Количественный анализ повторяемости - Recurrence quantification analysis

Количественный анализ повторяемости (RQA) - метод нелинейный анализ данных (ср. теория хаоса ) для исследования динамические системы. Он количественно определяет количество и продолжительность повторений динамической системы, представленной ее фазовое пространство траектория.

Фон

Количественный анализ повторяемости (RQA) был разработан для количественной оценки различного вида графики повторяемости (RPs), основанные на мелкомасштабных структурах в нем. Графики повторяемости инструменты, которые визуализируют повторяющееся поведение фазовое пространство траектория ${ displaystyle { vec {x}} (я)}$ из динамические системы:

{ Displaystyle mathbf {R} (я, j) ​​= Theta ( varepsilon - | { vec {x}} (i) - { vec {x}} (j) |)}

,

куда ${ Displaystyle Theta: mathbb {R} rightarrow (0,1)}$ и ${ displaystyle varepsilon}$ заранее определенное расстояние.

Графики повторяемости в основном содержат отдельные точки и линии, параллельные средней диагонали (линия идентичности, LOI) или вертикальные / горизонтальные. Линии, параллельные LOI, называются диагональные линии а вертикальные конструкции как вертикальные линии. Поскольку RP обычно симметрична, горизонтальные и вертикальные линии соответствуют друг другу, и, следовательно, рассматриваются только вертикальные линии. Линии соответствуют типичному поведению траектории фазового пространства: в то время как диагональные линии представляют такие сегменты траектории фазового пространства, которые проходят параллельно в течение некоторого времени, вертикальные линии представляют сегменты, которые остаются в том же положении. фазовое пространство регион на некоторое время.

Если бы только Временные ряды доступно, фазовое пространство может быть восстановлено с использованием вложения временной задержки (см. Теорема Такенса ):

{ Displaystyle { vec {x}} (я) = (и (я), и (я + тау), ldots, и (я + тау (м-1)),}

куда ${ Displaystyle и (я)}$ это временной ряд, ${ displaystyle m}$ размер вложения и ${ Displaystyle тау}$ время задержки.

RQA количественно определяет мелкомасштабные структуры графиков повторяемости, которые представляют количество и продолжительность повторений динамической системы. Меры, введенные для RQA, были разработаны эвристически в период с 1992 по 2002 год (Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). Они на самом деле меры сложности. Основное преимущество количественного анализа повторяемости состоит в том, что он может предоставить полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, когда другие методы не работают.

RQA можно применять практически ко всем типам данных. Он широко используется в физиология, но также успешно применялся для решения проблем из инженерное дело, химия, Науки о Земле и Т. Д.

RQA меры

Самая простая мера - это частота рецидивов, которая представляет собой плотность точек повторения на графике повторения:

{ displaystyle { text {RR}} = { frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {i, j = 1} ^ {N} mathbf {R} (i, j). }

Частота повторения соответствует вероятности повторения определенного состояния. Это почти совпадает с определением сумма корреляции, где LOI исключается из расчета.

Следующая мера - это процент точек повторения, которые образуют диагональные линии на графике повторения минимальной длины. ${ displaystyle ell _ { min}}$ :

{ displaystyle { text {DET}} = { frac { sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} ell , P ( ell)} { sum _ { ell = 1} ^ {N} ell P ( ell)}},}

куда ${ Displaystyle P ( ell)}$ это Распределение частоты длины ${ displaystyle ell}$ диагональных линий (т.е. он считает, сколько экземпляров имеют длину ${ displaystyle ell}$ ). Эта мера называется детерминизм и связан с предсказуемость из динамическая система, потому что белый шум имеет график повторения почти только с одиночными точками и очень небольшим количеством диагональных линий, тогда как детерминированный процесс имеет график повторения с очень небольшим количеством отдельных точек, но с множеством длинных диагональных линий.

Таким же образом можно количественно определить количество точек повторения, образующих вертикальные линии:

{ displaystyle { text {LAM}} = { frac { sum _ {v = v _ { min}} ^ {N} vP (v)} { sum _ {v = 1} ^ {N} vP (v)}},}

куда ${ Displaystyle P (v)}$ - частотное распределение длин ${ displaystyle v}$ вертикальных линий, которые имеют длину не менее ${ displaystyle v _ { min}}$ . Эта мера называется ламинарность и связан с количеством ламинарные фазы в системе (прерывистость ).

Также можно измерить длину диагональных и вертикальных линий. В средняя длина диагональной линии

{ displaystyle { text {L}} = { frac { sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} ell , P ( ell)} { sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} P ( ell)}}}

связано с время предсказуемости динамической системы и время захвата, измеряя среднюю длину вертикальных линий,

{ displaystyle TT = { frac { sum _ {v = v _ { min}} ^ {N} vP (v)} { sum _ {v = v _ { min}} ^ {N} P (v )}}}

связано с время ламинарности динамической системы, то есть как долго система остается в определенном состоянии.

