Ренормализационная группа - Renormalization group

В теоретическая физика, период, термин ренормгруппа (RG) относится к формальному аппарату, который позволяет систематически исследовать изменения физической системы с точки зрения различных напольные весы. В физика элементарных частиц, он отражает изменения в основных законах силы (кодифицированных в квантовая теория поля ), поскольку энергетический масштаб, в котором происходят физические процессы, изменяется, шкалы энергии / импульса и разрешающего расстояния эффективно сопряжены под действием принцип неопределенности.

Изменение масштаба называется масштабное преобразование. Ренормализационная группа тесно связана с масштабная инвариантность и конформная инвариантность, симметрии, в которых система кажется одинаковой на всех уровнях (так называемые самоподобие ).^[а]

При изменении масштаба создается впечатление, что вы меняете увеличительную силу условного микроскопа, наблюдающего за системой. В так называемых перенормируемых теориях система в одном масштабе обычно рассматривается как состоящая из самоподобных копий самой себя, если рассматривать ее в меньшем масштабе, с различными параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты или фундаментальные переменные могут относиться к атомам, элементарным частицам, атомным спинам и т. Д. Параметры теории обычно описывают взаимодействия компонентов. Они могут быть разными муфты которые измеряют силу различных сил или сами параметры массы. Сами компоненты могут казаться составленными из большего количества одинаковых компонентов по мере того, как человек идет на более короткие расстояния.

Например, в квантовая электродинамика (КЭД) электрон, по-видимому, состоит из электронов, позитронов (антиэлектронов) и фотонов, если смотреть на него с более высоким разрешением на очень коротких расстояниях. Электрон на таких коротких расстояниях имеет немного другой электрический заряд, чем у электрона. одетый электрон видно на больших расстояниях, и это изменение, или Бег, по величине электрического заряда определяется уравнением ренормгруппы.

История

Идея масштабных преобразований и масштабной инвариантности давно в физике: аргументы масштабирования были обычным делом для ученых. Пифагорейская школа, Евклид, и до Галилео.^[1] Они снова стали популярными в конце XIX века, и, возможно, первым примером является идея расширенного вязкость из Осборн Рейнольдс, как способ объяснить турбулентность.

Ренормализационная группа изначально была разработана в физике элементарных частиц, но в настоящее время ее приложения распространяются на физика твердого тела, механика жидкости, физическая космология, и даже нанотехнологии. Ранняя статья^[2] к Эрнст Штюкельберг и Андре Петерманн в 1953 году предвосхищает идею в квантовая теория поля. Штюкельберг и Петерманн открыли эту область концептуально. Они отметили, что перенормировка показывает группу преобразований, которые переводят количества от голых членов во встречные члены. Они ввели функцию час(е) в квантовая электродинамика (КЭД), который теперь называется бета-функция (Смотри ниже).

Начало

Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу ограничили идею масштабными преобразованиями в КЭД в 1954 г.,^[3] которые являются наиболее физически значимыми и сфокусированы на асимптотических формах пропагатора фотонов при высоких энергиях. Они определили изменение электромагнитной связи в КЭД, оценив простоту масштабной структуры этой теории. Таким образом, они обнаружили, что параметр связи грамм(μ) на шкале энергий μ эффективно задается (одномерным трансляционным) групповым уравнением

${ Displaystyle г ( му) = G ^ {- 1} left ( left ({ frac { mu} {M}} right) ^ {d} G (g (M)) right)}$ ,

или эквивалентно, ${ Displaystyle G влево (г ( му) вправо) = г (г (М)) влево ({ му} / {M} вправо) ^ {d}}$ , для некоторой функции грамм (не указано - в настоящее время называется Wegner функция масштабирования) и константа d, с точки зрения сцепления г (М) в контрольной шкале M.

Гелл-Манн и Лоу пришли к выводу, что эффективная шкала может быть произвольно принята как μ, и может варьироваться, чтобы определить теорию в любом другом масштабе:

${ Displaystyle г ( каппа) = G ^ {- 1} влево ( влево ({ гидроразрыва { каппа} { му}} вправо) ^ {d} G (г ( му)) вправо ) = G ^ {- 1} left ( left ({ frac { kappa} {M}} right) ^ {d} G (g (M)) right)}$ .

Суть RG - это групповое свойство: как масштаб μ варьируется, теория представляет собой самоподобную копию самой себя, и к любой шкале можно получить доступ аналогичным образом из любой другой шкалы с помощью группового действия, формальной транзитивной сопряженности связей^[4] в математическом смысле (Уравнение Шредера ).

На основе этого (конечного) группового уравнения и его свойства масштабирования Гелл-Манн и Лоу могли затем сосредоточиться на бесконечно малых преобразованиях и изобрели вычислительный метод, основанный на математической функции потока $ψ (грамм) = грамм d /(\partial грамм /\partial грамм)$ параметра связи грамм, который они представили. Как функция час(е) Штюкельберга и Петермана, их функция определяет дифференциальное изменение связи грамм(μ) относительно небольшого изменения шкалы энергий μ через дифференциальное уравнение уравнение ренормгруппы:

${ Displaystyle Displaystyle { frac { partial g} { partial ln mu}} = psi (g) = beta (g)}$ .

