Трапеция - Trapezoid

Трапеция (AmE); Трапеция (BrE)
	Трапеция или трапеция
Тип	четырехугольник
Края и вершины	4
Площадь
Характеристики	выпуклый

В Евклидова геометрия, а выпуклый четырехугольник хотя бы с одной парой параллельно стороны упоминается как трапеция (/трəˈпяzяəм/) на английском языке за пределами Северной Америки, но как трапеция^[1]^[2] (/ˈтрæпəzɔɪd/) в Американец и Канадский английский. Параллельные стороны называются базы трапеции, а две другие стороны называются ноги или боковые стороны (если они не параллельны, иначе две пары оснований). А разносторонняя трапеция трапеция без сторон равной меры,^[3] в отличие от Особые случаи ниже.

Этимология

Период, термин трапеция используется в английском языке с 1570 г., от поздней латыни трапеция, от греческого τραπέζιον (ловушка), буквально «столик», уменьшительное от τράπεζα (Trápeza), "столик", сам из τετράς (тетра), «четверка» + πέζα (песа), «стопа; конец, граница, край».^[4]

Первое записанное использование переводимого греческого слова трапеция (τραπεζοειδή, трапеция, "в виде стола") Маринус Прокл^{[сомнительный – обсудить]} (С 412 по 485 г. н.э.) в его Комментарии к первой книге Элементы Евклида.^[5]

В этой статье используется термин трапеция в том смысле, который распространен в Соединенных Штатах и Канаде. Во многих языках также используется слово, производное от греческого, используемая форма наиболее близка к трапеция, а не трапеция (например, французский ловушка, Итальянский трапеция, Португальский Trapézio, Испанский трапеция, Немецкий Трапез, Украинское "трапеція").

Трапеция против Трапеция

Период, термин трапеция когда-то в Великобритании и других странах определяли как четырехугольник без параллельных сторон. В Оксфордский словарь английского языка (OED) говорит: «Часто его называли английские писатели 19 века».^[6] Согласно OED, смысл фигуры без параллельных сторон - это значение, для которого Прокл ввел термин «трапеция». Это сохранено во французском Trapézoïde,^[7] Немецкий Трапеция, и на других языках. Однако именно этот смысл считается устаревшим.

А трапеция в смысле Прокла - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Это было особое значение в Англии в 17 и 18 веках, и снова преобладающее в недавнем употреблении за пределами Северной Америки. Трапеция, как и любой четырехугольник, более общий, чем параллелограмм смысл термина в Евклид.

Как ни странно, слово трапеция иногда использовался в Англии с ок. 1800 до с. 1875 г., чтобы обозначить неправильный четырехугольник, у которого стороны не параллельны. Сейчас это устарело в Англии, но продолжается в Северной Америке. Однако эту форму чаще (и менее запутанно) называют неправильным четырехугольником.^[8]^[9]

Инклюзивное и эксклюзивное определение

Есть некоторые разногласия относительно того, параллелограммы, которые имеют две пары параллельных сторон, следует рассматривать как трапеции. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий Только одна пара параллельных сторон (исключительное определение), что исключает параллелограммы.^[10] Другие^[11] определим трапецию как четырехугольник с по меньшей мере одна пара параллельных сторон (включительное определение^[12]), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление. В этой статье используется инклюзивное определение и параллелограммы рассматриваются как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономия четырехугольников.

Согласно инклюзивному определению, все параллелограммы (включая ромбы, прямоугольники и квадраты ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию по вершинам, а квадраты имеют зеркальную симметрию как по средним краям, так и по вершинам.

Особые случаи

Особые случаи трапеции. Оранжевые фигуры также считаются параллелограммами.

А правая трапеция (также называемый прямоугольная трапеция) имеет два соседних прямые углы.^[11] Правые трапеции используются в трапеция для оценки площадей под кривой.

An острая трапеция имеет два смежных острых угла на более длинном основание край, в то время как тупая трапеция имеет один острый и один тупой угол на каждом основание.

