Набор Кантора - Википедия - Cantor set

В математика, то Кантор набор представляет собой набор точек, лежащих на одном отрезок который обладает рядом замечательных и глубоких свойств. Он был открыт в 1874 г. Генри Джон Стивен Смит^[1][2][3][4] и введен немецким математиком Георг Кантор в 1883 г.^[5][6]

Рассмотрев этот набор, Кантор и другие помогли заложить основы современного точечная топология. Хотя сам Кантор определил набор в общем, абстрактном смысле, наиболее распространенной современной конструкцией является Троичный набор Кантора, построенный путем удаления средней трети линейного сегмента и последующего повторения процесса с оставшимися более короткими сегментами. Сам Кантор упомянул троичную конструкцию лишь мимоходом, как пример более общей идеи, а именно: идеальный набор то есть нигде не плотный.

Увеличьте набор Кантора. Каждая точка в наборе представлена ​​здесь вертикальной линией.

Построение и формула тернарного множества

Тройное множество Кантора ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ создается путем итеративного удаления открыто средняя треть из набора отрезков. Начинают с удаления открытой средней трети (1/3, 2/3) от интервал [0, 1], оставляя два отрезка линии: [0,1/3] ∪ [2/3, 1]. Затем открытая средняя треть каждого из этих оставшихся сегментов удаляется, оставляя четыре линейных сегмента: [0,1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. Этот процесс продолжается до бесконечности, где пй набор

${ displaystyle C_ {n} = { frac {C_ {n-1}} {3}} cup left ({ frac {2} {3}} + { frac {C_ {n-1}}) {3}} right) { text {for}} n geq 1, { text {и}} C_ {0} = [0,1].}$

Тернарный набор Кантора содержит все точки в интервале [0, 1], которые не удаляются ни на одном этапе этого бесконечного процесса:

${ displaystyle { mathcal {C}}: = bigcap _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n}.}$

Первые шесть шагов этого процесса показаны ниже.

Используя идею автомодельных преобразований, ${ Displaystyle T_ {L} (х) = х / 3, T_ {R} (х) = (2 + х) / 3}$ и ${ Displaystyle C_ {n} = T_ {L} (C_ {n-1}) чашка T_ {R} (C_ {n-1}),}$ явные замкнутые формулы для множества Кантора:^[7]

${ displaystyle { mathcal {C}} = [0,1] smallsetminus bigcup _ {n = 0} ^ { infty} bigcup _ {k = 0} ^ {3 ^ {n} -1} left ({ frac {3k + 1} {3 ^ {n + 1}}}, { frac {3k + 2} {3 ^ {n + 1}}} right),}$

где каждая средняя треть удалена как открытый интервал ${ displaystyle textstyle left ({ frac {3k + 1} {3 ^ {n + 1}}}, { frac {3k + 2} {3 ^ {n + 1}}} right)}$ из закрытого интервала ${ displaystyle textstyle left [{ frac {3k + 0} {3 ^ {n + 1}}}, { frac {3k + 3} {3 ^ {n + 1}}} right] = left [{ frac {k + 0} {3 ^ {n}}}, { frac {k + 1} {3 ^ {n}}} right]}$ окружающий его, или

${ displaystyle { mathcal {C}} = bigcap _ {n = 1} ^ { infty} bigcup _ {k = 0} ^ {3 ^ {n-1} -1} left ( left [ { frac {3k + 0} {3 ^ {n}}}, { frac {3k + 1} {3 ^ {n}}} right] cup left [{ frac {3k + 2} { 3 ^ {n}}}, { frac {3k + 3} {3 ^ {n}}} right] right),}$

где средняя треть ${ displaystyle textstyle left ({ frac {3k + 1} {3 ^ {n}}}, { frac {3k + 2} {3 ^ {n}}} right)}$ вышеуказанного закрытого интервала ${ displaystyle textstyle left [{ frac {k + 0} {3 ^ {n-1}}}, { frac {k + 1} {3 ^ {n-1}}}} right] = left [{ frac {3k + 0} {3 ^ {n}}}, { frac {3k + 3} {3 ^ {n}}} right]}$ удаляется пересечением с ${ displaystyle textstyle left [{ frac {3k + 0} {3 ^ {n}}}, { frac {3k + 1} {3 ^ {n}}} right] cup left [{ frac {3k + 2} {3 ^ {n}}}, { frac {3k + 3} {3 ^ {n}}} right].}$

Этот процесс удаления средних третей - простой пример правило конечного подразделения. Тройное множество Кантора является примером фрактальная струна.

