Непрерывная дробь Гаусса - Википедия - Gausss continued fraction

В комплексный анализ, Непрерывная дробь Гаусса это особый класс непрерывные дроби происходит от гипергеометрические функции. Это была одна из первых аналитических цепных дробей, известных математике, и ее можно использовать для представления нескольких важных элементарные функции, а также некоторые из более сложных трансцендентные функции.

История

Ламберт опубликовал несколько примеров непрерывных дробей в этой форме в 1768 году, и оба Эйлер и Лагранж исследовал подобные конструкции,^[1] но это было Карл Фридрих Гаусс который использовал алгебру, описанную в следующем разделе, чтобы вывести общую форму этой непрерывной дроби, в 1813 году.^[2]

Хотя Гаусс дал форму этой цепной дроби, он не дал доказательства ее свойств сходимости. Бернхард Риманн^[3] и Л.В. Томе^[4] получил частичные результаты, но последнее слово в области, в которой сходится эта цепная дробь, было дано только в 1901 г. Эдвард Берр Ван Флек.^[5]

Вывод

Позволять ${ displaystyle f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, dots}$ - последовательность аналитических функций, так что

${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} , z , f_ {i + 1}}$

для всех ${ displaystyle i> 0}$, где каждый ${ displaystyle k_ {i}}$ является константой.

потом

${ displaystyle { frac {f_ {i-1}} {f_ {i}}} = 1 + k_ {i} z { frac {f_ {i + 1}} {f_ {i}}}, { текст {и так}} { frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} = { frac {1} {1 + k_ {i} z { frac {f_ {i + 1}} {f_ {i}}}}}}$

Параметр ${ displaystyle g_ {i} = f_ {i} / f_ {i-1},}$

${ displaystyle g_ {i} = { frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}},}$

Так

${ displaystyle g_ {1} = { frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = { cfrac {1} {1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { cfrac {1 } {1 + { cfrac {k_ {1} z} {1 + k_ {2} zg_ {3}}}}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {k_ {1} z} { 1 + { cfrac {k_ {2} z} {1 + k_ {3} zg_ {4}}}}}}} = cdots. }$

Повторение этого до бесконечности дает выражение непрерывной дроби

${ displaystyle { frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {k_ {1} z} {1 + { cfrac {k_ {2}}) z} {1 + { cfrac {k_ {3} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}$

В непрерывной дроби Гаусса функции ${ displaystyle f_ {i}}$ являются гипергеометрическими функциями вида ${ displaystyle {} _ {0} F_ {1}}$, ${ displaystyle {} _ {1} F_ {1}}$, и ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$, а уравнения ${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$ возникают как тождества между функциями, где параметры различаются на целые числа. Эти тождества можно доказать несколькими способами, например, развернув ряд и сравнив коэффициенты, или взяв производную несколькими способами и исключив ее из созданных уравнений.

Сериал ₀F₁

Самый простой случай включает

${ displaystyle , _ {0} F_ {1} (a; z) = 1 + { frac {1} {a , 1!}} z + { frac {1} {a (a + 1) , 2!}} Z ^ {2} + { frac {1} {a (a + 1) (a + 2) , 3!}} Z ^ {3} + cdots.}$

Начиная с личности

${ Displaystyle , _ {0} F_ {1} (a-1; z) - , _ {0} F_ {1} (a; z) = { frac {z} {a (a-1) }} , _ {0} F_ {1} (a + 1; z),}$

мы можем взять

${ displaystyle f_ {i} = {} _ {0} F_ {1} (a + i; z), , k_ {i} = { tfrac {1} {(a + i) (a + i- 1)}},}$

давая

${ displaystyle { frac {, _ {0} F_ {1} (a + 1; z)} {, _ {0} F_ {1} (a; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {1} {a (a + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {1} {(a + 1) (a + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}$

или же

${ displaystyle { frac {, _ {0} F_ {1} (a + 1; z)} {a , _ {0} F_ {1} (a; z)}} = { cfrac {1 } {а + { cfrac {z} {(а + 1) + { cfrac {z} {(а + 2) + { cfrac {z} {(а + 3) + {} ddots}}}} }}}}.}$

Это разложение сходится к мероморфной функции, определяемой отношением двух сходящихся рядов (конечно, при условии, что а не является ни нулем, ни отрицательным целым числом).