An равнобедренная трапеция представляет собой трапецию, у которой базовые углы имеют одинаковую меру. Как следствие, две ножки также имеют одинаковую длину и симметрия отражения. Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

А параллелограмм представляет собой трапецию с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательная симметрия (или же точечное отражение симметрия). Возможны тупые трапеции или прямые трапеции (прямоугольники).

А тангенциальная трапеция это трапеция, имеющая окружать.

А Четырехугольник Саккери похож на трапецию в гиперболической плоскости с двумя смежными прямыми углами, в то время как это прямоугольник в евклидовой плоскости. А Четырехугольник Ламберта в гиперболической плоскости имеет 3 прямых угла.

Состояние существования

Четыре длины а, c, б, d может составлять последовательные стороны трапеции, отличной от параллелограмма, с а и б параллельно только когда^[13]

{ Displaystyle Displaystyle | d-c | <| b-a |

Четырехугольник - это параллелограмм, когда ${ displaystyle d-c = b-a = 0}$ , но это эксантангенциальный четырехугольник (который не является трапецией), когда ${ Displaystyle | d-c | = | b-a | neq 0}$ .^[14]^{:п. 35 год}

Характеристики

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что четырехугольник является трапецией:

Имеет два смежных углы которые дополнительный, то есть в сумме они составляют 180 градусы.
Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и той же диагональю.
В диагонали разрезать друг друга на одно и то же соотношение (это соотношение такое же, как и между длинами параллельных сторон).
Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, одна из противоположных пар похожий.
Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара имеет равные площади.^[14]^{:Предложение 5}
Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю.^[14]^:Thm.6
Области S и Т некоторых двух противоположных треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

{ displaystyle { sqrt {K}} = { sqrt {S}} + { sqrt {T}},}

куда K площадь четырехугольника.^[14]^:Thm.8

Середины двух противоположных сторон и пересечение диагоналей находятся коллинеарен.^[14]^:Thm.15
Углы в четырехугольнике ABCD удовлетворить ${ Displaystyle грех А грех С = грех В грех D.}$ ^[14]^{:п. 25}
Сумма косинусов двух соседних углов равна 0, как и косинусы двух других углов.^[14]^{:п. 25}
Сумма котангенсов двух соседних углов равна 0, как и котангенсы двух других смежных углов.^[14]^{:п. 26}
Один бимедиан делит четырехугольник на два четырехугольника равной площади.^[14]^{:п. 26}
Удвоенная длина бимедиана, соединяющего середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон.^[14]^{:п. 31 год}

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое подразумевает, что противоположные стороны а и б параллельны:

Последовательные стороны а, c, б, d и диагонали п, q удовлетворяют уравнению^[14]^:Кор.11

{ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = c ^ {2} + d ^ {2} + 2ab.}

Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению^[14]^:Thm.12

{ displaystyle v = { frac {| a-b |} {2}}.}

Средний сегмент и высота

В средний сегмент (также называемая средней линией) трапеции - это сегмент, соединяющий средние точки ног. Параллельно базам. Его длина м равняется среднему значению длин оснований а и б трапеции,^[11]

{ displaystyle m = { frac {a + b} {2}}.}

Средний отрезок трапеции - один из двух бимедианцы (другой бимедиан делит трапецию на равные площади).

В рост (или высота) - это перпендикуляр расстояние между основаниями. В случае, если две базы имеют разную длину (а ≠ б), высота трапеции час можно определить по длине его четырех сторон по формуле^[11]

{ displaystyle h = { frac { sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}} {2 | ба |}}}

куда c и d - длины ног.

Площадь

Площадь K трапеции определяется выражением^[11]

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {а + Ь} {2}} cdot h = mh}

куда а и б - длины параллельных сторон, час - высота (перпендикулярное расстояние между этими сторонами), а м это среднее арифметическое длины двух параллельных сторон. В 499 г. Арьябхата, отличный математик -астроном с классической эпохи Индийская математика и Индийская астрономия, использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.8). Это дает как особый случай известная формула для площади треугольник, рассматривая треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась до точки.

