Икс 2 + 2 ⋅ 3 ( 3 Икс ) 2 4 ⋅ 5 − ( 3 Икс ) 2 + 4 ⋅ 5 ( 5 Икс 2 ) 6 ⋅ 7 − ( 5 Икс 2 ) + ⋱ { displaystyle sinh ^ {- 1} x = { cfrac {x} {1 + { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3-x ^ {2} + { cfrac {2 cdot) 3 (3x) ^ {2}} {4 cdot 5- (3x) ^ {2} + { cfrac {4 cdot 5 (5x ^ {2})} {6 cdot 7- (5x ^ {2 }) + ddots}}}}}}}}} танх − 1 Икс = Икс 1 − Икс 2 3 + Икс 2 − ( 3 Икс ) 2 5 + 3 Икс 2 − ( 5 Икс ) 2 7 + 5 Икс 2 − ⋱ . { Displaystyle tanh ^ {- 1} х = { cfrac {x} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {3 + x ^ {2} - { cfrac {(3x) ^ {2 }} {5 + 3x ^ {2} - { cfrac {(5x) ^ {2}} {7 + 5x ^ {2} - ddots}}}}}}}}.}.} Смотрите также Примечания ^ Леонард Эйлер (1748), "18", Введение в анализин бесконечный , я ^ (Стена 1948 г. , п. 17) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWall1948 (помощь) ^ а б Этот ряд сходится при |z | <1, по Тест Авеля (применяется к серии для журнала (1 -z )). Рекомендации Х. С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 г .; перепечатано (1973) издательством Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8. 
![{ displaystyle { begin {align} a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} & = a_ {0} (a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1) [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} { cfrac {1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} }} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} { cfrac {a_) {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {2 } (a_ {3} +1) +1}} + { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} { 1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) + 1}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2) }} { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {3} +1}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0} } {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {{ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {3} +1 }} + { cfrac {a_ {3} +1} {a_ {3} +1}} - { cfrac {a_ {3}} {a_ {3} +1}}}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - { cfrac {a_) {3}} {1 + a_ {3}}}}}}}}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2220d0ee296b162bc6d1d865431c25db083f18de)
![{ displaystyle { begin {align} sin x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} & = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + { Frac {x ^ {9}} {9!}} - cdots [8pt] & = x + (x) left ({ frac {-x ^ {2}}) {2 cdot 3}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2 }} {4 cdot 5}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc847450258bfb8bba32de1c626c47468155a663)
![{ displaystyle { begin {align} cos x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n } & = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} - { frac {x ^ {6}} {6! }} + { frac {x ^ {8}} {8!}} - cdots [8pt] & = 1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} + left ({ frac {-x ^ {2}} {2}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} right) + left ({ frac {- x ^ {2}} {2}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} right) left ({ frac {-x ^ {2} } {5 cdot 6}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {1} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {2}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} {1 + { frac {-x ^ {2 }} {3 cdot 4}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6 }} - ddots}}}}}}}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfba04d28890375b61217b61171786d3860d958a)
![{ displaystyle { begin {align} sin ^ {- 1} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n-1) !!} {(2n) !!} } cdot { frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} & = x + left ({ frac {1} {2}} right) { frac {x ^ {3}} {3}} + left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) { frac {x ^ {5}} {5}} + left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) { frac {x ^ {7}} {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ( { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) + x left ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} right) + x left ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} {1 + { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} - { cfrac { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} {1 + { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} - { cfrac { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} {1 + { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} - ddots}}} }}}}} end {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48943c46be1565da33ae0668dce771c7e1586fb)
![{ displaystyle { begin {align} tan ^ {- 1} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n + 1} } {2n + 1}} & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5}} - { frac {x ^ {7} } {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} right) + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} right) left ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} right) + x left ({ frac {-x ^ {2}} { 3}} right) left ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} right) left ({ frac {-5x ^ {2}} {7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3}} {1 + { frac {-x ^ {2}} { 3}} - { cfrac { frac {-3x ^ {2}} {5}} {1 + { frac {-3x ^ {2}} {5}} - { cfrac { frac {-5x) ^ {2}} {7}} {1 + { frac {-5x ^ {2}} {7}} - ddots}}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {x } {1 + { cfrac {x ^ {2}} {3-x ^ {2} + { cfrac {(3x) ^ {2}} {5-3x ^ {2} + { cfrac {(5x ) ^ {2}} {7-5x ^ {2} + ddots}}}}}}}}. End {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12abf4c05581843e491d5c3609e1a43b17638b1)