С арифметической точки зрения множество Кантора состоит из всех действительных чисел единичный интервал ${ displaystyle [0,1]}$ которые не требуют цифры 1, чтобы быть выраженными как тройной (основание 3) дробь. Как показано на приведенной выше диаграмме, каждая точка в наборе Кантора уникально расположена на пути через бесконечно глубокое двоичное дерево, где путь поворачивается влево или вправо на каждом уровне в зависимости от того, на какой стороне удаленного сегмента находится точка. Представление каждого поворота влево с помощью 0 и каждого поворота вправо с помощью 2 дает троичную дробь для точки.

Сочинение

Поскольку множество Кантора определяется как множество не исключенных точек, пропорция (т. Е. мера ) оставшегося единичного интервала можно найти по удаленной общей длине. Эта сумма является геометрическая прогрессия

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {n}} {3 ^ {n + 1}}} = { frac {1} {3}} + { frac {2} {9}} + { frac {4} {27}} + { frac {8} {81}} + cdots = { frac {1} {3}} left ({ frac {1} {1 - { frac {2} {3}}}} right) = 1.}$

Так что оставшаяся пропорция 1 - 1 = 0.

Этот расчет предполагает, что множество Кантора не может содержать никаких интервал ненулевой длины. Может показаться удивительным, что что-то должно остаться - ведь сумма длин удаленных интервалов равна длине исходного интервала. Однако более пристальный взгляд на процесс показывает, что должно что-то остаться, поскольку удаление «средней трети» каждого интервала связано с удалением открытые наборы (наборы, не включающие их конечные точки). Итак, удаление отрезка (¹⁄₃, ²⁄₃) из исходного интервала [0, 1] оставляет точки ¹⁄₃ и ²⁄₃. Последующие шаги не удаляют эти (или другие) конечные точки, поскольку удаленные интервалы всегда являются внутренними по отношению к оставшимся интервалам. Таким образом, множество Кантора не является пустым и фактически содержит бесчисленное бесконечное количество точек (как следует из приведенного выше описания в терминах путей в бесконечном двоичном дереве).

Может показаться, что Только концы строительных сегментов оставлены, но это тоже не так. Номер ¹⁄₄, например, имеет уникальную троичную форму 0,020202 ... = 0.02. Он находится в нижней трети, и в верхней трети этой трети, и в нижней трети этой верхней трети, и так далее. Поскольку он никогда не находится в одном из средних сегментов, он никогда не удаляется. Тем не менее, он также не является конечной точкой какого-либо среднего сегмента, потому что он не кратен какой-либо степени 1/3.^[8]Все конечные точки сегментов прекращение троичные дроби и содержатся в множестве

${ displaystyle {x in [0,1] mid exists i in mathbb {N} _ {0}: x , 3 ^ {i} in mathbb {Z} } qquad { Bigl (} subset mathbb {N} _ {0} , 3 ^ {- mathbb {N} _ {0}} { Bigr)}}$

который является счетно бесконечный установить. мощность, почти все элементы множества Кантора не являются конечными точками интервалов, и все множество Кантора не счетно.

Характеристики

Мощность

Можно показать, что в этом процессе осталось столько же точек, сколько было вначале, и, следовательно, множество Кантора бесчисленный. Чтобы убедиться в этом, покажем, что существует функция ж из набора Кантора ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ на отрезок [0,1], то есть сюръективный (т.е. ж карты из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ на [0,1]), так что мощность из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ не меньше, чем [0,1]. С ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ является подмножеством [0,1], его мощность также не больше, поэтому две мощности должны быть фактически равны по Теорема Кантора – Бернштейна – Шредера..

