Теорема Стоуна – Вейерштрасса - Stone–Weierstrass theorem

В математический анализ, то Аппроксимационная теорема Вейерштрасса заявляет, что каждый непрерывная функция определено на закрытом интервал [а, б] возможно равномерно приближенный так близко, как желает многочлен функция. Поскольку полиномы являются одними из самых простых функций, и поскольку компьютеры могут напрямую вычислять полиномы, эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение, особенно в полиномиальная интерполяция. Первоначальная версия этого результата была установлена Карл Вейерштрасс в 1885 с использованием Преобразование Вейерштрасса.

Маршалл Х. Стоун значительно обобщил теорему (Камень 1937 ) и упростили доказательство (Камень 1948 ). Его результат известен как Теорема Стоуна – Вейерштрасса. Теорема Стоуна – Вейерштрасса обобщает аппроксимационную теорему Вейерштрасса в двух направлениях: вместо действительного интервала [а, б], произвольный компактный Пространство Хаусдорфа Икс считается, и вместо алгебра полиномиальных функций, приближение элементами из более общих подалгебр C (Икс)[требуется разъяснение ] исследуется. Теорема Стоуна – Вейерштрасса - важный результат в изучении алгебры непрерывные функции на компактном хаусдорфовом пространстве.

Далее, есть обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса на некомпактные Тихоновские пространства, а именно, любая непрерывная функция на тихоновском пространстве приближается равномерно на компактах алгебрами типа, фигурирующего в теореме Стоуна – Вейерштрасса и описанного ниже.

Другое обобщение первоначальной теоремы Вейерштрасса: Теорема Мергеляна, что обобщает его на функции, определенные на некоторых подмножествах комплексная плоскость.

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Утверждение аппроксимационной теоремы, первоначально обнаруженное Вейерштрассом, выглядит следующим образом:

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Предполагать ж - непрерывная функция с действительными значениями, определенная на вещественном интервале [а, б]. Для каждого ε > 0, существует полином п такое, что для всех Икс в [а, б], у нас есть | ж (Икс) − п(Икс)| < ε, или, что то же самое, верхняя норма || ж  − п|| < ε.

Конструктивное доказательство этой теоремы с использованием Многочлены Бернштейна обведено на этой странице.

Приложения

Как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, можно показать, что пространство C [а, б] является отделяемый: полиномиальные функции плотны, и каждая полиномиальная функция может быть равномерно приближена единицей с рациональный коэффициенты; Есть только счетно много многочлены с рациональными коэффициентами. С C [а, б] является метризуемый и отделимости следует, что C [а, б] имеет мощность в большинстве 20. (Примечание: этот результат о мощности также следует из того факта, что непрерывная функция на вещественных числах однозначно определяется своим ограничением на рациональные числа.)

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, действительная версия

Набор C [а, б] непрерывных действительных функций на [а, б]вместе с супремум-нормой || ж || = supаИксб | ж (Икс)|, это Банахова алгебра, (то есть ассоциативная алгебра и Банахово пространство такой, что || фг|| ≤ || ж ||·||грамм|| для всех ж, грамм). Набор всех полиномиальных функций образует подалгебру в C [а, б] (это векторное подпространство из C [а, б] замкнутая относительно умножения функций), а содержание аппроксимационной теоремы Вейерштрасса состоит в том, что эта подалгебра плотный в C [а, б].

Стоун начинается с произвольного компактного хаусдорфова пространства Икс и рассматривает алгебру C (Икс, р) вещественнозначных непрерывных функций на Икс, с топологией равномерное схождение. Он хочет найти подалгебры в C (Икс, р) которые плотные. Оказывается, ключевым свойством, которому должна удовлетворять подалгебра, является то, что она разделяет точки: множество А функций, определенных на Икс называется разделением точек, если для каждых двух разных точек Икс и у в Икс существует функция п в А с п(Икс) ≠ п(у). Теперь мы можем констатировать:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (действительные числа). Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство и А является подалгеброй C (Икс, р) который содержит ненулевую постоянную функцию. потом А плотно в C (Икс, р) если и только если он разделяет точки.

Отсюда следует исходное утверждение Вейерштрасса, поскольку многочлены на [а, б] образуют подалгебру C [а, б] который содержит константы и разделяет точки.

