Масштабная инвариантность - Scale invariance

В Винеровский процесс масштабно-инвариантно.

В физика, математика и статистика, масштабная инвариантность является особенностью объектов или законов, которые не изменяются, если масштабы длины, энергии или других переменных умножаются на общий коэффициент и, таким образом, представляют универсальность.

Технический термин для этого трансформация это расширение (также известен как расширение), а дилатации также могут составлять часть более крупного конформная симметрия.

• В математике масштабная инвариантность обычно означает неизменность индивидуальных функции или кривые. Близко родственная концепция самоподобие, где функция или кривая инвариантны относительно дискретного подмножества растяжений. Также возможно распределения вероятностей из случайные процессы для отображения такого рода масштабной инвариантности или самоподобия.
• В классическая теория поля масштабная инвариантность чаще всего применяется к инвариантности всей теории относительно растяжений. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характерного масштаба длины.
• В квантовая теория поля масштабная инвариантность интерпретируется в терминах физика элементарных частиц. В масштабно-инвариантной теории сила взаимодействия частиц не зависит от энергии участвующих частиц.
• В статистическая механика масштабная инвариантность является особенностью фазовые переходы. Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критическая точка, флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания явлений. Такие теории масштабно инвариантны. статистические теории поля, и формально очень похожи на масштабно-инвариантные квантовые теории поля.
• Универсальность Это наблюдение, что самые разные микроскопические системы могут демонстрировать одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны с помощью одной и той же теории масштабной инвариантности.
• В общем, безразмерные величины масштабно инвариантны. Аналогичная концепция в статистика находятся стандартизированные моменты, которые являются масштабно-инвариантной статистикой переменной, а нестандартизованные моменты - нет.

Масштабно-инвариантные кривые и самоподобие

В математике можно рассматривать свойства масштабирования функция или кривая ж (Икс) при пересчете переменной Икс. То есть интересует форма ж (λx) для некоторого коэффициента масштабирования λ, который можно принять за изменение размера или длины. Требование для ж (Икс) инвариантность относительно всех перекалибровок обычно считается

${ Displaystyle е ( лямбда х) = лямбда ^ { дельта} е (х)}$

при некотором выборе экспоненты Δ, и для всех дилатаций λ. Это эквивалентно ж будучи однородная функция степени Δ.

Примеры масштабно-инвариантных функций: мономы ${ Displaystyle е (х) = х ^ {п}}$, для которого Δ = п, в этом ясно

${ displaystyle f ( lambda x) = ( lambda x) ^ {n} = lambda ^ {n} f (x) ~.}$

Примером масштабно-инвариантной кривой является логарифмическая спираль, своего рода изгиб, который часто встречается в природе. В полярные координаты (р, θ), спираль можно записать как

${ displaystyle theta = { frac {1} {b}} ln (r / a) ~.}$

С учетом поворотов кривой она инвариантна при всех перекалибровках. λ; это, θ(λr) идентичен повернутой версии θ(р).

Проективная геометрия

Идея масштабной инвариантности монома обобщается в более высоких измерениях до идеи однородный многочлен, и в более общем плане однородная функция. Однородные функции являются естественными обитателями проективное пространство, а однородные многочлены изучаются как проективные многообразия в проективная геометрия. Проективная геометрия - особенно богатая область математики; в самых абстрактных формах геометрия схемы, он связан с различными темами в теория струн.

Фракталы

А Кривая Коха является самоподобный.

Иногда говорят, что фракталы масштабно-инвариантны, хотя, точнее, следует сказать, что они самоподобный. Обычно фрактал равен самому себе только для дискретного набора значений. λ, и даже тогда, возможно, придется применить сдвиг и вращение, чтобы фрактал соответствовал самому себе.

Так, например, Кривая Коха весы с ∆ = 1, но масштабирование справедливо только для значений λ = 1/3^п для целого числа п. Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но, в определенном смысле, «повсюду»: ее миниатюрные копии можно найти по всей кривой.

Некоторые фракталы могут иметь одновременно несколько масштабных коэффициентов; такое масштабирование изучается с мультифрактальный анализ.

