Шестиугольник - Hexacontagon

Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	60
Символ Шлефли	{60}, т {30}, тн {15}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D60), заказ 2 × 60
Внутренний угол (градусы )	174°
Двойной многоугольник	Я
Характеристики	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрия, а шестиугольник или шестиугольник или 60-угольник - это шестидесятиугольник многоугольник.^[1][2] Сумма внутренних углов любого шестиугольника составляет 10440 градусов.

Свойства регулярного шестиугольника

А регулярный шестиугольник представлен Символ Шлефли {60} а также может быть выполнен в виде усеченный триаконтагон, t {30}, или дважды усеченный пятиугольник, тт {15}. Усеченный шестиугольник, t {60}, является 120-угольник, {120}.

Один внутренний угол в правильном шестиугольнике равен 174 °, что означает, что один внешний угол будет равен 6 °.

В площадь правильного шестиугольника есть (с т = длина кромки)

${ displaystyle A = 15t ^ {2} cot { frac { pi} {60}}}$

и это inradius является

${ displaystyle r = { frac {1} {2}} t cot { frac { pi} {60}}}$

В по окружности правильного шестиугольника

${ displaystyle R = { frac {1} {2}} t csc { frac { pi} {60}}}$

Это означает, что тригонометрические функции числа π / 60 можно выразить в радикалах.

Конструируемый

Поскольку 60 = 2² × 3 × 5 правильный шестиугольник конструктивный с помощью компас и линейка.^[3] Как усеченный триаконтагон, его можно построить с помощью ребраделение пополам штатного триаконтагона.

Симметрия

Симметрии правильного шестиугольника, разделенного на 4 подграфа, содержащих подгруппы индекса 2. Каждая симметрия внутри подграфа связана с нижними связными подграфами.

В правильный шестиугольник есть Dih₆₀ двугранная симметрия, порядок 120, представленный 60 линиями отражения. Dih₆₀ имеет 11 диэдральных подгрупп: (Dih₃₀, Ди₁₅), (Dih₂₀, Ди₁₀, Ди₅), (Dih₁₂, Ди₆, Ди₃) и (Dih₄, Ди₂, Ди₁). И еще 12 циклический симметрии: (Z₆₀, Z₃₀, Z₁₅), (Z₂₀, Z₁₀, Z₅), (Z₁₂, Z₆, Z₃) и (Z₄, Z₂, Z₁), причем Z_п представляющий π /п радианная вращательная симметрия.

Эти 24 симметрии связаны с 32 различными симметриями гексаконтагона. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.^[4] Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, п с зеркальными линиями по краям (перпендикулярно), я с зеркальными линиями через вершины и края, и г для вращательной симметрии. а1 этикетки не симметричны.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять нерегулярные шестиугольники. Только g60 симметрия не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Рассечение

60-угольник с 1740 ромбами

Coxeter заявляет, что каждый зоногон (а 2м-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на м(м-1) / 2 параллелограмма.^[5]В частности, это верно для правильные многоугольники с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы ромбовидны. Для правильный шестиугольник, м= 30, и его можно разделить на 435: 15 квадратов и 14 наборов по 30 ромбов. Это разложение основано на Многоугольник Петри проекция 30-куб.

Примеры

Гексаконтаграмма

Гексаконтаграмма - это 60-гранная звездный многоугольник. Есть 7 обычных форм, которые дает Символы Шлефли {60/7}, {60/11}, {60/13}, {60/17}, {60/19}, {60/23} и {60/29}, а также 22 соединения звездные фигуры с тем же конфигурация вершины.

Обычный звездные многоугольники {60 / к}

Картина	{60/7}	{60/11}	{60/13}	{60/17}	{60/19}	{60/23}	{60/29}
Внутренний угол	138°	114°	102°	78°	66°	42°	6°

использованная литература

• Вайсштейн, Эрик В. "Шестиугольник". MathWorld.
• Именование многоугольников и многогранников
• Шестиугольник