Канторовское пространство - Cantor space

В математика, а Канторовское пространство, названный в честь Георг Кантор, это топологический абстракция классического Кантор набор: а топологическое пространство это Канторовское пространство если это гомеоморфный к Кантор набор. В теория множеств, топологическое пространство 2^ω называется канторовским пространством.

Примеры

Само множество Кантора является канторовым пространством. Но каноническим примером канторовского пространства является счетно бесконечный топологический продукт из дискретное 2-точечное пространство {0, 1}. Обычно это записывается как ${ Displaystyle 2 ^ { mathbb {N}}}$ или 2^ω (где 2 обозначает 2-элементное множество {0,1} с дискретной топологией). Очко в 2^ω - бесконечная двоичная последовательность, то есть последовательность, которая принимает только значения 0 или 1. Для такой последовательности а₀, а₁, а₂, ..., его можно сопоставить с действительным числом

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2a_ {n}} {3 ^ {n + 1}}}.}$

Это отображение дает гомеоморфизм из 2^ω на Кантор набор, демонстрируя, что 2^ω действительно канторовское пространство.

Канторовские пространства в большом количестве встречаются в реальный анализ. Например, они существуют как подпространства в каждом идеально, полный метрическое пространство. (Чтобы убедиться в этом, заметьте, что в таком пространстве любое непустое совершенное множество содержит два непересекающихся непустых совершенных подмножества сколь угодно малого диаметра, и поэтому можно имитировать конструкцию обычного Кантор набор.) Кроме того, все бесчисленные,отделяемый, вполне метризуемое пространство содержит канторовские пространства как подпространства. Это включает в себя большинство обычных типов пространств в реальном анализе.

Характеристика

Топологическая характеристика пространств Кантора дается формулой Брауэр Теорема:^[1]

Топологическое свойство наличия базы, состоящей из незамкнутых множеств, иногда называют «нулевой размерностью». Теорема Брауэра может быть переформулирована следующим образом:

Эта теорема также эквивалентна (через Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр ) к тому, что любые два счетные безатомные булевы алгебры изоморфны.

Характеристики

Как и следовало ожидать из теоремы Брауэра, пространства Кантора появляются в нескольких формах. Но многие свойства канторовских пространств можно установить, используя 2^ω, потому что его конструкция как продукт делает его доступным для анализа.

Пространства Кантора обладают следующими свойствами:

• В мощность любого канторовского пространства есть ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$, это мощность континуума.
• Произведение двух (или даже любого конечного или счетного числа) канторовских пространств является канторовым пространством. Вместе с Функция Кантора, этот факт можно использовать для построения кривые, заполняющие пространство.
• (Непустое) хаусдорфово топологическое пространство компактно метризуемо тогда и только тогда, когда оно является непрерывным образом канторова пространства.^[2][3][4]

Позволять C(Икс) обозначают пространство всех действительных ограниченных непрерывных функций на топологическом пространстве Икс. Позволять K обозначают компактное метрическое пространство, а Δ обозначает канторово множество. Тогда множество Кантора обладает следующим свойством:

• C(K) является изометрический в замкнутое подпространство C(Δ).^[5]

В общем, эта изометрия не уникальна и, следовательно, не является собственно универсальная собственность в категорическом смысле.

• Группа всех гомеоморфизмы пространства Кантора есть просто.^[6]

Смотрите также

• Космос (математика)
• Кантор набор
• Куб Кантора

Рекомендации

• Кечрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств (Тексты для выпускников по математике 156-е изд.). Springer. ISBN  0-387-94374-9.