Кривая Пеано - Peano curve

Эта статья о конкретной кривой, определенной Джузеппе Пеано. Для других кривых с аналогичными свойствами см. кривая заполнения пространства.
Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является кривая, заполняющая пространство.
Две итерации кривой Пеано

В геометрия, то Кривая Пеано это первый пример кривая заполнения пространства быть обнаруженным Джузеппе Пеано в 1890 г.[1] Кривая Пеано - это сюръективный, непрерывная функция от единичный интервал на то единичный квадрат, однако это не инъективный. Пеано был мотивирован более ранним результатом Георг Кантор что у этих двух наборов одинаковые мощность. Из-за этого примера некоторые авторы используют фразу «кривая Пеано» для более общего обозначения любой кривой, заполняющей пространство.[2]

Строительство

Кривая Пеано может быть построена последовательностью шагов, где я-й шаг строит набор Sя квадратов и последовательность пя центров квадратов из набора и последовательности, построенной на предыдущем шаге. В качестве базового случая S0 состоит из единичного квадрата, и п0 - одноэлементная последовательность, состоящая из ее центральной точки.

В ногу я, каждый квадрат s из Sя − 1 разделен на девять меньших равных квадратов, а его центральная точка c заменяется непрерывной подпоследовательностью центров этих девяти меньших квадратов. Эта подпоследовательность формируется путем группирования девяти меньших квадратов в три столбца, упорядочивания центров в каждом столбце, а затем упорядочивания столбцов от одной стороны квадрата к другой - таким образом, чтобы расстояние между каждой последовательной парой точек в подпоследовательности равнялось длине стороны маленьких квадратов. Возможны четыре таких порядка:

  • Три левых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три правых центра снизу вверх
  • Три правых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три левых центра снизу вверх
  • Три левых центра сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три правых центра сверху вниз
  • Три правых центра сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три левых центра сверху вниз

Среди этих четырех порядков один для s выбирается таким образом, чтобы расстояние между первой точкой упорядочивания и ее предшественником в пя также равна длине стороны маленьких квадратов. Если c был первым пунктом в его упорядочении, то первый из этих четырех порядков выбирается для девяти центров, которые заменяют c.[3]

Сама кривая Пеано - это предел кривых через последовательности квадратных центров, как я уходит в бесконечность.

Варианты

Кривая Пеано со стертой средней линией создает Ковер Серпинского

В определении кривой Пеано можно выполнить некоторые или все шаги, сделав примыкающими центры каждой строки из трех квадратов, а не центры каждого столбца квадратов. Этот выбор приводит к множеству различных вариантов кривой Пеано.[3]

Вариант этой кривой с "множественным основанием" с различным числом подразделений в разных направлениях может использоваться для заливки прямоугольников произвольной формы.[4]

В Кривая Гильберта представляет собой более простой вариант той же идеи, основанный на делении квадратов на четыре равных меньших квадрата вместо девяти равных меньших квадратов.

Рекомендации

  1. ^ Пеано, Г. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane", Mathematische Annalen, 36 (1): 157–160, Дои:10.1007 / BF01199438.
  2. ^ Гугенхаймер, Генрих Вальтер (1963), Дифференциальная геометрия, Courier Dover Publications, стр. 3, ISBN  9780486157207.
  3. ^ а б Бадер, Майкл (2013), «Кривая Пеано 2,4», Кривые заполнения пространства, Тексты в области вычислительной науки и техники, 9, Springer, стр. 25–27, Дои:10.1007/978-3-642-31046-1_2, ISBN  9783642310461.
  4. ^ Коул, А. Дж. (Сентябрь 1991 г.), «Полутоновое изображение без дизеринга или улучшения краев», Визуальный компьютер, 7 (5): 235–238, Дои:10.1007 / BF01905689