Кривая заполнения пространства - Space-filling curve

Три итерации Кривая Пеано конструкция, предел которой есть кривая, заполняющая пространство.

В математический анализ, а кривая заполнения пространства это изгиб чей классифицировать содержит всю двумерную единичный квадрат (или в более общем смысле п-размерная единица гиперкуб ). Потому что Джузеппе Пеано (1858–1932) был первым, кто обнаружил одну кривую заполнения пространства в 2-х мерная плоскость иногда называют Кривые Пеано, но эта фраза также относится к Кривая Пеано, конкретный пример кривой заполнения пространства, найденной Пеано.

Определение

Интуитивно, кривую в двух или трех (или более) измерениях можно рассматривать как путь непрерывно движущейся точки. Чтобы устранить присущую этому понятию неопределенность, Иордания в 1887 г. ввел следующее строгое определение, которое с тех пор было принято как точное описание понятия изгиб:

В самом общем виде диапазон такой функции может лежать в произвольном топологическое пространство, но в наиболее часто исследуемых случаях диапазон будет лежать в Евклидово пространство такие как 2-мерная плоскость (a плоская кривая) или трехмерное пространство (пространственная кривая).

Иногда кривую отождествляют с изображение функции (множество всех возможных значений функции), а не самой функции. Также можно определить кривые без конечных точек как непрерывную функцию на реальная линия (или на открытом единичном интервале(0, 1)).

История

В 1890 г. Пеано обнаружил непрерывную кривую, которая теперь называется Кривая Пеано, проходящая через каждую точку единичного квадрата (Пеано (1890) ). Его целью было построить непрерывное отображение от единичный интервал на единичный квадрат. Пеано был мотивирован Георг Кантор ранее противоречивый результат о том, что бесконечное число точек в единичном интервале одинаково мощность как бесконечное число точек в любом конечномерном многообразие, например единичный квадрат. Проблема, которую решил Пеано, заключалась в том, может ли такое отображение быть непрерывным; т.е. кривая, заполняющая пространство. Решение Пеано не создает непрерывного индивидуальная переписка между единичным интервалом и единичным квадратом, и действительно, такого соответствия не существует (см. «Свойства» ниже).

Было принято связывать расплывчатые представления о худоба и одномерность кривых; все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемы (т. е. имеют кусочно-непрерывные производные), и такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, кривая Пеано, заполняющая пространство, оказалась весьма противоречивой.

Из примера Пеано было легко вывести непрерывные кривые, диапазоны которых содержат п-размерный гиперкуб (для любого положительного целого числа п). Также было легко распространить пример Пеано на непрерывные кривые без конечных точек, которые заполняли всю п-мерное евклидово пространство (где п равно 2, 3 или любому другому положительному целому числу).

Наиболее известные кривые, заполняющие пространство, строятся итеративно как предел последовательности кусочно-линейный непрерывные кривые, каждая из которых более точно соответствует пределу заполнения пространства.

Новаторская статья Пеано не содержала иллюстраций его конструкции, которая определяется в терминах троичные расширения и оператор зеркального отображения. Но графическая конструкция была ему совершенно ясна - он сделал орнаментальную плитку с изображением кривой в своем доме в Турине. Статья Пеано также заканчивается замечанием о том, что эту технику, очевидно, можно распространить на другие нечетные базы помимо базы 3. Его выбор - избежать апелляции к графическая визуализация был, без сомнения, мотивирован желанием получить хорошо обоснованные, совершенно строгие доказательства, не связанные с изображениями. В то время (начало основания общей топологии) графические аргументы все еще включались в доказательства, но становились препятствием для понимания часто противоречивых результатов.

Год спустя, Дэвид Гильберт опубликовал в том же журнале вариант конструкции Пеано (Гильберт 1891 ). Статья Гильберта была первой, которая включала картинку, помогающую визуализировать технику построения, по существу такую ​​же, как показано здесь. Аналитическая форма Кривая Гильберта однако он сложнее, чем у Пеано.