Также указано современное название, бета-функция, представлен К. Каллан и К. Симанзик в 1970 г.^[5] Поскольку это просто функция грамм, интеграция в грамм его пертурбативной оценки позволяет уточнить траекторию перенормировки связи, то есть ее изменение с энергией, эффективно функцию грамм в этом пертурбативном приближении. Предсказание ренормгруппы (см. Работы Штюкельберга – Петермана и Гелл-Манна – Лоу) было подтверждено 40 лет спустя на LEP ускорительные эксперименты: тонкая структура «константа» QED оценивается примерно в¹⁄₁₂₇ при энергиях, близких к 200 ГэВ, в отличие от стандартного для физики низких энергий значения¹⁄₁₃₇ .^[b]

Более глубокое понимание

Ренормализационная группа возникает из перенормировка квантовых переменных поля, что обычно должно решать проблему бесконечностей в квантовой теории поля.^[c] Эта проблема систематического обращения с бесконечностями квантовой теории поля для получения конечных физических величин была решена для КЭД: Ричард Фейнман, Джулиан Швингер и Синъитиро Томонага, получивший Нобелевскую премию 1965 г. за эти вклады. Они эффективно разработали теорию перенормировки массы и заряда, в которой бесконечность в импульсной шкале равна отрезать сверхбольшим регулятор, Λ.^[d]

Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электрона, от шкалы Λ скрыта, эффективно заменена на более дальние масштабы, на которых измеряются физические величины, и, в результате, все наблюдаемые величины оказываются равными конечно, даже для бесконечного Λ. Гелл-Манн и Лоу, таким образом, поняли в этих результатах, что бесконечно малое изменение грамм дается приведенным выше уравнением РГ, заданным ψ (грамм), самоподобие выражается тем, что ψ (грамм) явно зависит только от параметра (ов) теории, а не от масштаба μ. Следовательно, указанное выше уравнение ренормгруппы может быть решено относительно (грамм и поэтому) грамм(μ).

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, выходящего за рамки группы расширения обычных перенормируемый теории, рассматривает методы, в которых одновременно появляются самые разные масштабы длины. Это пришло из физика конденсированного состояния: Лео П. Каданов В статье 1966 г. была предложена ренормализационная группа «блочного спина».^[7] «Идея блокировки» - это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватил концептуальную точку и получил полную вычислительную основу в обширных важных вкладах Кеннет Уилсон. Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итеративным перенормировочным решением давней проблемы: Кондо проблема, в 1975 г.^[8] а также предыдущие основополагающие разработки его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критические явления в 1971 г.^[9]^[10]^[11] За этот решающий вклад он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году.^[12]

Переформулировка

Между тем, в 1970 году Каллан и Симанзик переформулировали РГ в физике элементарных частиц в более практических терминах.^[5]^[13] Вышеупомянутая бета-функция, которая описывает параметр «сцепления» с масштабом, также была обнаружена как «каноническая аномалия следа», которая представляет собой квантово-механическое нарушение симметрии масштаба (растяжения) в теории поля.^[e] Количество применений РГ к физике элементарных частиц резко возросло в 1970-х годах с созданием Стандартная модель.

В 1973 г.^[14]^[15] было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных кварков, названная квантовая хромодинамика, имел отрицательную бета-функцию. Это означает, что начальное высокоэнергетическое значение муфты в конечном итоге приведет к особому значению $μ$ при котором муфта взрывается (расходится). Эта особая ценность - масштаб сильных взаимодействий, $μ$ = $Λ$ _QCD и происходит примерно при 200 МэВ. Наоборот, связь становится слабой при очень высоких энергиях (асимптотическая свобода ), а кварки становятся наблюдаемыми как точечные частицы, в глубоконеупругое рассеяние, как и ожидалось шкалой Фейнмана-Бьоркена. Таким образом, КХД была создана как квантовая теория поля, управляющая сильными взаимодействиями частиц.

Импульсная пространственная РГ также стала высокоразвитым инструментом в физике твердого тела, но этому препятствовало широкое использование теории возмущений, что помешало этой теории добиться успеха в сильно коррелированных системах.^[f]

Конформная симметрия

Конформная симметрия связана с обращением в нуль бета-функции. Это может произойти естественным образом, если константа связи притягивается при движении к фиксированная точка на котором β(грамм) = 0. В КХД неподвижная точка находится на малых расстояниях, где грамм → 0 и называется (банальный ) фиксированная точка ультрафиолета. Для тяжелых кварков, таких как верхний кварк связь с массоприводящей бозон Хиггса бежит к фиксированному ненулевому (нетривиальному) инфракрасная фиксированная точка, впервые предсказанный Пендлтоном и Россом (1981),^[16] и К. Т. Хилл.^[17] Взаимодействие Юкавы с верхним кварком находится немного ниже инфракрасной фиксированной точки Стандартной модели, что указывает на возможность появления дополнительных новых физических свойств, таких как последовательные тяжелые бозоны Хиггса.

