Фрактальное измерение - Fractal dimension

11,5 х 200 = 2300 км

28 х 100 = 2800 км

70 х 50 = 3500 км

Рисунок 1. По мере того, как длина измерительной линейки становится все меньше и меньше, общая длина измеряемой береговой линии увеличивается.

В математика, более конкретно в фрактальная геометрия, а фрактальная размерность коэффициент, обеспечивающий статистический показатель сложность сравнивая, насколько подробно в шаблон (строго говоря, фрактал шаблон) меняется с шкала на котором это измеряется. Это также было охарактеризовано как мера заполнение пространства емкость паттерна, который показывает, как фрактал масштабируется иначе, чем Космос он встроен в; фрактальная размерность не обязательно должна быть целым числом.^[1][2][3]

Суть идеи «сломанного» размеры имеет долгую историю в математике, но сам термин был выдвинут на первый план Бенуа Мандельброт на основе его статья 1967 года на самоподобие в котором он обсуждал дробные размеры.^[4] В этой статье Мандельброт процитировал предыдущую работу Льюис Фрай Ричардсон описывая нелогичное представление о том, что измеренная длина береговой линии изменяется в зависимости от длины используемой измерительной линейки (см. рис.1 ). В терминах этого понятия фрактальная размерность береговой линии количественно определяет, как количество масштабированных мерных стержней, необходимых для измерения береговой линии, изменяется с масштабом, примененным к стержню.^[5] Есть несколько формальных математические определения фрактальной размерности, которые основываются на этой базовой концепции изменения деталей с изменением масштаба.

В конечном итоге термин фрактальная размерность стала фразой, с которой самому Мандельброту стало удобнее всего описывать значение слова фрактал, термин, который он создал. После нескольких итераций в течение многих лет Мандельброт остановился на таком использовании языка: «... использовать фрактал без педантичного определения использовать фрактальная размерность как общий термин, применимый к все варианты ".^[6]

Один нетривиальный пример - фрактальная размерность Коха снежинка. Оно имеет топологическая размерность 1, но это ни в коем случае не выпрямляемая кривая: the длина кривой между любыми двумя точками на снежинке Коха находится бесконечный. Немалая его часть похожа на линию, а скорее состоит из бесконечного числа сегментов, соединенных под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, если рассматривать фрактальную линию как объект, слишком детализированный, чтобы быть одномерным, но слишком простой, чтобы быть двумерным.^[7] Следовательно, его размерность лучше всего описывать не его обычной топологической размерностью 1, а фрактальной размерностью, которая часто бывает числом от одного до двух; в случае снежинки Коха это около 1,262.

Вступление

Фигура 2. 32-сегментный квадратичный фрактал масштабируется и просматривается через коробки разных размеров. Шаблон иллюстрирует самоподобие. Теоретическая фрактальная размерность этого фрактала равна log32 / log8 = 1,67; его эмпирическая фрактальная размерность от подсчет коробок анализ составляет ± 1%^[8] с помощью фрактальный анализ программного обеспечения.

А фрактал измерение индекс для характеристики фрактал шаблоны или наборы путем количественной оценки их сложность как отношение изменения деталей к изменению масштаба.^[5]:1 Теоретически можно измерить несколько типов фрактальной размерности и эмпирически (см. рис. 2 ).^[3][9] Фрактальные измерения используются для характеристики широкого спектра объектов, начиная от абстрактных^[1][3] к практическим явлениям, включая турбулентность,^[5]:97–104 речные сети,^:246–247 рост городов,^[10][11] физиология человека,^[12][13] лекарство,^[9] и рыночные тенденции.^[14] Основная идея дробный или же фрактал размеры имеет долгую историю в математике, которая восходит к 1600-м годам,^[5]:19[15] но условия фрактал и фрактальная размерность были изобретены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году.^{[1][2][5][9][14][16]}

Фрактальные измерения были впервые применены в качестве указателя, характеризующего сложные геометрические формы, для которых детали казались важнее общей картины.^[16] Для наборов, описывающих обычные геометрические формы, теоретическая фрактальная размерность равна известной Евклидово или же топологическая размерность. Таким образом, для множеств, описывающих точки (0-мерные множества), он равен 0; 1 для наборов, описывающих линии (только одномерные наборы, имеющие длину); 2 для наборов, описывающих поверхности (двухмерные наборы, имеющие длину и ширину); и 3 для наборов, описывающих объемы (трехмерные наборы, имеющие длину, ширину и высоту). Но это меняется для фрактальных множеств. Если теоретическая фрактальная размерность набора превышает его топологическую размерность, считается, что набор имеет фрактальную геометрию.^[17]