Чтобы построить эту функцию, рассмотрим точки в интервале [0, 1] в терминах базы 3 (или тройной ) обозначение. Напомним, что правильные троичные дроби, точнее: элементы ${ Displaystyle { bigl (} mathbb {Z} smallsetminus {0 } { bigr)} cdot 3 ^ {- mathbb {N} _ {0}}}$, допускают более одного представления в этой записи, например ¹⁄₃, что можно записать как 0,1₃ = 0.10₃, но также как 0,0222 ...₃ = 0.02₃, и ²⁄₃, что можно записать как 0,2₃ = 0.20₃ но также как 0,1222 ...₃ = 0.12₃.^[9]Когда мы удаляем среднюю треть, она содержит числа с троичными цифрами вида 0,1ххххх ...₃ где xxxxx ...₃ строго между 00000 ...₃ и 22222 ...₃. Итак, числа, оставшиеся после первого шага, состоят из

• Числа вида 0,0ххххх ...₃ (в том числе 0,022222 ...₃ = 1/3)
• Числа вида 0,2ххххх ...₃ (в том числе 0,222222 ...₃ = 1)

Это можно резюмировать, сказав, что те числа с троичным представлением, что первая цифра после точка счисления не 1 - это те, которые остались после первого шага.

На втором этапе удаляются числа вида 0,01хххх ...₃ и 0,21xxxx ...₃, и (с должным вниманием к конечным точкам) можно сделать вывод, что оставшиеся числа - это числа с троичными числами, где ни одно из первых два цифры - 1.

Продолжая таким образом, чтобы число не исключалось на шаге п, он должен иметь троичное представление, п-я цифра не равна 1. Чтобы число входило в набор Кантора, его нельзя исключать ни на каком этапе, оно должно допускать числовое представление, состоящее полностью из нулей и двоек.

Стоит подчеркнуть, что числа вроде 1, ¹⁄₃ = 0.1₃ и ⁷⁄₉ = 0.21₃ находятся в наборе Кантора, поскольку они имеют троичные числа, состоящие полностью из нулей и двоек: 1 = 0,222 ...₃ = 0.2₃, ¹⁄₃ = 0.0222...₃ = 0.02₃ и ⁷⁄₉ = 0.20222...₃ = 0.202₃. Все последние числа являются «конечными точками», и эти примеры верны. предельные точки из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$. То же верно и для левых предельных точек ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$, е. грамм. ²⁄₃ = 0.1222...₃ = 0.12₃ = 0.20₃ и ⁸⁄₉ = 0.21222...₃ = 0.212₃ = 0.220₃. Все эти конечные точки правильный тройной фракции (элементы ${ Displaystyle mathbb {Z} cdot 3 ^ {- mathbb {N} _ {0}}}$) формы ^п⁄_q, где знаменатель q является степенью 3, когда дробь находится в своей несводимый форма.^[8] Тернарное представление этих дробей завершается (т. Е. Конечно) или - напомним, что каждая собственная троичная дробь имеет 2 представления - бесконечно и «заканчивается» либо бесконечным числом повторяющихся нулей, либо бесконечным числом повторяющихся двоек. Такая дробь - левая предельная точка из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ если его троичное представление не содержит единиц и «оканчивается» бесконечным числом повторяющихся нулей. Точно так же правильная троичная дробь является правой предельной точкой ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ если это снова его троичное расширение не содержит единиц и «заканчивается» бесконечным числом повторяющихся двоек.

Этот набор конечных точек плотный в ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ (но не плотно в [0, 1]) и составляет счетно бесконечный набор. Цифры в ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ которые нет конечные точки также имеют только 0 и 2 в своем троичном представлении, но они не могут заканчиваться бесконечным повторением цифры 0 или цифры 2, потому что тогда это будет конечная точка.