В теория струн конформная инвариантность мирового листа струны является фундаментальной симметрией: β = 0 является требованием. Здесь, β является функцией геометрии пространства-времени, в котором движется струна. Это определяет размерность пространства-времени теории струн и обеспечивает выполнение уравнений Эйнштейна общая теория относительности по геометрии. РГ имеет фундаментальное значение для теории струн и теорий великое объединение.

Это также современная ключевая идея, лежащая в основе критические явления в физике конденсированного состояния.^[18] Действительно, РГ стала одним из важнейших инструментов современной физики.^[19] Часто используется в сочетании с Метод Монте-Карло.^[20]

Блокировать вращение

В этом разделе с педагогической точки зрения представлена наиболее легкая для понимания картина художественной гимнастики: блочная гимнастическая гимнастика, разработанная Лео П. Каданов в 1966 г.^[7]

Рассмотрим 2 $D$ solid, набор атомов в виде идеального квадратного массива, как показано на рисунке.

Предположим, что атомы взаимодействуют между собой только со своими ближайшими соседями, и что система находится при заданной температуре $Т$ . Сила их взаимодействия количественно оценивается определенными связь $J$ . Физика системы будет описана определенной формулой, скажем, гамильтонианом $H (Т, Дж)$ .

Теперь приступим к разделению твердого тела на блоки 2х2 квадрата; мы пытаемся описать систему с точки зрения переменные блока, т.е. переменные, которые описывают среднее поведение блока. Далее предположим, что по некоторому удачному совпадению физика блочных переменных описывается формула того же вида, но с разные значения для $Т$ и $J$ : $H (T ', J') .$ (В общем, это не совсем так, но часто это хорошее первое приближение.)

Возможно, первоначальную задачу было слишком сложно решить, так как атомов было слишком много. Теперь в перенормированный Проблема у нас только четверть из них. Но зачем останавливаться сейчас? Другая итерация того же типа приводит к $H (T ", J")$ , и только одна шестнадцатая часть атомов. Мы увеличиваем шкала наблюдения с каждым шагом RG.

Конечно, лучше всего повторять итерацию до тех пор, пока не останется только один очень большой блок. Поскольку количество атомов в любом реальном образце материала очень велико, это более или менее эквивалентно нахождению дальний поведение преобразования RG, принявшего $(Т, J) \to (Т ', J')$ и $(T ', J') \to (T ", J")$ . Часто при многократном повторении это преобразование RG приводит к определенному количеству фиксированные точки.

Чтобы быть более конкретным, рассмотрим магнитный система (например, Модель Изинга ), в которой $J$ сцепление обозначает тенденцию соседа спины быть параллельным. Конфигурация системы является результатом компромисса между заказами $J$ срок и разупорядочивающий эффект температуры.

Для многих моделей этого типа есть три фиксированных точки:

$Т$ = 0 и $J$ → ∞. Это означает, что при максимальном размере температура становится неважной, т.е. фактор разупорядочения исчезает. Таким образом, в больших масштабах система выглядит упорядоченной. Мы находимся в ферромагнитный фаза.
$Т$ → ∞ и $J$ → 0. С точностью до наоборот; здесь преобладает температура, и система неупорядочена на больших масштабах.
Нетривиальная точка между ними, $Т$ = $Т$ _c и $J$ = $J$ _c. На этом этапе изменение масштаба не меняет физику, потому что система находится в фрактал государственный. Это соответствует Кюри фаза перехода, а также называется критическая точка.

Итак, если нам дан некий материал с заданными значениями $Т$ и $J$ , все, что нам нужно сделать, чтобы выяснить крупномасштабное поведение системы, - это перебрать пару, пока мы не найдем соответствующую фиксированную точку.

Элементарная теория

Говоря техническим языком, предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией ${ displaystyle Z}$ из переменные состояния ${ displaystyle {s_ {i} }}$ и некоторый набор констант связи ${ displaystyle {J_ {k} }}$ . Эта функция может быть функция распределения, действие, а Гамильтониан и т.д. Он должен содержать полное описание физики системы.

Теперь рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния ${ displaystyle {s_ {i} } to {{ tilde {s}} _ {i} }}$ , количество ${ Displaystyle { тильда {s}} _ {я}}$ должно быть меньше, чем количество ${ displaystyle s_ {i}}$ . Теперь попробуем переписать ${ displaystyle Z}$ функция Только с точки зрения ${ Displaystyle { тильда {s}} _ {я}}$ . Если это достигается определенным изменением параметров, ${ displaystyle {J_ {k} } to {{ tilde {J}} _ {k} }}$ , то говорят, что теория перенормируемый.

По какой-то причине наиболее фундаментальные теории физики, такие как квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика и электрослабый взаимодействие, но не гравитация, точно перенормируемы. Кроме того, большинство теорий в физике конденсированного состояния можно приблизительно перенормировать, исходя из сверхпроводимость к турбулентности жидкости.

Изменение параметров реализуется некой бета-функцией: ${ Displaystyle {{ тильда {J}} _ {k} } = бета ( {J_ {k} })}$ , который, как говорят, индуцирует поток ренормгруппы (или же Поток РГ) на ${ displaystyle J}$ -Космос. Ценности ${ displaystyle J}$ под потоком называются ходовые муфты.

