Тангенциальная трапеция - Tangential trapezoid

Тангенциальная трапеция.

В Евклидова геометрия, а тангенциальная трапеция, также называемый ограниченная трапеция, это трапеция чьи четыре стороны все касательная к круг внутри трапеции: окружать или же вписанный круг. Это частный случай тангенциальный четырехугольник в котором хотя бы одна пара противоположных сторон параллельно. Что касается других трапеций, параллельные стороны называются базы а с двух других сторон ноги. Ноги могут быть равными (см. равнобедренная тангенциальная трапеция ниже), но это не обязательно.

Особые случаи

Примеры тангенциальных трапеций: ромбовидные и квадраты.

Характеристика

Если вписанная окружность касается сторон AB и CD в W и Y соответственно, то тангенциальный четырехугольник ABCD также трапеция с параллельными сторонами AB и CD если и только если^{[1]:Thm. 2}

${ Displaystyle AW cdot DY = BW cdot CY}$

и ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э являются параллельными сторонами трапеции тогда и только тогда, когда

${ displaystyle AW cdot BW = CY cdot DY.}$

Площадь

Формула для площадь трапеции можно упростить, используя Теорема Пито чтобы получить формулу площади тангенциальной трапеции. Если основания имеют длину а и б, а любая из двух других сторон имеет длину c, то площадь K дается формулой^[2]

${ displaystyle K = { frac {a + b} {| b-a |}} { sqrt {ab (a-c) (c-b)}}.}.$

Площадь можно выразить через касательные длины. е, ж, грамм, час в качестве^{[3]:стр.129}

${ displaystyle K = { sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}$

Inradius

Используя те же обозначения, что и для площади, радиус во вписанной окружности равен^[2]

${ displaystyle r = { frac {K} {a + b}} = { frac { sqrt {ab (a-c) (c-b)}} {| b-a |}}.}$

В диаметр вписанной окружности равна высоте тангенциальной трапеции.

Inradius также может быть выражен через касательные длины в качестве^{[3]:стр.129}

${ displaystyle r = { sqrt [{4}] {efgh}}.}$

Более того, если касательные длины e, f, g, h исходят соответственно из вершин А, Б, В, D и AB параллельно ОКРУГ КОЛУМБИЯ, тогда^[1]

${ displaystyle r = { sqrt {eh}} = { sqrt {fg}}.}$

Свойства стимулятора

Если вписанная окружность касается оснований в точке п и Q, тогда п, я и Q находятся коллинеарен, куда я это стимулятор.^[4]

Углы ПОМОГАТЬ и BIC в тангенциальной трапеции ABCD, с основаниями AB и ОКРУГ КОЛУМБИЯ, находятся прямые углы.^[4]

Центр центра расположен на медиане (также называемой срединным сегментом; то есть сегмент, соединяющий средние точки ног).^[4]

Другие свойства

В медиана (средний сегмент) тангенциальной трапеции составляет одну четвертую часть периметр трапеции. Это также половина суммы оснований, как и у всех трапеций.

Если нарисовать два круга, каждый с диаметром, совпадающим с катетами тангенциальной трапеции, то эти два круга будут касательная друг другу.^[5]

Правая тангенциальная трапеция

Прямая тангенциальная трапеция.

А правая тангенциальная трапеция представляет собой тангенциальную трапецию, в которой два смежных угла прямые углы. Если основания имеют длину а и б, то внутренний радиус равен^[6]

${ displaystyle r = { frac {ab} {a + b}}.}$

Таким образом диаметр вписанной окружности гармоническое среднее баз.

Правая тангенциальная трапеция имеет площадь^[6]

${ displaystyle displaystyle K = ab}$

и это периметр п является^[6]

${ displaystyle displaystyle P = 2 (a + b).}$

Равнобедренная тангенциальная трапеция

Каждый равнобедренный тангенциальная трапеция бицентрический.

An равнобедренная тангенциальная трапеция тангенциальная трапеция с равными участками. Поскольку равнобедренная трапеция является циклический, равнобедренная тангенциальная трапеция - это двухцентровый четырехугольник. То есть он имеет как вписанную окружность, так и описанный круг.

Если базы а и б, то радиус равен^[7]

${ displaystyle r = { tfrac {1} {2}} { sqrt {ab}}.}$

Вывести эту формулу было несложным Сангаку проблема от Япония. Из Теорема Пито из этого следует, что длина ног составляет половину суммы оснований. Поскольку диаметр вписанной окружности равен квадратный корень произведения оснований равнобедренная тангенциальная трапеция дает прекрасную геометрическую интерпретацию среднее арифметическое и среднее геометрическое оснований как длина ножки и диаметр вписанной окружности соответственно.

Площадь K равнобедренной тангенциальной трапеции с основаниями а и б дан кем-то^[8]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} { sqrt {ab}} (a + b).}$

Рекомендации