В отличие от топологических размерностей, фрактальный индекс может не приниматьцелое число значения,^[18] это указывает на то, что набор заполняет свое пространство качественно и количественно иначе, чем обычный геометрический набор.^[1][2][3] Например, кривая с фрактальной размерностью, очень близкой к 1, скажем 1,10, ведет себя совершенно как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1,9 извилисто извивается в пространстве, почти как поверхность. Точно так же поверхность с фрактальной размерностью 2,1 заполняет пространство очень похоже на обычную поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2,9 сгибается и течет, заполняя пространство почти как объем.^{[17]:48[примечания 1]} Это общее соотношение можно увидеть на двух изображениях фрактальные кривые в Рис.2 и Рис. 3 - 32-сегментный контур на фиг. 2, извитый и заполняющий пространство, имеет фрактальную размерность 1,67 по сравнению с заметно менее сложной кривой Коха на фиг. 3, которая имеет фрактальную размерность 1,26.

Рисунок 3. В Кривая Коха это классика повторяется фрактальная кривая. Это теоретическая конструкция, которая создается путем итеративного масштабирования начального сегмента. Как показано, каждый новый сегмент масштабируется на 1/3 на 4 новых части, уложенных встык с 2 средними частями, наклоненными друг к другу между двумя другими частями, так что, если бы они были треугольником, его основание было бы длиной середины. кусок, чтобы весь новый сегмент соответствовал традиционно измеренной длине между конечными точками предыдущего сегмента. В то время как анимация показывает только несколько итераций, теоретическая кривая масштабируется таким образом бесконечно. После примерно 6 итераций такого маленького изображения детали теряются.

Связь увеличения фрактальной размерности с заполнением пространства может быть воспринята как означающая, что фрактальные измерения измеряют плотность, но это не так; эти два понятия не связаны строго.^[8] Вместо этого фрактальная размерность измеряет сложность, концепция, связанная с некоторыми ключевыми особенностями фракталов: самоподобие и деталь или неровность.^{[примечания 2]} Эти особенности очевидны на двух примерах фрактальных кривых. Оба кривые с топологическая размерность 1, поэтому можно было бы надеяться, что можно будет измерить их длину и производную так же, как и с обычными кривыми. Но мы не можем сделать ни то, ни другое, потому что фрактальные кривые имеют сложность в виде самоподобия и деталей, которых нет у обычных кривых.^[5] В самоподобие заключается в бесконечном масштабировании, а деталь в определяющих элементах каждого набора. В длина между любыми двумя точками на этих кривых бесконечно, независимо от того, насколько близко друг к другу эти две точки, а это означает, что невозможно приблизить длину такой кривой, разбив ее на множество небольших сегментов.^[19] Каждый меньший кусок состоит из бесконечного числа масштабированных сегментов, которые выглядят точно так же, как и в первой итерации. Это не выпрямляемые кривые, то есть их нельзя измерить, разбив на множество сегментов, приблизительно равных их длине. Они не могут быть содержательно охарактеризованы путем определения их длины и производных. Однако их фрактальные размерности могут быть определены, что показывает, что оба заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, и позволяет их сравнивать в этом отношении.

Две описанные выше фрактальные кривые показывают тип самоподобия, который является точным с повторяющейся единицей деталей, которая легко визуализируется. Такую структуру можно распространить на другие пространства (например, фрактал которая расширяет кривую Коха в трехмерное пространство, имеет теоретическое значение D = 2,5849). Однако такая точно подсчитываемая сложность - только один пример самоподобия и детализации, присущих фракталам.^[3][14] Например, на примере береговой линии Британии наблюдается самоподобие приблизительного рисунка с приблизительным масштабированием.^[5]:26 Общий, фракталы показать несколько типы и степени самоподобия и детали, которые трудно визуализировать. К ним относятся, например, странные аттракторы для которых деталь описывалась как скопление гладких участков,^[17]:49 в Юля набор, которые можно увидеть как сложные завихрения за завихрениями, и частоты сердечных сокращений, которые представляют собой образцы грубых всплесков, повторяющихся и масштабируемых во времени.^[20] Фрактальная сложность не всегда может быть разложена на легко воспринимаемые единицы детализации и масштаба без сложных аналитических методов, но ее все же можно измерить с помощью фрактальных измерений.^{[5]:197; 262}