Как было сказано в предыдущем разделе, наиболее важной информацией в потоке RG является его фиксированные точки. Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовая тривиальность, обладающий тем, что называется Полюс Ландау, как в квантовой электродинамике. Для $φ$ ⁴ взаимодействие, Майкл Айзенман доказал, что эта теория действительно тривиальна для размерности пространства-времени $D$ ≥ 5.^[21] За $D$ = 4, тривиальность еще предстоит строго доказать (ожидается недавнее представление в архив ), но решеточные вычисления предоставили убедительные доказательства этого. Этот факт важен как квантовая тривиальность можно использовать для привязки или даже предсказывать параметры, такие как бозон Хиггса масса в асимптотическая безопасность сценарии. Многочисленные фиксированные точки появляются при изучении решетчатые теории Хиггса, но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом.^[22]

Поскольку преобразования РГ в таких системах имеют вид с потерями (то есть: количество переменных уменьшается - см. пример в другом контексте, Сжатие данных с потерями ), для данного преобразования РГ может не быть обратного. Таким образом, в таких системах с потерями ренормализационная группа фактически является полугруппа.^{[нужна цитата ]}

Релевантные и нерелевантные операторы и классы универсальности

Рассмотрим некоторую наблюдаемую $А$ физической системы, претерпевающей преобразование РГ. Величина наблюдаемого по мере того, как масштаб длины системы изменяется от малого к большому, определяет важность наблюдаемого (-ых) для закона масштабирования:

Если его величина ...	тогда наблюдаемая ...
всегда увеличивается	соответствующий
всегда уменьшается	не имеющий отношения
Другой	маргинальный

А соответствующий наблюдаемое необходимо для описания макроскопического поведения системы; не имеющий отношения наблюдаемые не нужны. Маргинальный наблюдаемые могут или не должны приниматься во внимание. Замечательный общий факт заключается в том, что большинство наблюдаемых не имеют отношения, т.е. в макроскопической физике преобладают лишь некоторые наблюдаемые в большинстве систем.

Например, в микроскопической физике для описания системы, состоящей из крот атомов углерода-12 нам нужно порядка 10²³ (Число Авогадро ) переменных, в то время как для описания его как макроскопической системы (12 граммов углерода-12) нам нужно всего несколько.

До подхода Вильсона с произвольной геометрией необходимо было объяснить удивительный эмпирический факт: совпадение критические показатели (т.е. экспоненты зависимости нескольких величин от приведенной температуры вблизи фазовый переход второго рода ) в очень разных явлениях, таких как магнитные системы, сверхтекучий переход (Лямбда-переход ), физика сплавов и т. д. Итак, в общем, термодинамические особенности системы вблизи фазового перехода зависят только от небольшого количества переменных, такие как размерность и симметрия, но нечувствительны к деталям основных микроскопических свойств системы.

Это совпадение критических показателей для якобы совершенно разных физических систем, называемое универсальность, легко объясняется с помощью ренормгруппы, показывая, что различия в явлениях между отдельными мелкомасштабными компонентами определяются не относящиеся к делу наблюдаемые, в то время как соответствующие наблюдаемые общие. Следовательно, многие макроскопические явления можно сгруппировать в небольшой набор классы универсальности, заданные общими наборами соответствующих наблюдаемых.^[грамм]

Импульсное пространство

На практике ренормализационные группы бывают двух основных "разновидностей". Объясненная выше картина Каданова относится в основном к так называемым RG в реальном пространстве.

Импульс-пространство РГ с другой стороны, несмотря на относительную тонкость, имеет более длительную историю. Его можно использовать для систем, в которых степени свободы могут быть выражены через Режимы Фурье данного поля. Преобразование RG происходит по интеграция определенный набор высокоимпульсных (с большим волновым числом) мод. Поскольку большие волновые числа связаны с масштабами малой длины, РГ в импульсном пространстве приводит к по существу аналогичному крупнозернистому эффекту, как и в РГ в реальном пространстве.

Импульсно-пространственная РГ обычно выполняется на возмущение расширение. Справедливость такого расширения основывается на фактической физике системы, близкой к физике системы. свободное поле система. В этом случае можно вычислить наблюдаемые, суммируя главные члены разложения. Этот подход оказался успешным для многих теорий, включая большую часть физики элементарных частиц, но не работает для систем, физика которых очень далека от любой свободной системы, то есть систем с сильными корреляциями.

В качестве примера физического смысла РГ в физике элементарных частиц рассмотрим обзор перенормировка заряда в квантовая электродинамика (QED). Предположим, у нас есть точечный положительный заряд некоторого истинного (или голый) величина. Электромагнитное поле вокруг него имеет определенную энергию и, таким образом, может создавать некоторые виртуальные электронно-позитронные пары (например). Хотя виртуальные частицы аннигилируют очень быстро, в течение их короткой жизни электрон будет притягиваться зарядом, а позитрон будет отталкиваться. Поскольку это происходит равномерно повсюду вблизи точечного заряда, где его электрическое поле достаточно сильное, эти пары эффективно создают экран вокруг заряда, если смотреть издалека. Измеренная сила заряда будет зависеть от того, насколько близко наш измерительный зонд может приблизиться к точечному заряду, минуя большую часть экрана виртуальных частиц, чем ближе он становится. Следовательно зависимость некоторой константы связи (в данном случае электрического заряда) от масштаба расстояния.

