Функциональная ренормализационная группа - Википедия - Functional renormalization group

В теоретическая физика, функциональная ренормализационная группа (ФРГ) является реализацией ренормгруппа (RG) концепция, которая используется в квантовой и статистической теории поля, особенно при работе с сильно взаимодействующими системами. Метод сочетает в себе функциональные методы квантовая теория поля с интуитивной идеей ренормгруппы Кеннет Г. Уилсон. Этот метод позволяет плавно интерполировать между известными микроскопическими законами и сложными макроскопическими явлениями в физических системах. В этом смысле он соединяет переход от простоты микрофизики к сложности макрофизики. Образно говоря, ФРГ действует как микроскоп с переменным разрешением. Начинают с изображения известных микрофизических законов с высоким разрешением, а затем уменьшают разрешение, чтобы получить грубую картину макроскопических коллективных явлений. Этот метод является непертурбативным, что означает, что он не полагается на расширение в небольшом константа связи. Математически FRG основана на точном функционально-дифференциальном уравнении для масштабно-зависимой эффективное действие.

Уравнение потока для эффективного действия

В квантовая теория поля, то эффективное действие ${ displaystyle Gamma}$ является аналогом классический функционал действия ${ displaystyle S}$ и зависит от областей данной теории. Он включает в себя все квантовые и тепловые флуктуации. Вариация ${ displaystyle Gamma}$ дает точные квантовые уравнения поля, например для космология или электродинамика сверхпроводников. Математически, ${ displaystyle Gamma}$ является производящим функционалом одночастичной неприводимой Диаграммы Фейнмана. Интересная физика, такая как пропагаторы и эффективные связи для взаимодействий, может быть легко извлечена из нее. В общей теории взаимодействующих полей эффективное действие ${ displaystyle Gamma}$однако получить трудно. ФРГ предоставляет практический инструмент для расчета ${ displaystyle Gamma}$ используя ренормгруппа концепция.

Центральным объектом в ФРГ является масштабно-зависимый функционал эффективного действия. ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ часто называется средним действием или плавным действием. Зависимость от шкалы скольжения РГ ${ displaystyle k}$ вводится добавлением регулятор (отключение инфракрасного излучения) ${ displaystyle R_ {k}}$ к полному обратному пропагатору ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(2)}}$. Грубо говоря, регулятор ${ displaystyle R_ {k}}$ отделяет медленные моды от импульсов ${ displaystyle q lesssim k}$ придавая им большую массу, при этом не затрагиваются моды с большим импульсом. Таким образом, ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ включает все квантовые и статистические флуктуации с импульсами ${ displaystyle q gtrsim k}$. Плавное действие ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ подчиняется точному функциональному уравнению потока

${ Displaystyle к , partial _ {k} Gamma _ {k} = { frac {1} {2}} { text {STr}} , k , partial _ {k} R_ {k } , ( Gamma _ {k} ^ {(1,1)} + R_ {k}) ^ {- 1},}$

полученный Кристоф Веттерих и Тим Р. Моррис в 1993 году. Здесь ${ displaystyle partial _ {k}}$ обозначает производную по шкале RG ${ displaystyle k}$ при фиксированных значениях полей. Более того, ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ обозначает функциональную производную от ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ из левой и правой части соответственно из-за тензорной структуры уравнения. Эта особенность часто упрощается с помощью второй производной от эффективного действия. Функционально-дифференциальное уравнение для ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ необходимо дополнить начальным условием ${ displaystyle Gamma _ {k to Lambda} = S}$, где «классический экшен» ${ displaystyle S}$ описывает физику в микроскопическом ультрафиолетовом масштабе ${ displaystyle k = Lambda}$. Важно отметить, что в инфракрасный предел ${ displaystyle k to 0}$ полный эффективное действие ${ Displaystyle Gamma = Gamma _ {k to 0}}$ получается. в Уравнение Веттериха ${ displaystyle { text {STr}}}$ обозначает суперслед, который суммирует по импульсам, частотам, внутренним индексам и полям (беря бозоны со знаком плюс и фермионы со знаком минус). Точное уравнение потока для ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ имеет однопетлевую структуру. Это важное упрощение по сравнению с теория возмущений, где должны быть включены многопетлевые диаграммы. Вторая функциональная производная ${ Displaystyle Gamma _ {k} ^ {(2)} = Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ - полный пропагатор обратного поля, модифицированный наличием регулятора ${ displaystyle R_ {k}}$.

