*-алгебра - *-algebra

В математика, а точнее в абстрактная алгебра, а *-алгебра (или же инволютивная алгебра) представляет собой математическую структуру, состоящую из двух инволютивные кольца р и А, куда р коммутативен и А имеет структуру ассоциативная алгебра над р. Инволютивные алгебры обобщают идею системы счисления, снабженной сопряжением, например сложные числа и комплексное сопряжение, матрицы над комплексными числами и сопряженный транспонировать, и линейные операторы через Гильбертово пространство и Эрмитовы сопряжения Однако может случиться так, что алгебра вообще не допускает инволюции.

Терминология

*-звенеть

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частного • Кольцо продукта • Свободное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • Терминальное кольцо ${ Displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • Кольцо Jordan • Полукруглый • Полуполе
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Интегральный домен • Целостный закрытый домен • GCD домен • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо серии power Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентная теория чисел • Степень трансцендентности п-адический теория чисел и десятичные дроби • Прямой лимит /Обратный предел • Нулевое кольцо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю пп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Прюфер п-звенеть ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$ • Основание -п круг кольцо ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Основание -п целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • п-adic рациональные ${ Displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Основание -п действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ • п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • п-адические числа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • п-адический соленоид ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра

В математика, а *-звенеть это звенеть с картой * : А → А это антиавтоморфизм и инволюция.

Точнее, * требуется для удовлетворения следующих свойств:^[1]

• (Икс + у)* = Икс* + у*
• (х у)* = у* Икс*
• 1* = 1
• (Икс*)* = Икс

для всех Икс, у в А.

Это также называется инволютивное кольцо, инволютивное кольцо, и кольцо с инволюцией. Обратите внимание, что третья аксиома на самом деле избыточна, потому что вторая и четвертая аксиомы подразумевают 1* также мультипликативное тождество, и идентичности уникальны.

Такие элементы, что Икс* = Икс называются самосопряженный.^[2]

Типичными примерами * -кольца являются поля сложные числа и алгебраические числа с комплексное сопряжение как инволюция. Можно определить полуторалинейная форма над любым * -кольцом.

Также можно определить * -версии алгебраических объектов, например идеальный и подкольцо, с требованием быть * -инвариантный: Икс ∈ я ⇒ Икс* ∈ я и так далее.

*-алгебра

А *-алгебра А это * -кольцо,^[а] с инволюцией *, которая является ассоциативная алгебра через коммутативный *-звенеть р с инволюцией ′, так что (r x)* = р' Икс*  ∀р ∈ р, Икс ∈ А.^[3]

Основание * -кольцо р часто являются комплексными числами (где * действует как комплексное сопряжение).

Из аксиом следует, что * на А является сопряженно-линейный в р, смысл

(λ x + μ у)* = λ ′ Икс* + μ ′ у*

за λ, μ ∈ р, Икс, у ∈ А.

А * -гомоморфизм ж : А → B является гомоморфизм алгебр что совместимо с инволюциями А и B, т.е.

• ж(а*) = ж(а)* для всех а в А.^[2]

Философия * -операции

* -Операция с * -кольцом аналогична комплексное сопряжение на комплексные числа. * -Операция над * -алгеброй аналогична взятию примыкает в комплексе матричные алгебры.

Обозначение

Инволюция * - это унарная операция написано с помеченным знаком звездочки в центре над или рядом с средняя линия:

Икс ↦ Икс*, или же

Икс ↦ Икс^∗ (TeX: х ^ *),

но не как "Икс∗"; см. звездочка статью для подробностей.

