Алгебра пространства-времени - Spacetime algebra

В математическая физика, алгебра пространства-времени (STA) - это название Алгебра Клиффорда Cl_1,3(р), или, что то же самое, геометрическая алгебра ГРАММ(M⁴ ). В соответствии с Дэвид Хестенес, алгебра пространства-времени может быть особенно тесно связана с геометрией специальная теория относительности и релятивистский пространство-время.

Это векторное пространство что позволяет не только векторов, но также бивекторы (направленные величины, связанные с конкретными плоскостями, такими как площади или вращения) или лезвия (количества, связанные с определенными гиперобъемами), которые необходимо объединить, а также повернутый, отраженный, или же Лоренц усилен. Это также естественная родительская алгебра спиноры в специальной теории относительности. Эти свойства позволяют выразить многие из наиболее важных уравнений физики в особенно простых формах и могут быть очень полезны для более геометрического понимания их значений.

Структура

Алгебра пространства-времени может быть построена из ортогонального базиса одного времениподобного вектора ${displaystyle gamma _ {0}}$ и три пространственноподобных вектора, ${displaystyle {gamma _ {1}, gamma _ {2}, gamma _ {3}}}$ , с правилом умножения

{displaystyle gamma _ {mu} gamma _ {u} + gamma _ {u} gamma _ {mu} = 2eta _ {mu u}}

куда ${displaystyle eta _ {mu u}}$ это Метрика Минковского с подписью (+ − − −).

Таким образом, ${displaystyle gamma _ {0} ^ {2} = {+ 1}}$ , ${displaystyle gamma _ {1} ^ {2} = gamma _ {2} ^ {2} = gamma _ {3} ^ {2} = {- 1}}$ , иначе ${displaystyle gamma _ {mu} gamma _ {u} = - gamma _ {u} gamma _ {mu}}$ .

Базисные векторы ${displaystyle gamma _ {k}}$ поделитесь этими свойствами с Матрицы Дирака, но в STA нет необходимости использовать явное матричное представление.

Это создает основу для одного скаляр ${displaystyle {1}}$ , четыре векторов ${displaystyle {gamma _ {0}, gamma _ {1}, gamma _ {2}, gamma _ {3}}}$ , шесть бивекторы ${displaystyle {gamma _ {0} gamma _ {1} ,, gamma _ {0} gamma _ {2} ,, gamma _ {0} gamma _ {3} ,, gamma _ {1} gamma _ {2}, , gamma _ {2} gamma _ {3} ,, gamma _ {3} gamma _ {1}}}$ , четыре псевдовекторы ${displaystyle {igamma _ {0}, igamma _ {1}, igamma _ {2}, igamma _ {3}}}$ и один псевдоскалярный ${displaystyle {i}}$ , куда ${displaystyle i = gamma _ {0} gamma _ {1} gamma _ {2} gamma _ {3}}$ .

Ответная рамка

Связанный с ортогональным базисом ${displaystyle {gamma _ {mu}}}$ это взаимная основа ${displaystyle {gamma ^ {mu} = {gamma _ {mu}} ^ {- 1}}}$ за ${displaystyle mu = 0, точки, 3}$ , удовлетворяющая соотношению

{displaystyle gamma _ {mu} cdot gamma ^ {u} = {delta _ {mu}} ^ {u}.}

Эти векторы обратной системы отсчета различаются только знаком, причем ${displaystyle gamma ^ {0} = gamma _ {0}}$ , и ${displaystyle gamma ^ {k} = - gamma _ {k}}$ за ${displaystyle k = 1, dots, 3}$ .

Вектор может быть представлен как в верхнем, так и в нижнем индексных координатах. ${displaystyle a = a ^ {mu} gamma _ {mu} = a_ {mu} gamma ^ {mu}}$ с суммированием по ${displaystyle mu = 0, точки, 3}$ , согласно Обозначения Эйнштейна, где координаты можно извлечь, взяв скалярные произведения с базисными векторами или их обратными величинами.