Сериал ₁F₁

Следующий случай связан с

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + { frac {a} {b , 1!}} z + { frac {a (a + 1)} { b (b + 1) , 2!}} z ^ {2} + { frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) , 3! }} z ^ {3} + cdots}$

для которого два тождества

${ displaystyle , _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - , _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = { frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

${ displaystyle , _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - , _ {1} F_ {1} (a; b; z) = { frac {az} {b ( б-1)}} , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

используются поочередно.

Позволять

${ displaystyle f_ {0} (z) = , _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

${ displaystyle f_ {1} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$

${ displaystyle f_ {2} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$

${ displaystyle f_ {3} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$

${ displaystyle f_ {4} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$

и Т. Д.

Это дает ${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$ куда ${ Displaystyle к_ {1} = { tfrac {ab} {b (b + 1)}}, k_ {2} = { tfrac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} , k_ {3} = { tfrac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, k_ {4} = { tfrac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}}}$, производя

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {ab} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 1} {(b + 1) ) (b + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

или же

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {b + { cfrac {(ab) z} {(b + 1) + { cfrac {(a + 1) z} {(b + 2) + { cfrac {(ab- 1) z} {(b + 3) + { cfrac {(a + 2) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}}$

по аналогии

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {a} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab-1} {(b + 1) ( b + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab -2} {(b + 3) (b + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

или же

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {b + { cfrac {az} {(b + 1) + { cfrac {(ab-1) z} {(b + 2) + { cfrac {(a + 1) z} { (b + 3) + { cfrac {(ab-2) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}$

С ${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (0; b; z) = 1}$, параметр а на 0 и заменив б + 1 с б в первой непрерывной дроби дает упрощенный частный случай:

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-z} {b + { cfrac {z} {(b + 1 ) + { cfrac {-bz} {(b + 2) + { cfrac {2z} {(b + 3) + { cfrac {- (b + 1) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}}}$

Сериал ₂F₁

Последний случай включает

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + { frac {ab} {c , 1!}} z + { frac {a (a + 1) b (b + 1)} {c (c + 1) , 2!}} z ^ {2} + { frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b + 2)} {c (c + 1) (c + 2) , 3!}} Z ^ {3} + cdots. ,}$

Опять же, поочередно используются два идентификатора.

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - , _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = { frac {(a-c + 1) bz} {c (c-1)}} , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - , _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = { frac {(b-c + 1) az} {c (c-1)}} , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z).}$

По сути, это то же самое, что и а и б поменялись местами.

Позволять

${ displaystyle f_ {0} (z) = , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

${ displaystyle f_ {1} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$

${ displaystyle f_ {2} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$

${ displaystyle f_ {3} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$

${ displaystyle f_ {4} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$

и Т. Д.

Это дает ${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$ куда ${ displaystyle k_ {1} = { tfrac {(ac) b} {c (c + 1)}}, k_ {2} = { tfrac {(bc-1) (a + 1)} {(c +1) (c + 2)}}, k_ {3} = { tfrac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, k_ {4} = { tfrac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}}$, производя

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc -1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

или же

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {c {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}} = { cfrac {1} {c + { cfrac {(ac) bz} {(c + 1) + { cfrac {(bc-1) (a + 1) z} {(c + 2 ) + { cfrac {(ac-1) (b + 1) z} {(c + 3) + { cfrac {(bc-2) (a + 2) z} {(c + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}$

С ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (0, b; c; z) = 1}$, параметр а на 0 и заменив c + 1 с c дает упрощенный частный случай непрерывной дроби:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-bz} {c + { cfrac {(bc) z} {(c + 1) + { cfrac {-c (b + 1) z} {(c + 2) + { cfrac {2 (bc-1) z} {(c + 3) + { cfrac { - (c + 1) (b + 2) z} {(c + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}}}$

Свойства сходимости

В этом разделе исключаются случаи, когда один или несколько параметров являются отрицательными целыми числами, поскольку в этих случаях либо гипергеометрические ряды не определены, либо они являются полиномами, поэтому непрерывная дробь заканчивается. Исключаются и другие тривиальные исключения.

