Функция Доусона - Википедия - Dawson function

Функция Доусона, , вокруг начала координат
Функция Доусона, , вокруг начала координат

В математика, то Функция Доусона или же Доусон интеграл[1](названный в честь Х. Г. Доусон[2]) - односторонняя функция Фурье – Лапласа синусоидальное преобразование функции Гаусса.

Определение

Функция Доусона определяется как:

также обозначается как F(Икс) или же D(Икс) или альтернативно

Функция Доусона - это односторонняя функция Фурье – Лапласа. синусоидальное преобразование из Функция Гаусса,

Это тесно связано с функция ошибки erf, как

где erfi - функция мнимой ошибки, Эрфи (Икс) = −я эрф (ix). По аналогии,

в терминах реальной функции ошибок, erf.

С точки зрения либо erfi, либо Функция Фаддеева ш(z), функция Доусона распространяется на всю комплексная плоскость:[3]

что упрощает

серьезно Икс.

Для |Икс| около нуля, F(Икс) ≈ Икс. Для |Икс| большой, F(Икс) ≈ 1/(2Икс).В частности, около начала координат у него есть расширение серии

в то время как для больших Икс он имеет асимптотическое разложение

куда п!! это двойной факториал.

F(Икс) удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условиемF(0) = 0. Следовательно, он имеет экстремумы при

в результате чего Икс = ±0.92413887... (OEISA133841), F(Икс) = ±0.54104422... (OEISA133842).

Точки перегиба следуют за

в результате чего Икс = ±1.50197526... (OEISA133843), F(Икс) = ±0.42768661... (OEISA245262). (За исключением тривиальной точки перегиба в Икс = 0, F(Икс) = 0.)

Связь с преобразованием Гильберта гауссова

В Преобразование Гильберта гауссиана определяется как

П.В. обозначает Главное значение Коши, а мы ограничиваемся реальными . можно связать с функцией Доусона следующим образом. Внутри интеграла главного значения мы можем рассматривать как обобщенная функция или распределение, и используйте представление Фурье

С , воспользуемся экспоненциальным представлением и завершим квадрат относительно найти

Мы можем сдвинуть интеграл по к действительной оси, и это дает . Таким образом

Завершаем квадрат относительно и получить

Меняем переменные на :

Интеграл может быть выполнен как контурный интеграл вокруг прямоугольника на комплексной плоскости. Взяв мнимую часть результата, получаем

куда - функция Доусона, как определено выше.

Преобразование Гильберта также связано с функцией Доусона. Мы видим это в технике дифференцирования внутри интегрального знака. Позволять

Вводить

В пth производная

Таким образом, мы находим

Сначала выполняются производные, затем результат оценивается на . Замена переменной также дает . С , мы можем написать куда и являются полиномами. Например, . В качестве альтернативы, можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения (для )

Рекомендации

  1. ^ Темме, Н. М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
  2. ^ Доусон, Х. Г. (1897). «О числовом значении ". Труды Лондонского математического общества. s1-29 (1): 519–522. Дои:10.1112 / плмс / с1-29.1.519.
  3. ^ Мофрех Р. Заглул и Ахмед Н. Али "Алгоритм 916: вычисление функций Фаддеева и Фойгта," ACM Trans. Математика. Мягкий. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен на arXiv: 1106.0151.

внешняя ссылка