Измерение корреляции - Correlation dimension

В теория хаоса, то измерение корреляции (обозначается ν) является мерой размерность пространства, занятого набором случайных точек, часто называемых типом фрактальная размерность.^[1][2][3]

Например, если у нас есть набор случайных точек на настоящий номер линия между 0 и 1, размер корреляции будет ν = 1, а если они распределены, скажем, на треугольнике, вложенном в трехмерное пространство (или м-мерное пространство), корреляционная размерность будет ν = 2. Это то, что мы интуитивно ожидаем от меры измерения. Реальная полезность корреляционной размерности заключается в определении (возможно, дробных) размерностей фрактальных объектов. Существуют и другие методы измерения размеров (например, Хаусдорфово измерение, то размер подсчета коробок, аинформационное измерение ), но корреляционная размерность имеет то преимущество, что ее можно просто и быстро вычислить, она менее шумна, когда доступно только небольшое количество точек, и часто согласуется с другими расчетами размерности.

Для любого набора N указывает в м-мерное пространство

${ displaystyle { vec {x}} (i) = [x_ {1} (i), x_ {2} (i), ldots, x_ {m} (i)], qquad i = 1,2 , ldots N}$

затем корреляционный интеграл C(ε) рассчитывается по:

${ Displaystyle C ( varepsilon) = lim _ {N rightarrow infty} { frac {g} {N ^ {2}}}}$

куда грамм это общее количество пар точек, расстояние между которыми меньше расстояния ε (графическим представлением таких близких пар является сюжет повторения ). Поскольку количество точек стремится к бесконечности, а расстояние между ними стремится к нулю, корреляционный интеграл для малых значенийε, примет вид:

${ Displaystyle С ( varepsilon) sim varepsilon ^ { nu}}$

Если количество точек достаточно велико и равномерно распределено, лог-лог-график корреляционного интеграла от ε даст оценкуν. Эту идею можно качественно понять, осознав, что для объектов более высоких измерений будет больше способов для точек быть ближе друг к другу, и поэтому количество пар, близких друг к другу, будет расти быстрее для более высоких измерений.

Грассбергер и Прокачча внедрил технику в 1983 г .;^[1] в статье приводятся результаты таких оценок для ряда фрактальных объектов, а также сравниваются значения с другими мерами фрактальной размерности. Этот метод можно использовать для различения (детерминированного) хаотического и действительно случайного поведения, хотя он может оказаться неэффективным для обнаружения детерминированного поведения, если детерминированный механизм генерации очень сложен.^[4]

Например, в статье "Солнце во времени"^[5] метод использовался, чтобы показать, что количество солнечные пятна на солнце, после учета известных циклов, таких как суточные и 11-летние циклы, очень вероятно, что это не случайный шум, а скорее хаотический шум с фрактальным аттрактором низкой размерности.

Смотрите также

• Теорема Такенса
• Корреляционный интеграл
• Количественный анализ повторяемости
• Приблизительная энтропия

Примечания