Теорема Стоуна – Вейерштрасса - Stone–Weierstrass theorem
В математический анализ, то Аппроксимационная теорема Вейерштрасса заявляет, что каждый непрерывная функция определено на закрытом интервал [а, б] возможно равномерно приближенный так близко, как желает многочлен функция. Поскольку полиномы являются одними из самых простых функций, и поскольку компьютеры могут напрямую вычислять полиномы, эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение, особенно в полиномиальная интерполяция. Первоначальная версия этого результата была установлена Карл Вейерштрасс в 1885 с использованием Преобразование Вейерштрасса.
Маршалл Х. Стоун значительно обобщил теорему (Камень 1937 ) и упростили доказательство (Камень 1948 ). Его результат известен как Теорема Стоуна – Вейерштрасса. Теорема Стоуна – Вейерштрасса обобщает аппроксимационную теорему Вейерштрасса в двух направлениях: вместо действительного интервала [а, б], произвольный компактный Пространство Хаусдорфа Икс считается, и вместо алгебра полиномиальных функций, приближение элементами из более общих подалгебр C (Икс)[требуется разъяснение ] исследуется. Теорема Стоуна – Вейерштрасса - важный результат в изучении алгебры непрерывные функции на компактном хаусдорфовом пространстве.
Далее, есть обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса на некомпактные Тихоновские пространства, а именно, любая непрерывная функция на тихоновском пространстве приближается равномерно на компактах алгебрами типа, фигурирующего в теореме Стоуна – Вейерштрасса и описанного ниже.
Другое обобщение первоначальной теоремы Вейерштрасса: Теорема Мергеляна, что обобщает его на функции, определенные на некоторых подмножествах комплексная плоскость.
Аппроксимационная теорема Вейерштрасса
Утверждение аппроксимационной теоремы, первоначально обнаруженное Вейерштрассом, выглядит следующим образом:
- Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Предполагать ж - непрерывная функция с действительными значениями, определенная на вещественном интервале [а, б]. Для каждого ε > 0, существует полином п такое, что для всех Икс в [а, б], у нас есть | ж (Икс) − п(Икс)| < ε, или, что то же самое, верхняя норма || ж − п|| < ε.
Конструктивное доказательство этой теоремы с использованием Многочлены Бернштейна обведено на этой странице.
Приложения
Как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, можно показать, что пространство C [а, б] является отделяемый: полиномиальные функции плотны, и каждая полиномиальная функция может быть равномерно приближена единицей с рациональный коэффициенты; Есть только счетно много многочлены с рациональными коэффициентами. С C [а, б] является метризуемый и отделимости следует, что C [а, б] имеет мощность в большинстве 2ℵ0. (Примечание: этот результат о мощности также следует из того факта, что непрерывная функция на вещественных числах однозначно определяется своим ограничением на рациональные числа.)
Теорема Стоуна – Вейерштрасса, действительная версия
Набор C [а, б] непрерывных действительных функций на [а, б]вместе с супремум-нормой || ж || = supа ≤ Икс ≤ б | ж (Икс)|, это Банахова алгебра, (то есть ассоциативная алгебра и Банахово пространство такой, что || фг|| ≤ || ж ||·||грамм|| для всех ж, грамм). Набор всех полиномиальных функций образует подалгебру в C [а, б] (это векторное подпространство из C [а, б] замкнутая относительно умножения функций), а содержание аппроксимационной теоремы Вейерштрасса состоит в том, что эта подалгебра плотный в C [а, б].
Стоун начинается с произвольного компактного хаусдорфова пространства Икс и рассматривает алгебру C (Икс, р) вещественнозначных непрерывных функций на Икс, с топологией равномерное схождение. Он хочет найти подалгебры в C (Икс, р) которые плотные. Оказывается, ключевым свойством, которому должна удовлетворять подалгебра, является то, что она разделяет точки: множество А функций, определенных на Икс называется разделением точек, если для каждых двух разных точек Икс и у в Икс существует функция п в А с п(Икс) ≠ п(у). Теперь мы можем констатировать:
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса (действительные числа). Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство и А является подалгеброй C (Икс, р) который содержит ненулевую постоянную функцию. потом А плотно в C (Икс, р) если и только если он разделяет точки.