Поскольку длина диагональных линий зависит от того, насколько длинные сегменты фазовое пространство траектория проходит параллельно, т.е. по расхождение поведения траекторий иногда утверждали, что взаимный максимальной длины диагональных линий (без LOI) будет оценкой положительного максимального Показатель Ляпунова динамической системы. Следовательно максимальная длина диагональной линии ${ Displaystyle L _ { max}}$ или расхождение

{ displaystyle DIV = { frac {1} {L _ { max}}}}

также меры RQA. Однако связь между этими мерами с положительным максимальным показателем Ляпунова не так проста, как указано, но даже более сложно (для вычисления показателя Ляпунова из RP необходимо учитывать все частотное распределение диагональных линий). Дивергенция может иметь тенденцию к положительному максимальному показателю Ляпунова, но не более. Более того, RP процессов белого шума могут иметь действительно длинную диагональную линию, хотя и очень редко, просто по конечной вероятности. Следовательно, дивергенция не может отражать максимальный показатель Ляпунова.

В вероятность ${ Displaystyle р ( ell)}$ что диагональная линия имеет ровную длину ${ displaystyle ell}$ можно оценить из частотного распределения ${ Displaystyle P ( ell)}$ с ${ displaystyle p ( ell) = { frac {P ( ell)} { sum _ { ell = l _ { min}} ^ {N} P ( ell)}}}$ . В Энтропия Шеннона этой вероятности,

{ displaystyle { text {ENTR}} = - sum _ { ell = ell _ { min}} ^ {N} p ( ell) ln p ( ell),}

отражает сложность детерминированной структуры в системе. Однако эта энтропия сильно зависит от номера бункера и, таким образом, может различаться для разных реализаций одного и того же процесса, а также для разных приготовлений данных.

Последняя мера RQA количественно определяет прореживание графика повторяемости. В тенденция - коэффициент регрессии линейной зависимости между плотностью точек повторения на линии, параллельной LOI, и ее расстоянием до LOI. Точнее, рассмотрим частоту повторения по диагональной линии, параллельной LOI расстояния k (частота рецидивов по диагонали):

{ displaystyle { text {RR}} _ {k} = { frac {1} {N-k}} sum _ {j-i = k} ^ {N-k} mathbf {R} (i, j),}

тогда тренд определяется

{ displaystyle { text {TREND}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ { tilde {N}} (i - { tilde {N}} / 2) (RR_ {i} - langle RR_ {i} rangle)} { sum _ {i = 1} ^ { tilde {N}} (i - { tilde {N}} / 2) ^ {2}}},}

с ${ Displaystyle langle cdot rangle}$ как среднее значение и ${ Displaystyle { тильда {N}}$ . Это последнее соотношение должно гарантировать избежание краевых эффектов слишком низкой плотности точек повторения на краях графика повторения. Мера тенденция предоставляет информацию о стационарности системы.

Подобно определенной по диагонали частоте повторения, другие меры, основанные на диагональных линиях (DET, L, ENTR), могут быть определены по диагонали. Эти определения полезны для изучения взаимосвязей или синхронизация между разными системами (используя графики повторяемости или же графики перекрестной повторяемости ).

Зависящий от времени RQA

Вместо того, чтобы вычислять показатели RQA для всего графика повторяемости, их можно вычислить в небольших окнах, перемещаясь по графику повторяемости вдоль LOI. Это обеспечивает зависящие от времени измерения RQA, которые позволяют обнаруживать, например, переходы хаос-хаос (Марван и др., 2002). Примечание: выбор размера окна может сильно повлиять на размер тенденция.

Пример

Бифуркационная диаграмма для логистической карты.

RQA измеряет логистическую карту для различных настроек параметра управления a. Меры RR и DET имеют максимумы при переходах хаос-порядок / порядок-хаос. Мера DIV имеет ту же тенденцию, что и максимальное Показатель Ляпунова (но это не то же самое!). Мера LAM имеет максимумы при переходах хаос-хаос (ламинарные фазы, прерывистость ).

Приложения

Количественный анализ повторяемости был использован для выявления характеристик Бизнес циклы и экономическое развитие. С этой целью Orlando et al.^[1] разработали так называемый индекс корреляции количественной оценки повторяемости для проверки корреляций RQA на выборке сигнала, а затем исследовали его применение для бизнес-временных рядов. Доказано, что указанный индекс обнаруживает скрытые изменения во временных рядах. Кроме того, Орландо и др.,^[2] на обширном наборе данных показано, что количественный анализ повторяемости может помочь в прогнозировании переходов от ламинарных (то есть регулярных) к турбулентным (то есть хаотическим) фазам, таким как ВВП США в 1949, 1953 и т. д. количественный анализ может выявить различия между макроэкономическими переменными и выявить скрытые особенности экономической динамики.

Смотрите также

Сюжет повторения, мощный инструмент визуализации повторений в динамических (и других) системах.
Энтропия плотности периода повторяемости, теоретико-информационный метод обобщения рекуррентных свойств как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
Приблизительная энтропия

внешняя ссылка

[1] Орландо, Джузеппе; Зиматоре, Джованна (18 декабря 2017 г.). «Корреляции RQA на временных рядах реальных бизнес-циклов». Индийская академия наук - серия конференций. 1 (1): 35–41. Дои:10.29195 / iascs.01.01.0009.

[2] Орландо, Джузеппе; Зиматоре, Джованна (1 мая 2018 г.). «Количественный анализ повторяемости бизнес-циклов». Хаос, солитоны и фракталы. 110: 82–94. Дои:10.1016 / j.chaos.2018.02.032. ISSN 0960-0779.

[1]

[2]