Геометрическая алгебра - Википедия - Geometric algebra

В геометрическая алгебра (GA) из векторное пространство является алгебра над полем, известный своей операцией умножения, называемой геометрический продукт на пространстве элементов, называемых многовекторы, который содержит как скаляры ${ displaystyle F}$ и векторное пространство ${ displaystyle V}$. Математически геометрическую алгебру можно определить как Алгебра Клиффорда из векторное пространство с квадратичная форма. Вклад Клиффорда заключался в определении нового продукта, геометрического продукта, который объединил алгебры Грассмана и Гамильтона в единую структуру. Добавление двойной внешнего продукта Грассмана («встреча») позволяет использовать Алгебра Грассмана – Кэли, а конформная версия последнего вместе с конформной алгеброй Клиффорда дает конформная геометрическая алгебра (CGA) обеспечение основы для классическая геометрия.^[1] На практике эти и несколько производных операций допускают соответствие элементов, подпространств и операций алгебры геометрической интерпретации.

Скаляры и векторы имеют свою обычную интерпретацию и составляют различные подпространства ГА. Бивекторы обеспечивают более естественное представление псевдовекторных величин в векторная алгебра такие как ориентированная область, ориентированный угол поворота, крутящий момент, угловой момент, электромагнитное поле и Вектор Пойнтинга. А тривектор может представлять ориентированный объем и так далее. Элемент, называемый лезвие может использоваться для представления подпространства ${ displaystyle V}$ и ортогональные проекции на это подпространство. Вращения и отражения представлены как элементы. В отличие от векторной алгебры, ГА естественным образом вмещает любое количество измерений и любую квадратичную форму, такую ​​как в относительность.

Примеры геометрических алгебр, применяемых в физике, включают алгебра пространства-времени (и менее распространенные алгебра физического пространства ) и конформная геометрическая алгебра. Геометрическое исчисление, расширение GA, которое включает дифференциация и интеграция, можно использовать для формулирования других теорий, таких как комплексный анализ и дифференциальная геометрия, например используя алгебру Клиффорда вместо дифференциальные формы. Отстаивалась геометрическая алгебра, в первую очередь Дэвид Хестенес^[2] и Крис Доран,^[3] как предпочтительный математический аппарат для физика. Сторонники утверждают, что он обеспечивает компактные и интуитивно понятные описания во многих областях, включая классический и квантовая механика, электромагнитная теория и относительность.^[4] GA также нашел применение в качестве вычислительного инструмента в компьютерная графика^[5] и робототехника.

Геометрическое произведение впервые было кратко упомянуто Герман Грассманн,^[6] кто был в основном заинтересован в развитии тесно связанных внешняя алгебра. В 1878 г. Уильям Кингдон Клиффорд значительно расширил работу Грассмана, чтобы сформировать то, что сейчас обычно называют алгебрами Клиффорда в его честь (хотя сам Клиффорд решил называть их «геометрическими алгебрами»). В течение нескольких десятилетий геометрические алгебры несколько игнорировались, их сильно затмевали векторное исчисление затем недавно был разработан для описания электромагнетизма. Термин «геометрическая алгебра» был популяризован в 1960-х гг. Hestenes, который отстаивал ее важность для релятивистской физики.^[7]

Определение и обозначения

Есть несколько разных способов определить геометрическую алгебру. Первоначальный подход Гестена был аксиоматическим,^[8] «полна геометрического значения» и эквивалентна универсальной алгебре Клиффорда.^[9]Учитывая конечномерную квадратичное пространство ${ displaystyle V}$ через поле ${ displaystyle F}$ с симметричной билинейной формой ( внутренний продукт, например евклидова или Лоренцева метрика ) ${ displaystyle g: V times V rightarrow F}$, то геометрическая алгебра для этого квадратичного пространства Алгебра Клиффорда ${ displaystyle operatorname {Cl} (V, g)}$. Как обычно в этой области, до конца этой статьи только настоящий дело, ${ Displaystyle F = mathbf {R}}$, будет рассмотрено. Обозначение ${ Displaystyle { mathcal {G}} (p, q)}$ (соответственно ${ Displaystyle { mathcal {G}} (p, q, r)}$) будет использоваться для обозначения геометрической алгебры, для которой билинейная форма ${ displaystyle g}$ имеет подпись ${ displaystyle (p, q)}$ (соответственно ${ displaystyle (p, q, r)}$).

Существенное произведение в алгебре называется геометрический продукт, а произведение в содержащейся внешней алгебре называется внешний продукт (часто называемый клин и реже внешний продукт^[а]). Стандартно обозначать их, соответственно, путем сопоставления (т. Е. Подавления любого явного символа умножения) и символа ${ Displaystyle клин}$. Приведенное выше определение геометрической алгебры является абстрактным, поэтому мы суммируем свойства геометрического продукта с помощью следующего набора аксиом. Геометрическое произведение обладает следующими свойствами: ${ displaystyle A, B, C in { mathcal {G}} (p, q)}$:

${ Displaystyle AB in { mathcal {G}} (p, q)}$ (закрытие )

${ displaystyle 1A = A1 = A}$, куда ${ displaystyle 1}$ является элементом идентичности (наличие элемент идентичности )

${ Displaystyle A (BC) = (AB) C}$ (ассоциативность )

${ Displaystyle А (В + С) = АВ + АС}$ и ${ Displaystyle (B + C) A = BA + CA}$ (распределенность )

${ Displaystyle а ^ {2} = г (а, а) 1}$, куда ${ displaystyle a}$ любой элемент подпространства ${ displaystyle V}$ алгебры.

Внешний вид продукта имеет те же свойства, за исключением того, что последнее свойство выше заменено на ${ Displaystyle а клин а = 0}$ за ${ displaystyle a in V}$.

Обратите внимание, что в последнем свойстве выше действительное число ${ Displaystyle г (а, а)}$ не обязательно быть неотрицательным, если ${ displaystyle g}$ не является положительно-определенным. Важным свойством геометрического произведения является наличие элементов, имеющих мультипликативный обратный. Для вектора ${ displaystyle a}$, если ${ Displaystyle а ^ {2} neq 0}$ тогда ${ displaystyle a ^ {- 1}}$ существует и равно ${ Displaystyle г (а, а) ^ {- 1} а}$. Ненулевой элемент алгебры не обязательно имеет мультипликативный обратный. Например, если ${ displaystyle u}$ вектор в ${ displaystyle V}$ такой, что ${ displaystyle u ^ {2} = 1}$, элемент ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2}} (1 + u)}$ одновременно нетривиальный идемпотентный элемент и ненулевой делитель нуля, и, следовательно, не имеет обратного.^[b]

Обычно выявляют ${ displaystyle mathbf {R}}$ и ${ displaystyle V}$ с их изображениями под естественным вложения ${ Displaystyle mathbf {R} to { mathcal {G}} (p, q)}$ и ${ Displaystyle V к { mathcal {G}} (p, q)}$. В этой статье предполагается такая идентификация. На протяжении всего срока скаляр и вектор относятся к элементам ${ displaystyle mathbf {R}}$ и ${ displaystyle V}$ соответственно (и их изображений при этом вложении).