Масштабы импульса и длины связаны обратно пропорционально соотношение де Бройля: Чем выше масштаб энергии или импульса, который мы можем достичь, тем ниже масштаб длины мы можем исследовать и разрешить. Поэтому специалисты по художественной гимнастике в пространстве импульса иногда декларируют интегрироваться высокие импульсы или высокая энергия согласно их теориям.

Точные уравнения ренормгруппы

An точное уравнение ренормгруппы (ERGE) тот, который берет не имеющий отношения муфты во внимание. Есть несколько составов.

В Уилсон ЭРГЕ концептуально простейший, но практически нереализуемый. преобразование Фурье в импульсное пространство после Фитиль вращающийся в Евклидово пространство. Настаивайте на жестком импульсе отрезать, $п 2 \leq Λ 2$ так что единственными степенями свободы являются те, у которых импульсы меньше, чем $Λ$ . В функция распределения является

{ Displaystyle Z = int _ {p ^ {2} leq Lambda ^ {2}} { mathcal {D}} phi exp left [-S _ { Lambda} [ phi] right] .}

Для любого положительного $Λ '$ меньше, чем $Λ$ , определять $S Λ '$ (функционал над полевыми конфигурациями $φ$ преобразование Фурье которого имеет импульсную поддержку в пределах $п 2 \leq Λ ' 2$ ) в качестве

{ displaystyle exp left (-S _ { Lambda '} [ phi] right) { stackrel { mathrm {def}} {=}} int _ { Lambda' leq p leq Lambda} { mathcal {D}} phi exp left [-S _ { Lambda} [ phi] right].}

Очевидно,

{ displaystyle Z = int _ {p ^ {2} leq { Lambda '} ^ {2}} { mathcal {D}} phi exp left [-S _ { Lambda'} [ phi ]верно].}

Фактически это преобразование переходный. Если вы вычислите $S Λ '$ из $S Λ$ а затем вычислить S_{Λ ″} из S_{Λ ′}, это дает то же действие Вильсона, что и вычисление S_{Λ ″} прямо из S_Λ.

В Полчинского ЭРГЭ включает в себя гладкий УФ регулятор отрезать. По сути, идея является улучшением по сравнению с Wilson ERGE. Вместо резкого отсечки импульса используется плавное отсечение. По сути, мы подавляем вклады от импульсов, превышающих $Λ$ сильно. Однако плавность отсечки позволяет получить функционал дифференциальное уравнение в шкале отсечения $Λ$ . Как и в подходе Уилсона, у нас есть свой функционал действия для каждой шкалы энергии отсечки. $Λ$ . Каждое из этих действий должно описывать одну и ту же модель, что означает, что их функционалы разбиения должны точно совпадать.

Другими словами (для действительного скалярного поля; обобщения на другие поля очевидны),

{ Displaystyle Z _ { Lambda} [J] = int { mathcal {D}} phi exp left (-S _ { Lambda} [ phi] + J cdot phi right) = int { mathcal {D}} phi exp left (- { tfrac {1} {2}} phi cdot R _ { Lambda} cdot phi -S _ {{ text {int}} , Lambda} [ phi] + J cdot phi right)}

и Z_Λ действительно не зависит от $Λ$ ! Мы использовали сжатый обозначение де Витта здесь. Мы также разделили голое действие S_Λ на квадратичную кинетическую часть и взаимодействующую часть S_{int Λ}. Этот раскол определенно не чистый. «Взаимодействующая» часть может также содержать квадратичные кинетические члены. На самом деле, если есть перенормировка волновой функции, безусловно, будет. Это можно несколько уменьшить, введя масштабирование полей. р_Λ является функцией импульса p, а второй член в экспоненте равен

{ displaystyle { frac {1} {2}} int { frac {d ^ {d} p} {(2 pi) ^ {d}}} { tilde { phi}} ^ {*} (p) R _ { Lambda} (p) { tilde { phi}} (p)}

при расширении.

Когда ${ displaystyle p ll Lambda}$ , $р Λ (п)/ п 2$ по существу 1. Когда ${ displaystyle p gg Lambda}$ , $р Λ (п)/ п 2$ становится очень-очень огромным и приближается к бесконечности. $р Λ (п)/ п 2$ всегда больше или равно 1 и гладкий. В основном это оставляет флуктуации с импульсами меньше пороговой $Λ$ не затрагивается, но сильно подавляет вклады флуктуаций с импульсами, превышающими пороговое значение. Это, очевидно, огромное улучшение по сравнению с Уилсоном.