Индийский математик VII века Бхаскара I вывел следующую формулу для площади трапеции с последовательными сторонами а, c, б, d:

{ displaystyle K = { frac {1} {2}} (a + b) { sqrt {c ^ {2} - { frac {1} {4}} left ((ba) + { frac {c ^ {2} -d ^ {2}} {ba}} right) ^ {2}}}}

куда а и б параллельны и б > а.^[15] Эта формула может быть преобразована в более симметричный вариант^[11]

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {a + b} {4 | ba |}} { sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}}.}.

Когда одна из параллельных сторон сжалась до точки (скажем, а = 0) эта формула сводится к Формула Герона для площади треугольника.

Другая эквивалентная формула для площади, которая больше похожа на формулу Герона, это^[11]

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {a + b} {| b-a |}} { sqrt {(s-b) (s-a) (s-b-c) (s-b-d)}},}

куда ${ displaystyle s = { tfrac {1} {2}} (a + b + c + d)}$ это полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на Формула Брахмагупты, но отличается от него тем, что трапеция может не быть циклический (вписано в кружок). Формула также является частным случаем Формула Бретшнайдера для генерала четырехугольник ).

Из формулы Бретшнайдера следует, что

{ displaystyle K = { sqrt {{ frac {(ab ^ {2} -a ^ {2} b-ad ^ {2} + bc ^ {2}) (ab ^ {2} -a ^ {2 } b-ac ^ {2} + bd ^ {2})} {(2 (ba)) ^ {2}}} - left ({ frac {b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}} {4}} right) ^ {2}}}.}

Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.

Диагонали

Длины диагоналей равны^[11]

{ displaystyle p = { sqrt { frac {ab ^ {2} -a ^ {2} b-ac ^ {2} + bd ^ {2}} {b-a}}},}

{ displaystyle q = { sqrt { frac {ab ^ {2} -a ^ {2} b-ad ^ {2} + bc ^ {2}} {b-a}}}}

куда а короткая база, б это длинная база, и c и d ноги трапеции.

Если трапеция поделена диагоналями на четыре треугольника AC и BD (как показано справа), пересекаясь в О, то площадь ${ Displaystyle треугольник}$ AOD равен ${ Displaystyle треугольник}$ BOC, и произведение площадей ${ Displaystyle треугольник}$ AOD и ${ Displaystyle треугольник}$ BOC равен ${ Displaystyle треугольник}$ AOB и ${ Displaystyle треугольник}$ COD. Соотношение площадей каждой пары смежных треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон.^[11]

Пусть у трапеции есть вершины А, B, C, и D последовательно и иметь параллельные стороны AB и ОКРУГ КОЛУМБИЯ. Позволять E - пересечение диагоналей, и пусть F быть на стороне DA и грамм быть на стороне до н.э такой, что FEG параллельно AB и компакт диск. потом FG это гармоническое среднее из AB и ОКРУГ КОЛУМБИЯ:^[16]

{ displaystyle { frac {1} {FG}} = { frac {1} {2}} left ({ frac {1} {AB}} + { frac {1} {DC}} right ).}

Линия, проходящая как через точку пересечения вытянутых непараллельных сторон, так и через точку пересечения диагоналей, делит каждую основу пополам.^[17]

Другие свойства

Центр площади (центр масс для униформы пластинка ) лежит вдоль отрезка прямой, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии Икс с более длинной стороны б данный^[18]

{ displaystyle x = { frac {h} {3}} left ({ frac {2a + b} {a + b}} right).}

Центр области делит этот сегмент в соотношении (если брать от короткой стороны к длинной)^[19]^{:п. 862}