Отсюда следует исходное утверждение Вейерштрасса, поскольку многочлены на [а, б] образуют подалгебру C [а, б] который содержит константы и разделяет точки.
Локально компактная версия
Версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса также верна, когда Икс только локально компактный. Позволять C0(Икс, р) - пространство вещественнозначных непрерывных функций на Икс который исчезнуть в бесконечности; то есть непрерывная функция ж в C0(Икс, р) если для каждого ε > 0, существует компакт K ⊂ Икс такой, что | ж | < ε на Икс \ K. Опять таки, C0(Икс, р) это Банахова алгебра с верхняя норма. Подалгебра А из C0(Икс, р) говорят исчезнуть в никуда если не все элементы А одновременно исчезают в точке; то есть для каждого Икс в Икс, существует некоторое ж в А такой, что ж (Икс) ≠ 0. Теорема обобщает следующее:
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса (локально компактные пространства). Предполагать Икс это локально компактный Пространство Хаусдорфа и А является подалгеброй C0(Икс, р). потом А плотно в C0(Икс, р) (учитывая топологию равномерное схождение ) тогда и только тогда, когда он разделяет точки и никуда не исчезает.
Эта версия явно подразумевает предыдущую версию в том случае, когда Икс компактно, так как в этом случае C0(Икс, р) = C (Икс, р). Существуют также более общие версии алгоритма Стоуна – Вейерштрасса, которые ослабляют предположение о локальной компактности.[1]
Приложения
Теорема Стоуна – Вейерштрасса может быть использована для доказательства следующих двух утверждений, которые выходят за рамки результата Вейерштрасса.
- Если ж - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на множестве [а, б] × [c, d] и ε > 0, то существует полиномиальная функция п с двумя переменными такими, что | ж (Икс, у) − п(Икс, у) | < ε для всех Икс в [а, б] и у в [c, d].[нужна цитата ]
- Если Икс и Y - два компактных хаусдорфовых пространства и ж : Икс × Y → р - непрерывная функция, то для каждого ε > 0 существуют п > 0 и непрерывные функции ж1, ..., жп на Икс и непрерывные функции грамм1, ..., граммп на Y такой, что || ж − ∑ жя граммя || < ε.[нужна цитата ]
Теорема имеет много других приложений для анализа, в том числе:
- Ряд Фурье: Набор линейных комбинаций функций еп(Икс) = е2πinx, п ∈ Z плотно в С ([0, 1] / {0, 1}), где мы идентифицируем концы отрезка [0, 1] чтобы получить круг. Важным следствием этого является то, что еп являются ортонормированный базис пространства L2([0, 1]) из квадратично интегрируемые функции на [0, 1].
Теорема Стоуна – Вейерштрасса, комплексная версия
Чуть более общей является следующая теорема, в которой мы рассматриваем алгебру комплекснозначных непрерывных функций на компакте , опять же с топологией равномерной сходимости. Это C * -алгебра с * -операцией, заданной поточечным комплексное сопряжение.
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса (комплексные числа). Позволять - компактное хаусдорфово пространство и пусть быть разделение подмножества из . Тогда комплекс единый *-алгебра создано плотно в .
Комплексная унитальная * -алгебра, порожденная состоит из всех тех функций, которые могут быть получены из элементов добавляя постоянную функцию 1 и сложение их, умножение, сопряжение или умножение на комплексные скаляры и повторение конечного числа раз.
Из этой теоремы следует действительная версия, потому что если последовательность комплексных функций равномерно приближает данную функцию , то действительные части этих функций равномерно аппроксимируют действительную часть . Как и в вещественном случае, аналог этой теоремы верен для локально компактных хаусдорфовых пространств.
Теорема Стоуна – Вейерштрасса, кватернионная версия
Следующий Джон Холладей (1957) : рассмотрим алгебру C (Икс, ЧАС) кватернионозначных непрерывных функций на компакте Икс, опять же с топологией равномерной сходимости. Если кватернион q записывается в виде q = а + ib;+ jc + kd затем скалярная часть а это настоящий номер (q − iqi − jqj − kqk) / 4. Точно так же скалярная часть из -ци, −qj и -qk : b, c и d - соответственно действительные числа (−ци − iq + jqk − kqj)/4,(−qj − iqk − jq + kqi) / 4 и (-qk + iqj − jqk − kq) / 4. Тогда мы можем констатировать:
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса (кватернионные числа). Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство и А является подалгеброй C (Икс, ЧАС) который содержит ненулевую постоянную функцию. потом А плотно в C (Икс, ЧАС) если и только если это разделяет точки.