Геометрическое произведение

Учитывая два вектора ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$, если геометрическое произведение ${ displaystyle ab}$ является^[10] антикоммутативный; они перпендикулярны (вверху), потому что ${ displaystyle a cdot b = 0}$, если он коммутативен; они параллельны (внизу), потому что ${ Displaystyle а клин b = 0}$.

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация сорта-${ displaystyle n}$ элементы в реальной внешней алгебре для ${ displaystyle n = 0}$ (точка со знаком), ${ displaystyle 1}$ (направленный отрезок или вектор), ${ displaystyle 2}$ (ориентированный плоский элемент), ${ displaystyle 3}$ (ориентированный объем). Внешний продукт ${ displaystyle n}$ векторы можно визуализировать как любые ${ displaystyle n}$-размерная форма (например, ${ displaystyle n}$-параллелоэдр, ${ displaystyle n}$-эллипсоид ); с величиной (гиперобъем ), и ориентация определяется тем, что на его ${ Displaystyle (п-1)}$-мерная граница и с какой стороны находится интерьер.^[11][12]

Для векторов ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$, мы можем записать геометрическое произведение любых двух векторов ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ как сумма симметричного произведения и антисимметричного произведения:

${ displaystyle ab = { frac {1} {2}} (ab + ba) + { frac {1} {2}} (ab-ba)}$

Таким образом, мы можем определить внутренний продукт^[c] векторов как

${ Displaystyle а cdot b: = г (а, Ь),}$

так что симметричное произведение можно записать как

${ displaystyle { frac {1} {2}} (ab + ba) = { frac {1} {2}} left ((a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} right) = a cdot b}$

Наоборот, ${ displaystyle g}$ полностью определяется алгеброй. Антисимметричная часть - это внешнее произведение двух векторов, произведение содержащихся внешняя алгебра:

${ Displaystyle а клин b: = { гидроразрыва {1} {2}} (ab-ba) = - (b клин a)}$

Затем простым добавлением:

${ displaystyle ab = a cdot b + a wedge b}$ необобщенная или векторная форма геометрического произведения.

Внутренние и внешние продукты связаны с известными концепциями стандартной векторной алгебры. Геометрически, ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ находятся параллельно если их геометрический продукт равен их внутреннему продукту, тогда как ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ находятся перпендикуляр если их геометрическое произведение равно их внешнему произведению. В геометрической алгебре, для которой квадрат любого ненулевого вектора положителен, скалярное произведение двух векторов можно отождествить с скалярное произведение стандартной векторной алгебры. Внешнее произведение двух векторов можно отождествить с подписанная область заключен в параллелограмм стороны которого - векторы. В перекрестное произведение двух векторов в ${ displaystyle 3}$ размеры с положительно определенной квадратичной формой тесно связаны с их внешним продуктом.

Большинство интересующих нас геометрических алгебр имеют невырожденную квадратичную форму. Если квадратичная форма полностью выродиться, внутреннее произведение любых двух векторов всегда равно нулю, и тогда геометрическая алгебра является просто внешней алгеброй. Если не указано иное, в данной статье рассматриваются только невырожденные геометрические алгебры.

Внешнее произведение естественным образом расширяется как ассоциативный билинейный бинарный оператор между любыми двумя элементами алгебры, удовлетворяющими тождествам

${ displaystyle { begin {align} 1 wedge a_ {i} & = a_ {i} wedge 1 = a_ {i} a_ {1} wedge a_ {2} wedge cdots wedge a_ { r} & = { frac {1} {r!}} sum _ { sigma in { mathfrak {S}} _ {r}} operatorname {sgn} ( sigma) a _ { sigma (1 )} a _ { sigma (2)} cdots a _ { sigma (r)}, end {align}}}$

где сумма берется по всем перестановкам индексов, причем ${ displaystyle operatorname {sgn} ( sigma)}$ то знак перестановки, и ${ displaystyle a_ {i}}$ являются векторами (а не общими элементами алгебры). Поскольку каждый элемент алгебры может быть выражен как сумма произведений этой формы, это определяет внешний продукт для каждой пары элементов алгебры. Из определения следует, что внешний продукт образует знакопеременная алгебра.

Лезвия, сорта и каноническая основа

Мультивектор, являющийся внешним продуктом ${ displaystyle r}$ линейно независимые векторы называются лезвие, и считается, что он класса ${ displaystyle r}$.^[e] Мультивектор, который представляет собой сумму лопаток класса ${ displaystyle r}$ называется (однородным) мультивектором степени ${ displaystyle r}$. Согласно аксиомам, с замыканием, каждый мультивектор геометрической алгебры представляет собой сумму лопастей.

Рассмотрим набор ${ displaystyle r}$ линейно независимые векторы ${ Displaystyle {а_ {1}, ldots, а_ {г} }}$ охватывающий ${ displaystyle r}$-мерное подпространство векторного пространства. С их помощью мы можем определить реальный симметричная матрица (так же, как Матрица грамиана )

${ displaystyle [ mathbf {A}] _ {ij} = a_ {i} cdot a_ {j}}$

Посредством спектральная теорема, ${ displaystyle mathbf {A}}$ можно диагонализовать до диагональная матрица ${ displaystyle mathbf {D}}$ по ортогональная матрица ${ displaystyle mathbf {O}}$ через

${ displaystyle sum _ {k, l} [ mathbf {O}] _ {ik} [ mathbf {A}] _ {kl} [ mathbf {O} ^ { mathrm {T}}] _ { lj} = sum _ {k, l} [ mathbf {O}] _ {ik} [ mathbf {O}] _ {jl} [ mathbf {A}] _ {kl} = [ mathbf {D }] _ {ij}}$

Определите новый набор векторов ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {г} }}$, известные как ортогональные базисные векторы, преобразованные ортогональной матрицей:

${ displaystyle e_ {i} = sum _ {j} [ mathbf {O}] _ {ij} a_ {j}}$

Поскольку ортогональные преобразования сохраняют скалярные произведения, отсюда следует, что ${ displaystyle e_ {i} cdot e_ {j} = [ mathbf {D}] _ {ij}}$ и таким образом ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {г} }}$ перпендикулярны. Другими словами, геометрическое произведение двух различных векторов ${ displaystyle e_ {i} neq e_ {j}}$ полностью определяется их внешним продуктом, или в более общем смысле