История

Условия фрактальная размерность и фрактал были придуманы Мандельбротом в 1975 году,^[16] примерно через десять лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии побережья Британии. Различные исторические авторитеты приписывают ему также синтез многовековой сложной теоретической математики и инженерных работ и их применение по-новому для изучения сложных геометрий, которые не поддаются описанию в обычных линейных терминах.^[15][21][22] Самые ранние корни того, что Мандельброт синтезировал как фрактальную размерность, четко прослеживаются до работ о недифференцируемых, бесконечно самоподобных функциях, которые важны для математического определения фракталов, примерно в то время, когда исчисление был обнаружен в середине 1600-х годов.^[5]:405 Некоторое время после этого в опубликованных работах по таким функциям было затишье, затем возобновление, начавшееся в конце 1800-х с публикацией математических функций и множеств, которые сегодня называются каноническими фракталами (например, одноименные работы фон Кох,^[19] Серпинский, и Юля ), но во время их формулировки часто считались антагонистическими математическими «монстрами».^[15][22] Эти работы сопровождались, пожалуй, самым поворотным моментом в развитии концепции фрактальной размерности благодаря работе Хаусдорф в начале 1900-х, кто определил «дробное» измерение который был назван в его честь и часто используется при определении современного фракталы.^{[4][5]:44[17][21]}

Видеть Фрактальная история для дополнительной информации

Роль масштабирования

Рисунок 4. Традиционные понятия геометрии для определения масштаба и размеров.
${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle 1 ^ {2} {=} 1}$, ${ displaystyle 1 ^ {3} {=} 1}$
${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle 2 ^ {2} {=} 4}$, ${ displaystyle 2 ^ {3} {=} 8}$
${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle 3 ^ {2} {=} 9}$, ${ displaystyle 3 ^ {3} {=} 27}$ ^[23]

Концепция фрактальной размерности основана на нетрадиционных представлениях о масштабировании и размерности.^[24] В качестве Рис. 4 иллюстрирует, традиционные понятия геометрии диктуют, что формы предсказуемо масштабируются в соответствии с интуитивно понятными и знакомыми представлениями о пространстве, в котором они содержатся, так что, например, измерение линии с использованием сначала одной мерной линейки, а затем еще 1/3 ее размера даст длина второй палки в 3 раза больше, чем у первой. Это также верно в двух измерениях. Если измерить площадь квадрата, а затем снова измерить его с помощью прямоугольника со стороной, равной 1/3 размера оригинала, то получится в 9 раз больше квадратов, чем при первой мере. Такие знакомые соотношения масштабирования могут быть определены математически с помощью общего правила масштабирования в уравнении 1, где переменная ${ displaystyle N}$ обозначает количество палочек, ${ displaystyle varepsilon}$ для коэффициента масштабирования и ${ displaystyle D}$ для фрактальной размерности:

${ displaystyle {N = varepsilon ^ {- D}}.}$

(1)

Это правило масштабирования типично для обычных правил, касающихся геометрии и размеров - для линий оно дает количественную оценку, поскольку ${ Displaystyle N = 3}$ когда ${ Displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}}}$ как в примере выше, ${ Displaystyle D = 1,}$ и для квадратов, потому что ${ displaystyle N = 9}$ когда ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}}, D = 2.}$

Рисунок 5. Первые четыре итерации из Коха снежинка, который имеет приблизительную Хаусдорфово измерение из 1,2619.

То же правило применяется к фрактальной геометрии, но менее интуитивно. Чтобы уточнить, фрактальная линия, измеренная сначала как одна длина, при повторном измерении с использованием новой палочки, масштабированной на 1/3 от старой, может быть не ожидаемой в 3 раза, а вместо этого в 4 раза больше длины масштабированных палочек. В этом случае, ${ Displaystyle N = 4}$ когда ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}},}$ и ценность ${ displaystyle D}$ можно найти, переставив уравнение 1:

${ displaystyle { log _ { varepsilon} {N} = {- D} = { frac { log {N}} { log { varepsilon}}}}.}$

(2)