Функция из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ to [0,1] определяется путем взятия троичных чисел, которые полностью состоят из 0 и 2, замены всех 2 на 1 и интерпретации последовательности как двоичный представление действительного числа. В формуле

${ displaystyle f { bigg (} sum _ {k in mathbb {N}} a_ {k} 3 ^ {- k} { bigg)} = sum _ {k in mathbb {N} } { frac {a_ {k}} {2}} 2 ^ {- k}}$ куда ${ displaystyle forall k in mathbb {N}: a_ {k} in {0,2 }.}$

На любой номер у в [0,1] его двоичное представление можно преобразовать в троичное представление числа Икс в ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ заменив все единицы на 2. С этим, ж(Икс) = у так что у находится в классифицировать из ж. Например, если у = ³⁄₅ = 0.100110011001...₂ = 0.1001, мы пишем Икс = 0.2002 = 0.200220022002...₃ = ⁷⁄₁₀. Как следствие, ж сюръективно. Тем не мение, ж является нет инъективный - значения, для которых ж(Икс) совпадают, находятся на противоположных концах одного из средние трети удаленный. Например, возьмите

¹⁄₃ = 0.02₃ (которая является правой предельной точкой ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и левая граница средней трети [¹⁄₃,²⁄₃]) и

²⁄₃ = 0.20₃ (который является левой предельной точкой ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и правая граница средней трети [¹⁄₃,²⁄₃])

так

${ displaystyle { begin {array} {lcl} f { bigl (} {} ^ {1} ! ! ! / ! _ {3} { bigr)} = f (0,0 { overline {2}) } _ {3}) = 0,0 { overline {1}} _ {2} = ! ! & ! ! 0,1_ {2} ! ! & ! ! = 0,1 { overline {0 }} _ {2} = f (0.2 { overline {0}} _ {3}) = f { bigl (} {} ^ {2} ! ! / ! _ {3} { bigr) }. & parallel & {} ^ {1} ! ! / ! _ {2} end {array}}}$

Таким образом, в канторовом множестве столько же точек, сколько в интервале [0, 1] (который имеет бесчисленный мощность ${ displaystyle { mathfrak {c}} = 2 ^ { aleph _ {0}}}$). Однако набор конечных точек удаленных интервалов является счетным, поэтому в наборе Кантора должно быть несчетное количество чисел, которые не являются конечными точками интервала. Как отмечалось выше, одним из примеров такого числа является ¹⁄₄, что можно записать как 0,020202 ...₃ = 0.02 в тернарной записи. Фактически, учитывая любые ${ Displaystyle а в [-1,1]}$, существуют ${ displaystyle x, y in { mathcal {C}}}$ такой, что ${ Displaystyle а = у-х}$. Впервые это было продемонстрировано Steinhaus в 1917 году, который с помощью геометрических аргументов доказал эквивалентное утверждение, что ${ displaystyle {(x, y) in mathbb {R} ^ {2} , | , y = x + a } ; cap ; ({ mathcal {C}} times { mathcal {C}}) neq emptyset}$ для каждого ${ Displaystyle а в [-1,1]}$.^[10] Поскольку эта конструкция обеспечивает инъекцию из ${ displaystyle [-1,1]}$ к ${ Displaystyle { mathcal {C}} times { mathcal {C}}}$, у нас есть ${ Displaystyle | { mathcal {C}} times { mathcal {C}} | geq | [-1,1] | = { mathfrak {c}}}$ как непосредственное следствие. При условии, что ${ Displaystyle | A раз A | = | A |}$ для любого бесконечного множества ${ displaystyle A}$ (утверждение, эквивалентное аксиома выбора к Тарский ), это еще раз демонстрирует, что ${ displaystyle | { mathcal {C}} | = { mathfrak {c}}}$.

Множество Кантора содержит столько точек, сколько интервал, из которого оно взято, но само по себе не содержит интервалов ненулевой длины. У иррациональных чисел такое же свойство, но у множества Кантора есть дополнительное свойство быть замкнутым, так что это даже не плотный в любом интервале, в отличие от иррациональных чисел, плотных в каждом интервале.

Было высказано предположение, что все алгебраический иррациональные числа нормальный. Поскольку члены множества Кантора не являются нормальными, это означало бы, что все члены множества Кантора либо рациональны, либо трансцендентный.