${ displaystyle { begin {array} {rl} e_ {1} e_ {2} cdots e_ {r} & = e_ {1} wedge e_ {2} wedge cdots wedge e_ {r} & = left ( sum _ {j} [ mathbf {O}] _ {1j} a_ {j} right) wedge left ( sum _ {j} [ mathbf {O}] _ {2j } a_ {j} right) wedge cdots wedge left ( sum _ {j} [ mathbf {O}] _ {rj} a_ {j} right) & = ( det mathbf {O}) a_ {1} wedge a_ {2} wedge cdots wedge a_ {r} end {array}}}$

Таким образом, каждое лезвие класса ${ displaystyle r}$ можно записать как геометрическое произведение ${ displaystyle r}$ векторов. В более общем смысле, если разрешена вырожденная геометрическая алгебра, то ортогональная матрица заменяется на блочная матрица которая ортогональна в невырожденном блоке, а диагональная матрица имеет нулевые элементы вдоль вырожденных размерностей. Если новые векторы невырожденного подпространства равны нормализованный в соответствии с

${ displaystyle { hat {e}} _ {i} = { frac {1} { sqrt {| e_ {i} cdot e_ {i} |}}} e_ {i},}$

тогда эти нормализованные векторы должны возводиться в квадрат ${ displaystyle +1}$ или же ${ displaystyle -1}$. К Закон инерции Сильвестра, общее количество ${ displaystyle +1}$s и общее количество ${ displaystyle -1}$s вдоль диагональной матрицы инвариантен. По расширению, общее количество ${ displaystyle p}$ этих векторов, которые квадрат к ${ displaystyle +1}$ и общее количество ${ displaystyle q}$ этот квадрат к ${ displaystyle -1}$ инвариантен. (Общее число базисных векторов, которые возводятся в квадрат до нуля, также инвариантно и может быть ненулевым, если разрешен вырожденный случай.) Обозначим эту алгебру ${ Displaystyle { mathcal {G}} (p, q)}$. Например, ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$ модели ${ displaystyle 3}$-размерный Евклидово пространство, ${ Displaystyle { mathcal {G}} (1,3)}$ релятивистский пространство-время и ${ Displaystyle { mathcal {G}} (4,1)}$ а конформная геометрическая алгебра из ${ displaystyle 3}$-мерное пространство.

Набор всех возможных продуктов ${ displaystyle n}$ ортогональные базисные векторы с индексами в порядке возрастания, включая ${ displaystyle 1}$ как пустое произведение, образует основу всей геометрической алгебры (аналог Теорема PBW ). Например, нижеследующее является основой геометрической алгебры ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$:

${ displaystyle {1, e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, e_ {1} e_ {2}, e_ {1} e_ {3}, e_ {2} e_ {3}, e_ {1} е_ {2} е_ {3} }}$

Образованный таким образом базис называется каноническая основа для геометрической алгебры и любого другого ортогонального базиса для ${ displaystyle V}$ создадим еще одну каноническую основу. Каждая каноническая основа состоит из ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$ элементы. Каждый мультивектор геометрической алгебры может быть выражен как линейная комбинация канонических базисных элементов. Если канонические базисные элементы ${ displaystyle {B_ {i} | я в S }}$ с ${ displaystyle S}$ будучи индексным множеством, геометрическое произведение любых двух мультивекторов равно

${ displaystyle left ( sum _ {i} alpha _ {i} B_ {i} right) left ( sum _ {j} beta _ {j} B_ {j} right) = sum _ {i, j} alpha _ {i} beta _ {j} B_ {i} B_ {j}.}$

Терминология »${ displaystyle k}$-вектор »часто встречается для описания мультивекторов, содержащих элементы только одного сорта. В пространстве более высоких измерений некоторые такие многовекторы не являются лопастями (не могут быть учтены во внешнем продукте ${ displaystyle k}$ векторы). Например, ${ Displaystyle е_ {1} клин е_ {2} + е_ {3} клин е_ {4}}$ в ${ Displaystyle { mathcal {G}} (4,0)}$ нельзя факторизовать; Однако обычно такие элементы алгебры не поддаются геометрической интерпретации как объекты, хотя они могут представлять геометрические величины, такие как вращения. Только ${ Displaystyle 0,1, (п-1)}$ и ${ displaystyle n}$-вектора всегда лопасти в ${ displaystyle n}$-Космос.

Прогноз оценок

Используя ортогональный базис, градуированное векторное пространство структура может быть установлена. Элементы геометрической алгебры, которые являются скалярными кратными ${ displaystyle 1}$ класс-${ displaystyle 0}$ лезвия и называются скаляры. Мультивекторы, находящиеся в диапазоне ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {п} }}$ класс-${ displaystyle 1}$ лезвия и обычные векторы. Мультивекторы в промежутке ${ displaystyle {e_ {i} e_ {j} mid 1 leq i$ класс-${ displaystyle 2}$ лопасти и бивекторы. Эта терминология продолжается до последней степени ${ displaystyle n}$-векторы. В качестве альтернативы сорт-${ displaystyle n}$ лезвия называются псевдоскаляры, оценка-${ Displaystyle (п-1)}$ псевдовекторы лопастей и т. д. Многие элементы алгебры не оцениваются по этой схеме, поскольку они представляют собой суммы элементов разной степени. Такие элементы называются смешанный сорт. Градация многовекторов не зависит от изначально выбранной основы.

Это градуировка как векторное пространство, но не как алгебра. Потому что продукт ${ displaystyle r}$-клинок и ${ displaystyle s}$-клинок содержится в промежутке ${ displaystyle 0}$ через ${ displaystyle r + s}$-клинками геометрическая алгебра фильтрованная алгебра.

Мультивектор ${ displaystyle A}$ может быть разложен на оператор проекции уклона ${ displaystyle langle A rangle _ {r}}$, который выводит оценку-${ displaystyle r}$ часть ${ displaystyle A}$. Как результат:

${ displaystyle A = sum _ {r = 0} ^ {n} langle A rangle _ {r}}$

Например, геометрическое произведение двух векторов ${ displaystyle ab = a cdot b + a wedge b = langle ab rangle _ {0} + langle ab rangle _ {2}}$ поскольку ${ displaystyle langle ab rangle _ {0} = a cdot b}$ и ${ Displaystyle langle ab rangle _ {2} = а клин b}$ и ${ displaystyle langle ab rangle _ {i} = 0}$, за ${ displaystyle i}$ Кроме как ${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle 2}$.

