Ожерелье Антуана - Википедия - Antoines necklace

Первая итерация

Вторая итерация

Изображения ожерелья Антуана

По математике Ожерелье Антуана является топологическим вложением Кантор набор в 3-мерном евклидовом пространстве, дополнение которого не односвязный. Это также служит контрпримером к утверждению, что все Канторовские пространства объемно гомеоморфны друг другу. Это было обнаружено Луи Антуан  (1921 ).

Строительство

Ожерелье Антуана строится итеративно следующим образом: Начните с полноторие А⁰ (итерация 0). Затем постройте «ожерелье» из более мелких связанных торов, лежащих внутри А⁰. Это ожерелье А¹ (итерация 1). Каждый тор, составляющий А¹ можно заменить на другое ожерелье меньшего размера, как это было сделано для А⁰. Это дает А² (итерация 2).

Этот процесс можно повторять бесчисленное количество раз, чтобы создать А^п для всех п. Ожерелье Антуана А определяется как пересечение всех итераций.

Характеристики

Поскольку полнотории выбираются произвольно малыми по мере увеличения номера итерации, компоненты связности А должны быть единичные точки. Тогда легко проверить, что А является закрыто, плотный в себе, и полностью отключен, имея мощность континуума. Этого достаточно, чтобы заключить, что в качестве абстрактного метрического пространства А гомеоморфно канторову множеству.

Однако как подмножество евклидова пространства А не является объемно гомеоморфным стандартному канторову множеству C, встроенный в р³ на отрезок. То есть нет бинепрерывного отображения из р³ → р³ что несет C на А. Чтобы показать это, предположим, что существует такая карта час : р³ → р³, и рассмотрим цикл k который переплетен с ожерельем. k не может быть постоянно сокращен до точки, не касаясь А потому что две петли не могут быть разъединены непрерывно. Теперь рассмотрим любую петлю j не пересекаться с C. j можно уменьшить до точки, не касаясь C потому что мы можем просто перемещать его через промежутки времени. Однако петля грамм = час⁻¹(k) - это цикл, не можешь быть сжатым до точки, не касаясь C, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, час не может существовать.

Фактически нет гомеоморфизма р³ отправка А к множеству размерности Хаусдорфа <1, так как дополнение такого множества должно быть односвязным.

Ожерелье Антуана использовали Джеймс Уодделл Александр  (1924 ) строить Рогатая сфера антуана (похоже, но не то же самое, что и Рогатый шар Александра ).

Смотрите также

• Канторовская пыль
• Фан Кнастера – Куратовского
• Ковер Серпинского
• Коллектор Уайтхеда

Рекомендации

• Антуан, Луи (1921), "Sur l'homeomorphisme de deux pictures et leurs voisinages", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4: 221–325
• Александр, Дж. У. (1924), «Замечания о наборе точек, построенном Антуаном», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 10 (1): 10–12, Bibcode:1924ПНАС ... 10 ... 10А, Дои:10.1073 / pnas.10.1.10, JSTOR  84203, ЧВК  1085501, PMID  16576769
• Брехнер, Беверли Л .; Майер, Джон С. (1988), «Ожерелье Антуана или как уберечь ожерелье от разрушения», Математический журнал колледжа, 19 (4): 306–320, Дои:10.2307/2686463, JSTOR  2686463
• Пью, Чарльз Чепмен (2002). Реальный математический анализ. Springer Нью-Йорк. стр.106–108. Дои:10.1007/978-0-387-21684-3. ISBN  9781441929419.