Выражение в закрытой форме - Closed-form expression

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Закрытое выражение"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а выражение в закрытой форме это математическое выражение выражается с использованием конечный количество стандартных операций. Он может содержать константы, переменные, некие "известные" операции (например, + - × ÷), и функции (например., пй корень, показатель степени, логарифм, тригонометрические функции, и обратные гиперболические функции ), но обычно нет предел, дифференциация, или же интеграция. Набор операций и функций, допускаемых в выражении закрытой формы, может варьироваться в зависимости от автора и контекста.

Пример: корни многочленов

Решения любых квадратное уровненеие с сложный коэффициенты можно выразить в закрытом виде через добавление, вычитание, умножение, разделение, и квадратный корень экстракция, каждый из которых является элементарная функция. Например, квадратное уравнение

${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}$

поддается обработке, поскольку его решения могут быть выражены в виде выражения в замкнутой форме, то есть в терминах элементарных функций:

${ displaystyle x = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Аналогичным образом решения уравнений кубической и четвертой степени (третьей и четвертой степени) могут быть выражены с помощью арифметики, квадратных корней и кубические корни, или альтернативно с использованием арифметических и тригонометрических функций. Однако есть уравнения пятой степени без замкнутых решений с использованием элементарных функций, таких как Икс⁵ − Икс + 1 = 0.

Область изучения математики, широко известная как Теория Галуа включает в себя доказательство того, что в определенных контекстах не существует выражения в замкнутой форме, на основе центрального примера решений в замкнутой форме для многочленов.

Альтернативные определения

Изменение определения «хорошо известный» для включения дополнительных функций может изменить систему уравнений с решениями в замкнутой форме. Много кумулятивные функции распределения не может быть выражено в закрытой форме, если не считать специальные функции такой как функция ошибки или же гамма-функция быть хорошо известным. Можно решить уравнение квинтики, если общие гипергеометрические функции включены, хотя решение слишком сложно алгебраически, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.

Аналитическое выражение

An аналитическое выражение (или же выражение в аналитической форме) это математическое выражение построены с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются расчету. Подобно выражениям в закрытой форме, набор хорошо известных разрешенных функций может варьироваться в зависимости от контекста, но всегда включает основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в степень до действительной экспоненты (которое включает извлечение пй корень ), логарифмы и тригонометрические функции.

Однако класс выражений, считающихся аналитическими, обычно шире, чем для выражений замкнутой формы. Особенно, специальные функции такой как Функции Бесселя и гамма-функция обычно разрешены, и часто так бесконечная серия и непрерывные дроби. С другой стороны, пределы в общем и интегралы в частности, обычно исключаются.^{[нужна цитата ]}

Если аналитическое выражение включает только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень до рационального показателя степени) и рациональные константы, то оно более конкретно называется алгебраическое выражение.

Сравнение разных классов выражений

Выражения в закрытой форме - важный подкласс аналитических выражений, которые содержат ограниченный^{[нужна цитата ]} или неограниченное количество приложений известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, выражения в закрытой форме не включают бесконечная серия или же непрерывные дроби; ни один из них не включает интегралы или же пределы. Действительно, по Теорема Стоуна – Вейерштрасса, любой непрерывная функция на единичный интервал может быть выражен как предел многочленов, поэтому любой класс функций, содержащий многочлены и замкнутый относительно пределов, обязательно будет включать все непрерывные функции.

Точно так же уравнение или же система уравнений говорят, что имеет закрытое решение если и только если хотя бы один решение может быть выражено в виде выражения в закрытой форме; и говорят, что аналитическое решение тогда и только тогда, когда хотя бы одно решение может быть выражено как аналитическое выражение. Есть тонкое различие между "закрытой формой функция"и"закрытая форма номер "в обсуждении" решения в замкнутой форме ", обсуждаемом в (Чау 1999 ) и ниже. Замкнутое или аналитическое решение иногда называют явное решение.