Условие, что

{ displaystyle { frac {d} {d Lambda}} Z _ { Lambda} = 0}

может быть удовлетворен (но не только)

{ displaystyle { frac {d} {d Lambda}} S _ {{ text {int}} , Lambda} = { frac {1} {2}} { frac { delta S _ {{ текст {int}} , Lambda}} { delta phi}} cdot left ({ frac {d} {d Lambda}} R _ { Lambda} ^ {- 1} right) cdot { frac { delta S _ {{ text {int}} , Lambda}} { delta phi}} - { frac {1} {2}} operatorname {Tr} left [{ frac { delta ^ {2} S _ {{ text {int}} , Lambda}} { delta phi , delta phi}} cdot R _ { Lambda} ^ {- 1} right] .}

Жак Дистлер утверждал без доказательств, что эта ERGE неверна непертурбативно.^[23]

В эффективное среднее действие ERGE включает плавное отключение ИК-регулятора. Идея состоит в том, чтобы учесть все колебания вплоть до ИК шкалы. $k$ в учетную запись. В эффективное среднее действие будет точным для флуктуаций с импульсами больше, чем $k$ . В качестве параметра $k$ снижается, эффективное среднее действие приближается к эффективное действие который включает в себя все квантовые и классические флуктуации. Напротив, для больших $k$ эффективное среднее действие близко к «голому действию». Таким образом, эффективное среднее действие интерполируется между «голым действием» и эффективное действие.

Для настоящего скалярное поле, добавляется ИК-обрезание

{ displaystyle { frac {1} {2}} int { frac {d ^ {d} p} {(2 pi) ^ {d}}} { tilde { phi}} ^ {*} (p) R_ {k} (p) { tilde { phi}} (p)}

к действие $S$ , где R_k является функцией обоих $k$ и $п$ так что для ${ displaystyle p gg k}$ , Р_k(p) очень крошечный и приближается к 0, а для ${ displaystyle p ll k}$ , ${ displaystyle R_ {k} (p) gtrsim k ^ {2}}$ . р_k одновременно гладкий и неотрицательный. Его большое значение для малых импульсов приводит к подавлению их вклада в статистическую сумму, что фактически то же самое, что пренебрежение крупномасштабными флуктуациями.

Можно использовать сжатый обозначение де Витта

{ Displaystyle { гидроразрыва {1} {2}} phi cdot R_ {k} cdot phi}

для этого IR регулятора.

Так,

{ Displaystyle ехр влево (W_ {k} [J] right) = Z_ {k} [J] = int { mathcal {D}} phi exp left (-S [ phi] - { frac {1} {2}} phi cdot R_ {k} cdot phi + J cdot phi right)}

куда $J$ это исходное поле. В Преобразование Лежандра из W_k обычно дает эффективное действие. Однако действие, с которого мы начали, на самом деле S [φ] +1/2 φ⋅R_k⋅φ, поэтому, чтобы получить эффективное среднее действие, мы вычитаем 1/2 φ⋅R_k⋅φ. Другими словами,

{ displaystyle phi [J; k] = { frac { delta W_ {k}} { delta J}} [J]}

можно инвертировать, чтобы получить J_k[φ] и определим эффективное среднее действие Γ_k в качестве

{ displaystyle Gamma _ {k} [ phi] { stackrel { mathrm {def}} {=}} left (-W left [J_ {k} [ phi] right] + J_ {k} [ phi] cdot phi right) - { tfrac {1} {2}} phi cdot R_ {k} cdot phi.}

Следовательно,

{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dk}} Gamma _ {k} [ phi] & = - { frac {d} {dk}} W_ {k} [J_ {k } [ phi]] - { frac { delta W_ {k}} { delta J}} cdot { frac {d} {dk}} J_ {k} [ phi] + { frac {d } {dk}} J_ {k} [ phi] cdot phi - { tfrac {1} {2}} phi cdot { frac {d} {dk}} R_ {k} cdot phi & = - { frac {d} {dk}} W_ {k} [J_ {k} [ phi]] - { tfrac {1} {2}} phi cdot { frac {d} {dk}} R_ {k} cdot phi & = { tfrac {1} {2}} left langle phi cdot { frac {d} {dk}} R_ {k} cdot phi right rangle _ {J_ {k} [ phi]; k} - { tfrac {1} {2}} phi cdot { frac {d} {dk}} R_ {k} cdot phi & = { tfrac {1} {2}} operatorname {Tr} left [ left ({ frac { delta J_ {k}} { delta phi}} right) ^ { -1} cdot { frac {d} {dk}} R_ {k} right] & = { tfrac {1} {2}} operatorname {Tr} left [ left ({ frac { delta ^ {2} Gamma _ {k}} { delta phi delta phi}} + R_ {k} right) ^ {- 1} cdot { frac {d} {dk}} R_ {k} right] end {align}}}

таким образом

{ displaystyle { frac {d} {dk}} Gamma _ {k} [ phi] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Tr} left [ left ({ frac { delta ^ {2} Gamma _ {k}} { delta phi delta phi}} + R_ {k} right) ^ {- 1} cdot { frac {d} {dk}} R_ { k} right]}

ERGE, также известный как Wetterich уравнение. Как показал Моррис ^[24] эффективное действие Γ_k на самом деле просто связано с эффективным действием Полчинского S_int через отношение преобразования Лежандра.

Поскольку существует бесконечно много вариантов $р$ _k, существует также бесконечно много различных интерполяционных ЭРГЭ. Обобщение на другие поля, такие как спинорные поля, несложно.