Разложение мультивектора ${ displaystyle A}$ также могут быть разделены на четные и нечетные компоненты:

${ displaystyle A ^ {+} = langle A rangle _ {0} + langle A rangle _ {2} + langle A rangle _ {4} + cdots}$

${ displaystyle A ^ {-} = langle A rangle _ {1} + langle A rangle _ {3} + langle A rangle _ {5} + cdots}$

Это результат забвения структуры из ${ Displaystyle mathrm {Z}}$-градуированное векторное пространство к ${ displaystyle mathrm {Z} _ {2}}$-градуированное векторное пространство. Геометрический продукт соответствует этой более крупной градации. Таким образом, помимо того, что ${ displaystyle mathrm {Z} _ {2}}$-градуированное векторное пространство, геометрическая алгебра является ${ displaystyle mathrm {Z} _ {2}}$-градуированная алгебра или же супералгебра.

Ограничиваясь четной частью, произведение двух четных элементов также является четным. Это означает, что четные многовекторы определяют даже подалгебра. Четная подалгебра ${ displaystyle n}$-мерная геометрическая алгебра изоморфный (без сохранения фильтрации или градуировки) до полной геометрической алгебры ${ Displaystyle (п-1)}$ размеры. Примеры включают ${ Displaystyle { mathcal {G}} ^ {+} (2,0) cong { mathcal {G}} (0,1)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {G}} ^ {+} (1,3) cong { mathcal {G}} (3,0)}$.

Представление подпространств

Геометрическая алгебра представляет собой подпространства ${ displaystyle V}$ как лезвия, и поэтому они сосуществуют в одной алгебре с векторами из ${ displaystyle V}$. А ${ displaystyle k}$-мерное подпространство ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle V}$ представлен взятием ортогонального базиса ${ displaystyle {b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k} }}$ и используя геометрическое произведение, чтобы сформировать лезвие ${ Displaystyle D = b_ {1} b_ {2} cdots b_ {k}}$. Есть несколько лезвий, представляющих ${ displaystyle W}$; все представляющие ${ displaystyle W}$ являются скалярными кратными ${ displaystyle D}$. Эти лезвия можно разделить на два набора: положительные кратные ${ displaystyle D}$ и отрицательные кратные ${ displaystyle D}$. Положительные кратные ${ displaystyle D}$ говорят, что имеют одинаковый ориентация в качестве ${ displaystyle D}$, а отрицательное кратно противоположная ориентация.

Лезвия важны, поскольку геометрические операции, такие как проекции, вращения и отражения, зависят от факторизации через внешний продукт, который (ограниченный класс) ${ displaystyle n}$-клинки обеспечивают, но этот (обобщенный класс) сорт-${ displaystyle n}$ мультивекторов нет, когда ${ displaystyle n geq 4}$.

Псевдоскаляры единиц

Псевдоскаляры единиц - это лезвия, которые играют важную роль в GA. А псевдоскалярный модуль для невырожденного подпространства ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle V}$ лезвие, которое является продуктом членов ортонормированной основы для ${ displaystyle W}$. Можно показать, что если ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle I '}$ оба являются единичными псевдоскалярами для ${ displaystyle W}$, тогда ${ displaystyle I = pm I '}$ и ${ displaystyle I ^ {2} = pm 1}$. Если не выбрать ортонормированный базис для ${ displaystyle W}$, то Вложение Плюкера дает вектор во внешней алгебре, но только с точностью до масштабирования. Используя изоморфизм векторного пространства между геометрической алгеброй и внешней алгеброй, это дает класс эквивалентности ${ displaystyle alpha I}$ для всех ${ Displaystyle альфа neq 0}$. Ортонормальность избавляет от этой двусмысленности, за исключением указанных выше знаков.

Предположим, что геометрическая алгебра ${ Displaystyle { mathcal {G}} (п, 0)}$ со знакомым положительным определенным внутренним продуктом на ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {п}}$ сформирован. Учитывая самолет (${ displaystyle 2}$-мерное подпространство) ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {п}}$, можно найти ортонормированный базис ${ displaystyle {b_ {1}, b_ {2} }}$ покрывающий плоскость, и таким образом найти единицу псевдоскалярной ${ displaystyle I = b_ {1} b_ {2}}$ представляющий этот самолет. Геометрическое произведение любых двух векторов в промежутке ${ displaystyle b_ {1}}$ и ${ displaystyle b_ {2}}$ лежит в ${ displaystyle { alpha _ {0} + alpha _ {1} I mid alpha _ {i} in mathbf {R} }}$, то есть это сумма ${ displaystyle 0}$-вектор и ${ displaystyle 2}$-вектор.

По свойствам геометрического произведения ${ displaystyle I ^ {2} = b_ {1} b_ {2} b_ {1} b_ {2} = - b_ {1} b_ {2} b_ {2} b_ {1} = - 1}$. Сходство с мнимая единица не случайно: подпространство ${ displaystyle { alpha _ {0} + alpha _ {1} I mid alpha _ {i} in mathbf {R} }}$ является ${ displaystyle mathbf {R}}$-алгебра, изоморфная сложные числа. Таким образом, копия комплексных чисел вкладывается в геометрическую алгебру для каждого 2-мерного подпространства ${ displaystyle V}$ на котором квадратичная форма определена.

Иногда можно определить присутствие воображаемой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре, которые квадрат к ${ displaystyle -1}$, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств.

В ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$происходит еще один знакомый случай. Для канонического базиса, состоящего из ортонормированных векторов ${ displaystyle e_ {i}}$ из ${ displaystyle V}$, набор все ${ displaystyle 2}$-векторы охватываются

${ displaystyle {e_ {3} e_ {2}, e_ {1} e_ {3}, e_ {2} e_ {1} }.}$

Маркировка этих ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle j}$ и ${ displaystyle k}$ (на мгновение отклоняясь от нашего соглашения о верхнем регистре), подпространство, порожденное ${ displaystyle 0}$-векторы и ${ displaystyle 2}$-векторы точно ${ displaystyle { alpha _ {0} + i alpha _ {1} + j alpha _ {2} + k alpha _ {3} mid alpha _ {i} in mathbf {R} }}$. Это множество является четной подалгеброй в ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$, и, кроме того, изоморфен как ${ displaystyle mathbf {R}}$-алгебра к кватернионы, еще одна важная алгебраическая система.

Двойная основа

Позволять ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {п} }}$ быть основой ${ displaystyle V}$, т.е. набор ${ displaystyle n}$ линейно независимые векторы, охватывающие ${ displaystyle n}$-мерное векторное пространство ${ displaystyle V}$. Основание, двойственное ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {п} }}$ это набор элементов двойное векторное пространство ${ Displaystyle V ^ {*}}$ что образует биортогональная система с этой основой, таким образом, элементы, обозначенные ${ Displaystyle {е ^ {1}, ldots, е ^ {п} }}$ удовлетворение

${ displaystyle e ^ {i} cdot e_ {j} = delta ^ {i} {} _ {j},}$

куда ${ displaystyle delta}$ это Дельта Кронекера.

Для невырожденной квадратичной формы на ${ displaystyle V}$, ${ Displaystyle V ^ {*}}$ естественно отождествляется с ${ displaystyle V}$, а дуальный базис можно рассматривать как элементы ${ displaystyle V}$, но в целом они не совпадают с исходным набором.

