Теорема Лиувиля (дифференциальная алгебра) - Википедия - Liouvilles theorem (differential algebra)

В математика, Теорема Лиувилля, первоначально сформулированный Джозеф Лиувиль с 1833 по 1841 год,^[1]^[2]^[3] накладывает важное ограничение на первообразные которые можно выразить как элементарные функции.

Первообразные определенных элементарные функции сами по себе не могут быть выражены как элементарные функции. Стандартный пример такой функции: ${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$ первообразная которого (с множителем константы) является функция ошибки, знакомый по статистика. Другие примеры включают функции ${ displaystyle { frac { sin (x)} {x}}}$ и ${ displaystyle x ^ {x}}$ .

Теорема Лиувилля утверждает, что элементарные первообразные, если они существуют, должны находиться в одном дифференциальное поле в качестве функции, плюс, возможно, конечное число логарифмов.

Определения

Для любого дифференциального поля F, есть подполе

Против(F) = {ж в F | Df = 0},

называется константы из F. Учитывая два дифференциальных поля F и грамм, грамм называется логарифмическое расширение из F если грамм это простое трансцендентное расширение из F (т.е. грамм = F(т) для некоторых трансцендентный т) такие, что

Dt = Ds/s для некоторых s в F.

Это имеет вид логарифмическая производная. Интуитивно можно подумать о т как логарифм какого-то элемента s из F, в этом случае это условие аналогично обычному Правило цепи. Тем не мение, F не обязательно снабжен уникальным логарифмом; можно присоединить к множеству "логарифмоподобных" расширений F. Точно так же экспоненциальное расширение простое трансцендентное расширение, удовлетворяющее

Dt = т Ds.

Принимая во внимание вышеуказанное предостережение, этот элемент можно рассматривать как экспоненту элемента. s из F. Ну наконец то, грамм называется элементарное дифференциальное расширение из F если существует конечная цепочка подполей из F к грамм где каждое расширение в цепочке является либо алгебраическим, логарифмическим, либо экспоненциальным.

Основная теорема

Предполагать F и грамм - дифференциальные поля, причем Con (F) = Con (грамм), и что грамм является элементарным дифференциальным расширением F. Позволять а быть в F, у в G, и предположим Dy = а (на словах предположим, что грамм содержит первообразную а). Тогда существуют c₁, ..., c_п в Con (F), ты₁, ..., ты_п, v в F такой, что

{ displaystyle a = c_ {1} { frac {Du_ {1}} {u_ {1}}} + dotsb + c_ {n} { frac {Du_ {n}} {u_ {n}}} + Dv.}

Другими словами, единственные функции, которые имеют «элементарные первообразные» (то есть первообразные, живущие в худшем случае в элементарном дифференциальном расширении F) имеют такую форму. Таким образом, на интуитивном уровне теорема утверждает, что единственными элементарными первообразными являются «простые» функции плюс конечное число логарифмов «простых» функций.

Доказательство теоремы Лиувилля можно найти в разделе 12.4 Geddes et al.

Примеры

Например, поле C(Икс) из рациональные функции в одной переменной имеет производную, указанную в стандарте производная относительно этой переменной. Константы этого поля - это просто сложные числа C.

Функция ${ displaystyle { tfrac {1} {x}}}$ , который существует в C(Икс), не имеет первообразной в C(Икс). Его первообразные lnИкс + C Однако существуют в логарифмическом расширении C(Икс, lnИкс).

Аналогичным образом функция ${ Displaystyle { tfrac {1} {х ^ {2} +1}}}$ не имеет первообразной в C(Икс). Его первообразные загар⁻¹(Икс) + C кажутся не удовлетворяющими требованиям теоремы, поскольку они (по-видимому) не являются суммами рациональных функций и логарифмами рациональных функций. Однако расчет с Формула Эйлера ${ Displaystyle е ^ {я тета} = соз тета + я грех тета}$ показывает, что на самом деле первообразные можно записать нужным образом (как логарифмы рациональных функций).

{ displaystyle { begin {align} e ^ {2i theta} & = { frac {e ^ {i theta}} {e ^ {- i theta}}} = { frac { cos theta + i sin theta} { cos theta -i sin theta}} = { frac {1 + i tan theta} {1-i tan theta}} [8pt] theta & = { frac {1} {2i}} ln left ({ frac {1 + i tan theta} {1-i tan theta}} right) [8pt] tan ^ {-1} x & = { frac {1} {2i}} ln left ({ frac {1 + ix} {1-ix}} right) end {выравнивается}}}

Связь с дифференциальной теорией Галуа

Теорема Лиувилля иногда представляется в виде теоремы в дифференциальная теория Галуа, но это не совсем так. Теорема может быть доказана без использования теории Галуа. Более того, группа Галуа простой первообразной либо тривиальна (если для ее выражения не требуется расширения поля), либо является просто аддитивной группой констант (соответствующей константе интегрирования). Таким образом, дифференциальная группа Галуа первообразной не кодирует достаточно информации, чтобы определить, может ли она быть выражена с помощью элементарных функций, что является основным условием теоремы Лиувилля.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Лиувилля». MathWorld.

[1] Лиувиль 1833a.

[2] Лиувиль 1833b.

[3] Лиувиль 1833c.

[1]

[2]

[3]