{displaystyle {egin {выравнивается} acdot gamma ^ {u} & = a ^ {u} acdot gamma _ {u} & = a_ {u} .end {выравнивается}}}

Градиент пространства-времени

Градиент пространства-времени, как и градиент в евклидовом пространстве, определяется таким образом, что производная по направлению отношения довольны:

{displaystyle acdot abla F (x) = lim _ {au ightarrow 0} {frac {F (x + a au) -F (x)} {au}}.}

Это требует, чтобы определение градиента было

{displaystyle abla = gamma ^ {mu} {frac {partial} {partial x ^ {mu}}} = gamma ^ {mu} partial _ {mu}.}

Написано явно с ${displaystyle x = ctgamma _ {0} + x ^ {k} gamma _ {k}}$ , эти частичные

{displaystyle partial _ {0} = {frac {1} {c}} {frac {partial} {partial t}}, quad partial _ {k} = {frac {partial} {partial {x ^ {k}}} }}

Разделение пространства-времени

Разделение пространства-времени - примеры:

{displaystyle xgamma _ {0} = x ^ {0} + mathbf {x}}

{displaystyle pgamma _ {0} = E + mathbf {p}}

^[1]

{displaystyle vgamma _ {0} = gamma (1 + mathbf {v})}

^[1]

куда

{displaystyle gamma}

это Фактор Лоренца

{displaystyle abla gamma _ {0} = partial _ {t} -abla}

^[2]

В алгебре пространства-времени a разделение пространства-времени - это проекция из четырехмерного пространства в (3 + 1) -мерное пространство с выбранной системой отсчета с помощью следующих двух операций:

коллапс выбранной оси времени с образованием трехмерного пространства, охваченного бивекторами, и
проекция четырехмерного пространства на выбранную временную ось, что дает одномерное пространство скаляров.^[3]

Это достигается пре- или пост-умножением на времениподобный базисный вектор ${displaystyle gamma _ {0}}$ , который служит для разделения четырехвектора на скалярную времениподобную и бивекторную пространственноподобную компоненты. С ${displaystyle x = x ^ {mu} gamma _ {mu}}$ у нас есть

{displaystyle {egin {align} xgamma _ {0} & = x ^ {0} + x ^ {k} gamma _ {k} gamma _ {0} gamma _ {0} x & = x ^ {0} -x ^ {k} гамма _ {k} гамма _ {0} конец {выровнено}}}

Как эти бивекторы ${displaystyle gamma _ {k} gamma _ {0}}$ квадрат к единице, они служат пространственной основой. Используя Матрица Паули обозначения, они написаны ${displaystyle sigma _ {k} = gamma _ {k} gamma _ {0}}$ . Пространственные векторы в STA выделены жирным шрифтом; затем с ${displaystyle mathbf {x} = x ^ {k} sigma _ {k}}$ то ${displaystyle gamma _ {0}}$ -пространственно-временное разделение ${displaystyle xgamma _ {0}}$ и его обратное ${displaystyle gamma _ {0} x}$ находятся:

{displaystyle {egin {align} xgamma _ {0} & = x ^ {0} + x ^ {k} sigma _ {k} = x ^ {0} + mathbf {x} gamma _ {0} x & = x ^ {0} -x ^ {k} сигма _ {k} = x ^ {0} -mathbf {x} конец {выровнено}}}

Мультивекторное деление

Алгебра пространства-времени не является алгебра с делением, потому что он содержит идемпотентные элементы ${displaystyle {frac {1} {2}} (1pm gamma _ {0} gamma _ {i})}$ и ненулевой делители нуля: ${displaystyle (1 + gamma _ {0} gamma _ {i}) (1-gamma _ {0} gamma _ {i}) = 0}$ . Их можно интерпретировать как проекторы на световой конус и соотношения ортогональности для таких проекторов соответственно. Но в некоторых случаях это является Можно разделить одну многовекторную величину на другую и понять результат: так, например, направленная область, разделенная на вектор в той же плоскости, дает другой вектор, ортогональный первому.

