Кольцо продукта - Википедия - Product ring
В математика, можно комбинировать несколько кольца в один большой кольцо продукта. Это делается путем предоставления Декартово произведение семейства колец (возможно бесконечного) покоординатного сложения и умножения. Полученное кольцо называется прямой продукт оригинальных колец.
Примеры
Важный пример - кольцо Z/пZ из целые числа по модулю п. Если п написано как продукт основной полномочия (см. основная теорема арифметики ),
где пя различные простые числа, то Z/пZ естественно изоморфный к кольцу продукта
Это следует из Китайская теорема об остатках.
Характеристики
Если р = Πя∈я ря является произведением колец, то для каждого я в я у нас есть сюръективный кольцевой гомоморфизм пя: р → ря который проецирует продукт на я-я координата. Продукт рвместе с прогнозами пя, имеет следующие универсальная собственность:
- если S любое кольцо и жя: S → ря является гомоморфизмом колец для любого я в я, то существует ровно один кольцевой гомоморфизм ж: S → р такой, что пя ∘ ж = жя для каждого я в я.
Это показывает, что произведение колец является примером продукты в смысле теории категорий.
Когда я конечна, основная аддитивная группа Πя∈я ря совпадает с прямая сумма аддитивных групп ря. В этом случае некоторые авторы называют р "прямая сумма колец ря" и писать ⊕я∈я ря, но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно сопродукт в категории колец: например, когда два или более ря отличны от нуля, отображение включения ря → р не отображает 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.
(Конечное копроизведение в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над коммутативным кольцом является тензорное произведение алгебр. Копроизведение в категории алгебр - это свободное произведение алгебр.)
Прямые продукты коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямой продукт.
Если Ая является идеальный из ря для каждого я в я, тогда А = Πя∈я Ая это идеал р. Если я конечно, то верно обратное, т. е. любой идеал р имеет такую форму. Однако если я бесконечно и кольца ря ненулевые, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа ненулевых координат образует идеал, который не является прямым произведением идеалов ря. Идеал А это главный идеал в р если все, кроме одного из Ая равны ря а остальные Ая главный идеал в ря. Однако обратное неверно, когда я бесконечно. Например, прямая сумма из ря образуют идеал, не содержащийся ни в одном таком А, но аксиома выбора дает, что он содержится в некоторых максимальный идеал который a fortiori основной.
Элемент Икс в р является единицей тогда и только тогда, когда все ее компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда пя(Икс) единица в ря для каждого я в я. Группа единиц р это товар групп подразделений ря.
Произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля: если Икс является элементом продукта, все координаты которого равны нулю, кроме пя(Икс), и у является элементом продукта со всеми нулевыми координатами, кроме пj(у) куда я ≠ j, тогда ху = 0 в кольце продукта.
Смотрите также
Примечания
Рекомендации
- Герштейн, И. (2005) [1968], Некоммутативные кольца (5-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-88385-039-8
- Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 91, ISBN 978-0-387-95385-4, МИСТЕР 1878556, Zbl 0984.00001