Функция, интегрируемая с квадратом - Square-integrable function

В математика, а квадратично интегрируемая функция, также называемый квадратично интегрируемая функция или же ${ displaystyle L ^ {2}}$ функция,^[1] это настоящий - или же сложный -значен измеримая функция для чего интеграл площади абсолютная величина конечно. Таким образом, квадратичная интегрируемость на действительной прямой ${ Displaystyle (- infty, + infty)}$ определяется следующим образом.

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, таких как ${ Displaystyle [а, б]}$ за ${ displaystyle a leq b}$.^[2]

Эквивалентное определение - сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) равен Интегрируемый по Лебегу. Чтобы это было правдой, интегралы от положительной и отрицательной частей действительной части должны быть конечными, как и интегралы для мнимой части.

Векторное пространство квадратично интегрируемых функций (относительно меры Лебега) образуют L^п Космос с ${ displaystyle p = 2}$. Среди L^п пространств класс квадратично интегрируемых функций уникален тем, что совместим с внутренний продукт, что позволяет определять такие понятия, как угол и ортогональность. Наряду с этим внутренним произведением квадратично интегрируемые функции образуют Гильбертово пространство, поскольку все L^п пробелы полный под их соответствующими п-нормы.

Часто этот термин используется не для обозначения конкретной функции, а для обозначения классов эквивалентности функций, которые равны почти всюду.

Характеристики

Функции, суммируемые с квадратом (в упомянутом смысле, в котором "функция" фактически означает класс эквивалентности функций, которые почти всюду равны) образуют внутреннее пространство продукта с внутренний продукт данный

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {A} { overline {f (x)}} g (x) , mathrm {d} x}$

куда

• ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ - квадратично интегрируемые функции,
• ${ Displaystyle { overline {е (х)}}}$ это комплексно сопряженный из ${ displaystyle f (x)}$,
• ${ displaystyle A}$ - это множество, по которому выполняется интеграция - в первом определении (приведенном во введении выше) ${ displaystyle A}$ является ${ Displaystyle (- infty, + infty)}$; В секунду, ${ displaystyle A}$ является ${ Displaystyle [а, б]}$.

С ${ Displaystyle | а | ^ {2} = а cdot { overline {а}}}$, квадратная интегрируемость - это то же самое, что сказать

${ displaystyle langle f, f rangle < infty. ,}$

Можно показать, что интегрируемые с квадратом функции образуют полное метрическое пространство под метрикой, индуцированной скалярным произведением, определенным выше. Полное метрическое пространство также называется Пространство Коши, поскольку последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они Коши.Пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой, называется Банахово пространство Следовательно, пространство интегрируемых с квадратом функций является банаховым пространством с метрикой, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцирована скалярным произведением. Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это, в частности, Гильбертово пространство, потому что пространство полно относительно метрики, индуцированной внутренним произведением.

Это внутреннее пространство продукта условно обозначается как ${ Displaystyle left (L_ {2}, langle cdot, cdot rangle _ {2} right)}$ и часто сокращенно ${ displaystyle L_ {2}}$.Обратите внимание, что ${ displaystyle L_ {2}}$ обозначает набор функций, интегрируемых с квадратом, но никакие метрики, нормы или внутреннее произведение не определяются этим обозначением. Набор вместе с конкретным внутренним продуктом ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {2}}$ указать внутреннее пространство продукта.

Пространство квадратично интегрируемых функций - это L^п Космос в котором ${ displaystyle p = 2}$.

Примеры

• ${ displaystyle { frac {1} {x ^ {n}}}}$ , определенная на (0,1), находится в L² за ${ Displaystyle п <{ гидроразрыва {1} {2}}}$ но не для ${ Displaystyle п = { гидроразрыва {1} {2}}}$.^[1]

• Ограниченные функции, определенные на [0,1]. Эти функции также есть в L^п, для любого значения p.^[3]
• ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$, определенные на ${ displaystyle [1, infty)}$.^[3]

Контрпримеры

• ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$, определенный на [0,1], где значение f (0) произвольно. Кроме того, этой функции нет в L^п для любого значения п в ${ displaystyle [1, infty)}$.^[3]

Смотрите также

• L^п Космос

Рекомендации