Самоподобие

Набор Кантора является прототипом фрактал. это самоподобный, потому что он равен двум самим копиям, если каждая копия будет уменьшена в 3 раза и переведена. Точнее, множество Кантора равно объединению двух функций, левого и правого преобразований самоподобия, ${ Displaystyle T_ {L} (х) = х / 3}$ и ${ Displaystyle T_ {R} (х) = (2 + х) / 3}$, которые оставляют множество Кантора инвариантным с точностью до гомеоморфизм: ${ displaystyle T_ {L} ({ mathcal {C}}) cong T_ {R} ({ mathcal {C}}) cong { mathcal {C}} = T_ {L} ({ mathcal { C}}) cup T_ {R} ({ mathcal {C}}).}$

Повторяется итерация из ${ displaystyle T_ {L}}$ и ${ displaystyle T_ {R}}$ можно представить как бесконечное двоичное дерево. То есть в каждом узле дерева можно рассматривать поддерево слева или справа. Принимая набор ${ displaystyle {T_ {L}, T_ {R} }}$ вместе с функциональная композиция образует моноид, то диадический моноид.

В автоморфизмы двоичного дерева являются его гиперболическими вращениями и задаются модульная группа. Таким образом, множество Кантора является однородное пространство в том смысле, что для любых двух точек ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в наборе Кантора ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$, существует гомеоморфизм ${ displaystyle h: { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}$ с ${ Displaystyle ч (х) = у}$. Явная конструкция ${ displaystyle h}$ можно описать легче, если мы увидим множество Кантора как пространство продукта счетного числа копий дискретного пространства ${ displaystyle {0,1 }}$. Тогда карта ${ displaystyle h: {0,1 } ^ { mathbb {N}} to {0,1 } ^ { mathbb {N}}}$ определяется ${ displaystyle h_ {n} (u): = u_ {n} + x_ {n} + y_ {n} mod 2}$ инволютивный гомеоморфизм, меняющий ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$.

Закон сохранения

Было обнаружено, что за масштабирование и самоподобие всегда отвечает некоторая форма закона сохранения. В случае набора Кантора видно, что ${ displaystyle d_ {f}}$ый момент (где ${ Displaystyle d_ {е} = ln (2) / ln (3)}$ - фрактальная размерность) всех уцелевших интервалов на любом этапе процесса построения равна константе, которая равна единице в случае множества Кантора ^[11][12]. Мы знаем что есть ${ displaystyle N = 2 ^ {n}}$ интервалы размера ${ Displaystyle 1/3 ^ {п}}$присутствует в системе на ${ displaystyle n}$-й шаг его построения. Тогда, если мы обозначим уцелевшие интервалы как ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {2 ^ {n}}}$ затем ${ displaystyle d_ {f}}$й момент ${ displaystyle x_ {1} ^ {d_ {f}} + x_ {2} ^ {d_ {f}} + cdots + x_ {2 ^ {n}} ^ {d_ {f}} = 1}$ поскольку ${ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = cdots = x_ {2 ^ {n}} = 1/3 ^ {n}}$.

В Хаусдорфово измерение множества Кантора равно ln (2) / ln (3) ≈ 0,631.

Топологические и аналитические свойства

Хотя «набор Кантора» обычно относится к исходному кантору в средней трети, описанному выше, топологи часто говорят о «канторовском множестве», что означает любое топологическое пространство, которое гомеоморфный (топологически эквивалентен) ему.

Как показывает приведенный выше аргумент суммирования, множество Кантора неисчислимо, но имеет Мера Лебега 0. Так как множество Кантора является дополнением союз из открытые наборы, это само по себе закрыто подмножество действительных чисел, и, следовательно, полный метрическое пространство. Поскольку это также полностью ограниченный, то Теорема Гейне – Бореля говорит, что это должно быть компактный.

Для любой точки в канторовом множестве и любой сколь угодно малой окрестности точки существует какое-то другое число с троичными числами, состоящими только из нулей и двоек, а также числа, троичные цифры которых содержат единицы. Следовательно, каждая точка множества Кантора является точка накопления (также называемая точкой кластера или предельной точкой) множества Кантора, но ни одна из них не является внутренняя точка. Замкнутое множество, в котором каждая точка является точкой накопления, также называется идеальный набор в топология, а замкнутое подмножество интервала без внутренних точек есть нигде не плотный в интервале.

Каждая точка множества Кантора также является точкой накопления дополнять множества Кантора.