Примеры

• Любой коммутативное кольцо превращается в * -кольцо с тривиальным (идентичный ) инволюция.
• Самый известный пример * -кольца и * -алгебры над реалы это поле комплексных чисел C где * просто комплексное сопряжение.
• В более общем плане расширение поля сделано путем присоединения квадратный корень (такой как мнимая единица √−1) является * -алгеброй над исходным полем, рассматриваемой как тривиально - * - кольцо. * переворачивает знак из этого квадратного корня.
• А квадратичное целое число кольцо (для некоторых D) является коммутативным * -кольцом с аналогичным определением *; квадратичные поля являются * -алгебрами над подходящими квадратичными целочисленными кольцами.
• Кватернионы, разделенные комплексные числа, двойные числа, и, возможно, другие гиперкомплексное число системы образуют * -кольца (со встроенной операцией сопряжения) и * -алгебры над вещественными числами (где * тривиально). Обратите внимание, что ни одна из трех не является сложной алгеброй.
• Кватернионы Гурвица образуют некоммутативное * -кольцо с кватернионным сопряжением.
• В матричная алгебра из п × пматрицы над р с * данным транспозиция.
• Матричная алгебра п × пматрицы над C с * данным сопряженный транспонировать.
• Его обобщение, Эрмитово сопряженный в алгебре ограниченные линейные операторы на Гильбертово пространство также определяет * -алгебру.
• В кольцо многочленов р[Икс] над коммутативным тривиально - * - кольцом р является * -алгеброй над р с п*(Икс) = п(−Икс).
• Если (А, +, ×, *) одновременно является * -кольцом, алгебра над кольцом р (коммутативный) и (r x)* = р (Икс*)  ∀р ∈ р, Икс ∈ А, тогда А является * -алгеброй над р (где * тривиально).
  • Как частный случай, любое * -кольцо является * -алгеброй над целые числа.
• Любое коммутативное * -кольцо является * -алгеброй над собой и, в более общем смысле, над любым своим * -подстрока.
• Для коммутативного * -кольца р, это частное любым своим * -идеально является * -алгеброй над р.
  • Например, любое коммутативное тривиально - * - кольцо является * -алгеброй над своим кольцо с двойными номерами, * -кольцо с нетривиальный *, потому что частное по ε = 0 делает оригинальное кольцо.
  • То же о коммутативном кольце K и его кольцо многочленов K[Икс]: частное по Икс = 0 восстанавливает K.
• В Алгебра Гекке, инволюция важна для Полином Каждана – Люстига.
• В кольцо эндоморфизмов из эллиптическая кривая становится * -алгеброй над целыми числами, где инволюция задается взятием двойная изогения. Аналогичные строительные работы для абелевы разновидности с поляризация, в этом случае он называется Инволюция Росати (см. конспекты лекций Милна об абелевых многообразиях).

Инволютивные алгебры Хопфа являются важными примерами * -алгебр (с дополнительной структурой совместимого коумножение ); наиболее знакомый пример:

• В групповая алгебра Хопфа: а групповое кольцо, с инволюцией грамм ↦ грамм⁻¹.

Не пример

Не всякая алгебра допускает инволюцию:

Рассмотрим 2x2 матрицы над комплексными числами.
Рассмотрим следующую подалгебру:

${ displaystyle { mathcal {A}}: = left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & 0 end {pmatrix}}: a, b in mathbb {C} right }}$

Любой нетривиальный антиавтоморфизм обязательно имеет вид:

${ displaystyle varphi _ {z} left [{ begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} right] = { begin {pmatrix} 1 & z 0 & 0 end {pmatrix}} quad varphi _ {z} left [{ begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} right] = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}}$

для любого комплексного числа ${ Displaystyle г в mathbb {C}}$.
Отсюда следует, что любой нетривиальный антиавтоморфизм не может быть идемпотентным:

${ displaystyle varphi _ {z} ^ {2} left [{ begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} right] = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {pmatrix }} neq { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}}$

Вывод о том, что подалгебра не допускает инволюции.

Дополнительные конструкции

Многие свойства транспонировать для общих * -алгебр:

• Эрмитовы элементы образуют Йорданова алгебра;
• Косые эрмитовы элементы образуют Алгебра Ли;
• Если 2 обратима в * -кольце, то 1/2(1 + *) и 1/2(1 − *) находятся ортогональные идемпотенты,^[2] называется симметризация и антисимметричный, поэтому алгебра разлагается как прямая сумма модули (векторные пространства если * -кольцо является полем) симметричных и антисимметричных (эрмитовых и косоэрмитовых) элементов. Эти пространства, как правило, не образуют ассоциативных алгебр, поскольку идемпотенты операторы, а не элементы алгебры.

Наклонные конструкции

Учитывая * -кольцо, есть также карта −* : Икс ↦ −Икс*. Он не определяет структуру * -кольца (если только характеристика равно 2, и в этом случае - * идентично оригиналу *), так как 1 ↦ −1, она также не является антимультипликативной, но удовлетворяет другим аксиомам (линейной, инволюционной) и, следовательно, очень похожа на * -алгебру, где Икс ↦ Икс*.

Элементы, фиксируемые этой картой (т.е. такие, что а = −а*) называются косой эрмитский.

Для комплексных чисел с комплексным сопряжением действительные числа являются эрмитовыми элементами, а мнимые числа - косыми эрмитовыми.

Смотрите также

• Полугруппа с инволюцией
• B * -алгебра
• C * -алгебра
• Категория кинжала
• алгебра фон Неймана
• Кольцо Baer
• операторная алгебра
• сопряженный (алгебра)
• Конструкция Кэли-Диксона
• Составная алгебра

Примечания

Рекомендации