Учитывая далее ГА ${ displaystyle V}$, позволять

${ Displaystyle epsilon = е_ {1} клин cdots клин е_ {п}}$

псевдоскаляр (который не обязательно квадрат ${ displaystyle pm 1}$) сформированный из основы ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {п} }}$. Двойственные базисные векторы могут быть построены как

${ Displaystyle е ^ {я} = (- 1) ^ {я-1} (е_ {1} клин cdots клин { проверка {е}} _ {я} клин cdots клин е_ {п }) epsilon ^ {- 1},}$

где ${ displaystyle { check {e}} _ {i}}$ означает, что ${ displaystyle i}$-й базисный вектор не указывается в произведении.

Расширения внутренних и внешних продуктов

Обычной практикой является расширение внешнего произведения векторов на всю алгебру. Это можно сделать с помощью оператора проекции уклона:

${ Displaystyle C клин D: = сумма _ {r, s} langle langle C rangle _ {r} langle D rangle _ {s} rangle _ {r + s}}$ (в внешний продукт)

Это обобщение согласуется с приведенным выше определением антисимметризации. Другое обобщение, относящееся к внешнему продукту, - это коммутаторное произведение:

${ Displaystyle C раз D: = { tfrac {1} {2}} (CD-DC)}$ (в коммутаторный продукт)

Регрессивный продукт (обычно называемый «встречей») является двойником внешнего продукта (или «соединения» в данном контексте).^[f] Двойная спецификация элементов позволяет для лезвий ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, перекресток (или место встречи), где должна рассматриваться двойственность, относительно лезвия наименьшего уклона, содержащего оба ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ (соединение).^[14]

${ Displaystyle C Vee D: = ((CI ^ {- 1}) клин (DI ^ {- 1})) I}$

с ${ displaystyle I}$ единичный псевдоскаляр алгебры. Регрессивный продукт, как и внешний продукт, ассоциативен.^[15]

Внутренний продукт на векторы также может быть обобщен, но более чем одним неэквивалентным способом. Бумага (Дорст 2002 ) дает полное описание нескольких различных внутренних произведений, разработанных для геометрических алгебр, и их взаимосвязей, и обозначения взяты оттуда. Многие авторы используют тот же символ, что и для внутреннего произведения векторов для выбранного ими расширения (например, Hestenes и Perwass). Никаких последовательных обозначений не появилось.

Среди этих нескольких различных обобщений внутреннего произведения векторов:

${ displaystyle C ; rfloor ; D: = sum _ {r, s} langle langle C rangle _ {r} langle D rangle _ {s} rangle _ {s-r}}$ (в левое сокращение)

${ displaystyle C ; lfloor ; D: = sum _ {r, s} langle langle C rangle _ {r} langle D rangle _ {s} rangle _ {r-s}}$ (в правильное сокращение)

${ displaystyle C * D: = sum _ {r, s} langle langle C rangle _ {r} langle D rangle _ {s} rangle _ {0}}$ (в скалярное произведение)

${ displaystyle C bullet D: = sum _ {r, s} langle langle C rangle _ {r} langle D rangle _ {s} rangle _ {| s-r |}}$ (продукт "(жирная) точка")^[грамм]

Дорст (2002) приводит аргумент в пользу использования сокращений вместо внутреннего продукта Гестенеса; они алгебраически более регулярны и имеют более чистую геометрическую интерпретацию. Ряд идентификаторов, включающих сокращения, действительны без ограничения их входных данных, например,

${ Displaystyle C ; rfloor ; D = (C клин (DI ^ {- 1})) I}$

${ Displaystyle C ; lfloor ; D = I ((I ^ {- 1} C) клин D)}$

${ Displaystyle (A клин B) * C = A * (B ; rfloor ; C)}$

${ Displaystyle С * (В клин А) = (С ; lfloor ; B) * A}$

${ Displaystyle A ; rfloor ; (B ; rfloor ; C) = (A клин B) ; rfloor ; C}$

${ Displaystyle (A ; rfloor ; B) ; lfloor ; C = A ; rfloor ; (B ; lfloor ; C).}$

Преимущества использования левого сокращения в качестве расширения внутреннего продукта векторов включают то, что идентичность ${ displaystyle ab = a cdot b + a wedge b}$ распространяется на ${ Displaystyle aB = a ; rfloor ; B + a клин B}$ для любого вектора ${ displaystyle a}$ и многовекторный ${ displaystyle B}$, и что проекция операция ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {b} (a) = (a cdot b ^ {- 1}) b}$ распространяется на ${ Displaystyle { mathcal {P}} _ {B} (A) = (A ; rfloor ; B ^ {- 1}) ; rfloor ; B}$ для любого клинка ${ displaystyle B}$ и любой мультивектор ${ displaystyle A}$ (с незначительной модификацией для размещения null ${ displaystyle B}$, данный ниже ).

Линейные функции

Хотя с версором легче работать, потому что он может быть непосредственно представлен в алгебре как мультивектор, версор является подгруппой линейные функции на мультивекторах, которые можно использовать при необходимости. Геометрическая алгебра ${ displaystyle n}$-мерное векторное пространство натянуто на базис ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$ элементы. Если многовектор представлен ${ Displaystyle 2 ^ {п} раз 1}$ настоящий матрица столбцов коэффициентов базиса алгебры, то все линейные преобразования мультивектора можно выразить как матричное умножение по ${ Displaystyle 2 ^ {п} раз 2 ^ {п}}$ вещественная матрица. Однако такое общее линейное преобразование допускает произвольный обмен между классами, такой как «поворот» скаляра в вектор, который не имеет очевидной геометрической интерпретации.

Представляет интерес общее линейное преобразование векторов в векторы. С естественным ограничением на сохранение индуцированной внешней алгебры внешний морфизм линейного преобразования является единственным^[час] расширение версора. Если ${ displaystyle f}$ является линейной функцией, которая отображает векторы в векторы, то ее внешний морфизм - это функция, которая подчиняется правилу

${ displaystyle { underline { mathsf {f}}} (a_ {1} клин a_ {2} wedge cdots wedge a_ {r}) = f (a_ {1}) wedge f (a_ { 2}) wedge cdots wedge f (a_ {r})}$

для лезвия, распространенного на всю алгебру через линейность.