Ренормгрупповая эволюция ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ может быть проиллюстрировано в теоретическом пространстве, которое представляет собой многомерное пространство всех возможных бегущих связей ${ displaystyle {c_ {n} }}$ допускается симметриями задачи. Как схематично показано на рисунке, в микроскопическом ультрафиолетовом масштабе ${ displaystyle k = Lambda}$ начинается с начального условия ${ displaystyle Gamma _ {k = Lambda} = S}$.

Ренормгруппа течет в пространстве теории всех возможных связей, допускаемых симметриями.

Как скользящая шкала ${ displaystyle k}$ опускается, плавное действие ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ развивается в теоретическом пространстве в соответствии с функциональным уравнением потока. Выбор регулятора ${ displaystyle R_ {k}}$ не уникален, что вводит некоторую схемную зависимость в ренормгруппа поток. По этой причине разные варианты выбора регулятора ${ displaystyle R_ {k}}$ соответствуют различным путям на рисунке. В инфракрасном масштабе ${ displaystyle k = 0}$Однако полное эффективное действие ${ Displaystyle Gamma _ {k = 0} = Gamma}$ восстанавливается при каждом выборе отсечки ${ displaystyle R_ {k}}$, и все траектории пересекаются в одной точке теоретического пространства.

В большинстве интересных случаев уравнение Веттериха можно решить только приближенно. Обычно какое-то расширение ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ выполняется, которое затем усекается в конечном порядке, что приводит к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Были разработаны различные схемы систематического расширения (например, расширение производной, расширение вершины и т. Д.). Выбор подходящей схемы должен быть физически мотивированным и зависеть от конкретной проблемы. Расширения не обязательно включают малый параметр (например, взаимодействие константа связи ) и, следовательно, они, вообще говоря, непертурбативны.

Аспекты функциональной перенормировки

• Уравнение потока Веттериха является точным уравнением. Однако на практике функционально-дифференциальное уравнение должно быть усечено, т.е. оно должно быть спроецировано на функции нескольких переменных или даже на некоторое конечномерное пространство субтеории. Как и в любом непертурбативном методе, вопрос оценки погрешности является нетривиальным при функциональной перенормировке. Один из способов оценить ошибку в FRG - улучшить усечение на последовательных этапах, то есть увеличить пространство подтеории, включая все больше и больше действующих муфт. Разница в потоках для разных усечений дает хорошую оценку ошибки. В качестве альтернативы можно использовать другие функции регулятора. ${ displaystyle R_ {k}}$ в заданном (фиксированном) усечении и определить разницу потоков RG в инфракрасном диапазоне для соответствующих вариантов регулятора. Если используется бозонизация, можно проверить нечувствительность конечных результатов к различным процедурам бозонизации.
• В FRG, как и во всех методах RG, много понимания физической системы можно получить из топологии потоков RG. В частности, идентификация фиксированные точки эволюции ренормгруппы имеет большое значение. Вблизи фиксированных точек поток движущихся муфт эффективно останавливается, и RG ${ displaystyle beta}$-функции приближаются к нулю. Наличие (частично) устойчивых инфракрасных неподвижных точек тесно связано с концепцией универсальность. Универсальность проявляется в наблюдении, что некоторые очень разные физические системы имеют одинаковое критическое поведение. Например, с хорошей точностью критические показатели фазового перехода жидкость – газ в воде и ферромагнитного фазового перехода в магнетиках совпадают. На языке ренормгруппы разные системы из одного и того же класса универсальности перетекают в одну и ту же (частично) стабильную инфракрасную неподвижную точку. Таким образом, макрофизика становится независимой от микроскопических деталей конкретной физической модели.
• По сравнению с теория возмущений функциональная перенормировка не делает четкого различия между перенормируемыми и неперенормируемыми связями. Все рабочие муфты, допускаемые симметрией задачи, генерируются во время потока FRG. Однако неперенормируемые связи очень быстро приближаются к частичным неподвижным точкам во время эволюции в сторону инфракрасного излучения, и, таким образом, поток эффективно схлопывается на гиперповерхности размерности, заданной числом перенормируемых связей. Учет неперенормируемых связей позволяет исследовать неуниверсальные особенности, чувствительные к конкретному выбору микроскопического воздействия. ${ displaystyle S}$ и конечное ультрафиолетовое обрезание ${ displaystyle Lambda}$.
• Уравнение Веттериха можно получить из Превращение Лежандра функционального уравнения Полчинского, выведенного Джозефом Полчински в 1984 году. Концепция эффективного среднего действия, используемая в ФРГ, тем не менее, более интуитивно понятна, чем плавное голое действие в уравнении Полчинского. Кроме того, метод FRG оказался более подходящим для практических расчетов.
• Обычно низкоэнергетическая физика сильно взаимодействующих систем описывается макроскопическими степенями свободы (то есть возбуждением частиц), которые сильно отличаются от микроскопических высокоэнергетических степеней свободы. Например, квантовая хромодинамика представляет собой полевую теорию взаимодействующих кварков и глюонов. Однако при низких энергиях собственными степенями свободы являются барионы и мезоны. Другой пример - проблема кроссовера BEC / BCS в физика конденсированного состояния. В то время как микроскопическая теория определяется в терминах двухкомпонентных нерелятивистских фермионов, при низких энергиях составной димер (частица-частица) становится дополнительной степенью свободы, и рекомендуется явно включить его в модель. Композитные низкоэнергетические степени свободы можно ввести в описание методом частичной бозонизации (Преобразование Хаббарда-Стратоновича ). Однако это преобразование выполняется раз и навсегда в УФ-масштабе. ${ displaystyle Lambda}$. В ФРГ был введен более эффективный способ включения макроскопических степеней свободы, известный как проточная бозонизация или ребозонизация. С помощью масштабно-зависимого преобразования поля это позволяет выполнять Преобразование Хаббарда-Стратоновича непрерывно на всех шкалах RG ${ displaystyle k}$.