Теорема Стоуна – Вейерштрасса, версия для C * -алгебры
Пространство комплекснозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве т.е. канонический пример единой коммутативная C * -алгебра . Космос Икс можно рассматривать как пространство чистых состояний на , с топологией weak- *. Следуя приведенной выше подсказке, некоммутативное расширение теоремы Стоуна – Вейерштрасса, которая осталась нерешенной, выглядит следующим образом:
- Гипотеза. Если единый C * -алгебра имеет С * -подалгебру который разделяет чистые состояния , тогда .
В 1960 году Джим Глимм доказал более слабую версию вышеприведенной гипотезы.
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса (C * -алгебры).[2] Если унитальная C * -алгебра имеет С * -подалгебру который отделяет пространство чистых состояний (т. е. слабое замыкание чистых состояний) от , тогда .
Варианты решеток
Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство. В первоначальном доказательстве теоремы Стоуна использовалась идея решетки в C (Икс, р). Подмножество L из C (Икс, р) называется решетка если для любых двух элементов ж, грамм ∈ L, функции Максимум{ж, грамм}, min {ж, грамм} также принадлежат L. Решеточная версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса гласит:
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса (решетки). Предполагать Икс - компактное хаусдорфово пространство не менее чем с двумя точками и L решетка в C (Икс, р) со свойством, что для любых двух различных элементов Икс и у из Икс и любые два действительных числа а и б существует элемент ж ∈ L с ж (Икс) = а и ж (у) = б. потом L плотно в C (Икс, р).
Вышеупомянутые версии Стоуна – Вейерштрасса могут быть доказаны с помощью этой версии, если понять, что свойство решетки также может быть сформулировано с использованием абсолютная величина | ж | которые, в свою очередь, могут быть аппроксимированы полиномами от ж . Вариант теоремы применим к линейным подпространствам в C (Икс, р) закрыто ниже макс (Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Теорема 7.29):
- Теорема Стоуна – Вейерштрасса. Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство и B семейство функций в C (Икс, р) такой, что
- B разделяет точки.
- B содержит постоянную функцию 1.
- Если ж ∈ B тогда аф ∈ B для всех констант а ∈ р.
- Если ж, грамм ∈ B, тогда ж + грамм, Макс{ж, грамм} ∈ B.
- потом B плотно в C (Икс, р).
Доступна более точная информация:
- Предполагать Икс компактное хаусдорфово пространство не менее чем с двумя точками и L решетка в C (Икс, р). Функция φ ∈ C (Икс, р) принадлежит к закрытие из L тогда и только тогда, когда для каждой пары различных точек Икс и у в Икс и для каждого ε > 0 есть некоторые ж ∈ L для которого | ж (Икс) − φ(Икс)| < ε и | ж (у) − φ(у)| < ε.
Теорема епископа
Другое обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса связано с тем, что Эрретт Бишоп. Теорема Бишопа выглядит следующим образом (Епископ 1961 ):
- Позволять А - замкнутая подалгебра комплекса Банахова алгебра C (Икс, C) непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве Икс, используя супремум-норму. За S ⊂ Икс мы пишем АS = {г |S : g ∈ А}. Предположим, что ж ∈ C (Икс, C) обладает следующим свойством:
- ж |S ∈ АS для каждого максимального набора S ⊂ Икс так что все реальные функции АS постоянны.
- потом ж ∈ А.
Гликсберг (1962) дает краткое доказательство теоремы Бишопа с использованием Теорема Крейна – Мильмана существенным образом, а также Теорема Хана – Банаха : процесс Луи де Бранж (1959). Смотрите также Рудин (1973, §5.7).