Для любых двух точек в наборе Кантора будет некоторая троичная цифра, где они различаются - одна будет иметь 0, а другая 2. Разделив набор Кантора на «половинки» в зависимости от значения этой цифры, можно получить разделение набор Кантора в два закрытых набора, которые разделяют исходные две точки. в относительная топология на множестве Кантора точки разделены Clopen набор. Следовательно, множество Кантора есть полностью отключен. Как компактный полностью отключенный Пространство Хаусдорфа, множество Кантора является примером Каменное пространство.

Как топологическое пространство, множество Кантора естественно гомеоморфный к товар из счетно много копии пространства ${ displaystyle {0,1 }}$, где каждая копия несет дискретная топология. Это пространство всего последовательности двумя цифрами

${ displaystyle 2 ^ { mathbb {N}} = {(x_ {n}) mid x_ {n} in {0,1 } { text {for}} n in mathbb {N } }}$,

которые также можно отождествить с набором 2-адические целые числа. В основа для открытых множеств топологии продукта являются комплекты цилиндров; гомеоморфизм отображает их на топология подпространства что множество Кантора наследуется от естественной топологии на прямой числовой линии. Эта характеристика Канторовское пространство как произведение компактных пространств дает второе доказательство того, что пространство Кантора компактно, с помощью Теорема Тихонова.

Из приведенной выше характеризации канторово множество гомеоморфно множеству p-адические целые числа, а при удалении из него одной точки - в p-адические числа.

Множество Кантора - это подмножество вещественных чисел, которые являются метрическое пространство с уважением к метрика обычного расстояния; поэтому само множество Кантора является метрическим пространством с использованием той же самой метрики. В качестве альтернативы можно использовать p-адическая метрика на ${ Displaystyle 2 ^ { mathbb {N}}}$: даны две последовательности ${ displaystyle (x_ {n}), (y_ {n}) in 2 ^ { mathbb {N}}}$, расстояние между ними равно ${ displaystyle d ((x_ {n}), (y_ {n})) = 2 ^ {- k}}$, куда ${ displaystyle k}$ наименьший индекс такой, что ${ displaystyle x_ {k} neq y_ {k}}$; если такого индекса нет, то две последовательности совпадают, и одна определяет расстояние равным нулю. Эти две метрики генерируют одинаковые топология на съемочной площадке Кантора.

Выше мы видели, что канторово множество является полностью несвязным совершенным компактным метрическим пространством. В самом деле, в некотором смысле оно единственное: всякое непустое вполне несвязное совершенное компактное метрическое пространство гомеоморфно канторову множеству. Видеть Канторовское пространство для получения дополнительной информации о пространствах, гомеоморфных множеству Кантора.

Набор Кантора иногда рассматривается как «универсальный» в категория из компактный метрические пространства, поскольку любое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора; однако эта конструкция не уникальна, и поэтому множество Кантора не является универсальный в точном категориальном смысле. «Универсальное» свойство имеет важные приложения в функциональный анализ, где его иногда называют теорема о представлении компактных метрических пространств.^[13]

Для любого целого числа q ≥ 2 топология на группе G =Z_q^ω (счетная прямая сумма) дискретна. Хотя Понтрягин дуальный Γ также Z_q^ω, топология Γ компактна. Видно, что Γ полностью несвязна и совершенна, а значит, гомеоморфна канторову множеству. Гомеоморфизм проще всего выписать явно в случае q= 2. (См. Рудин 1962, стр. 40.)

В среднее геометрическое набора Кантора составляет примерно 0,274974.^{[14][ненадежный источник? ]}

Мера и вероятность

Набор Кантора можно рассматривать как компактная группа двоичных последовательностей, и поэтому наделен естественным Мера Хаара. При нормализации таким образом, что размер набора равен 1, он представляет собой модель бесконечной последовательности подбрасываний монеты. Кроме того, можно показать, что обычный Мера Лебега на интервале - это образ меры Хаара на канторовом множестве, а естественная инъекция в тернарное множество - канонический пример особая мера. Также можно показать, что мера Хаара является образом любого вероятность, что в некотором роде делает канторовым набором универсальное вероятностное пространство.