Периодический внешние и внутренние лучи инвариантные кривые.

Масштабная инвариантность в случайных процессах

Если п(ж ) это средний, ожидаемый мощность на частоте ж , то шум масштабируется как

${ Displaystyle P (f) = lambda ^ {- Delta} P ( lambda f)}$

с участием Δ = 0 для белый шум, Δ = −1 для розовый шум, и Δ = −2 для Броуновский шум (и в более общем плане Броуновское движение ).

Точнее, масштабирование в стохастических системах связано с вероятностью выбора конкретной конфигурации из множества всех возможных случайных конфигураций. Эта вероятность определяется распределение вероятностей.

Примеры масштабно-инвариантных распределений: Распределение Парето и Распределение Zipfian.

Масштабно-инвариантные распределения Твиди

Распределения твиди являются частным случаем модели экспоненциальной дисперсии, класс статистических моделей, используемых для описания распределений ошибок для обобщенная линейная модель и характеризуется закрытие при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабной трансформации.^[1] К ним относятся несколько распространенных дистрибутивов: нормальное распределение, распределение Пуассона и гамма-распределение, а также более необычные распределения, такие как составное гамма-распределение Пуассона, положительные стабильные дистрибутивы, и чрезвычайно стабильные распределения. Вследствие присущей им масштабной инвариантности Твиди случайные переменные Y продемонстрировать отклонение var (Y) к значить E (Y) сила закона:

${ displaystyle { text {var}} , (Y) = a [{ text {E}} , (Y)] ^ {p}}$,

где а и п положительные константы. Это отклонение от среднего значения степенного закона известно в физической литературе как масштабирование колебаний,^[2] и в экологической литературе как Закон Тейлора.^[3]

Случайные последовательности, управляемые распределениями Твиди и оцениваемые метод расширения бункеров Выставка двусмысленный отношение между дисперсией к среднему степенному закону и степенным законом автокорреляции. В Теорема Винера – Хинчина далее означает, что для любой последовательности, которая демонстрирует отклонение от среднего степенного закона в этих условиях, также будет проявляться 1 / f шум.^[4]

В Теорема Твиди о сходимости дает гипотетическое объяснение широкого проявления масштабирования флуктуаций и 1 / f шум.^[5] По сути, это требует, чтобы любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует отклонение от среднего степенного закона, должна была выражать функция дисперсии что входит в область притяжения модели Tweedie. Почти все функции распределения с конечными кумулянтные производящие функции квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии демонстрируют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение, и распределения Твиди становятся центром конвергенции для широкого диапазона типов данных.^[4]

Во многом как Центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных величин были в центре сходимости Гауссово распределение и выразить белый шум, теорема Твиди требует, чтобы некоторые негауссовские случайные величины выражали 1 / f масштабирование шума и флуктуаций.^[4]

Космология

В физическая космология спектр мощности пространственного распределения космический микроволновый фон близка к масштабно-инвариантной функции. Хотя в математике это означает, что спектр является степенным, в космологии термин «масштабно-инвариантный» означает, что амплитуда, п(k), из изначальные колебания как функция волновое число, k, примерно постоянный, т.е. плоский спектр. Этот образец согласуется с предложением космическая инфляция.

Масштабная инвариантность в классической теории поля

Классическая теория поля обычно описывается полем или набором полей, φ, зависящие от координат, Икс. Допустимые конфигурации полей затем определяются путем решения дифференциальные уравнения для φ, и эти уравнения известны как уравнения поля.

Чтобы теория была масштабно-инвариантной, ее уравнения поля должны быть инвариантными при изменении масштаба координат в сочетании с некоторым заданным масштабированием полей,

${ displaystyle x rightarrow lambda x ~,}$

${ displaystyle varphi rightarrow lambda ^ {- Delta} varphi ~.}$

Параметр Δ известен как масштабирование поля, а его величина зависит от рассматриваемой теории. Масштабная инвариантность обычно сохраняется при условии, что в теории не фигурирует фиксированный масштаб длины. И наоборот, наличие фиксированного масштаба длины указывает на то, что теория не масштабно-инвариантный.

