Срок (логика) - Википедия - Term (logic)

В математическая логика, а срок обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термины появляются как компоненты формулы. Это аналог естественного языка, где словосочетание относится к объекту и целому приговор относится к факту.

А первый заказ срок рекурсивно построенный из постоянных символов, переменные и функциональные символы.Выражение, образованное применением предикатный символ на соответствующее количество терминов называется атомная формула, который оценивается как истинный или же ложный в бивалентная логика, учитывая интерпретация.Например, ${ Displaystyle (х + 1) * (х + 1)}$ терм, построенный из константы 1, переменная $Икс$ , а двоичные функциональные символы ${ displaystyle +}$ и ${ displaystyle *}$ ; это часть атомной формулы ${ Displaystyle (х + 1) * (х + 1) geq 0}$ который оценивается как истина для каждого пронумерованный значение $Икс$ .

Кроме того в логика, термины играют важную роль в универсальная алгебра, и системы перезаписи.

Формальное определение

Древовидная структура терминов (п⋅(п+1)) / 2 и п⋅((п+1)/2)

Учитывая набор V переменных символов, набор C постоянных символов и множеств F_п из п-арные функциональные символы, также называемые символами операторов, для каждого натурального числа п ≥ 1, множество (неотсортированных первого порядка) членов Т является рекурсивно определенный как наименьший набор со следующими свойствами:^[1]

каждый переменный символ - это термин: V ⊆ Т,
каждый постоянный символ - это термин: C ⊆ Т,
от каждого п термины т₁,...,т_п, и каждый псимвол функции ж ∈ F_п, больший термин ж(т₁, ..., т_п) можно построить.

Используя интуитивно понятный псевдо-грамматический обозначения, это иногда записывается как:т ::= Икс | c | ж(т₁, ..., т_пОбычно только несколько первых наборов функциональных символов F_п заселены. Хорошо известными примерами являются унарные функциональные символы грех, потому что ∈ F₁, а двоичные функциональные символы +, -, ⋅, / ∈ F₂, пока тернарные операции менее известны, не говоря уже о функциях более высокой степени арности. Многие авторы рассматривают постоянные символы как 0-арные функциональные символы. F₀, поэтому для них не нужен специальный синтаксический класс.

Термин обозначает математический объект из область дискурса. Постоянная c обозначает именованный объект из этого домена, переменную Икс распространяется на объекты в этой области, а п-арная функция ж карты п-кортежи объектов к объектам. Например, если п ∈ V - переменный символ, 1 ∈ C - постоянный символ, а Добавить ∈ F₂ является двоичным функциональным символом, тогда п ∈ Т, 1 ∈ Т, и поэтому) Добавить(п, 1) ∈ Т согласно правилу построения первого, второго и третьего сроков соответственно. Последний термин обычно записывается как п+1, используя инфиксная запись и более общий символ оператора + для удобства.

Срочная структура vs. представление

Первоначально логики определяли термин как строка символов соблюдение определенных строительных правил.^[2] Однако поскольку концепция дерево стал популярным в информатике, оказалось, что удобнее рассматривать термин как дерево. Например, несколько отдельных строк символов, например " $(п \cdot(п +1))/2$ ", " $((п \cdot(п +1)))/2$ ", и " ${ Displaystyle { гидроразрыва {п (п + 1)} {2}}}$ ", обозначают один и тот же термин и соответствуют одному и тому же дереву, а именно левому дереву на приведенном выше рисунке. Отделяя древовидную структуру термина от его графического представления на бумаге, также легко учесть круглые скобки (будучи только представлением, не структура) и невидимые операторы умножения (существующие только в структуре, а не в представлении).

Структурное равенство

Говорят, что два термина структурно, в прямом смысле, или же синтаксически равны, если они соответствуют одному дереву. Например, левое и правое дерево на картинке выше структурно ООНравные условия, хотя их можно рассматривать "семантически равный"поскольку они всегда имеют одинаковое значение в рациональная арифметика. В то время как структурное равенство можно проверить без каких-либо знаний о значении символов, семантическое равенство - нет. Если функция /, например, интерпретируется не как рациональное, а как усечение целого числа деление, то в п= 2 левый и правый члены оцениваются как 3 и 2 соответственно. Структурно равные члены должны согласовываться в именах переменных.

