Проблема скрещенных лестниц - Crossed ladders problem

В проблема скрещенных лестниц это головоломка неизвестного происхождения, появлявшаяся в различных публикациях и регулярно появляющаяся на веб-страницах и Usenet обсуждения.

Проблема

Скрещенные лестницы длин а и б. час половина гармоническое среднее из А и B; эквивалентно, взаимные из А и B сумма, обратная час (в оптическое уравнение ). Данный а, б, и час, найти ш.

Две лестницы длины а и б лежите напротив по переулку, как показано на рисунке. Лестницы пересекаются на высоте час над полом переулка. Какая ширина аллеи?

Мартин Гарднер представляет и обсуждает проблему^[1] в его книге математических головоломок, опубликованной в 1979 году, и цитирует ссылки на нее еще в 1895 году. Проблема скрещенных лестниц может проявляться в различных формах, с вариациями названия, с использованием различной длины и высоты или с запросом необычных решений, таких как случаи, когда все значения целые числа. Его очарование было приписано кажущейся простоте, которая может быстро превратиться в «алгебраический беспорядок» (характеристика, которую Гарднер приписывает Д. Ф. Черч ).

Решение

Из описания проблемы следует, что ш > 0, который а > ш, и б > ш, который час > 0, и это А > час, B > час, куда А и B высота стен, где стороны длины б и а соответственно худой (как на графике выше).

Оба метода решения ниже полагаются на свойство, которое ${displaystyle {frac {1} {A}} + {frac {1} {B}} = {frac {1} {h}},}$ что можно увидеть следующим образом:

Разделите базовую линию на две части в точке пересечения ${displaystyle h,}$, и назовите левую и правую части ${displaystyle w_ {1},}$ и ${displaystyle w_ {2},}$, соответственно. Угол, где ${displaystyle a,}$ встречает ${displaystyle w,}$ является общим для двух одинаковых треугольников с основаниями ${displaystyle w,}$ и ${displaystyle w_ {1},}$ соответственно. Угол, где ${displaystyle b,}$ встречает ${displaystyle w,}$ является общим для двух одинаковых треугольников с основаниями ${displaystyle w,}$ и ${displaystyle w_ {2},}$ соответственно. Это говорит нам, что

${displaystyle {frac {B} {w}} = {frac {h} {w_ {1}}} quad {ext {and}} quad {frac {A} {w}} = {frac {h} {w_ { 2}}} quad {ext {where}} quad w_ {1}> 0, w_ {2}> 0,}$

который мы затем можем переставить (используя ${displaystyle w_ {1} + w_ {2} = w}$) получить

${displaystyle {frac {1} {A}} + {frac {1} {B}} = {frac {1} {h}}.}$

Первый способ

Два заявления теорема Пифагора (см. рисунок выше)

${displaystyle A ^ {2} + w ^ {2} = b ^ {2}}$

и

${displaystyle B ^ {2} + w ^ {2} = a ^ {2}}$

можно вычесть одно из другого, чтобы исключить ш, а результат можно комбинировать с ${displaystyle {frac {1} {A}} + {frac {1} {B}} = {frac {1} {h}}}$ с попеременно А или же B решил дать уравнения четвертой степени^[2]

${displaystyle A ^ {4} -2hA ^ {3} + (h-A) ^ {2} (a ^ {2} -b ^ {2}) = 0,}$

${displaystyle B ^ {4} -2hB ^ {3} + (h-B) ^ {2} (b ^ {2} -a ^ {2}) = 0.}$

Их можно решить алгебраически или численно для высоты стены. А и B, а теорему Пифагора об одном из треугольников можно использовать для определения ширины ш.

Второй способ

Задача сводится к уравнению четвертой степени Икс ³(Икс − c) - 1 = 0, которая может быть решена методами приближения, как предлагает Гарднер, или квартика может быть решена в закрытая форма к Метод Феррари. Один раз Икс получается, легко рассчитывается ширина аллеи. Ниже приводится вывод квартики вместе с желаемой шириной в единицах решения четвертой степени. Обратите внимание, что запрошенный неизвестный, ш, не появляется непосредственно в большинстве производных.

Из ${displaystyle {frac {1} {A}} + {frac {1} {B}} = {frac {1} {h}},}$ мы получили

${displaystyle {ext {(Eq. 1)}} quad AB = h (A + B),}$.

С использованием теорема Пифагора, мы видим, что

${displaystyle w ^ {2} + B ^ {2} = a ^ {2}}$ и ${displaystyle w ^ {2} + A ^ {2} = b ^ {2}}$.

Выделяя w² в обоих уравнениях, мы видим, что

${displaystyle a ^ {2} -B ^ {2} = b ^ {2} -A ^ {2}}$

которые можно перегруппировать и разложить на

${displaystyle {ext {(Eq. 2)}} quad a ^ {2} -b ^ {2} = (B + A) (B-A),}$.

