Псевдо-Аносовская карта - Pseudo-Anosov map

В математика особенно в топология, а псевдо-Аносовское отображение это тип диффеоморфизм или гомеоморфизм из поверхность. Это обобщение линейного Диффеоморфизм Аносова из тор. Его определение опирается на понятие измеренное слоение представлен Уильям Терстон, который также ввел термин «псевдоаносовский диффеоморфизм», когда доказал классификация диффеоморфизмов поверхности.

Определение мерного слоения

А измеренное слоение F на закрытой поверхности S это геометрическая структура на S который состоит из особого слоение и мера в поперечном направлении. В некоторой окрестности регулярной точки F, есть «проточная коробка» φ: U → р² который посылает листья F к горизонтальным линиям в р². Если два таких района U_я и U_j перекрытие то есть функция перехода φ_ij определено на φ_j(U_j) со стандартным свойством

${ displaystyle phi _ {ij} circ phi _ {j} = phi _ {i},}$

который должен иметь форму

${ Displaystyle фи (х, у) = (е (х, у), с пм у)}$

для некоторой постоянной c. Это гарантирует, что вдоль простой кривой изменение у-координата, измеряемая локально на каждой диаграмме, является геометрической величиной (т.е.не зависит от диаграммы) и позволяет определять общую вариацию вдоль простой замкнутой кривой на S. Конечное число особенностей F типа "пзубчатое седло ", п≥3, разрешены. В такой особой точке дифференцируемая структура поверхности изменяется, чтобы сделать точку конической точкой с общим углом πp. Понятие диффеоморфизма S переопределяется относительно этой модифицированной дифференцируемой структуры. С некоторыми техническими изменениями эти определения распространяются на случай поверхности с границей.

Определение псевдоаносовского отображения

Гомеоморфизм

${ displaystyle f: S to S}$

закрытой поверхности S называется псевдо-Аносов если существует поперечная пара мерных слоений на S, F^s (стабильный) и F^ты (нестабильно) и действительное число λ > 1 такое, что слоения сохраняются ж а их поперечные меры умножаются на 1 /λ и λ. Число λ называется коэффициент растяжения или расширение из ж.

Значение

Терстон построил компактификацию Пространство Тейхмюллера Т(S) поверхности S такое, что действие, индуцированное на Т(S) любым диффеоморфизмом ж из S продолжается до гомеоморфизма компактификации Терстона. Динамика этого гомеоморфизма наиболее проста, когда ж является псевдоаносовским отображением: в этом случае на границе Терстона есть две неподвижные точки, одна притягивающая, а другая отталкивающая, и гомеоморфизм ведет себя аналогично гиперболическому автоморфизму Полуплоскость Пуанкаре. «Общий» диффеоморфизм поверхности рода не меньше двух изотопен псевдоаносовскому диффеоморфизму.

Обобщение

Используя теорию железнодорожные путипонятие псевдоаносовского отображения было распространено на отображение графов в себя (с топологической стороны) и внешние автоморфизмы графов бесплатные группы (с алгебраической стороны). Это приводит к аналогу классификации Терстона для случая автоморфизмов свободных групп, разработанному А. Bestvina и Гендель.

использованная литература

• А. Кассон, С. Блейлер, "Автоморфизмы поверхностей после Нильсена и Терстона", (Студенческие тексты Лондонского математического общества 9), (1988).
• А. Фатхи, Ф. Лауденбах и В. Поэнару, "Travaux de Thurston sur les поверхностей", Asterisque, Vols. 66 и 67 (1979).
• Р. К. Пеннер. "Конструкция псевдоаносовских гомеоморфизмов", Пер. Амер. Математика. Soc., 310 (1988) № 1, 179–197
• Терстон, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамике диффеоморфизмов поверхностей», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 19 (2): 417–431, Дои:10.1090 / S0273-0979-1988-15685-6, ISSN  0002-9904, Г-Н  0956596