В случаях ${ displaystyle {} _ {0} F_ {1}}$ и ${ displaystyle {} _ {1} F_ {1}}$, ряды всюду сходятся, поэтому дробь в левой части есть мероморфная функция. Цепные дроби в правой части будут равномерно сходиться на любом замкнутом и ограниченном множестве, не содержащем полюса этой функции.^[6]

В случае ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$, радиус сходимости ряда равен 1, а дробь в левой части является мероморфной функцией внутри этого круга. Цепные дроби в правой части будут сходиться к функции всюду внутри этого круга.

Непрерывная дробь за пределами круга представляет собой аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость с положительной действительной осью, от +1 до бесконечно удаленной точки. В большинстве случаев +1 это точка ветвления, а линия от +1 в положительную бесконечность - ветвь для этой функции. Цепная дробь сходится к мероморфной функции в этой области, и она сходится равномерно на любом замкнутом и ограниченном подмножестве этой области, не содержащем никаких полюсов.^[7]

Приложения

Сериал ₀F₁

У нас есть

${ displaystyle cosh (z) = , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {1} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}),}$

${ displaystyle sinh (z) = z , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {3} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}),}$

так

${ displaystyle tanh (z) = { frac {z , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {3} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}) )} {, _ {0} F_ {1} ({ tfrac {1} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}})}} = { cfrac {z / 2 } {{ tfrac {1} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {3} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {5} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {7} {2}} + {} ddots}}}}}}}} = { cfrac {z} {1 + { cfrac {z ^ {2}} {3 + { cfrac {z ^ {2}} {5 + { cfrac {z ^ {2}} {7 + {} ddots}}}}}}}}.}$

Это конкретное расширение известно как Непрерывная дробь Ламберта и восходит к 1768 году.^[8]

Отсюда легко следует, что

${ Displaystyle tan (z) = { cfrac {z} {1 - { cfrac {z ^ {2}} {3 - { cfrac {z ^ {2}} {5 - { cfrac {z ^) {2}} {7 - {} ddots}}}}}}}}.}$

Расширение tanh может использоваться, чтобы доказать, что е^п иррационально для любого целого числа п (чего, увы, недостаточно, чтобы доказать, что е является трансцендентный ). Расширение загара использовали как Ламберт, так и Legendre к доказать, что π иррационально.

В Функция Бесселя ${ displaystyle J _ { nu}}$ можно написать

${ Displaystyle J _ { nu} (z) = { frac {({ tfrac {1} {2}} z) ^ { nu}} { Gamma ( nu +1)}} , _ { 0} F_ {1} ( nu +1; - { frac {z ^ {2}} {4}}),}$

из чего следует

${ displaystyle { frac {J _ { nu} (z)} {J _ { nu -1} (z)}} = { cfrac {z} {2 nu - { cfrac {z ^ {2} } {2 ( nu +1) - { cfrac {z ^ {2}} {2 ( nu +2) - { cfrac {z ^ {2}} {2 ( nu +3) - {} ddots}}}}}}}}.}$

Эти формулы верны и для любого комплекса z.