Описание нерелятивистской физики алгеброй пространства-времени

Нерелятивистская квантовая механика

Алгебра пространства-времени позволяет описать Частица Паули с точки зрения настоящий теория вместо теории матриц. Матричная теория описывает частицы Паули:^[4]

{displaystyle ihbar, partial _ {t} Psi = H_ {S} Psi - {frac {ehbar} {2mc}}, {hat {sigma}} cdot mathbf {B} Psi,}

куда ${displaystyle i}$ это воображаемая единица без геометрической интерпретации, ${displaystyle {hat {sigma}} _ {i}}$ - матрицы Паули (с обозначением шляпы, указывающим, что ${displaystyle {hat {sigma}}}$ является матричным оператором, а не элементом геометрической алгебры), и ${displaystyle H_ {S}}$ - гамильтониан Шредингера. В алгебре пространства-времени частица Паули описывается вещественное уравнение Паули – Шредингера:^[4]

{displaystyle partial _ {t} psi, isigma _ {3}, hbar = H_ {S} psi - {frac {ehbar} {2mc}}, mathbf {B} psi sigma _ {3},}

где сейчас ${displaystyle i}$ псевдоскалярная единица ${displaystyle i = sigma _ {1} sigma _ {2} sigma _ {3}}$ , и ${displaystyle psi}$ и ${displaystyle sigma _ {3}}$ элементы геометрической алгебры, причем ${displaystyle psi}$ ровный многовекторный; ${displaystyle H_ {S}}$ снова является гамильтонианом Шредингера. Гестен называет это реальная теория Паули – Шредингера чтобы подчеркнуть, что эта теория сводится к теории Шредингера, если опустить член, включающий магнитное поле.

Описание релятивистской физики на алгебре пространства-времени

Релятивистская квантовая механика

Релятивистская квантовая волновая функция иногда выражается как спинорное поле, т.е.^{[нужна цитата ]}

{displaystyle psi = e ^ {{frac {1} {2}} (mu + eta i + phi)},}

куда ${displaystyle phi}$ это бивектор, и^[5]^[6]

{displaystyle psi = R (ho e ^ {i eta}) ^ {frac {1} {2}},}

где, согласно его выводу Дэвид Хестенес, ${displaystyle psi = psi (x)}$ является четной многовекторной функцией в пространстве-времени, ${displaystyle R = R (x)}$ унимодулярный спинор (или «ротор»^[7]), и ${displaystyle ho = ho (x)}$ и ${displaystyle eta = eta (x)}$ - скалярные функции.^[5]

Это уравнение интерпретируется как связывающее спин с мнимым псевдоскаляром.^[8] ${displaystyle R}$ рассматривается как вращение Лоренца, которое представляет собой систему векторов ${displaystyle gamma _ {mu}}$ в другую систему векторов ${displaystyle e_ {mu}}$ по операции ${displaystyle e_ {mu} = Rgamma _ {mu} {ilde {R}}}$ ,^[7] где символ тильды указывает на обеспечить регресс (реверс также часто обозначается символом кинжала, см. также Вращения в геометрической алгебре ).

Это было расширено, чтобы обеспечить основу для локально изменяющихся векторных и скалярных наблюдаемых и поддержки для Zitterbewegung интерпретация квантовой механики, первоначально предложенная Шредингер.

Гестен сравнил свое выражение с ${displaystyle psi}$ с выражением Фейнмана для этого в формулировке интеграла по путям:

{displaystyle psi = e ^ {iPhi _ {lambda} / hbar},}

куда ${displaystyle Phi _ {lambda}}$ - классическое действие вдоль ${displaystyle lambda}$ -дорожка.^[5]

Алгебра пространства-времени позволяет описать Частица Дирака с точки зрения настоящий теория вместо теории матриц. Описание матричной теории частицы Дирака:^[9]

{displaystyle {hat {gamma}} ^ {mu} (mathbf {j} partial _ {mu} -emathbf {A} _ {mu}) | psi angle = m | psi angle,}

куда ${displaystyle {hat {gamma}}}$ - матрицы Дирака. В алгебре пространства-времени частица Дирака описывается уравнением:^[9]

{displaystyle abla psi, isigma _ {3} -mathbf {A} psi = mpsi gamma _ {0}}

Здесь, ${displaystyle psi}$ и ${displaystyle sigma _ {3}}$ элементы геометрической алгебры, а ${displaystyle abla = gamma ^ {mu} partial _ {mu}}$ - производная вектора пространства-времени.

Новая формулировка общей теории относительности

Ласенби, Доран, и Гулл из Кембриджского университета предложили новую формулировку гравитации, названную калибровочная теория гравитации (GTG), в котором алгебра пространства-времени используется, чтобы вызвать кривизну на Пространство Минковского признавая калибровочная симметрия при «произвольном плавном переносе событий в пространство-время» (Ласенби и др.); тогда нетривиальный вывод приводит к уравнению геодезических,

{displaystyle {frac {d} {d au}} R = {frac {1} {2}} (Omega -omega) R}

и ковариантная производная

{displaystyle D_ {au} = partial _ {au} + {frac {1} {2}} omega,}

куда ${displaystyle omega}$ - связь, связанная с гравитационным потенциалом, а ${displaystyle Omega}$ это внешнее взаимодействие, такое как электромагнитное поле.