Возведите в квадрат (уравнение 2) и объедините с (уравнением 1)

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (B + A) ^ {2} (B-A) ^ {2} ,,}$

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (B + A) ^ {2} (B ^ {2} -2AB + A ^ {2})}$

Переставить, чтобы получить

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {2} (A ^ {2} + B ^ {2} -2AB)}$

потом

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {2} (A ^ {2} + B ^ {2} + 2AB-4AB) ,,}$

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {2} ((A ^ {2} + 2AB + B ^ {2}) - 4AB) ,, }$

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {2} ((A + B) ^ {2} -4AB),}$

Теперь объедините с (уравнением 1)

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {2} ((A + B) ^ {2} -4h (A + B)) ,,}$

${displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {2} (A + B) ((A + B) -4h),}$

Ну наконец то

${displaystyle {ext {(Eq. 3)}} quad (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} = (A + B) ^ {3} (A + B-4h),}$

Позволять

${displaystyle x = {frac {A + B} {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}} ,,}$

${displaystyle c = {frac {4h} {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}.,}$

потом

${displaystyle x ^ {3} (x-c) -1 = 0.,}$ (то же самое, что и уравнение 3 с перевернутыми сторонами)

Вышеупомянутое уравнение четвертой степени может быть решено для Икс любым доступным способом. Затем ширина переулка определяется с использованием значения, найденного для Икс: Личность

${displaystyle A + B = A + {sqrt {A ^ {2} + (a ^ {2} -b ^ {2})}}}$

можно использовать, чтобы найти А, и ш наконец можно найти

${displaystyle w = {sqrt {b ^ {2} -A ^ {2}}}.}$

Уравнение четвертой степени имеет четыре решения, и только одно решение этого уравнения соответствует поставленной задаче. Другое решение - для случая, когда одна лестница (и стена) находится ниже уровня земли, а другая - выше уровня земли. В этом случае лестницы фактически не пересекаются, а их удлинения пересекаются на заданной высоте. Два других решения представляют собой пару сопряженных комплексных чисел. В уравнении явно не определены длины лестниц, только разница их квадратов, поэтому можно принять длину как любое значение, которое заставляет их пересекаться, а расстояние между стенами будет определяться как между тем местом, где лестницы пересекаются со стенами.

Когда расстояние между стенками приближается к нулю, высота перехода приближается ${displaystyle h = {frac {ab} {a + b}}.}$ Это потому что ${displaystyle {frac {1} {A}} + {frac {1} {B}} = {frac {1} {h}}}$ (проверено с самого начала) подразумевает ${displaystyle h = {frac {AB} {A + B}},}$ и, как ш идет к нулю б идет в А и а идет в B согласно верхней диаграмме.

Поскольку решения уравнения включают квадратные корни, отрицательные корни также действительны. Их можно интерпретировать как лестницы и стены, находящиеся ниже уровня земли, и, в противоположном смысле, их можно менять местами.

Сложные решения можно интерпретировать как стены А наклон влево или вправо и стену B под землей, чтобы пересечение было между удлинениями лестниц, как показано для случая h, a, b = 3, 2, 1. Лестницы а и б и ${displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$ не такие, как указано. База ш является функцией А, B, и час и комплексные значения А и B можно найти из альтернативной квартики

${displaystyle x ^ {4} -2hx ^ {3} + Dx ^ {2} -2hDx + h ^ {2} D = 0}$

с D существование ${displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$ для одной стены и ${displaystyle b ^ {2} -a ^ {2}}$ для другого (± 5 в примере). Обратите внимание, что воображаемые решения горизонтальны, а реальные - вертикальны. Величина D находится в решении как действительная часть разности квадратов комплексных координат двух стен. Мнимая часть = 2Икс_аY_а = 2Икс_бY_б (стены а и б). Короткая лестница в сложном решении в случае 3,2,1 кажется наклоненной под углом 45 градусов, но на самом деле немного меньше с касательной 0,993. Другие комбинации длины лестницы и высоты кроссовера имеют сопоставимые комплексные решения. Для комбинации 105,87,35 касательная к короткой лестнице составляет приблизительно 0,75.

Целочисленные решения

Есть решения, в которых все параметры целые.^[3] Например,^[2] (а, б, а, б, ш₁, ш₂, ш, час) = (119, 70, 42, 105, 16, 40, 56, 30). Такие решения включают Пифагорейские тройки для двух прямоугольных треугольников со сторонами (А, ш, б) и (B, ш, а) и целочисленные решения оптическое уравнение ${displaystyle {frac {1} {A}} + {frac {1} {B}} = {frac {1} {h}}.}$

Применение для складывания бумаги

Складывание прямоугольного листа бумаги втрое с помощью задачи о скрещенных лестницах

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить для складывания прямоугольной бумаги на три равные части:

1/​¹⁄₂ + 1/1 = 1/час   ∴   2 + 1 = 1/час   ∴   час = 1/2 + 1 = 1/3

Одна сторона (левая на рисунке) частично сложена пополам и защемлена, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла (красного) с диагональю (синего цвета) составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно загнуть вниз до пересечения.^[4]

Точно так же, сложив левую сторону дважды, чтобы получить четверть, можно сложить лист на пять равных частей:

1/​¹⁄₄ + 1/1 = 1/час'   ∴   4 + 1 = 1/час'   ∴   час' = 1/4 + 1 = 1/5

и сложив его трижды, чтобы получить восьмерки, можно сложить лист на девять равных частей и т. д .:

1/​¹⁄₈ + 1/1 = 1/час"   ∴   8 + 1 = 1/час"   ∴   час" = 1/8 + 1 = 1/9

Смотрите также

• Правая трапеция, четырехугольник с вершинами на вершинах и основаниях двух лестниц

Рекомендации

внешняя ссылка

• Теорема о скрещенных лестницах Джея Варендорфа, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Решение загадки пересекающихся лестниц (с Python, GNU GSL, Octave, Maxima и Sage).