Сериал ₁F₁

С ${ Displaystyle е ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z)}$, ${ displaystyle 1 / e ^ {z} = e ^ {- z}}$

${ Displaystyle е ^ {z} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-z} {1 + { cfrac {z} {2 + { cfrac {-z} {3 + { cfrac) {2z} {4 + { cfrac {-2z} {5 + {} ddots}}}}}}}}}}}}}$

${ Displaystyle е ^ {z} = 1 + { cfrac {z} {1 + { cfrac {-z} {2 + { cfrac {z} {3 + { cfrac {-2z} {4+ { cfrac {2z} {5 + {} ddots}}}}}}}}}}.}$

С некоторыми манипуляциями это может быть использовано, чтобы доказать представление простой непрерывной дробие,

${ Displaystyle е = 2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} { 4 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

В функция ошибки эрф (z), заданный

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt ,}$

также может быть вычислено с помощью гипергеометрической функции Куммера:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} , _ {1} F_ {1} (1; { scriptstyle { frac {3} {2}}}; z ^ {2}).}$

Применяя непрерывную дробь Гаусса, можно получить полезное разложение для каждого комплексного числа z может быть получен:^[9]

${ displaystyle { frac { sqrt { pi}} {2}} e ^ {z ^ {2}} operatorname {erf} (z) = { cfrac {z} {1 - { cfrac {z ^ {2}} {{ frac {3} {2}} + { cfrac {z ^ {2}} {{ frac {5} {2}} - { cfrac {{ frac {3} { 2}} z ^ {2}} {{ frac {7} {2}} + { cfrac {2z ^ {2}} {{ frac {9} {2}} - { cfrac {{ frac) {5} {2}} z ^ {2}} {{ frac {11} {2}} + { cfrac {3z ^ {2}} {{ frac {13} {2}} - { cfrac {{ frac {7} {2}} z ^ {2}} {{ frac {15} {2}} + - ddots}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Аналогичный аргумент можно привести для получения разложения в непрерывную дробь для Интегралы Френеля, для Функция Доусона, а для неполная гамма-функция. Более простая версия аргумента дает два полезных разложения в цепную дробь экспоненциальная функция.^[10]

Сериал ₂F₁

Из

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} = {} _ {1} F_ {0} (b ;; z) = , _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) ,}$

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-bz} {1 + { cfrac {(b-1) z} {2 + { cfrac) {- (b + 1) z} {3 + { cfrac {2 (b-2) z} {4 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Легко показать, что разложение в ряд Тейлора арктанz в окрестности нуля задается формулой

${ displaystyle arctan z = zF ({ scriptstyle { frac {1} {2}}}, 1; { scriptstyle { frac {3} {2}}}; - z ^ {2}).}$

К этому тождеству можно применить цепную дробь Гаусса, что дает разложение

${ Displaystyle arctan z = { cfrac {z} {1 + { cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + { cfrac {(2z) ^ {2}} {5 + { cfrac { (3z) ^ {2}} {7 + { cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ ddots}}}}}}}}}},}$

который сходится к главной ветви функции обратной касательной на комплексной плоскости разреза, причем разрез продолжается вдоль мнимой оси от я в бесконечно удаленную точку, а от -я до бесконечности.^[11]

Эта конкретная цепная дробь довольно быстро сходится, когда z = 1, что дает значение π / 4 с точностью до семи десятичных знаков по девятой сходящейся дроби. Соответствующая серия

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2+ { cfrac {5 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}} = 1 - { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { гидроразрыв {1} {7}} pm cdots}$

сходится гораздо медленнее, требуется более миллиона членов, чтобы получить точность до семи десятичных знаков.^[12]

Варианты этого аргумента могут быть использованы для получения разложения в непрерывную дробь для натуральный логарифм, то функция arcsin, а обобщенный биномиальный ряд.

Примечания

Рекомендации

• Джонс, Уильям Б .; Трон, У. Дж. (1980). Непрерывные дроби: теория и приложения. Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. стр.198–214. ISBN  0-201-13510-8.
• Уолл, Х.С. (1973). Аналитическая теория непрерывных дробей. Издательская компания "Челси". С. 335–361. ISBN  0-8284-0207-8.
  (Это перепечатка тома, первоначально опубликованного D. Van Nostrand Company, Inc. в 1948 году.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Гаусса». MathWorld.