Следствием масштабной инвариантности является то, что при решении масштабно-инвариантного уравнения поля мы можем автоматически находить другие решения, соответствующим образом изменяя масштаб как координат, так и полей. С технической точки зрения, учитывая решение, φ(Икс) всегда есть другие решения вида

${ displaystyle lambda ^ { Delta} varphi ( lambda x)}$.

Масштабная инвариантность конфигураций поля

Для конкретной конфигурации поля φ(Икс), чтобы быть масштабно-инвариантным, мы потребуем, чтобы

${ displaystyle varphi (x) = lambda ^ {- Delta} varphi ( lambda x)}$

где Δ опять же масштабирование поля.

Отметим, что это условие достаточно ограничительное. В общем случае решения даже масштабно-инвариантных уравнений поля будут не быть масштабно-инвариантным, и в таких случаях симметрия называется самопроизвольно сломанный.

Классический электромагнетизм

Примером масштабно-инвариантной классической теории поля является электромагнетизм без зарядов и токов. Поля - это электрическое и магнитное поля, E(Икс,т) и B(Икс,т), а их полевые уравнения имеют вид Уравнения Максвелла.

Без зарядов и токов, эти уравнения поля принять форму волновые уравнения

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} mathbf {E}} { partial t ^ {2}}}}$

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {B} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} mathbf {B}} { partial t ^ {2}}}}$

где c это скорость света.

Эти уравнения поля инвариантны относительно преобразования

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda t.}$

Более того, учитывая решения уравнений Максвелла, E(Икс, т) и B(Икс, т) справедливо E(λИкс, λт) и B(λИкс, λт) также являются решениями.

Безмассовая скалярная теория поля

Другой пример масштабно-инвариантной классической теории поля - безмассовый скалярное поле (обратите внимание, что имя скаляр не имеет отношения к масштабной инвариантности). Скалярное поле, φ(Икс, т) является функцией набора пространственных переменных, Икс, и переменная времени, т.

Рассмотрим сначала линейную теорию. Как и приведенные выше уравнения электромагнитного поля, уравнение движения для этой теории также является волновым уравнением,

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} varphi} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2} varphi = 0,}$

и инвариантен относительно преобразования

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda t.}$

Название безмассовый относится к отсутствию термина ${ Displaystyle propto м ^ {2} varphi}$ в уравнении поля. Такой член часто называют "массовым", и он нарушил бы инвариантность относительно вышеуказанного преобразования. В релятивистские теории поля, массовая, м физически эквивалентен фиксированной шкале длины через

${ displaystyle L = { frac { hbar} {mc}},}$

и поэтому неудивительно, что теория массивного скалярного поля не масштабно-инвариантный.

φ⁴ теория

Все уравнения поля в приведенных выше примерах линейный в полях, что означало, что масштабирование, Δ, не было так важно. Однако обычно требуется, чтобы скалярное поле действие безразмерен, и это фиксирует масштабирование из φ. Особенно,

${ displaystyle Delta = { frac {D-2} {2}},}$

где D - это совокупное количество пространственных и временных измерений.

Учитывая этот масштабный размер для φ, существуют некоторые нелинейные модификации безмассовой скалярной теории поля, которые также масштабно-инвариантны. Один пример безмассовый φ⁴ теория для D= 4. Уравнение поля:

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} varphi} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2} varphi + g varphi ^ {3} = 0.}$

(Обратите внимание, что имя φ⁴ происходит от формы Лагранжиан, который содержит четвертую степень φ.)

Когда D= 4 (например, три пространственных измерения и одно временное измерение), масштабное измерение скалярного поля равно Δ= 1. Тогда уравнение поля инвариантно относительно преобразования

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda t,}$

${ displaystyle varphi (x) rightarrow lambda ^ {- 1} varphi (x).}$

Ключевым моментом является то, что параметр г должен быть безразмерным, иначе в теорию вводится фиксированный масштаб длины: φ⁴ теории, это только в случае D= 4. Отметим, что при этих преобразованиях аргумент функции φ без изменений.