Шесть итераций построения кривой Гильберта, предельная кривая, заполняющая пространство, была изобретена математиком Дэвид Гильберт.

Наброски построения кривой заполнения пространства

Позволять ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {C}}}$ обозначить Канторовское пространство ${ Displaystyle scriptstyle mathbf {2} ^ { mathbb {N}}}$.

Начнем с непрерывной функции ${ displaystyle scriptstyle h}$ из пространства Кантора ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {C}}}$ на весь единичный интервал ${ displaystyle scriptstyle [0, , 1]}$. (Ограничение Функция Кантора к Кантор набор является примером такой функции.) Отсюда мы получаем непрерывную функцию ${ displaystyle scriptstyle H}$ из топологического произведения ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} ; times ; { mathcal {C}}}$ на всю единицу площади ${ Displaystyle scriptstyle [0, , 1] ; times ; [0, , 1]}$ установив

${ Displaystyle Н (х, у) = (час (х), час (у)). ,}$

Поскольку множество Кантора гомеоморфный к продукту ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} times { mathcal {C}}}$, существует непрерывная биекция ${ displaystyle scriptstyle g}$ с кантора на ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} ; times ; { mathcal {C}}}$. Сочинение ${ displaystyle scriptstyle f}$ из ${ displaystyle scriptstyle H}$ и ${ displaystyle scriptstyle g}$ - непрерывная функция, отображающая множество Кантора на весь единичный квадрат. (В качестве альтернативы мы могли бы использовать теорему о том, что каждый компактный метрическое пространство - это непрерывный образ множества Кантора для получения функции ${ displaystyle scriptstyle f}$.)

Наконец, можно расширить ${ displaystyle scriptstyle f}$ к непрерывной функции ${ displaystyle scriptstyle F}$ чьей областью является весь единичный интервал ${ displaystyle scriptstyle [0, , 1]}$. Это можно сделать либо с помощью Теорема Титце о продолжении по каждому из компонентов ${ displaystyle scriptstyle f}$, или просто расширив ${ displaystyle scriptstyle f}$ «линейно» (то есть на каждом удаленном открытом интервале ${ Displaystyle scriptstyle (а, , b)}$ при построении множества Кантора мы определяем расширяющую часть ${ displaystyle scriptstyle F}$ на ${ Displaystyle scriptstyle (а, , b)}$ быть отрезком линии в единичном квадрате, соединяющим значения ${ displaystyle scriptstyle f (a)}$ и ${ displaystyle scriptstyle f (b)}$).

Характеристики

Мортон и Гильберта кривые уровня 6 (4⁵= 1024 ячейки в рекурсивное квадратное разбиение ), отображая каждый адрес разным цветом в Стандарт RGB, и используя Geohash этикетки. Окрестности имеют похожие цвета, но каждая кривая предлагает разный образец группировки похожих объектов в меньших масштабах.

Если кривая не инъективна, то можно найти два пересекающихся субкривые кривой, каждый из которых получен путем рассмотрения изображений двух непересекающихся сегментов из области кривой (единичный отрезок прямой). Две субкривые пересекаются, если пересечение из двух изображений непустой. Можно было бы подумать, что значение кривые, пересекающиеся состоит в том, что они обязательно пересекаются друг с другом, как точка пересечения двух непараллельных прямых, от одной стороны к другой. Однако две кривые (или две подкривые одной кривой) могут касаться друг друга без пересечения, как, например, касательная к окружности прямая.

Непересекающаяся непрерывная кривая не может заполнить единичный квадрат, потому что это сделает кривую гомеоморфизм из единичного интервала на единичный квадрат (любой непрерывный биекция из компактное пространство на Пространство Хаусдорфа является гомеоморфизмом). Но единичный квадрат не имеет точка отсечения, а значит, не может быть гомеоморфным единичному интервалу, в котором все точки, кроме конечных, являются точками разреза. Существуют несамопересекающиеся кривые ненулевой площади, Кривые Осгуда, но они не заполняют пространство.