Локально компактная версия

Версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса также верна, когда Икс только локально компактный. Позволять C0(Икс, р) - пространство вещественнозначных непрерывных функций на Икс который исчезнуть в бесконечности; то есть непрерывная функция ж в C0(Икс, р) если для каждого ε > 0, существует компакт KИкс такой, что  | ж |  < ε на Икс \ K. Опять таки, C0(Икс, р) это Банахова алгебра с верхняя норма. Подалгебра А из C0(Икс, р) говорят исчезнуть в никуда если не все элементы А одновременно исчезают в точке; то есть для каждого Икс в Икс, существует некоторое ж в А такой, что ж (Икс) ≠ 0. Теорема обобщает следующее:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (локально компактные пространства). Предполагать Икс это локально компактный Пространство Хаусдорфа и А является подалгеброй C0(Икс, р). потом А плотно в C0(Икс, р) (учитывая топологию равномерное схождение ) тогда и только тогда, когда он разделяет точки и никуда не исчезает.

Эта версия явно подразумевает предыдущую версию в том случае, когда Икс компактно, так как в этом случае C0(Икс, р) = C (Икс, р). Существуют также более общие версии алгоритма Стоуна – Вейерштрасса, которые ослабляют предположение о локальной компактности.[1]

Приложения

Теорема Стоуна – Вейерштрасса может быть использована для доказательства следующих двух утверждений, которые выходят за рамки результата Вейерштрасса.

  • Если ж - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на множестве [а, б] × [c, d] и ε > 0, то существует полиномиальная функция п с двумя переменными такими, что | ж (Икс, у) − п(Икс, у) | < ε для всех Икс в [а, б] и у в [c, d].[нужна цитата ]
  • Если Икс и Y - два компактных хаусдорфовых пространства и ж : Икс × Yр - непрерывная функция, то для каждого ε > 0 существуют п > 0 и непрерывные функции ж1, ...,  жп на Икс и непрерывные функции грамм1, ..., граммп на Y такой, что || ж − ∑ жя граммя || < ε.[нужна цитата ]

Теорема имеет много других приложений для анализа, в том числе:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, комплексная версия

Чуть более общей является следующая теорема, в которой мы рассматриваем алгебру комплекснозначных непрерывных функций на компакте , опять же с топологией равномерной сходимости. Это C * -алгебра с * -операцией, заданной поточечным комплексное сопряжение.

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (комплексные числа). Позволять - компактное хаусдорфово пространство и пусть быть разделение подмножества из . Тогда комплекс единый *-алгебра создано плотно в .

Комплексная унитальная * -алгебра, порожденная состоит из всех тех функций, которые могут быть получены из элементов добавляя постоянную функцию 1 и сложение их, умножение, сопряжение или умножение на комплексные скаляры и повторение конечного числа раз.

Из этой теоремы следует действительная версия, потому что если последовательность комплексных функций равномерно приближает данную функцию , то действительные части этих функций равномерно аппроксимируют действительную часть . Как и в вещественном случае, аналог этой теоремы верен для локально компактных хаусдорфовых пространств.

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, кватернионная версия

Следующий Джон Холладей (1957) : рассмотрим алгебру C (Икс, ЧАС) кватернионозначных непрерывных функций на компакте Икс, опять же с топологией равномерной сходимости. Если кватернион q записывается в виде q = а + ib;+ jc + kd затем скалярная часть а это настоящий номер (q − iqi − jqj − kqk) / 4. Точно так же скалярная часть из -ци, −qj и -qk : b, c и d - соответственно действительные числа (−ци − iq + jqk − kqj)/4,(−qj − iqk − jq + kqi) / 4 и (-qk + iqj − jqk − kq) / 4. Тогда мы можем констатировать:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (кватернионные числа). Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство и А является подалгеброй C (Икс, ЧАС) который содержит ненулевую постоянную функцию. потом А плотно в C (Икс, ЧАС) если и только если это разделяет точки.

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, версия для C * -алгебры

Пространство комплекснозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве т.е. канонический пример единой коммутативная C * -алгебра . Космос Икс можно рассматривать как пространство чистых состояний на , с топологией weak- *. Следуя приведенной выше подсказке, некоммутативное расширение теоремы Стоуна – Вейерштрасса, которая осталась нерешенной, выглядит следующим образом:

Гипотеза. Если единый C * -алгебра имеет С * -подалгебру который разделяет чистые состояния , тогда .

В 1960 году Джим Глимм доказал более слабую версию вышеприведенной гипотезы.

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (C * -алгебры).[2] Если унитальная C * -алгебра имеет С * -подалгебру который отделяет пространство чистых состояний (т. е. слабое замыкание чистых состояний) от , тогда .