Масштабная инвариантность в квантовой теории поля

Масштабная зависимость квантовая теория поля (QFT) характеризуется тем, что параметры сцепления зависят от масштаба энергии данного физического процесса. Эта энергетическая зависимость описывается ренормгруппа, и закодирован в бета-функции теории.

Для того чтобы КТП была масштабно-инвариантной, ее параметры связи должны быть независимыми от масштаба энергии, на что указывает исчезновение бета-функций теории. Такие теории также известны как фиксированные точки соответствующего потока ренормгруппы.^[6]

Квантовая электродинамика

Простым примером масштабно-инвариантной КТП является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовые и невзаимодействующие) и поэтому масштабно-инвариантны, как и классическая теория.

Однако в природе электромагнитное поле связано с заряженными частицами, такими как электроны. КТП, описывающая взаимодействия фотонов и заряженных частиц, имеет вид квантовая электродинамика (QED), и эта теория не масштабно-инвариантна. Мы можем видеть это из Бета-функция QED. Это говорит нам о том, что электрический заряд (который в теории является параметром связи) увеличивается с увеличением энергии. Следовательно, пока квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантна, КЭД не масштабно-инвариантный.

Безмассовая скалярная теория поля

Бесплатно, без массы квантованная скалярная теория поля не имеет параметров сцепления. Поэтому, как и классический вариант, он масштабно инвариантен. На языке ренормгруппы эта теория известна как теория Гауссова фиксированная точка.

Однако даже несмотря на то, что классический безмассовый φ⁴ теория масштабно инвариантна в D= 4, квантованная версия не масштабно-инвариантный. Мы можем видеть это из бета-функция для параметра связи, г.

Хотя квантованный безмассовый φ⁴ не является масштабно-инвариантным, существуют масштабно-инвариантные квантованные скалярные теории поля, отличные от гауссовой фиксированной точки. Одним из примеров является Фиксированная точка Вильсона-Фишера, ниже.

Конформная теория поля

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформная симметрия, и изучение таких КТП конформная теория поля (ЦФТ). Операторы в CFT имеют четко определенный масштабирование, аналогично масштабирование, ∆, рассмотренного выше классического поля. Однако масштабные размерности операторов в CFT обычно отличаются от размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные взносы, появляющиеся в CFT, известны как аномальные масштабные размеры.

Масштабные и конформные аномалии

Φ⁴ Пример теории выше демонстрирует, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля является масштабно-инвариантной (или конформно-инвариантной). Если это так, то классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальный. Классическая масштабно-инвариантная теория поля, в которой масштабная инвариантность нарушается квантовыми эффектами, дает объяснение почти экспоненциального расширения ранней Вселенной, называемого космическая инфляция, пока теория может быть изучена через теория возмущений.^[7]

Фазовые переходы

В статистическая механика, поскольку система подвергается фаза перехода, его флуктуации описываются масштабно-инвариантным статистическая теория поля. Для системы, находящейся в равновесии (т.е. не зависящей от времени) в D пространственных измерений соответствующая статистическая теория поля формально подобна D-мерный ЦФТ. Масштабные размеры в таких задачах обычно называют критические показатели, и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующей CFT.

Модель Изинга

Примером, объединяющим многие идеи в этой статье, является фазовый переход Модель Изинга, простая модель ферромагнитный вещества. Это модель статистической механики, которая также имеет описание в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, которые образуют D-мерная периодическая решетка. С каждым узлом решетки связан магнитный момент, или вращение, и этот спин может принимать значение +1 или -1. (Эти состояния также называются вверх и вниз соответственно.)

Ключевым моментом является то, что модель Изинга имеет спин-спиновое взаимодействие, что делает энергетически выгодным выравнивание двух соседних спинов. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят случайность в выравнивание спинов. При некоторой критической температуре Т_c , спонтанное намагничивание говорят, что происходит. Это означает, что ниже Т_c спин-спиновое взаимодействие начнет преобладать, и будет некоторое выравнивание спинов в одном из двух направлений.