Моделирование геометрии

Хотя много внимания было уделено CGA, следует отметить, что GA - это не просто одна алгебра, это одна из семейства алгебр с той же основной структурой.^[16]

Векторная модель пространства

${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$ может рассматриваться как продолжение или завершение векторная алгебра. От векторов к геометрической алгебре охватывает основы аналитической геометрии и дает введение в стереографическую проекцию.^[17]

В даже подалгебра из ${ Displaystyle { mathcal {G}} (2,0)}$ изоморфен сложные числа, как можно увидеть, написав вектор ${ displaystyle P}$ в терминах его компонентов в ортонормированном базисе и умножении слева на базисный вектор ${ displaystyle e_ {1}}$, уступая

${ displaystyle Z = e_ {1} P = e_ {1} (xe_ {1} + ye_ {2}) = x (1) + y (e_ {1} e_ {2}),}$

где мы определяем ${ Displaystyle я mapsto е_ {1} е_ {2}}$ поскольку

${ displaystyle (e_ {1} e_ {2}) ^ {2} = e_ {1} e_ {2} e_ {1} e_ {2} = - e_ {1} e_ {1} e_ {2} e_ { 2} = - 1.}$

Аналогично четная подалгебра в ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$ с основанием ${ displaystyle {1, e_ {2} e_ {3}, e_ {3} e_ {1}, e_ {1} e_ {2} }}$ изоморфен кватернионы как можно увидеть, указав ${ Displaystyle я mapsto -e_ {2} e_ {3}}$, ${ displaystyle j mapsto -e_ {3} e_ {1}}$ и ${ Displaystyle к mapsto -e_ {1} e_ {2}}$.

Каждый ассоциативная алгебра имеет матричное представление; заменяя три декартовых базисных вектора на Матрицы Паули дает представление о ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$:

${ displaystyle { begin {align} e_ {1} = sigma _ {1} = sigma _ {x} & = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} e_ {2 } = sigma _ {2} = sigma _ {y} & = { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}} e_ {3} = sigma _ {3} = sigma _ {z} & = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} ,. end {align}}}$

Расставляя точки над "Вектор Паули "(а диада ):

${ displaystyle sigma = sigma _ {1} e_ {1} + sigma _ {2} e_ {2} + sigma _ {3} e_ {3}}$ с произвольными векторами ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ и умножение дает:

${ Displaystyle ( сигма cdot a) ( sigma cdot b) = a cdot b + a клин b}$ (Эквивалентно, при осмотре, ${ Displaystyle а cdot Ь + я сигма cdot}$ (${ displaystyle a}$ × ${ displaystyle b}$))

Модель пространства-времени

В физике основными приложениями являются геометрическая алгебра Минковский 3 + 1 пространство-время, ${ Displaystyle { mathcal {G}} (1,3)}$, называется алгебра пространства-времени (STA),^[7] или реже, ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$, истолковал алгебра физического пространства (APS).

В то время как в STA точки пространства-времени представлены просто векторами, в APS точки пространства-времени ${ Displaystyle (3 + 1)}$-мерное пространство-время вместо этого представлено паравекторы: а ${ displaystyle 3}$-мерный вектор (пространство) плюс ${ displaystyle 1}$-мерный скаляр (время).

В алгебре пространства-времени тензор электромагнитного поля имеет бивекторное представление ${ displaystyle {F} = ({E} + ic {B}) gamma _ {0}}$.^[18] Здесь ${ Displaystyle я = гамма _ {0} гамма _ {1} гамма _ {2} гамма _ {3}}$ - единичный псевдоскаляр (или элемент четырехмерного объема), ${ displaystyle gamma _ {0}}$ - единичный вектор в направлении времени, а ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle B}$ - классические векторы электрического и магнитного поля (с нулевой временной составляющей). С использованием четырехканальный ${ displaystyle {J}}$, Уравнения Максвелла тогда стать

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля	${ displaystyle DF = mu _ {0} J}$
	${ Displaystyle D клин F = 0}$	${ Displaystyle D ~ rfloor ~ F = mu _ {0} J}$
Потенциалы (любого калибра)	${ Displaystyle F = D клин A}$	${ Displaystyle D ~ rfloor ~ (D клин A) = mu _ {0} J}$
Потенциалы (калибровка Лоренца)	${ displaystyle F = DA}$ ${ Displaystyle D ~ rfloor ~ A = 0}$	${ displaystyle D ^ {2} A = mu _ {0} J}$

В геометрическом исчислении сопоставление векторов, таких как в ${ displaystyle DF}$ обозначают геометрическое произведение и могут быть разложены на части как ${ Displaystyle DF = D ~ rfloor ~ F + D клин F}$. Здесь ${ displaystyle D}$ является ковекторной производной в любом пространстве-времени и сводится к ${ displaystyle nabla}$ в плоском пространстве-времени. Где ${ displaystyle bigtriangledown}$ играет роль в Минковском ${ displaystyle 4}$-пространство-время, что является синонимом роли ${ displaystyle nabla}$ в евклидовом ${ displaystyle 3}$-пространство и относится к д'Аламбертиан к ${ Displaystyle Box = bigtriangledown ^ {2}}$. Действительно, учитывая наблюдателя, представленного будущим указывающим времениподобным вектором ${ displaystyle gamma _ {0}}$ у нас есть

${ displaystyle gamma _ {0} cdot bigtriangledown = { frac {1} {c}} { frac { partial} { partial t}}}$

${ Displaystyle гамма _ {0} клин bigtriangledown = набла}$

Повышает в этом лоренцевом метрическом пространстве имеют то же выражение ${ displaystyle e ^ { beta}}$ как вращение в евклидовом пространстве, где ${ displaystyle { beta}}$ является бивектором, порожденным вовлеченными направлениями времени и пространства, тогда как в евклидовом случае это бивектор, порожденный двумя направлениями пространства, усиливая «аналогию» с почти тождеством.

В Матрицы Дирака являются представлением ${ Displaystyle { mathcal {G}} (1,3)}$, демонстрируя эквивалентность матричным представлениям, используемым физиками.

Однородная модель

Первая модель здесь ${ Displaystyle { mathcal {G}} (4,0)}$, версия однородных координат GA, используемая в проективной геометрии. Здесь вектор представляет точку и внешнее произведение векторов ориентированной длины, но мы можем работать с алгеброй точно так же, как в ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$. Однако полезный внутренний продукт не может быть определен в пространстве, и поэтому не существует геометрического продукта, оставляя только внешний продукт и неметрические применения двойственности, такие как встреча и соединение.

Тем не менее, были исследованы 4-мерные альтернативы полному 5-мерному CGA для ограниченной геометрии, такой как движения твердого тела. Некоторые из них можно найти в Части IV. Руководство по геометрической алгебре на практике.^[19] Обратите внимание, что алгебра ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0,1)}$ появляется как подалгебра CGA, выбирая только один нулевой базисный вектор и отбрасывая другой, и далее, что «моторная алгебра» (изоморфная двойным кватернионам) является четной подалгеброй ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0,1)}$.

Конформная модель

Краткое описание современного состояния техники предоставлено Байро-Коррочано и Шойерманн (2010), который также включает дополнительные ссылки, в частности, на Дорст, Фонтийн и Манн (2007). Другие полезные ссылки: Ли (2008) и Байро-Коррочано (2010).