Функциональная ренормализационная группа для эффективного взаимодействия, упорядоченного по Вику

В отличие от уравнения потока для эффективного действия эта схема сформулирована для эффективное взаимодействие

${ displaystyle { mathcal {V}} [ eta, eta ^ {+}] = - ln Z [G_ {0} ^ {- 1} eta, G_ {0} ^ {- 1} eta ^ {+}] - eta G_ {0} ^ {- 1} eta ^ {+}}$

который порождает n-частичные вершины взаимодействия, ампутируемые голыми пропагаторами ${ displaystyle G_ {0}}$;${ Displaystyle Z [ eta, eta ^ {+}]}$ является «стандартным» производящим функционалом для n-частичных функций Грина.

Виковское упорядочение эффективного взаимодействия по функции Грина ${ displaystyle D}$ можно определить как

${ Displaystyle { mathcal {W}} [ eta, eta ^ {+}] = exp (- Delta _ {D}) { mathcal {V}} [ eta, eta ^ {+} ]}$.

куда ${ displaystyle Delta = D delta ^ {2} / ( delta eta delta eta ^ {+})}$ - лапласиан в пространстве полей. Эта операция похожа на Нормальный порядок и исключает из взаимодействия все возможные члены, образованные сверткой исходных полей с соответствующей функцией Грина D. Вводя некоторое обрезание ${ displaystyle Lambda}$ уравнение Полчинского

${ displaystyle { frac { partial} { partial Lambda}} {{V} _ { Lambda}} ( psi) = - {{ dot { Delta}} _ {G_ {0, Lambda }}} {{V} _ { Lambda}} ( psi) + Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(2)}}$

принимает форму упорядоченного по Вику уравнения

${ displaystyle { partial _ { Lambda}} {{ mathcal {W}} _ { Lambda}} = - { Delta _ {{{ dot {D}} _ { Lambda}} + {{ dot {G}} _ {0, Lambda}}}} {{ mathcal {W}} _ { Lambda}} + {e ^ {- Delta _ {D _ { Lambda}} ^ {12} }} Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {W}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {W}} _ { Lambda} ^ {(2)}}$

куда

${ Displaystyle Delta _ { точка {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {V} } _ { Lambda} ^ {(2)} = { frac {1} {2}} left ({{ frac { delta {{V} _ { Lambda}} ( psi)} { delta psi}}, {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} { frac { delta {{V} _ { Lambda}} ( psi)} { delta psi}} }верно)}$

Приложения

Метод применялся к многочисленным задачам физики, например:

• В статистическая теория поля, ФРГ представили единую картину фазовые переходы в классической линейной ${ Displaystyle О (Н)}$-симметричные скалярные теории в разных измерениях ${ displaystyle d}$, включая критические показатели для ${ displaystyle d = 3}$ и фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса для ${ displaystyle d = 2}$, ${ Displaystyle N = 2}$.
• В калибровочной квантовой теории поля FRG использовалась, например, для исследования кирального фазового перехода и инфракрасных свойств КХД и ее расширений с большим ароматом.
• В физика конденсированного состояния, метод оказался успешным для обработки решетчатых моделей (например, Модель Хаббарда или фрустрированные магнитные системы), отталкивающий бозе-газ, кроссовер BEC / BCS для двухкомпонентного ферми-газа, Кондо эффект, неупорядоченные системы и неравновесные явления.
• Применение ФРГ к гравитации дало аргументы в пользу непертурбативной перенормируемости квантовая гравитация в четырех измерениях пространства-времени, известных как асимптотическая безопасность сценарий.
• В математической физике ФРГ использовалась для доказательства перенормируемости различных теорий поля.

Смотрите также

• Ренормализационная группа
• Перенормировка
• Критические явления
• Масштабная инвариантность
• Асимптотическая безопасность в квантовой гравитации

Рекомендации

Статьи

• Веттерих, К. (1993), "Точное уравнение эволюции для эффективного потенциала", Phys. Lett. B, 301 (1): 90, arXiv:1710.05815, Bibcode:1993ФЛБ..301 ... 90Вт, Дои:10.1016 / 0370-2693 (93) 90726-Х, S2CID  119536989
• Моррис, Т. Р. (1994), "Точная ренормгруппа и приближенные решения", Int. J. Mod. Phys. А, А (14): 2411–2449, arXiv:hep-ph / 9308265, Bibcode:1994IJMPA ... 9.2411M, Дои:10.1142 / S0217751X94000972, S2CID  15749927
• Полчинский, Дж. (1984), "Перенормировка и эффективные лагранжианы", Nucl. Phys. B, 231 (2): 269, Bibcode:1984НуФБ.231..269П, Дои:10.1016/0550-3213(84)90287-6

• Рейтер, М. (1998), "Непертурбативное уравнение эволюции для квантовой гравитации", Phys. Ред. D, 57 (2): 971–985, arXiv:hep-th / 9605030, Bibcode:1998ПхРвД..57..971Р, CiteSeerX  10.1.1.263.3439, Дои:10.1103 / PhysRevD.57.971, S2CID  119454616

Педагогические обзоры

• Ж. Бергес; Н. Тетрадис; К. Веттерих (2002), "Непертурбативный поток перенормировки в квантовой теории поля и статистической механике", Phys. Rep., 363 (4–6): 223–386, arXiv:hep-ph / 0005122, Bibcode:2002ФР ... 363..223Б, Дои:10.1016 / S0370-1573 (01) 00098-9, S2CID  119033356

• J. Polonyi, Janos (2003), "Лекции по методу функциональной ренормгруппы", Cent. Евро. J. Phys., 1 (1): 1–71, arXiv:hep-th / 0110026, Bibcode:2003CEJPh ... 1 .... 1P, Дои:10.2478 / BF02475552, S2CID  53407529

• Х. Гис (2006). «Введение в функциональную РГ и приложения к калибровочным теориям». Ренормализационная группа и подходы теории эффективного поля к системам многих тел. Конспект лекций по физике. 852. С. 287–348. arXiv:hep-ph / 0611146. Дои:10.1007/978-3-642-27320-9_6. ISBN  978-3-642-27319-3. S2CID  15127186.

• Б. Деламотт (2007). «Введение в непертурбативную ренормгруппу». Ренормализационная группа и подходы теории эффективного поля к системам многих тел. Конспект лекций по физике. 852. С. 49–132. arXiv:cond-mat / 0702365. Дои:10.1007/978-3-642-27320-9_2. ISBN  978-3-642-27319-3. S2CID  34308305.

• М. Зальмхофер и К. Хонеркамп, Манфред; Хонеркамп, Карстен (2001), "Потоки фермионной ренормгруппы: техника и теория", Прог. Теор. Phys., 105 (1): 1, Bibcode:2001ПТХФ.105 .... 1С, Дои:10.1143 / PTP.105.1

• М. Рейтер и Ф. Заурессиг; Фрэнк Заурессиг (2007). «Функциональные уравнения ренормгруппы, асимптотическая безопасность и квантовая гравитация Эйнштейна». arXiv:0708.1317 [hep-th ].