В Мера Лебега Согласно теории, канторово множество является примером несчетного множества, имеющего нулевую меру.^[15]

Числа Кантора

Если мы определим число Кантора как член множества Кантора, то^[16]

• (1) Каждое действительное число в [0, 2] является суммой двух чисел Кантора.
• (2) Между любыми двумя числами Кантора стоит число, не являющееся числом Кантора.

Теория описательных множеств

Множество Кантора - это скудный набор (или набор первой категории) как подмножество [0,1] (хотя и не как подмножество самого себя, так как это Пространство Бэра ). Таким образом, множество Кантора демонстрирует, что понятия «размер» с точки зрения мощности, меры и категории (Бэра) могут не совпадать. Как набор ${ Displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]}$, множество Кантора ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ является «маленьким» в том смысле, что это нулевое множество (множество с нулевой мерой), и это скудное подмножество [0,1]. Однако в отличие от ${ Displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]}$, который счетен и имеет "малую" мощность, ${ displaystyle aleph _ {0}}$, мощность ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ совпадает с [0,1], континуум ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$, и является «большим» в смысле мощности. Фактически, также возможно построить подмножество [0,1], которое является скудным, но положительной меры, и подмножество, которое не является скудным, но имеет нулевую меру:^[17] Взяв счетное объединение «толстых» канторовских множеств ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {(п)}}$ меры ${ Displaystyle лямбда = (п-1) / п}$ (см. конструкцию в множестве Смита – Вольтерра – Кантора ниже), мы получаем множество ${ displaystyle { mathcal {A}}: = bigcup _ {n = 1} ^ { infty} { mathcal {C}} ^ {(n)}}$имеющий положительную меру (равный 1), но скудный на [0,1], поскольку каждый ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {(п)}}$ негде плотно. Затем рассмотрим множество ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ { mathrm {c}} = [0,1] setminus bigcup _ {n = 1} ^ { infty} { mathcal {C}} ^ {(п )}}$. С ${ Displaystyle { mathcal {A}} чашка { mathcal {A}} ^ { mathrm {c}} = [0,1]}$, ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ { mathrm {c}}}$ не может быть скудным, но поскольку ${ Displaystyle му ({ mathcal {A}}) = 1}$, ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ { mathrm {c}}}$ должен иметь нулевую меру.

Варианты

Множество Смита – Вольтерры – Кантора

Вместо того, чтобы многократно удалять среднюю треть каждой части, как в наборе Кантора, мы могли бы также удалить любой другой фиксированный процент (кроме 0% и 100%) из середины. В случае, если середина ⁸⁄₁₀ интервала удаляется, мы получаем замечательно доступный случай - набор состоит из всех чисел в [0,1], которые можно записать в виде десятичной дроби, состоящей полностью из нулей и девяток. Если фиксированный процент удаляется на каждом этапе, то ограничивающий набор будет иметь нулевую меру, поскольку длина остатка ${ Displaystyle (1-е) ^ {п} к 0}$ в качестве ${ displaystyle n to infty}$ для любого ж такой, что ${ Displaystyle 0 <е leq 1}$.

С другой стороны, «толстые канторовские множества» положительной меры могут быть сгенерированы путем удаления более мелких частей середины сегмента на каждой итерации. Таким образом, можно построить множества, гомеоморфные множеству Кантора, которые имеют положительную меру Лебега, но нигде не плотны. Если интервал длины ${ Displaystyle г ^ {п}}$ (${ displaystyle r leq 1/3}$) удаляется из середины каждого сегмента на пth итерации, то общая удаленная длина равна ${ textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {n-1} r ^ {n} = r / (1-2r)}$, а предельный набор будет иметь Мера Лебега из ${ displaystyle lambda = (1-3r) / (1-2r)}$. Таким образом, в некотором смысле канторовское множество средних третей является предельным случаем с ${ displaystyle r = 1/3}$. Если ${ Displaystyle 0 <г <1/3}$, то остаток будет иметь положительную меру с ${ Displaystyle 0 < лямбда <1}$. Дело ${ displaystyle r = 1/4}$ известен как Множество Смита – Вольтерры – Кантора, имеющую меру Лебега ${ displaystyle 1/2}$.