Работа в ГА, евклидовом пространстве ${ Displaystyle { mathcal {E}} ^ {3}}$ (вместе с бесконечно удаленной конформной точкой) проективно вложена в CGA ${ Displaystyle { mathcal {G}} (4,1)}$ через отождествление евклидовых точек с ${ displaystyle 1}$-d подпространства в ${ displaystyle 4}$-d нулевой конус ${ displaystyle 5}$-d векторное подпространство CGA. Это позволяет выполнять все конформные преобразования как вращения и отражения и является ковариантный, распространяя отношения инцидентности проективной геометрии на окружности и сферы.

В частности, мы добавляем ортогональные базисные векторы ${ displaystyle e _ {+}}$ и ${ displaystyle e _ {-}}$ такой, что ${ Displaystyle {е _ {+}} ^ {2} = + 1}$ и ${ Displaystyle {е _ {-}} ^ {2} = - 1}$ к основе векторного пространства, порождающего ${ Displaystyle { mathcal {G}} (3,0)}$ и определить нулевые векторы

${ Displaystyle п _ { infty} = е _ {-} + е _ {+}}$ как конформную точку на бесконечности (см. Компактификация ) и

${ displaystyle n _ { text {o}} = { tfrac {1} {2}} (e _ {-} - e _ {+})}$ как точка в начале координат, давая

${ displaystyle n _ { infty} cdot n _ { text {o}} = - 1}$.

Эта процедура имеет некоторое сходство с процедурой работы с однородные координаты в проективной геометрии и в этом случае позволяет моделировать Евклидовы преобразования из ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$ в качестве ортогональные преобразования подмножества ${ displaystyle mathbf {R} ^ {4,1}}$.

Быстро меняющаяся и изменчивая область GA, CGA, также исследуется для приложений к релятивистской физике.

Модели проективного преобразования

Два потенциальных кандидата в настоящее время исследуются в качестве основы для аффинной и проективной геометрии в трехмерном пространстве. ${ Displaystyle { mathcal {R}} (3,3)}$^[20]и ${ Displaystyle { mathcal {R}} (4,4)}$^[21] который включает представления сдвигов и неравномерного масштабирования, а также квадратичных поверхностей и конических сечений.

Новая исследовательская модель, квадратичная конформная геометрическая алгебра (QCGA) ${ Displaystyle { mathcal {R}} (9,6)}$ является расширением CGA, посвященным квадратичным поверхностям. Идея состоит в том, чтобы представить объекты в подпространствах малой размерности алгебры. QCGA может строить квадратичные поверхности с использованием контрольных точек или неявных уравнений. Более того, QCGA может вычислять пересечение квадратичных поверхностей, а также касательные к поверхности и векторы нормали в точке, лежащей на поверхности квадрики.^[22]

Геометрическая интерпретация

Проекция и отвержение

В 3-м пространстве бивектор ${ displaystyle a land b}$ определяет двумерное плоское подпространство (голубое, бесконечно простирается в указанных направлениях). Любой вектор ${ displaystyle c}$ в 3-м пространстве можно разложить на его проекцию ${ displaystyle c _ { |}}$ на самолет и его отклонение ${ displaystyle c _ { perp}}$ с этого самолета.

Для любого вектора ${ displaystyle a}$ и любой обратимый вектор ${ displaystyle m}$,

${ displaystyle a = amm ^ {- 1} = (a cdot m + a wedge m) m ^ {- 1} = a _ { | m} + a _ { perp m},}$

где проекция из ${ displaystyle a}$ на ${ displaystyle m}$ (или параллельная часть)

${ Displaystyle а _ { | m} = (а cdot м) м ^ {- 1}}$

и отказ из ${ displaystyle a}$ из ${ displaystyle m}$ (или ортогональная часть)

${ displaystyle a _ { perp m} = a-a _ { | m} = (a wedge m) m ^ {- 1}.}$

Используя концепцию ${ displaystyle k}$-лезвие ${ displaystyle B}$ как представляющее подпространство ${ displaystyle V}$ и каждый многовектор, в конечном счете выраженный в терминах векторов, обобщается на проекцию общего многовектора на любой обратимый ${ displaystyle k}$-лезвие ${ displaystyle B}$ в качестве^[я]

${ Displaystyle { mathcal {P}} _ {B} (A) = (A ; rfloor ; B ^ {- 1}) ; rfloor ; B,}$

с отклонением, определяемым как

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (A) = A - { mathcal {P}} _ {B} (A).}$

Проекция и отклонение распространяются на нулевые лезвия. ${ displaystyle B}$ заменив обратный ${ displaystyle B ^ {- 1}}$ с псевдообратной ${ displaystyle B ^ {+}}$ по отношению к сокращающемуся продукту.^[j] Результат проекции совпадает в обоих случаях для ненулевых лопастей.^[23][24] Для нулевых лезвий ${ displaystyle B}$, следует использовать определение проекции, данное здесь с первым сокращением, а не вторым, на псевдообратную,^[k] только тогда результат обязательно в подпространстве, представленном ${ displaystyle B}$.^[23]Проекция обобщается через линейность на общие многовекторы. ${ displaystyle A}$.^[l] Проекция нелинейна по ${ displaystyle B}$ и не обобщает на объекты ${ displaystyle B}$ это не лезвия.

Отражение

Простые размышления в гиперплоскости легко выражаются в алгебре посредством сопряжения с одним вектором. Они служат для создания группы общих роторные отражения и вращения.

Отражение вектора ${ displaystyle c}$ по вектору ${ displaystyle m}$. Только компонент ${ displaystyle c}$ параллельно ${ displaystyle m}$ отрицается.

Отражение ${ displaystyle c '}$ вектора ${ displaystyle c}$ по вектору ${ displaystyle m}$, или, что то же самое, в гиперплоскости, ортогональной ${ displaystyle m}$, это то же самое, что отрицать компонент вектора, параллельный ${ displaystyle m}$. Результатом отражения будет

${ displaystyle c '= {- c _ { | m} + c _ { perp m}} = {- (c cdot m) m ^ {- 1} + (c wedge m) m ^ {- 1} } = {(- m cdot cm wedge c) m ^ {- 1}} = - mcm ^ {- 1}}$

Это не самая общая операция, которую можно рассматривать как отражение, когда размер ${ displaystyle n geq 4}$. Общее отражение может быть выражено как совокупность любого нечетного числа одноосных отражений. Таким образом, общее размышление ${ displaystyle a '}$ вектора ${ displaystyle a}$ может быть написано

${ displaystyle a mapsto a '= - MaM ^ {- 1},}$

куда

${ Displaystyle M = pq cdots r}$ и ${ displaystyle M ^ {- 1} = (pq cdots r) ^ {- 1} = r ^ {- 1} cdots q ^ {- 1} p ^ {- 1}.}$