То есть для фрактала, описываемого ${ Displaystyle N = 4}$ когда ${ displaystyle varepsilon = { tfrac {1} {3}}, D = 1,2619,}$ нецелочисленное измерение, которое предполагает, что фрактал имеет размерность, не равную пространству, в котором он находится.^[3] Масштабирование, используемое в этом примере, такое же масштабирование, как у Кривая Коха и снежинка. Следует отметить, что показанные изображения не являются настоящими фракталами, потому что масштабирование описывается значением ${ displaystyle D}$ не может продолжаться бесконечно по той простой причине, что изображения существуют только до точки своего наименьшего компонента, пикселя. Теоретический паттерн, который представляют цифровые изображения, однако, не имеет дискретных пиксельных частей, а скорее состоит из бесконечный количество бесконечно масштабируемых сегментов, соединенных под разными углами, и действительно имеет фрактальную размерность 1,2619.^[5][24]

D не уникальный дескриптор

Рисунок 6. Два L-системы ветвящиеся фракталы, которые создаются путем производства 4 новых частей на каждые 1/3 масштабирование так что имейте те же теоретические ${ displaystyle D}$ как кривая Коха и для которой эмпирическая подсчет коробок ${ displaystyle D}$ была продемонстрирована с точностью до 2%.^[8]

Как и в случае с размерами, определенными для линий, квадратов и кубов, фрактальные измерения являются общими дескрипторами, которые не определяют однозначно шаблоны.^[24][25] Значение D например, рассмотренный выше фрактал Коха количественно определяет масштаб, присущий паттерну, но не описывает однозначно и не предоставляет достаточно информации для его восстановления. Можно построить множество фрактальных структур или паттернов, которые имеют такое же соотношение масштабирования, но резко отличаются от кривой Коха, как показано на Рисунок 6.

Примеры построения фрактальных моделей см. Фрактал, Треугольник Серпинского, Набор Мандельброта, Ограниченная диффузией агрегация, L-система.

Фрактальные поверхностные структуры

Концепция фрактальности все шире применяется в области наука о поверхности, обеспечивая связь между характеристиками поверхности и функциональными свойствами.^[26] Многочисленные дескрипторы поверхностей используются для интерпретации структуры номинально плоских поверхностей, которые часто демонстрируют самоаффинные особенности в нескольких масштабах длины. Иметь в виду шероховатость поверхности, обычно обозначаемый R_А, является наиболее часто применяемым дескриптором поверхности, однако многие другие дескрипторы, включая средний наклон, среднеквадратичное значение шероховатость (R_RMS) и другие. Однако обнаружено, что многие физические поверхностные явления не могут быть легко интерпретированы со ссылкой на такие дескрипторы, поэтому фрактальная размерность все чаще применяется для установления корреляций между структурой поверхности с точки зрения масштабирования и характеристик.^[27] Фрактальные размерности поверхностей использовались для объяснения и лучшего понимания явлений в областях контактная механика,^[28] фрикционное поведение,^[29] сопротивление электрического контакта^[30] и прозрачные проводящие оксиды.^[31]

Фигура 7: Иллюстрация увеличения фрактальности поверхности. Самоаффинные поверхности (слева) и соответствующие профили поверхностей (справа), демонстрирующие возрастающую фрактальную размерность D_ж

Примеры

Концепция фрактальной размерности, описанная в этой статье, представляет собой базовое представление о сложной конструкции. Обсуждаемые здесь примеры были выбраны для ясности, а единица масштабирования и соотношения были известны заранее. На практике, однако, фрактальные размеры могут быть определены с использованием методов, приближающих масштабирование и детализацию из пределы оценивается от линии регрессии над журнал против журнала графики размера и масштаба. Ниже перечислены несколько формальных математических определений различных типов фрактальной размерности. Хотя для некоторых классических фракталов все эти измерения совпадают, в целом они не эквивалентны:

• Размер подсчета коробки: D является по оценкам как показатель степени сила закона.

${ displaystyle D_ {0} = lim _ { varepsilon to 0} { frac { log N ( varepsilon)} { log { frac {1} { varepsilon}}}}.}$

• Информационное измерение: D считает, как средний Информация необходимо идентифицировать занятую коробку в масштабе с размером коробки; ${ displaystyle p}$ это вероятность.