Хотя ERGE Полчинского и ERGE эффективного среднего действия выглядят одинаково, они основаны на очень разных философиях. В ERGE с эффективным средним действием чистое действие остается неизменным (и шкала отсечки УФ-излучения - если она есть - также остается неизменной), но вклады IR в эффективное действие подавляются, тогда как в ERGE Полчинского QFT фиксируется. раз и навсегда, за исключением «голого действия», варьируется на разных энергетических шкалах, чтобы воспроизвести заранее заданную модель. Версия Полчинского, безусловно, намного ближе по духу к идее Вильсона. Обратите внимание, что в одном используются «простые действия», в то время как в другом используются эффективные (средние) действия.

Ренормализационная группа повышение эффективного потенциала

Ренормализационная группа также может использоваться для вычисления эффективных потенциалов на порядках выше, чем 1-петлевой. Такой подход особенно интересен для вычисления поправок к коэффициенту Коулмана-Вайнберга. ^[25] механизм. Для этого необходимо записать уравнение ренормгруппы через эффективный потенциал. К случаю ${ displaystyle phi ^ {4}}$ модель:

${ displaystyle { Bigr (} mu { frac { partial} { partial mu}} + beta _ { lambda} { frac { partial} { partial lambda}} + phi гамма _ { phi} { frac { partial} { partial phi}} { Bigr)} V_ {eff} = 0}$ .

Чтобы определить эффективный потенциал, полезно написать ${ displaystyle V_ {eff}}$ в качестве

${ displaystyle V_ {eff} = { frac {1} {4}} phi ^ {4} S_ {eff} { big (} lambda, L ( phi) { big)},}$

куда ${ displaystyle S_ {eff}}$ это степенной ряд в ${ Displaystyle L ( phi) = log { Bigr (} { frac { phi ^ {2}} { mu ^ {2}}} { Bigr)}}$ ,

${ displaystyle S_ {eff} = A + BL + CL ^ {2} + DL ^ {3} + ...}$

Используя вышеуказанное Анзац, можно решить уравнение ренормгруппы пертурбативно и найти эффективный потенциал до желаемого порядка. Педагогическое объяснение этой техники приведено в ссылке. ^[26].

Смотрите также

Замечания

^ Обратите внимание, что масштабные преобразования являются строгим подмножеством конформные преобразования, в общем, последние, включая дополнительные генераторы симметрии, связанные с специальные конформные преобразования.
^ Ранние заявки на квантовая электродинамика обсуждаются во влиятельной книге 1959 г. Теория квантованных полей к Николай Боголюбов и Дмитрий Ширков.^[6]
^ Хотя заметим, что РГ существует независимо от бесконечностей.
^ Параметр регулятора Λ в конечном итоге можно считать бесконечным - бесконечности отражают накопление вкладов от бесконечности степеней свободы на бесконечно высоких масштабах энергии.
^ Примечательно, что следовая аномалия и работающие квантово-механические процедуры связи сами могут вызывать массу.
^ Для сильно коррелированных систем вариационный методы - лучшая альтернатива.
^ Превосходная техническая экспозиция от Дж. Зинн-Джастин (2010) - классическая статья Зинн-Джастин, Жан (2010). «Критические явления: теоретико-полевой подход». Scholarpedia. 5 (5): 8346. Bibcode:2010SchpJ ... 5.8346Z. Дои:10.4249 / scholarpedia.8346.. Например, для систем типа Изинга с₂ симметрия или, в более общем смысле, для моделей с симметрией O (N), гауссова (свободная) фиксированная точка стабильна на большом расстоянии выше четырех пространственного измерения, незначительно стабильна в четырех измерениях и нестабильна ниже четырех. Видеть Квантовая тривиальность.