Если мы определим отражение вдоль ненулевого вектора ${ displaystyle m}$ произведения векторов как отражение каждого вектора в произведении вдоль одного и того же вектора, мы получаем для любого произведения нечетного числа векторов, что, например,

${ displaystyle (abc) '= a'b'c' = (- mam ^ {- 1}) (- mbm ^ {- 1}) (- mcm ^ {- 1}) = - ma (m ^ {- 1} m) b (m ^ {- 1} m) cm ^ {- 1} = - mabcm ^ {- 1} ,}$

и для произведения четного числа векторов, которые

${ displaystyle (abcd) '= a'b'c'd' = (- mam ^ {- 1}) (- mbm ^ {- 1}) (- mcm ^ {- 1}) (- mdm ^ {- 1}) = mabcdm ^ {- 1}.}$

Используя концепцию того, что каждый многовектор в конечном итоге выражается в терминах векторов, отражение общего многовектора ${ displaystyle A}$ используя любой вариант отражения ${ displaystyle M}$ может быть написано

${ Displaystyle A mapsto M alpha (A) M ^ {- 1},}$

куда ${ displaystyle alpha}$ это автоморфизм из отражение через начало координат векторного пространства (${ Displaystyle v mapsto -v}$) продолжается по линейности на всю алгебру.

Вращения

Ротор, который вращает векторы в плоскости, вращает векторы на угол ${ displaystyle theta}$, то есть ${ Displaystyle х mapsto R _ { theta} xR _ { theta} ^ { dagger}}$ это вращение ${ displaystyle x}$ через угол ${ displaystyle theta}$. Угол между ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ является ${ displaystyle theta / 2}$. Подобные интерпретации действительны для общего многовектора. ${ displaystyle X}$ вместо вектора ${ displaystyle x}$.^[10]

Если у нас есть произведение векторов ${ displaystyle R = a_ {1} a_ {2} cdots a_ {r}}$ то обратное обозначим как

${ displaystyle R ^ { dagger} = (a_ {1} a_ {2} cdots a_ {r}) ^ { dagger} = a_ {r} cdots a_ {2} a_ {1}.}$

В качестве примера предположим, что ${ Displaystyle R = ab}$ мы получили

${ displaystyle RR ^ { dagger} = abba = ab ^ {2} a = a ^ {2} b ^ {2} = ba ^ {2} b = baab = R ^ { dagger} R.}$

Масштабирование ${ displaystyle R}$ так что ${ displaystyle RR ^ { dagger} = 1}$ тогда

${ Displaystyle (RvR ^ { dagger}) ^ {2} = Rv ^ {2} R ^ { dagger} = v ^ {2} RR ^ { dagger} = v ^ {2}}$

так ${ displaystyle RvR ^ { dagger}}$ оставляет длину ${ displaystyle v}$ без изменений. Мы также можем показать, что

${ Displaystyle (Rv_ {1} R ^ { dagger}) cdot (Rv_ {2} R ^ { dagger}) = v_ {1} cdot v_ {2}}$

так что преобразование ${ displaystyle RvR ^ { dagger}}$ сохраняет длину и угол. Поэтому его можно идентифицировать как вращение или вращательное отражение; ${ displaystyle R}$ называется ротор если это правильное вращение (как если бы он мог быть выражен как произведение четного числа векторов) и является примером того, что известно в GA как Versor.

Существует общий метод поворота вектора, включающий формирование многовектора вида ${ Displaystyle R = е ^ {- В theta / 2}}$ что производит вращение ${ displaystyle theta}$ в самолет и с ориентацией, определяемой ${ displaystyle 2}$-лезвие ${ displaystyle B}$.

Роторы представляют собой обобщение кватернионов на ${ displaystyle n}$-мерные пространства.

Versor

А ${ displaystyle k}$-версор - многовектор, который может быть выражен как геометрическое произведение ${ displaystyle k}$ обратимые векторы.^[м][26] Единичные кватернионы (первоначально названные Гамильтоном версорами) могут быть отождествлены с роторами в трехмерном пространстве почти так же, как реальные двухмерные роторы включают комплексные числа; подробности см. в Dorst.^[27]

Некоторые авторы используют термин «продукт Versor» для обозначения часто встречающегося случая, когда операнд «зажат» между операторами. Описание вращений и отражений, включая их внешние морфизмы, являются примерами такого сэндвича. Эти внешние морфизмы имеют особенно простую алгебраическую форму.^[n] В частности, отображение векторов вида

${ displaystyle V to V: a mapsto RaR ^ {- 1}}$ распространяется на внешний морфизм ${ displaystyle { mathcal {G}} (V) to { mathcal {G}} (V): A mapsto RAR ^ {- 1}.}$

Поскольку и операторы, и операнды являются версорами, существует возможность для альтернативных примеров, таких как вращение ротора или отражение спинора, всегда при условии, что таким операциям может быть придано какое-то геометрическое или физическое значение.

Посредством Теорема Картана – Дьедонне у нас есть, что любая изометрия может быть задана как отражения в гиперплоскостях, и поскольку составные отражения обеспечивают вращения, то ортогональные преобразования являются версорами.

В групповых терминах для действительной невырожденной ${ Displaystyle { mathcal {G}} (p, q)}$, идентифицировав группу ${ displaystyle { mathcal {G}} ^ { times}}$ как группа всех обратимых элементов ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$, Лундхольм дает доказательство того, что «группа версоров» ${ displaystyle {v_ {1} v_ {2} cdots v_ {k} in G: v_ {i} in V ^ { times} }}$ (множество обратимых версоров) совпадает с липшицевой группой ${ displaystyle Gamma}$ (a.k.a. Clifford group, хотя Lundholm осуждает это использование).^[28]

Подгруппы Γ

Лундхольм определяет ${ displaystyle operatorname {Pin}}$, ${ displaystyle operatorname {Spin}}$, и ${ displaystyle operatorname {Spin} ^ {+}}$ подгруппы, порожденные единичными векторами, а в случае ${ displaystyle operatorname {Spin}}$ и ${ displaystyle operatorname {Spin} ^ {+}}$, может присутствовать только четное число таких векторных факторов.^[29]

Подгруппа	Определение	Описание
${ displaystyle operatorname {Pin}}$	${ Displaystyle X in Gamma: XX ^ { dagger} = pm 1}$	единицы Versors
${ displaystyle operatorname {Spin}}$	${ displaystyle { operatorname {Pin}} cap { mathcal {G}} ^ {+}}$	даже единицы Versors
${ displaystyle operatorname {Spin} ^ {+}}$	${ displaystyle X in operatorname {Spin}: XX ^ { dagger} = 1}$	роторы