Функция Доусона - Википедия - Dawson function

Функция Доусона, ${ Displaystyle F (х) = D _ {+} (х)}$, вокруг начала координат

Функция Доусона, ${ Displaystyle D _ {-} (х)}$, вокруг начала координат

В математика, то Функция Доусона или же Доусон интеграл^[1](названный в честь Х. Г. Доусон^[2]) - односторонняя функция Фурье – Лапласа синусоидальное преобразование функции Гаусса.

Определение

Функция Доусона определяется как:

${ displaystyle D _ {+} (x) = e ^ {- x ^ {2}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt,}$

также обозначается как F(Икс) или же D(Икс) или альтернативно

${ displaystyle D _ {-} (x) = e ^ {x ^ {2}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} , dt. !}$

Функция Доусона - это односторонняя функция Фурье – Лапласа. синусоидальное преобразование из Функция Гаусса,

${ displaystyle D _ {+} (x) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2} / 4} , sin (xt ) , dt.}$

Это тесно связано с функция ошибки erf, как

${ displaystyle D _ {+} (x) = {{ sqrt { pi}} over 2} e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfi} (x) = - {я { sqrt { pi}} over 2} e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erf} (ix)}$

где erfi - функция мнимой ошибки, Эрфи (Икс) = −я эрф (ix). По аналогии,

${ displaystyle D _ {-} (x) = { frac { sqrt { pi}} {2}} e ^ {x ^ {2}} operatorname {erf} (x)}$

в терминах реальной функции ошибок, erf.

С точки зрения либо erfi, либо Функция Фаддеева ш(z), функция Доусона распространяется на всю комплексная плоскость:^[3]

${ displaystyle F (z) = {{ sqrt { pi}} over 2} e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfi} (z) = { frac {i { sqrt { pi}}} {2}} left [e ^ {- z ^ {2}} - w (z) right],}$

что упрощает

${ displaystyle D _ {+} (x) = F (x) = { frac { sqrt { pi}} {2}} operatorname {Im} [w (x)]}$

${ displaystyle D _ {-} (x) = iF (-ix) = - { frac { sqrt { pi}} {2}} left [e ^ {x ^ {2}} - w (-ix )верно]}$

серьезно Икс.

Для |Икс| около нуля, F(Икс) ≈ Икс. Для |Икс| большой, F(Икс) ≈ 1/(2Икс).В частности, около начала координат у него есть расширение серии

${ Displaystyle F (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} , 2 ^ {k}} {(2k + 1) !!} } , x ^ {2k + 1} = x - { frac {2} {3}} x ^ {3} + { frac {4} {15}} x ^ {5} - cdots,}$

в то время как для больших Икс он имеет асимптотическое разложение

${ Displaystyle F (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} x ^ {2k + 1}}} = { frac {1} {2x}} + { frac {1} {4x ^ {3}}} + { frac {3} {8x ^ {5}}} + cdots,}$

куда п!! это двойной факториал.

F(Икс) удовлетворяет дифференциальному уравнению

${ displaystyle { frac {dF} {dx}} + 2xF = 1 , !}$

с начальным условиемF(0) = 0. Следовательно, он имеет экстремумы при

${ Displaystyle F (x) = { frac {1} {2x}},}$

в результате чего Икс = ±0.92413887... (OEIS: A133841), F(Икс) = ±0.54104422... (OEIS: A133842).

Точки перегиба следуют за

${ displaystyle F (x) = { frac {x} {2x ^ {2} -1}},}$

в результате чего Икс = ±1.50197526... (OEIS: A133843), F(Икс) = ±0.42768661... (OEIS: A245262). (За исключением тривиальной точки перегиба в Икс = 0, F(Икс) = 0.)