Цитаты

^ «Введение в законы масштабирования». av8n.com.
^ Штюкельберг, E.C.G.; Петерманн, А. (1953). "Перенормировка констант в теории квантов". Helv. Phys. Acta (На французском). 26: 499–520.
^ Гелл-Манн, М.; Низкий, Ф. (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF). Физический обзор. 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954ПхРв ... 95.1300Г. Дои:10.1103 / PhysRev.95.1300.
^ Кертрайт, Т.; Zachos, C.K. (Март 2011 г.). "Функциональные уравнения ренормгруппы". Физический обзор D. 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode:2011ПхРвД..83ф5019С. Дои:10.1103 / PhysRevD.83.065019. S2CID 119302913.
^ ^а ^б Каллан, К. (1970). «Нарушенная масштабная инвариантность в скалярной теории поля». Физический обзор D. 2 (8): 1541–1547. Bibcode:1970ФРВД ... 2.1541С. Дои:10.1103 / PhysRevD.2.1541.
^ Боголюбов, Н.; Ширков, Д.В. (1959). Теория квантованных полей. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Interscience.
^ ^а ^б Каданов, Лео П. (1966). "Законы масштабирования для моделей Изинга вблизи ${ displaystyle T_ {c}}$ ". Физика Physique Fizika. 2: 263. Дои:10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.2.263.
^ Уилсон, К. (1975). «Ренормализационная группа: критические явления и проблема Кондо». Ред. Мод. Phys. 47 (4): 773. Bibcode:1975RvMP ... 47..773Вт. Дои:10.1103 / RevModPhys.47.773.
^ Уилсон, К. (1971). «Ренормализационная группа и критические явления. I. Ренормализационная группа и масштабная картина Каданова». Физический обзор B. 4 (9): 3174–3183. Bibcode:1971PhRvB ... 4,3174 Вт. Дои:10.1103 / PhysRevB.4.3174.
^ Уилсон, К. (1971). "Ренормализационная группа и критические явления. II. Анализ критического поведения с помощью ячейки фазового пространства". Физический обзор B. 4 (9): 3184–3205. Bibcode:1971PhRvB ... 4,3184 Вт. Дои:10.1103 / PhysRevB.4.3184.
^ Уилсон, К.; Фишер, М. (1972). «Критические показатели в 3,99 измерениях». Письма с физическими проверками. 28 (4): 240. Bibcode:1972PhRvL..28..240Вт. Дои:10.1103 / Physrevlett.28.240.
^ Уилсон, Кеннет Г. "Обращение Вильсона к Нобелевской премии" (PDF). NobelPrize.org.
^ Симанзик К. (1970). «Поведение на малых расстояниях в теории поля и подсчете мощности». Коммуникации по математической физике. 18 (3): 227–246. Bibcode:1970CMaPh..18..227S. Дои:10.1007 / BF01649434. S2CID 76654566.
^ Гросс, Д.Дж .; Вильчек, Ф. (1973). «Ультрафиолетовое поведение неабелевых калибровочных теорий». Письма с физическими проверками. 30 (26): 1343–1346. Bibcode:1973ПхРвЛ..30.1343Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.30.1343.
^ Политцер, Х. (1973). «Надежные пертурбативные результаты для сильных взаимодействий». Письма с физическими проверками. 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973ПхРвЛ..30.1346П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.30.1346.
^ Пендлтон, Брайан; Росс, Грэм (1981). «Прогнозы массы и угла смешивания по фиксированным инфракрасным точкам». Письма по физике B. 98 (4): 291–294. Bibcode:1981ФЛБ ... 98..291П. Дои:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
^ Хилл, Кристофер Т. (1981). «Масса кварков и лептонов из неподвижных точек ренормгруппы». Физический обзор D. 24 (3): 691–703. Bibcode:1981ПхРвД..24..691Х. Дои:10.1103 / PhysRevD.24.691.
^ Шанкар Р. (1994). «Ренормализационно-групповой подход к взаимодействующим фермионам». Обзоры современной физики. 66 (1): 129–192. arXiv:cond-mat / 9307009. Bibcode:1994РвМП ... 66..129С. Дои:10.1103 / RevModPhys.66.129. (Для неподписчиков см. Шанкар Р. (1993). «Ренормализационно-групповой подход к взаимодействующим фермионам». Обзоры современной физики. 66: 129–192. arXiv:cond-mat / 9307009. Bibcode:1994РвМП ... 66..129С. Дои:10.1103 / RevModPhys.66.129..)
^ Аджемян, Л.Ц .; Kim, T.L .; Компаниец, М.В .; Сазонов, В. (Август 2015 г.). «Ренормализационная группа в бесконечномерной турбулентности: определение РГ-функций без ренормализационных констант». Наносистемы: физика, химия, математика.. 6 (4): 461. Дои:10.17586/2220-8054-2015-6-4-461-469.
^ Каллауэй, Дэвид Дж. Э .; Петронцио, Роберто (1984). «Определение критических точек и блок-схем методами ренормгруппы Монте-Карло». Письма по физике B. 139 (3): 189–194. Bibcode:1984ФЛБ..139..189С. Дои:10.1016/0370-2693(84)91242-5. ISSN 0370-2693.
^ Айзенман, М. (1981). "Доказательство тривиальности ϕ⁴
_d теории поля и некоторые особенности среднего поля моделей Изинга для d > 4". Письма с физическими проверками. 47 (1): 1–4. Bibcode:1981ПхРвЛ..47 .... 1А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.47.1.
^ Каллауэй, Дэвид Дж. (1988). «Погоня за мелочью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988ФР ... 167..241С. Дои:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
^ Дистлер, Жак. "000648.html". golem.ph.utexas.edu.
^ Моррис, Тим Р. (1994). «Точная ренормгруппа и приближенные решения». Int. J. Mod. Phys. А. 9 (14): 2411. arXiv:hep-ph / 9308265. Bibcode:1994IJMPA ... 9.2411M. Дои:10.1142 / S0217751X94000972. S2CID 15749927.
^ Коулман, Сидней; Вайнберг, Эрик (1973-03-15). «Радиационные поправки как причина спонтанного нарушения симметрии». Физический обзор D. 7 (6): 1888–1910. arXiv:hep-th / 0507214. Дои:10.1103 / PhysRevD.7.1888. ISSN 0556-2821. S2CID 6898114.
^ Соуза, Хуан; Бевилаква, Л. Ибиапина; Лехум, А.С. (2020-08-05). «Ренормализационная группа улучшения эффективного потенциала в шести измерениях». Физический обзор D. 102 (4): 045004. Дои:10.1103 / PhysRevD.102.045004.