Теория показывает многообещающие перспективы обращения с черными дырами как с их формой Решение Шварцшильда не ломается в особенностях; большинство результатов общая теория относительности были математически воспроизведены, и релятивистская формулировка классическая электродинамика был расширен до квантовая механика и Уравнение Дирака.

Смотрите также

внешняя ссылка

Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени, учебное введение в идеи геометрической алгебры, написанное С. Гуллом, А. Ласенби, К. Дораном.
Физические приложения геометрической алгебры примечания к курсу, особенно см. часть 2.
Группа геометрической алгебры Кембриджского университета
Исследования и разработки в области геометрического исчисления

[lasenby-et-el-2002-p257-1] а ^б Lasenby, A.N .; Доран, C.J.L. (2002). «Геометрическая алгебра, волновые функции Дирака и черные дыры». В Bergmann, P.G .; Де Саббата, Венцо (ред.). Успехи во взаимодействии квантовой физики и физики гравитации. Springer. стр. 256–283, см. стр. 257. ISBN 978-1-4020-0593-0.

[2] Ласенби и Доран 2002, п.259

[3] Артур, Джон В. (2011). Понимание геометрической алгебры для теории электромагнетизма. Серия изданий IEEE Press по теории электромагнитных волн. Вайли. п. 180. ISBN 978-0-470-94163-8.

[hestenes-oersted-medal-lecture-eq75-eq81-4] а ^б См. Экв. (75) и (81) в: Лекция, посвященная медали Хестенеса и Эрстеда, 2002 г.

[hestenes-1990-eq3-1-eq4-1-5] а ^б ^c См. Ур. (3.1) и аналогично ур. (4.1) и на последующих страницах в: Hestenes, D. (2012) [1990]. «Об отделении вероятности от кинематики в квантовой механике». В Фужере П.Ф. (ред.). Максимальная энтропия и байесовские методы. Springer. С. 161–183. ISBN 978-94-009-0683-9. (PDF )

[6] См. Также ур. (5.13) из Gull, S .; Lasenby, A .; Доран, К. (1993). «Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF).

[hestenes-eq-205-7] а ^б См. Ур. (205) в Хестенес, Д. (июнь 2003 г.). «Физика пространства-времени с геометрической алгеброй» (PDF). Американский журнал физики. 71 (6): 691–714. Bibcode:2003AmJPh..71..691H. Дои:10.1119/1.1571836.

[8] Хестенес, Дэвид (2003). "Лекция, посвященная медали Эрстеда, 2002 г .: Реформа математического языка физики" (PDF). Американский журнал физики. 71 (2): 104. Bibcode:2003AmJPh..71..104H. CiteSeerX 10.1.1.649.7506. Дои:10.1119/1.1522700.

[doran-et-al-1996-eq-3-43-eq-3-44-9] а ^б См. Экв. (3.43) и (3.44) в: Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Чайка, Стивен; Сомару, Шьямал; Чаллинор, Энтони (1996). Хоукс, Питер У. (ред.). Алгебра пространства-времени и электронная физика. Достижения в области визуализации и электронной физики. 95. Академическая пресса. стр. 272–386, 292. ISBN 0-12-014737-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Число системы
Счетные множества	Натуральные числа ( ${displaystyle mathbb {N}}$ ) Целые числа ( ${displaystyle mathbb {Z}}$ ) Рациональное число ( ${displaystyle mathbb {Q}}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( ${displaystyle mathbb {A}}$ ) Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением: Действительные числа ( ${displaystyle mathbb {R}}$ ) Сложные числа ( ${displaystyle mathbb {C}}$ ) Кватернионы ( ${displaystyle mathbb {H}}$ ) Октонионы ( ${displaystyle mathbb {O}}$ )
Расколоть типы	над ${displaystyle mathbb {R}}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над ${displaystyle mathbb {C}}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ${displaystyle mathbb {S}}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера п-адический числа (п-адический соленоиды ) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список