Связь с преобразованием Гильберта гауссова

В Преобразование Гильберта гауссиана определяется как

${ displaystyle H (y) = pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {yx }} , dx}$

П.В. обозначает Главное значение Коши, а мы ограничиваемся реальными ${ displaystyle y}$. ${ displaystyle H (y)}$ можно связать с функцией Доусона следующим образом. Внутри интеграла главного значения мы можем рассматривать ${ displaystyle 1 / u}$ как обобщенная функция или распределение, и используйте представление Фурье

${ displaystyle {1 over u} = int _ {0} ^ { infty} dk , sin ku = int _ {0} ^ { infty} dk , operatorname {Im} e ^ { iku}}$

С ${ Displaystyle 1 / и = 1 / (у-х)}$, воспользуемся экспоненциальным представлением ${ Displaystyle грех (ку)}$ и завершим квадрат относительно ${ displaystyle x}$ найти

${ Displaystyle пи H (Y) = OperatorName {Im} int _ {0} ^ { infty} dk , exp [-k ^ {2} / 4 + iky] int _ {- infty } ^ { infty} dx , exp [- (x + ik / 2) ^ {2}]}$

Мы можем сдвинуть интеграл по ${ displaystyle x}$ к действительной оси, и это дает ${ displaystyle pi ^ {1/2}}$. Таким образом

${ displaystyle pi ^ {1/2} H (y) = operatorname {Im} int _ {0} ^ { infty} dk , exp [-k ^ {2} / 4 + iky]}$

Завершаем квадрат относительно ${ displaystyle k}$ и получить

${ displaystyle pi ^ {1/2} H (y) = e ^ {- y ^ {2}} operatorname {Im} int _ {0} ^ { infty} dk , exp [- ( k / 2-iy) ^ {2}]}$

Меняем переменные на ${ displaystyle u = ik / 2 + y}$:

${ displaystyle pi ^ {1/2} H (y) = - 2e ^ {- y ^ {2}} operatorname {Im} i int _ {y} ^ {i infty + y} du e ^ {и ^ {2}}}$

Интеграл может быть выполнен как контурный интеграл вокруг прямоугольника на комплексной плоскости. Взяв мнимую часть результата, получаем

${ Displaystyle H (y) = 2 pi ^ {- 1/2} F (y)}$

куда ${ Displaystyle F (y)}$ - функция Доусона, как определено выше.

Преобразование Гильберта ${ displaystyle x ^ {2n} e ^ {- x ^ {2}}}$ также связано с функцией Доусона. Мы видим это в технике дифференцирования внутри интегрального знака. Позволять

${ displaystyle H_ {n} = pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {x ^ {2n} e ^ {- x ^ {2 }}} {yx}} , dx}$

Вводить

${ displaystyle H_ {a} = pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} {e ^ {- ax ^ {2}} over yx} , dx}$

В пth производная

${ displaystyle { partial ^ {n} H_ {a} over partial a ^ {n}} = (- 1) ^ {n} pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}}} {yx}} , dx}$

Таким образом, мы находим

${ displaystyle left.H_ {n} = (- 1) ^ {n} { frac { partial ^ {n} H_ {a}} { partial a ^ {n}}} right | _ {a = 1}}$

Сначала выполняются производные, затем результат оценивается на ${ displaystyle a = 1}$. Замена переменной также дает ${ displaystyle H_ {a} = 2 pi ^ {- 1/2} F (y { sqrt {a}})}$. С ${ Displaystyle F '(y) = 1-2yF (y)}$, мы можем написать ${ Displaystyle H_ {п} = P_ {1} (y) + P_ {2} (y) F (y)}$ куда ${ displaystyle P_ {1}}$ и ${ displaystyle P_ {2}}$ являются полиномами. Например, ${ Displaystyle H_ {1} = - pi ^ {- 1/2} y + 2 pi ^ {- 1/2} y ^ {2} F (y)}$. В качестве альтернативы, ${ displaystyle H_ {n}}$ можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения (для ${ Displaystyle п geq 0}$)

${ displaystyle H_ {n + 1} (y) = y ^ {2} H_ {n} (y) - { frac {(2n-1) !!} {{ sqrt { pi}} 2 ^ { n}}} y.}$

Рекомендации

внешняя ссылка

• gsl_sf_dawson в Научная библиотека GNU
• libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt (x, сигма, гамма) с точностью приблизительно 13–14 цифр. Он основан на Функция Фаддеева как реализовано в Пакет МИТ Фаддеева
• Интеграл Доусона (в Mathworld)
• Функции ошибок