Напротив, термин т называется переименование, или вариант, срока ты если последнее возникло в результате последовательного переименования всех переменных первого, т. е. если ты = tσ для некоторых переименование подстановки σ. В таком случае, ты это переименование ттакже, поскольку переименовывающая подстановка σ имеет обратную σ⁻¹, и т = uσ⁻¹. Оба термина тогда также называются равное по модулю переименование. Во многих контекстах конкретные имена переменных в термине не имеют значения, например аксиому коммутативности для сложения можно сформулировать как Икс+у=у+Икс или как а+б=б+а; в таких случаях можно переименовать всю формулу, в то время как произвольный подтермин обычно не может, например Икс+у=б+а не является верной версией аксиомы коммутативности.^{[примечание 1]}^{[заметка 2]}

Основные и линейные условия

Множество переменных терма т обозначается варс(тТермин, не содержащий переменных, называется основной срок; термин, который не содержит нескольких вхождений переменной, называется линейный членНапример, 2 + 2 - это основной член и, следовательно, также линейный член, Икс⋅(п+1) - линейный член, п⋅(п+1) - нелинейный член. Эти свойства важны, например, в переписывание терминов.

Учитывая подпись для функциональных символов набор всех терминов образует свободный алгебра терминов. Набор всех основных терминов образует исходный алгебра терминов.

Сокращение количества констант как ж₀, а количество я-арные функциональные символы как ж_я, то число θ_час отдельных основных терминов высотой до час можно вычислить по следующей формуле рекурсии:

θ₀ = ж₀, поскольку основной член высоты 0 может быть только константой,
${ displaystyle theta _ {h + 1} = sum _ {i = 0} ^ { infty} f_ {i} cdot theta _ {h} ^ {i}}$ , так как заземляющий член высотой до час+1 можно получить, составив любой я грунтовые условия высотой до час, используя я-арный символ корневой функции. Сумма имеет конечное значение, если имеется только конечное число констант и функциональных символов, что обычно имеет место.

Построение формул из терминов

Учитывая набор р_п из п-арные символы отношения для каждого натурального числа п ≥ 1 атомарная формула (несортированная первого порядка) получается путем применения псимвол отношения к п термины. Что касается функциональных символов, набор символов отношения р_п обычно не пусто только для небольших п. В математической логике более сложный формулы построены из атомарных формул с использованием логические связки и кванторы. Например, если обозначить ℝ множество действительные числа, ∀Икс: Икс ∈ ℝ ⇒ (Икс+1)⋅(Икс+1) ≥ 0 - математическая формула, истинная в алгебре сложные числа.Атомарная формула называется основной, если она полностью построена на основе основных терминов; все основные атомарные формулы, составленные из заданного набора символов функций и предикатов, составляют База Herbrand для этих наборов символов.