Примером физических величин, которые нужно вычислить при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием р. Это имеет общее поведение:

${ displaystyle G (r) propto { frac {1} {r ^ {D-2 + eta}}},}$

для определенного значения ${ displaystyle eta}$, который является примером критического показателя.

Описание ЦФТ

Колебания температуры Т_c масштабно-инвариантны, поэтому ожидается, что модель Изинга при этом фазовом переходе будет описываться масштабно-инвариантной статистической теорией поля. Фактически, эта теория и есть Фиксированная точка Вильсона-Фишера, конкретный масштабно-инвариантный скалярная теория поля.

В контексте, г(р) понимается как корреляционная функция скалярных полей,

${ displaystyle langle phi (0) phi (r) rangle propto { frac {1} {r ^ {D-2 + eta}}}.}$

Теперь мы можем объединить ряд уже рассмотренных идей.

Из сказанного выше видно, что критический показатель, η, для этого фазового перехода также является аномальный размер. Это потому, что классическая размерность скалярного поля

${ displaystyle Delta = { frac {D-2} {2}}}$

изменен, чтобы стать

${ displaystyle Delta = { frac {D-2 + eta} {2}},}$

где D - количество измерений решетки модели Изинга.

Так это аномальный размер в конформной теории поля такой же как частный критический показатель фазового перехода модели Изинга.

Обратите внимание, что для размера D ≡ 4−ε, η можно приблизительно рассчитать, используя расширение эпсилона, и обнаруживается, что

${ displaystyle eta = { frac { epsilon ^ {2}} {54}} + O ( epsilon ^ {3})}$.

В физически интересном случае трех пространственных измерений мы имеем ε= 1, поэтому это разложение не совсем надежно. Однако полуколичественный прогноз таков: η численно мала в трех измерениях.

С другой стороны, в двумерном случае модель Изинга точно разрешима. В частности, он эквивалентен одному из минимальные модели, семейство хорошо изученных CFT, и можно вычислить η (и другие критические показатели) в точности,

${ displaystyle eta _ {_ {D = 2}} = { frac {1} {4}}}$.

Эволюция Шрамма – Лёвнера

Аномальные размеры в некоторых двумерных КТМ можно отнести к типичным фрактальные измерения случайных блужданий, где случайные блуждания определяются через Эволюция Шрамма – Лёвнера (СКВ). Как мы видели выше, КТП описывают физику фазовых переходов, и поэтому можно связать критические показатели определенных фазовых переходов с этими фрактальными размерностями. Примеры включают 2d критическая модель Изинга и более общая 2d критический Модель Поттса. Относительно других 2d CFT на SLE - активная область исследований.

Универсальность

Явление, известное как универсальность наблюдается в большом количестве физических систем. Он выражает идею о том, что различная микроскопическая физика может вызывать одно и то же масштабное поведение при фазовом переходе. Канонический пример универсальности включает следующие две системы:

• В Модель Изинга фазовый переход, описанный выше.
• В жидкость -пар переход в классических жидкостях.

Хотя микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, эти показатели можно вычислить, используя ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение состоит в том, что при фазовом переходе или критическая точка, флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этого явления следует искать масштабно-инвариантную статистическую теорию поля. В некотором смысле универсальность - это наблюдение, что таких масштабно-инвариантных теорий относительно мало.

Набор различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, известен как класс универсальности. Другими примерами систем, принадлежащих к классу универсальности, являются:

• Лавины в кучах песка. Вероятность схода лавины пропорциональна размеру лавины по степенному закону, и видно, что лавины возникают во всех масштабах.
• Частота сбои в сети на Интернет, как функция размера и продолжительности.
• Частота цитирования журнальных статей, учитываемая в сети всех цитирований среди всех статей, как функция количества цитирований в данной статье.^{[нужна цитата ]}
• Образование и распространение трещин и разрывов в материалах от стали до камня и бумаги. Вариации направления разрыва или шероховатость изломанной поверхности пропорциональны шкале размеров по степенному закону.
• В электрический пробой из диэлектрики, напоминающие трещины и разрывы.
• В просачивание жидкостей через неупорядоченные среды, такие как нефть через трещиноватые пласты горных пород или воду через фильтровальную бумагу, например, в хроматография. Масштабирование по степенному закону связывает скорость потока с распределением трещин.
• В распространение из молекулы в решение, и феномен ограниченная диффузией агрегация.
• Распределение пород разных размеров в смеси заполнителей, которая встряхивается (под действием силы тяжести на породы).