Этот шаблон возможно содержит синтез материала что не достоверно упомянуть или же иметь отношение к основной теме. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. (Июнь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Работа с выражениями незамкнутой формы

Преобразование в выражения в закрытой форме

Выражение:

${ Displaystyle е (х) = сумма _ {я = 0} ^ { infty} {х более 2 ^ {я}}}$

не в закрытом виде, потому что суммирование влечет за собой бесконечное количество элементарных операций. Однако, суммируя геометрическая серия это выражение можно выразить в закрытом виде:^[1]

${ displaystyle f (x) = 2x.}$

Дифференциальная теория Галуа

Интеграл выражения в замкнутой форме может сам или не может быть выражен как выражение в замкнутой форме. Это исследование упоминается как дифференциальная теория Галуа, по аналогии с алгебраической теорией Галуа.

Основная теорема дифференциальной теории Галуа принадлежит Джозеф Лиувиль в 1830-х и 1840-х годах и поэтому именуется Теорема Лиувилля.

Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет выражения в замкнутой форме:

${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$

чья первообразная есть (вплоть до мультипликативная константа) функция ошибки:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} , dt .}$

Математическое моделирование и компьютерное моделирование

Уравнения или системы, слишком сложные для замкнутых или аналитических решений, часто можно проанализировать с помощью математическое моделирование и компьютерное моделирование.

Закрытый номер

Эта секция может быть сбивает с толку или неясно читателям. В частности, по мере написания раздела кажется, что числа Лиувилля и элементарные числа в точности совпадают. Пожалуйста, помоги нам прояснить раздел. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Октябрь 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Три подполя комплексных чисел C были предложены как кодирующие понятие «числа в закрытой форме»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с Числа Лиувилля в смысле рационального приближения), числа EL и элементарные числа. В Числа Лиувилля, обозначенный L, образуют самые маленькие алгебраически замкнутый подполе C замкнуты относительно возведения в степень и логарифма (формально пересечения всех таких подполей), т. е. чисел, которые включают явный возведение в степень и логарифмы, но разрешены явные и скрытый многочлены (корни многочленов); это определено в (Ритт 1948, п. 60). L первоначально назывался элементарные числа, но этот термин теперь используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в (Чау 1999, pp. 441–442), обозначенный E, и называемый EL номера, является наименьшим подполем поля C замкнуты относительно возведения в степень и логарифма - это не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явный алгебраические, экспоненциальные и логарифмические операции. «EL» означает «экспоненциально-логарифмический» и аббревиатуру «элементарный».

Является ли число числом закрытой формы, зависит от того, является ли число трансцендентный. Формально числа Лиувилля и элементарные числа содержат алгебраические числа, и они включают некоторые, но не все трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат всех алгебраических чисел, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа в закрытом виде можно изучить через трансцендентная теория чисел, в котором основным результатом является Теорема Гельфонда – Шнайдера, и главный открытый вопрос Гипотеза Шануэля.

Численные расчеты

Для численных вычислений, быть в закрытой форме, как правило, не обязательно, так как многие пределы и интегралы могут быть эффективно вычислены.

Преобразование из числовых форм

Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в закрытой форме для числовых значений, включая RIES,^[2] идентифицировать в Клен^[3] и SymPy,^[4] Инвертор Плуфа,^[5] и Обратный символьный калькулятор.^[6]

Смотрите также

• Алгебраическое решение
• Финитарная операция
• Численное решение
• Компьютерное моделирование
• Символическая регрессия
• Срок (логика)
• Функция Лиувилля
• Элементарная функция

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Ритт, Дж. Ф. (1948), Интеграция в конечных терминах
• Чоу, Тимоти Ю. (май 1999 г.), «Что такое число в закрытой форме?», Американский математический ежемесячный журнал, 106 (5): 440–448, arXiv:математика / 9805045, Дои:10.2307/2589148, JSTOR  2589148
• Джонатан М. Борвейн и Ричард Э. Крэндалл (январь 2013 г.), «Закрытые формы: что они собой представляют и почему мы заботимся», Уведомления Американского математического общества, 60 (1): 50–65, Дои:10.1090 / noti936

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Закрытое решение». MathWorld.