Закон инерции Сильвестра - Википедия - Sylvesters law of inertia

Закон инерции Сильвестра это теорема в матричная алгебра о некоторых свойствах матрица коэффициентов из настоящий квадратичная форма которые остаются инвариантный под изменение основы. А именно, если А это симметричная матрица что определяет квадратичную форму, и S - любая обратимая матрица такая, что D = SAS^Т диагональна, то количество отрицательных элементов в диагонали D всегда одно и то же, для всех таких S; То же самое и с количеством положительных элементов.

Это свойство названо в честь Джеймс Джозеф Сильвестр опубликовавший свое доказательство в 1852 году.^[1]^[2]

Заявление

Позволять А - симметричная квадратная матрица порядка п с настоящий записи. Любой невырожденная матрица S того же размера преобразует А в другую симметричную матрицу B = SAS^Т, также по порядку п, куда S^Т это транспонирование S. Также говорят, что матрицы А и B конгруэнтны. Если А матрица коэффициентов некоторой квадратичной формы р^п, тогда B - матрица той же формы после замены базиса, определяемого формулой S.

Симметричная матрица А всегда можно превратить таким образом в диагональная матрица D который имеет только элементы 0, +1 и -1 по диагонали. Закон инерции Сильвестра гласит, что количество диагональных элементов каждого вида является инвариантом А, т.е. не зависит от матрицы S использовал.

Количество +1, обозначенное п₊, называется положительный индекс инерции из А, и количество −1s, обозначенное п₋, называется отрицательный показатель инерции. Количество нулей, обозначенное п₀, - размерность пустое пространство из А, известный как недействительность А. Эти числа удовлетворяют очевидному соотношению

{ displaystyle n_ {0} + n _ {+} + n _ {-} = n.}

Разница, sgn (А) = п₊ − п₋, обычно называют подпись из А. (Однако некоторые авторы используют этот термин для тройного (п₀, п₊, п₋) состоящий из ничтожности и положительных и отрицательных показателей инерции А; для невырожденной формы данного измерения это эквивалентные данные, но в целом тройка дает больше данных.)

Если матрица А обладает тем свойством, что каждый главный верхний левый k × k незначительный Δ_k отличен от нуля, то отрицательный индекс инерции равен количеству смен знака в последовательности

{ Displaystyle Delta _ {0} = 1, Delta _ {1}, ldots, Delta _ {n} = det A.}

Утверждение в терминах собственных значений

Закон также можно сформулировать следующим образом: две симметричные квадратные матрицы одинакового размера имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.^[3] ( ${ displaystyle B = SAS ^ {T}}$ , для некоторых неособых ${ displaystyle S}$ ).

Положительные и отрицательные индексы симметричной матрицы А также количество положительных и отрицательных собственные значения из А. Любая симметричная вещественная матрица А имеет собственное разложение формы QEQ^Т куда E - диагональная матрица, содержащая собственные значения А, и Q является ортонормированный квадратная матрица, содержащая собственные векторы. Матрица E можно написать E = WDW^Т куда D диагонально с элементами 0, +1 или -1, и W диагонально с W_ii = √|E_ii|, Матрица S = QW трансформирует D кА.

Закон инерции для квадратичных форм

В контексте квадратичные формы, действительная квадратичная форма Q в п переменные (или на п-мерное вещественное векторное пространство) подходящей заменой базиса (невырожденным линейным преобразованием x в y) можно привести к диагональному виду

{ Displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} ^ {2}}

с каждым а_я ∈ {0, 1, −1}. Закон инерции Сильвестра гласит, что количество коэффициентов данного знака является инвариантом Q, т.е. не зависит от конкретного выбора диагонализирующего базиса. Выраженный геометрически, закон инерции говорит, что все максимальные подпространства, на которые ограничение квадратичной формы положительно определенный (соответственно отрицательно определенные) имеют одинаковые измерение. Эти размеры являются положительным и отрицательным показателями инерции.

Обобщения

Закон инерции Сильвестра также справедлив, если А и B иметь сложные записи. В этом случае говорят, что А и B * -конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует невырожденная комплексная матрица S такой, что B = SAS^∗.

В сложном сценарии можно сформулировать закон инерции Сильвестра следующим образом: если А и B находятся Эрмитовы матрицы, тогда А и B * -конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую инерцию. Теорема Икрамова обобщает закон инерции на любые нормальные матрицы А и B:^[4]

Если А и B находятся нормальные матрицы, тогда А и B конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое количество собственных значений на каждом открытом луче из начала координат в комплексной плоскости.

Смотрите также

внешняя ссылка

[syl852-1] Сильвестр, Джеймс Джозеф (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен сводится вещественными ортогональными подстановками к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF). Философский журнал. 4-я серия. 4 (23): 138–142. Дои:10.1080/14786445208647087. Получено 2008-06-27.

[norm-2] Норман, C.W. (1986). Алгебра бакалавриата. Oxford University Press. С. 360–361. ISBN 978-0-19-853248-4.

[3] Каррелл, Джеймс Б. (2017). Группы, матрицы и векторные пространства: теоретико-групповой подход к линейной алгебре. Springer. п. 313. ISBN 978-0-387-79428-0.

[4] Икрамов, Х. Д. (2001). «О законе инерции для нормальных матриц». Доклады Математики. 64: 141–142.

[1]

[2]

[3]

[4]