${ displaystyle D_ {1} = lim _ { varepsilon to 0} { frac {- langle log p _ { varepsilon} rangle} { log { frac {1} { varepsilon}}} }}$

• Измерение корреляции: D основан на ${ displaystyle M}$ как количество точек, используемых для создания представления фрактала и грамм_ε, количество пар точек, более близких друг к другу, чем ε.

${ displaystyle D_ {2} = lim _ {M to infty} lim _ { varepsilon to 0} { frac { log (g _ { varepsilon} / M ^ {2})} { журнал varepsilon}}}$^{[нужна цитата ]}

• Обобщенные измерения или измерения Реньи: измерения подсчета ящиков, информации и корреляции можно рассматривать как частные случаи непрерывного спектра обобщенные размеры порядка α, определяемого:

${ displaystyle D _ { alpha} = lim _ { varepsilon to 0} { frac {{ frac {1} { alpha -1}} log ( sum _ {i} p_ {i} ^ { alpha})} { log varepsilon}}}$

• Измерение Хигучи^[32]

${ Displaystyle D = { гидроразрыва {d log (L (k))} {d log (k)}}}$

• Ляпуновское измерение
• Мультифрактал Размеры: частный случай размеров Реньи, где поведение масштабирования варьируется в разных частях рисунка.
• Показатель неопределенности
• Хаусдорфово измерение: Для любого подмножества ${ displaystyle S}$ метрического пространства ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle d geq 0}$, то d-размерный Содержание Хаусдорфа из S определяется

${ displaystyle C_ {H} ^ {d} (S): = inf { Bigl {} sum _ {i} r_ {i} ^ {d}: { text {есть обложка}} S { text {шариками с радиусами}} r_ {i}> 0 { Bigr }}.}$

В Хаусдорфово измерение из S определяется

${ displaystyle dim _ { operatorname {H}} (X): = inf {d geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 }.}$

• Размер упаковки
• Измерение Ассуада
• Локальный связанный размер^[33]

Оценка на основе реальных данных

Многие явления реального мира обладают ограниченными или статистическими фрактальными свойствами и фрактальными размерностями, которые были оценены на основе отобранный данные с использованием компьютера фрактальный анализ техники. Практически на измерения фрактальной размерности влияют различные методологические проблемы, они чувствительны к числовому или экспериментальному шуму и ограничениям в объеме данных. Тем не менее, эта область быстро растет, поскольку оцененные фрактальные размерности для статистически самоподобных явлений могут иметь множество практических приложений в различных областях, включая астрономию,^[34] акустика,^[35] диагностическая визуализация,^[36][37][38]экология^[39]электрохимические процессы,^[40]анализ изображений,^{[41][42][43][44]}биология и медицина,^{[45][46][47][48]}нейробиология^[13]сетевой анализ,^[49]физиология^[12]физика^[50][51] и дзета-нули Римана.^[52]

Альтернативой прямому измерению является рассмотрение математической модели, которая напоминает формирование реального фрактального объекта. В этом случае проверка также может быть выполнена путем сравнения свойств, отличных от фрактальных, подразумеваемых моделью, с данными измерений. В коллоидная физика возникают системы, состоящие из частиц с различной фрактальной размерностью. Для описания этих систем удобно говорить о распределение фрактальных размерностей и, в конечном итоге, эволюция последних во времени: процесс, который управляется сложным взаимодействием между агрегирование и слияние.^[53]

Фрактальные измерения сетей и пространственных сетей

Было обнаружено, что многие сети реального мира самоподобны и могут характеризоваться фрактальной размерностью.^[54][55]Более того, модели сетей, встроенные в пространство, могут иметь непрерывную фрактальную размерность, которая зависит от распределения дальних связей.^[56]

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа - Статья со списком Википедии
• Лакунарность - термин по геометрии и фрактальному анализу
• Фрактальная производная - Обобщение производной на фракталы

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Мандельброт, Бенуа Б.; Хадсон, Ричард Л. (2010). (Неправильное) поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение. Профильные книги. ISBN  978-1-84765-155-6.

внешняя ссылка

• Бенуа из TruSoft, программный продукт фрактального анализа вычисляет фрактальные размерности и показатели скорости.
• Java-апплет для вычисления фрактальных измерений
• Введение в фрактальный анализ
• Боули, Роджер (2009). «Фрактальное измерение». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемский университет.
• "Фракталы обычно не самоподобны ". 3Синий 1Коричневый.