Варианты решеток

Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство. В первоначальном доказательстве теоремы Стоуна использовалась идея решетки в C (Икс, р). Подмножество L из C (Икс, р) называется решетка если для любых двух элементов ж, граммL, функции Максимум{ж, грамм}, min {ж, грамм} также принадлежат L. Решеточная версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса гласит:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (решетки). Предполагать Икс - компактное хаусдорфово пространство не менее чем с двумя точками и L решетка в C (Икс, р) со свойством, что для любых двух различных элементов Икс и у из Икс и любые два действительных числа а и б существует элемент ж  ∈ L с ж (Икс) = а и ж (у) = б. потом L плотно в C (Икс, р).

Вышеупомянутые версии Стоуна – Вейерштрасса могут быть доказаны с помощью этой версии, если понять, что свойство решетки также может быть сформулировано с использованием абсолютная величина | ж | которые, в свою очередь, могут быть аппроксимированы полиномами от ж. Вариант теоремы применим к линейным подпространствам в C (Икс, р) закрыто ниже макс (Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Теорема 7.29):

Теорема Стоуна – Вейерштрасса. Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство и B семейство функций в C (Икс, р) такой, что
  1. B разделяет точки.
  2. B содержит постоянную функцию 1.
  3. Если ж  ∈ B тогда аф  ∈ B для всех констант ар.
  4. Если ж,  граммB, тогда ж  + грамм, Макс{ж, грамм} ∈ B.
потом B плотно в C (Икс, р).

Доступна более точная информация:

Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство не менее чем с двумя точками и L решетка в C (Икс, р). Функция φ ∈ C (Икс, р) принадлежит к закрытие из L тогда и только тогда, когда для каждой пары различных точек Икс и у в Икс и для каждого ε > 0 есть некоторые ж  ∈ L для которого | ж (Икс) − φ(Икс)| < ε и | ж (у) − φ(у)| < ε.

Теорема епископа

Другое обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса связано с тем, что Эрретт Бишоп. Теорема Бишопа выглядит следующим образом (Епископ 1961 ):

Позволять А - замкнутая подалгебра комплекса Банахова алгебра C (Икс, C) непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве Икс, используя супремум-норму. За SИкс мы пишем АS = {г |S : g ∈ А}. Предположим, что ж ∈ C (Икс, C) обладает следующим свойством:
ж |SАS для каждого максимального набора SИкс так что все реальные функции АS постоянны.
потом ж  ∈ А.

Гликсберг (1962) дает краткое доказательство теоремы Бишопа с использованием Теорема Крейна – Мильмана существенным образом, а также Теорема Хана – Банаха : процесс Луи де Бранж (1959). Смотрите также Рудин (1973, §5.7).

Теорема Нахбина

Теорема Нахбина дает аналог теоремы Стоуна – Вейерштрасса для алгебр комплекснозначных гладких функций на гладком многообразии (Начбин 1949 ). Теорема Нахбина следующая (Ллавона 1986 ):

Позволять А подалгебра алгебры C(M) гладких функций на конечномерном гладком многообразии M. Предположим, что А разделяет точки M а также разделяет касательные векторы M: за каждую точку мM и касательный вектор v в касательном пространстве на м, Существует жА такой, что dж(Икс)(v) ≠ 0. Тогда А плотно в C(M).

Смотрите также

  • Теорема Мюнца – Саса.
  • Полином Бернштейна.
  • Феномен Рунге показывает, что нахождение многочлена п такой, что ж (Икс) = п(Икс) для некоторых мелко расположенных Икс = Иксп - плохой способ найти полином, приближающий ж равномерно. Лучший подход, объясненный, например, в (Рудин 1976 ), п. 160, ур. (51) и далее, состоит в построении многочленов п равномерно аппроксимирующий ж взяв свертку ж с семейством правильно выбранных полиномиальных ядер.
  • Теорема Мергеляна, о полиномиальных приближениях комплексных функций.

Примечания

  1. ^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Эддисон-Уэсли. п.293. ISBN  0-486-43479-6.
  2. ^ Глимм, Джеймс (1960). «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для C * -алгебр». Анналы математики. Вторая серия. 72 (2): 216–244 [теорема 1]. Дои:10.2307/1970133. JSTOR  1970133.

Рекомендации

Исторические произведения

Историческое издание Вейерштрасса (в немецкий язык ) находится в свободном доступе в цифровом онлайн-архиве Берлинская Бранденбургская Академия дер Виссеншафтен:

  • К. Вейерштрасс (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).
Erste Mitteilung (часть 1) с. 633–639, Zweite Mitteilung (часть 2) с. 789–805.

Важные исторические произведения Стоуна включают:

внешняя ссылка