Операции с терминами

Древовидная структура черного примера термина

{ Displaystyle { гидроразрыва {а * ((а + 1) * (а + 2))} {1 * (2 * 3)}}}

, с синим редексом

{ Displaystyle х * (у * г)}

Поскольку термин имеет структуру древовидной иерархии, каждому из его узлов соответствует позиция, или же дорожка, может быть назначена строка натуральных чисел, указывающая место узла в иерархии. Пустая строка, обычно обозначаемая ε, назначается корневому узлу. Строки позиции внутри черного члена обозначены на картинке красным.
На каждой позиции п срока т, уникальный субтерм начинается, что обычно обозначается $т | п$ . Например, в позиции 122 черного термина на картинке подтерм а+2 имеет корень. Соотношение "является подтекстом" это частичный заказ по совокупности сроков; это рефлексивный так как каждый термин тривиально является подтермом самого себя.
Срок, полученный замена в срок т субтерм в позиции п на новый срок ты обычно обозначается как $т [ты] п$ . Период, термин $т [ты] п$ также можно рассматривать как результат обобщенной конкатенации термина ты с термоподобным объектом $т [.]$ ; последний называется контекст, или срок с дыркой (обозначено "."; его положение п), в котором ты как говорят встроенный. Например, если т это черный член на картинке, тогда $т [б +1] 12$ приводит к сроку ${ displaystyle { frac {a * (b + 1)} {1 * (2 * 3)}}}$ . Последний термин также является результатом включения термина $б +1$ в контексте ${ displaystyle { frac {a * (;. ;)} {1 * (2 * 3)}}}$ . В неформальном смысле операции создание экземпляра и встраивание обратны друг другу: в то время как первый добавляет функциональные символы внизу термина, второй добавляет их вверху. В заказ охвата связывает термин и любой результат добавления с обеих сторон.
Каждому узлу термина свой глубина (называется высота некоторыми авторами) может быть задана, т.е. ее расстояние (количество ребер) от корня. В этой настройке глубина узла всегда равна длине его строки позиции. На рисунке уровни глубины в черном поле обозначены зеленым.
В размер Термин обычно относится к количеству его узлов или, что то же самое, к длине письменного представления термина, считая символы без скобок. Черный и синий терм на картинке имеют размер 15 и 5 соответственно.
Термин ты совпадения термин т, если подстановочный экземпляр ты структурно равняется субтерму т, или формально, если $ты σ = т | п$ на какую-то позицию п в т и некоторая подстановка σ. В этом случае, ты, т, а σ называются шаблонный термин, то предметный термин, а соответствующая замена, соответственно. На картинке термин синий узор ${ Displaystyle х * (у * г)}$ совпадает с черным предметным термином в позиции 1 с соответствующей заменой ${Икс \mapsto а, у \mapsto а +1, z \mapsto а +2 }$ обозначенные синими переменными, немедленно оставленные их черным заменителям. Интуитивно понятно, что образец, за исключением его переменных, должен содержаться в теме; если переменная встречается в шаблоне несколько раз, требуются одинаковые подтермы в соответствующих позициях предмета.
унифицирующие условия
переписывание терминов

Связанные понятия

Отсортированные термины

Когда предметная область дискурса содержит элементы принципиально разного типа, полезно соответственно разделить набор всех терминов. С этой целью Сортировать (иногда также называют тип) присваивается каждой переменной и каждому константному символу, а объявление ^{[заметка 3]} сортировки домена и сортировки по диапазону для каждого символа функции. А отсортированный термин ж(т₁,...,т_п) может состоять из отсортированных субтермов т₁,...,т_п только если $я$ сортировка th подтерма соответствует объявленному $я$ th домен вроде ж. Такой термин еще называют хорошо отсортированный; любой другой срок (т.е. подчинение несортированные правила только) называется плохо отсортированный.

Например, векторное пространство приходит с ассоциированным поле скалярных чисел. Позволять W и N обозначим сорт векторов и чисел соответственно, пусть V_W и V_N - набор векторных и числовых переменных соответственно, и C_W и C_N набор векторных и числовых констант соответственно. Тогда, например, ${ displaystyle { vec {0}} in C_ {W}}$ и $0 \in C N$ , а сложение векторов, скалярное умножение и внутреннее произведение объявляются как ${ displaystyle +: W times W to W, *: W times N to W}$ , и ${ Displaystyle langle.,. rangle: W times W to N}$ , соответственно. Предполагая переменные символы ${ displaystyle { vec {v}}, { vec {w}} in V_ {W}}$ и $а, б \in V N$ , период, термин ${ displaystyle langle ({ vec {v}} + { vec {0}}) * а, { vec {w}} * б rangle}$ хорошо отсортирован, а ${ displaystyle { vec {v}} + а}$ нет (так как + не принимает термин sort N как 2-й аргумент). Для того, чтобы ${ displaystyle a * { vec {v}}}$ хорошо подобранный термин, дополнительное объявление ${ displaystyle *: N раз от W до W}$ необходимо. Функциональные символы, имеющие несколько объявлений, называются перегружен.