Ключевое наблюдение состоит в том, что для всех этих различных систем поведение напоминает фаза перехода, и что язык статистической механики и масштабно-инвариантных статистическая теория поля может применяться для их описания.

Другие примеры масштабной инвариантности

Ньютоновская механика жидкости без приложенных сил

При определенных обстоятельствах механика жидкости является масштабно-инвариантной классической теорией поля. Поля - это скорость потока жидкости, ${ Displaystyle mathbf {и} ( mathbf {x}, т)}$, плотность жидкости, ${ Displaystyle rho ( mathbf {х}, т)}$, и давление жидкости, ${ Displaystyle Р ( mathbf {х}, т)}$. Эти поля должны удовлетворять как Уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности. Для Ньютоновская жидкость они принимают соответствующие формы

${ displaystyle rho { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} + rho mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} = - nabla P + mu left ( nabla ^ {2} mathbf {u} + { frac {1} {3}} nabla left ( nabla cdot mathbf {u} right) right)}$

${ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} + nabla cdot left ( rho mathbf {u} right) = 0}$

где ${ displaystyle mu}$ это динамическая вязкость.

Чтобы вывести масштабную инвариантность этих уравнений, мы указываем уравнение состояния, связывая давление жидкости с плотностью жидкости. Уравнение состояния зависит от типа жидкости и условий, которым она подвергается. Например, мы рассматриваем изотермический идеальный газ, что удовлетворяет

${ Displaystyle P = c_ {s} ^ {2} rho,}$

где ${ displaystyle c_ {s}}$ скорость звука в жидкости. При данном уравнении состояния Навье – Стокса и уравнение неразрывности инвариантны относительно преобразований

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda ^ {2} t,}$

${ displaystyle rho rightarrow lambda ^ {- 1} rho,}$

${ displaystyle mathbf {u} rightarrow mathbf {u}.}$

Учитывая решения ${ Displaystyle mathbf {и} ( mathbf {x}, т)}$ и ${ Displaystyle rho ( mathbf {х}, т)}$, мы автоматически получаем, что${ displaystyle lambda mathbf {u} ( lambda mathbf {x}, lambda ^ {2} t)}$ и ${ displaystyle lambda rho ( lambda mathbf {x}, lambda ^ {2} t)}$ тоже решения.

Компьютерное зрение

В компьютерное зрение и биологическое видение трансформации масштабирования возникают из-за отображения перспективного изображения и из-за объектов, имеющих разные физические размеры в мире. В этих областях масштабная инвариантность относится к локальным дескрипторам изображения или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются неизменными при изменении локального масштаба в области изображения.^[8] Обнаружение локальных максимумов по шкалам нормализованных производных откликов обеспечивает общую основу для получения масштабной инвариантности из данных изображения.^[9][10]Примеры приложений включают обнаружение капли, обнаружение угла, обнаружение гребня, и распознавание объектов через масштабно-инвариантное преобразование признаков.

Смотрите также

• Обратный квадратный потенциал
• Лоран Ноттале, изобретатель масштабной относительности
• Сила закона
• Безмасштабная сеть

использованная литература

дальнейшее чтение

• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления. Издательство Оксфордского университета. Обширное обсуждение масштабной инвариантности в квантовых и статистических теориях поля, приложения к критическим явлениям, эпсилон-разложения и связанные темы.
• DiFrancesco, P .; Mathieu, P .; Сенешаль Д. (1997). Конформная теория поля. Springer-Verlag.
• Муссардо, Г. (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решаемые модели статистической физики. Издательство Оксфордского университета.