{ displaystyle { frac {a + 2b} {2a + b}}.}

Если биссектриса угла к углам А и B пересекаться в п, а биссектрисы углов - к углам C и D пересекаться в Q, тогда^[17]

{ displaystyle PQ = { frac {| AD + BC-AB-CD |} {2}}.}

Приложения

В Храм Дендура в Метрополитен-музей в Нью-Йорк

Архитектура

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных шире у основания, сужаясь к вершине в египетском стиле. Если у них прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно равнобедренные трапеции. Это был стандартный стиль для дверей и окон в Инки.^[20]

Геометрия

В проблема скрещенных лестниц - это задача нахождения расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции с учетом длины диагонали и расстояния от перпендикулярного участка до диагонального пересечения.

Биология

Пример трапеции переднеспинка изложено на молочай

В морфология, таксономия и другие описательные дисциплины, в которых термин для таких форм необходим, такие термины, как трапециевидный или трапециевидный обычно полезны при описании определенных органов или форм.^[21]

Компьютерная инженерия

В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоры. Мультиплексоры - это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

Смотрите также

Вежливый номер, также известное как трапециевидное число
Трапецеидальная линейка, также известное как правило трапеции
Клин, многогранник, образованный двумя треугольниками и тремя гранями трапеции.

дальнейшее чтение

Д. Фрайвер, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников

внешняя ссылка

Трапеция в Энциклопедия математики.
Вайсштейн, Эрик В. "Правая трапеция". MathWorld.
Определение трапеции Площадь трапеции Медиана трапеции С интерактивной анимацией
Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (конструкция, окружность, площадь)
Правило трапеции на Численные методы для студентов бакалавриата
Autar Kaw и E. Eric Kalu, Численные методы с приложениями, (2008)

[1] ttp://www.mathopenref.com/trapezoid.html Матопенреф определение

[2] А. Д. Гардинер и К. Дж. Брэдли, Плоская евклидова геометрия: теория и проблемы, УКМТ, 2005, с. 34.

[3] Виды четырехугольников

[4] πέζα, как говорят, является дорической и аркадской формой πούς «стопа», но записано только в смысле «подъем [человеческой стопы]», откуда и значение «край, граница» .τράπεζα «стол» - гомеровский. Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Генри Стюарт Джонс, Греко-английский лексикон, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα,τράπεζα.

[5] Оксфордский словарь английского языка: трапеция.^{[мертвая ссылка ]}

[oed-6] Оксфордский словарь английского языка входы для трапеции и трапеции.

[7] "Ларусс определение трапезоида".

[8] Словарь Chambers 21st Century Трапеция

[9] "Американское определение трапеции 1913 года". Онлайн-словарь Merriam-Webster. Получено 2007-12-10.

[10] "Определение американской школы" с сайта math.com"". Получено 2008-04-14.

[Mathworld-11] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я Вайсштейн, Эрик В. "Трапеция". MathWorld.

[12] Трапеции, [1]. Проверено 24 февраля 2012.

[13] Спросите доктора Матема (2008), «Площадь трапеции с учетом только длины сторон».

[Josefsson-14] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л Мартин Йозефссон, «Характеристики трапеций», Форум Геометрикорум, 13 (2013) 23-35.

[15] Т. К. Путтасвами, Математические достижения досовременных индийских математиков, Elsevier, 2012, стр. 156.

[16] GoGeometry, [2]. Проверено 8 июля 2012.

[Byer-17] а ^б Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдре Смелцер, Методы евклидовой геометрии, Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 55.

[18] эфунда, Общая трапеция, [3]. Проверено 9 июля 2012.

[AM-19] Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 111 (10): 853–863. Дои:10.2307/4145094. JSTOR 4145094. Получено 2016-04-06.

[20] "Затерянный город инков Мачу-Пикчу - геометрия инков". gogeometry.com. Получено 2018-02-13.

[Capinera2008-21] Джон Л. Капинера (11 августа 2008 г.). Энциклопедия энтомологии. Springer Science & Business Media. С. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]