Видеть разносторонняя логика для получения дополнительной информации, включая расширения разносторонний фреймворк описано здесь.

Лямбда-термины

Термины со связанными переменными
Обозначение пример	Граница переменные	Свободный переменные	Написано как лямбда-член
$Lim п \to\infty Икс / п$	п	Икс	предел(λп. div(Икс,п))
${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п} я ^ {2}}$	я	п	сумма(1,п, λя. мощность(я,2))
${ displaystyle int _ {a} ^ {b} sin (k cdot t) dt}$	т	а, б, k	интеграл(а,б, λт. грех(k⋅т))

Мотивация

Математические обозначения, показанные в таблице, не вписываются в схему члена первого порядка, как это определено над, поскольку все они вводят собственный местный, или же граница, переменная, которая не может появляться за пределами области обозначения, например ${ Displaystyle т cdot int _ {a} ^ {b} sin (к cdot t) ; dt}$ не имеет смысла. Напротив, другие переменные, называемые свободный, ведут себя как обычные термальные переменные первого порядка, например ${ Displaystyle к cdot int _ {a} ^ {b} sin (к cdot t) ; dt}$ имеет смысл.

Все эти операторы можно рассматривать как принимающие функцию, а не член значения в качестве одного из своих аргументов. Например, Lim Оператор применяется к последовательности, то есть к отображению положительного целого числа, например, действительные числа. Другой пример: C функция для реализации второго примера из таблицы, would, будет иметь аргумент указателя функции (см. рамку ниже).

Лямбда-термины может использоваться для обозначения анонимные функции быть предоставленным в качестве аргументов Lim, ∑, ∫ и т. Д.

Например, функция квадрат из приведенной ниже программы на C можно анонимно записать как лямбда-член λя. я². Тогда общий оператор суммы ∑ можно рассматривать как троичный функциональный символ, принимающий значение нижней границы, значение верхней границы и функцию, которая должна быть суммирована. В силу последнего аргумента оператор ∑ называется символ функции второго порядкаВ качестве другого примера лямбда-член λп. Икс/п обозначает функцию, которая отображает 1, 2, 3, ... в Икс/1, Икс/2, Икс/ 3, ... соответственно, т.е. обозначает последовательность (Икс/1, Икс/2, Икс/ 3, ...). В Lim Оператор берет такую последовательность и возвращает ее предел (если он определен).

В крайнем правом столбце таблицы показано, как каждый пример математической нотации может быть представлен лямбда-членом, также преобразующим общие инфикс операторов в префикс форма.

int сумма(int lwb, int upb, int fct(int)) {    // реализует общий оператор суммы    int res = 0;    за (int я=lwb; я<=upb; ++я)        res += fct(я);    возвращаться res;}int квадрат(int я) { возвращаться я*я; }            // реализует анонимную функцию (лямбда i. i * i); однако C требует для этого имени#включают <stdio.h>int главный(пустота) {    int п;    сканф("% d",&п);    printf("% d п", сумма(1, п, квадрат));        // применяет оператор суммы для суммирования квадратов    возвращаться 0;}

Смотрите также

Примечания

^ Поскольку атомарные формулы тоже можно рассматривать как деревья, а переименование по сути является концепцией деревьев, атомарные (и, в более общем плане, бескванторный ) формулы можно переименовать аналогично терминам. Фактически, некоторые авторы рассматривают бескванторную формулу как термин (типа bool а не например int, ср. # Отсортированные термины ниже).
^ Переименование аксиомы коммутативности можно рассматривать как альфа-преобразование на универсальное закрытие аксиомы: "Икс+у=у+Икс"на самом деле означает" ∀Икс,у: Икс+у=у+Икс", что является синонимом" ∀а,б: а+б=б+а"; смотрите также #Lambda terms ниже.
^ То есть, "тип символа" в Многосортные подписи раздел статьи Подпись (логика).