Теорема Нахбина
Теорема Нахбина дает аналог теоремы Стоуна – Вейерштрасса для алгебр комплекснозначных гладких функций на гладком многообразии (Начбин 1949 ). Теорема Нахбина следующая (Ллавона 1986 ):
- Позволять А подалгебра алгебры C∞(M) гладких функций на конечномерном гладком многообразии M. Предположим, что А разделяет точки M а также разделяет касательные векторы M: за каждую точку м ∈ M и касательный вектор v в касательном пространстве на м, Существует ж ∈ А такой, что dж(Икс)(v) ≠ 0. Тогда А плотно в C∞(M).
Смотрите также
- Теорема Мюнца – Саса.
- Полином Бернштейна.
- Феномен Рунге показывает, что нахождение многочлена п такой, что ж (Икс) = п(Икс) для некоторых мелко расположенных Икс = Иксп - плохой способ найти полином, приближающий ж равномерно. Лучший подход, объясненный, например, в (Рудин 1976 ), п. 160, ур. (51) и далее, состоит в построении многочленов п равномерно аппроксимирующий ж взяв свертку ж с семейством правильно выбранных полиномиальных ядер.
- Теорема Мергеляна, о полиномиальных приближениях комплексных функций.
Примечания
- ^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Эддисон-Уэсли. п.293. ISBN 0-486-43479-6.
- ^ Глимм, Джеймс (1960). «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для C * -алгебр». Анналы математики. Вторая серия. 72 (2): 216–244 [теорема 1]. Дои:10.2307/1970133. JSTOR 1970133.
Рекомендации
- Джон Холладей (1957), «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для кватернионов» (PDF), Proc. Амер. Математика. Soc., 8: 656, Дои:10.1090 / S0002-9939-1957-0087047-7.
- Луи де Бранж (1959), «Теорема Стоуна – Вейерштрасса», Proc. Амер. Математика. Soc., 10 (5): 822–824, Дои:10.1090 / s0002-9939-1959-0113131-7.
- Ян Бринкхейс И Владимир Тихомиров (2005) Оптимизация: идеи и приложения, Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0 МИСТЕР2168305.
- Глимм, Джеймс (1960), "Теорема Стоуна – Вейерштрасса для C * -алгебр", Анналы математики, Вторая серия, 72 (2): 216–244, Дои:10.2307/1970133, JSTOR 1970133
- Бишоп, Эрретт (1961), «Обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса», Тихоокеанский математический журнал, 11 (3): 777–783, Дои:10.2140 / pjm.1961.11.777.
- Гликсберг, Ирвинг (1962), "Меры, ортогональные алгебрам и множествам антисимметрии", Труды Американского математического общества, Труды Американского математического общества, Vol. 105, № 3, 105 (3): 415–435, Дои:10.2307/1993729, JSTOR 1993729.
- Hewitt, E; Стромберг, К. (1965), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
- Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8.
- Рудин, Вальтер (1973), Функциональный анализ, МакГроу-Хилл, ISBN 0-07-054236-8.
- Нахбин, Л. (1949), "Sur les algèbres denses de fonctions diffèrentiables sur une varété", C. R. Acad. Sci. Париж, 228: 1549–1551
- Ллавона, Хосе Г. (1986), Приближение непрерывно дифференцируемых функций, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 9780080872414
- JG Burkill, Лекции о приближении многочленами (PDF).
Исторические произведения
Историческое издание Вейерштрасса (в немецкий язык ) находится в свободном доступе в цифровом онлайн-архиве Берлинская Бранденбургская Академия дер Виссеншафтен:
- К. Вейерштрасс (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).
- Erste Mitteilung (часть 1) с. 633–639, Zweite Mitteilung (часть 2) с. 789–805.
Важные исторические произведения Стоуна включают:
- Стоун, М. Х. (1937), "Приложения теории булевых колец к общей топологии", Труды Американского математического общества, Труды Американского математического общества, Vol. 41, № 3, 41 (3): 375–481, Дои:10.2307/1989788, JSTOR 1989788.
- Стоун, М. Х. (1948), «Обобщенная аппроксимационная теорема Вейерштрасса» (PDF), Математический журнал, 21 (4): 167–184, Дои:10.2307/3029750, HDL:10338.dmlcz / 141501, JSTOR 3029750; 21 (5), 237–254.
внешняя ссылка
- «Теорема Стоуна – Вейерштрасса», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]