Стохастический набор Кантора

Можно изменить конструкцию множества Кантора путем случайного деления, а не поровну. Кроме того, чтобы включить время, мы можем разделить только один из доступных интервалов на каждом шаге вместо того, чтобы делить все доступные интервалы. В случае стохастического триадического множества Кантора результирующий процесс можно описать следующим уравнением скорости^[11][12]

${ displaystyle {{ partial c (x, t)} over { partial t}} = - {{x ^ {2}} over {2}} c (x, t) +2 int _ { x} ^ { infty} (yx) c (y, t) , dy,}$

а для стохастического диадического множества Кантора^[18]

${ displaystyle {{ partial c (x, t)} over { partial t}} = - xc (x, t) + (1 + p) int _ {x} ^ { infty} c (y , t) , dy,}$

куда ${ Displaystyle с (х, т) dx}$ это количество интервалов размера между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle x + dx}$. В случае триадного канторовского множества фрактальная размерность равна ${ displaystyle 0.5616}$ что меньше, чем его детерминированный аналог ${ displaystyle 0.6309}$. В случае стохастического диадического множества Кантора фрактальная размерность равна ${ displaystyle p}$ что снова меньше, чем у его детерминированного аналога ${ Displaystyle пер (1 + р) / пер 2}$. В случае стохастической диадической системы Кантора решение для ${ Displaystyle с (х, т)}$ экспонаты динамическое масштабирование поскольку ее решение в долгосрочном периоде равно ${ displaystyle t ^ {- (1 + d_ {f})} e ^ {- xt}}$ где фрактальная размерность стохастического диадического канторовского множества ${ displaystyle d_ {f} = p}$. В любом случае, как и триадическое множество Кантора, ${ displaystyle d_ {f}}$й момент (${ displaystyle int x ^ {d_ {f}} c (x, t) dx = { text {constant}}}$) стохастического триадического и диадического канторовского множества также являются сохраняющимися величинами.

Канторовская пыль

Канторовская пыль является многомерной версией множества Кантора. Его можно сформировать, взяв конечный Декартово произведение набора Cantor с самим собой, что делает его Канторовское пространство. Подобно набору Кантора, пыль Кантора имеет нулевая мера.^[19]

Кубики Кантора прогрессия рекурсии к пыли Кантора

Канторовская пыль (2D)

Канторовская пыль (3D)

Другой двумерный аналог множества Кантора - это Ковер Серпинского, где квадрат разделен на девять меньших квадратов, а средний удален. Затем оставшиеся квадраты делятся на девять, а середина удаляется, и так до бесконечности.^[20] Один трехмерный аналог этого - Губка менгера.

Кристофер Домас представил интерактивный инструмент двоичной визуализации на основе канторской пыли на Черная шляпа США 2012.^[21]

Исторические заметки

Заглавная буква столбца с рисунком, напоминающим набор Кантора, но выраженная в двоичном, а не в троичном формате. Гравюра Иль-де-Фила из Описание d'Égypte Жан-Батист Проспер Жоллуа и Эдуард Девилье, Imprimerie Impériale, Париж, 1809-1828 гг.

Сам Кантор определил множество в общем абстрактном смысле и упомянул троичную конструкцию лишь мимоходом, как пример более общей идеи, идеальный набор то есть нигде не плотный. В оригинальной статье представлено несколько различных конструкций абстрактной концепции.

Этот набор считался абстрактным в то время, когда его изобрел Кантор. Сам Кантора к этому привели практические соображения по поводу набора точек, в которых тригонометрический ряд может не сойтись. Открытие во многом помогло ему встать на путь развития аннотация, общая теория бесконечных множеств.

Смотрите также

• Множество Смита – Вольтерры – Кантора
• Гексаграммы (И Цзин)
• Функция Кантора
• Куб Кантора
• Ожерелье Антуана
• Коха снежинка
• Фан Кнастера – Куратовского
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Последовательность Мозера – де Брейна

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• "Кантор сет", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Кантор наборы и Набор Кантора и функция в завязать узел
• Кантор Сет в Платонических мирах