Для классических кривых Пеано и кривых, заполняющих гильбертово пространство, где две подкривые пересекаются (в техническом смысле), существует самоконтакт без самопересечения. Кривая, заполняющая пространство, может быть (везде) самопересекающейся, если ее аппроксимационные кривые являются самопересекающимися. Аппроксимации кривой заполнения пространства можно избежать, как показано на рисунках выше. В трех измерениях аппроксимирующие кривые с самоизбеганием могут даже содержать узлы. Кривые аппроксимации остаются в пределах ограниченной части п-мерное пространство, но их длина неограниченно увеличивается.

Кривые, заполняющие пространство, являются частными случаями фрактальные кривые. Никакой дифференцируемой кривой, заполняющей пространство, существовать не может. Грубо говоря, дифференцируемость ограничивает скорость поворота кривой.

Теорема Хана – Мазуркевича.

В Хан –Мазуркевич Теорема представляет собой следующую характеризацию пространств, являющихся непрерывным образом кривых:

Непустой Хаусдорф топологическое пространство является непрерывным образом единичного интервала тогда и только тогда, когда оно является компактным, связаны, локально связанный, секундомер.

Пространства, представляющие собой непрерывный образ единичного интервала, иногда называют Пространства Пеано.

Во многих формулировках теоремы Хана – Мазуркевича счетный заменяется на метризуемый. Эти две формулировки эквивалентны. В одном направлении компактное хаусдорфово пространство является нормальное пространство и, по Урысон теорема метризации, то второй счетный влечет метризуемость. Наоборот, компактное метрическое пространство счетно до секунды.

Клейнианские группы

В теории дважды вырожденных кривых существует множество естественных примеров кривых, заполняющих пространство или, скорее, сферы. Клейнианские группы. Например,Кэннон и Терстон (2007) показал, что бесконечно удаленный круг универсальный чехол волокна отображение тор из псевдо-Аносовское отображение кривая, заполняющая сферу. (Здесь сфера - это сфера на бесконечности гиперболическое 3-пространство.)

Интеграция

Винер указал в Интеграл Фурье и некоторые его приложения что кривые заполнения пространства можно использовать для уменьшения Интеграция Лебега в высших измерениях к интеграции Лебега в одном измерении.

Смотрите также

• Кривая дракона
• Кривая госпера
• Кривая Гильберта
• Кривая Коха
• Кривая Мура
• Многоугольник Мюррея
• Кривая Серпинского
• Дерево, заполняющее пространство
• Пространственный индекс
• R-дерево Гильберта
• B^Икс-дерево
• Z-порядок (кривая) (Мортон-приказ)
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Рекомендации

• Кэннон, Джеймс У .; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], "Групповые инвариантные кривые Пеано", Геометрия и топология, 11 (3): 1315–1355, Дои:10.2140 / gt.2007.11.1315, ISSN  1465-3060, МИСТЕР  2326947
• Гильберт, Д. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück", Mathematische Annalen (на немецком), 38 (3): 459–460, Дои:10.1007 / BF01199431, S2CID  123643081
• Мандельброт, Б. (1982), "Глава 7: Использование кривых монстров Пеано", Фрактальная геометрия природы, У. Х. Фриман.
• Маккенна, Дуглас М. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid", in Гай, Ричард К.; Вудро, Роберт Э. (ред.), Светлая сторона математики: материалы конференции Мемориала Юджина Стренса по развлекательной математике и ее истории, Математическая ассоциация Америки, стр.49–73, ISBN  978-0-88385-516-4.
• Пеано, Г. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane", Mathematische Annalen (На французском), 36 (1): 157–160, Дои:10.1007 / BF01199438, S2CID  179177780.
• Саган, Ханс (1994), Кривые заполнения пространства, Universitext, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN  0-387-94265-3, МИСТЕР  1299533.

внешняя ссылка

• Многомерные кривые заполнения пространства
• Доказательство существования биекции в завязать узел

Аплеты Java:

• Кривые заполнения плоскости Пеано по завязке
• Кривые заполнения плоскости Гильберта и Мура по завязке
• Все кривые заполнения плоскости Пеано по завязке