Классификация Нильсена – Терстона - Википедия - Nielsen–Thurston classification

В математика, Теорема классификации Терстона характеризует гомеоморфизмы из компактная ориентируемая поверхность. Уильям Терстон Теорема завершает работу, начатую Якоб Нильсен (1944 ).

Учитывая гомеоморфизм ж : S → S, есть карта грамм изотопический к ж такое, что выполняется хотя бы одно из следующего:

грамм периодическая, т.е. некоторая степень грамм это личность;
грамм сохраняет некоторое конечное объединение непересекающихся простых замкнутых кривых на S (в этом случае, грамм называется сводимый); или же
грамм является псевдо-Аносов.

Случай, когда S это тор (т.е. поверхность, род единица) обрабатывается отдельно (см. расслоение торов ) и был известен до работ Терстона. Если род S два или больше, то S естественно гиперболический, и инструменты Теория Тейхмюллера стать полезным. Далее мы полагаем S имеет род по крайней мере два, как это и рассматривал Терстон. (Обратите внимание, однако, что случаи, когда S имеет граница или нет ориентируемый определенно по-прежнему представляют интерес.)

Три типа в этой классификации: нет взаимоисключающие, хотя псевдо-Аносов гомеоморфизм никогда не бывает периодический или же сводимый. А сводимый гомеоморфизм грамм можно далее проанализировать, разрезая поверхность по сохраненному объединению простых замкнутых кривых Γ. Каждая из полученных компактных поверхностей с граница действует какая-то сила (т.е. повторяющаяся композиция ) из грамм, и классификация снова может быть применена к этому гомеоморфизму.

Группа классов отображений для поверхностей высшего рода

Классификация Терстона применяется к гомеоморфизмам ориентируемых поверхностей рода ≥ 2, но тип гомеоморфизма зависит только от ассоциированного с ним элемента группа классов отображения Мод (S). Фактически, доказательство классификационной теоремы приводит к канонический представитель каждого класса отображения с хорошими геометрическими свойствами. Например:

Когда грамм является периодическим, существует элемент его класса отображения, который является изометрия из гиперболическая структура на S.
Когда грамм является псевдо-Аносов, существует элемент его класса отображения, который сохраняет пару поперечный единственное число слоения из S, растягивая листья одного ( неустойчивый слоение), сжимая листья другого ( стабильный слоение).

Отображение торов

Первоначальной мотивацией Терстона к разработке этой классификации было обнаружение геометрических структур на отображение торов типа, предсказанного Гипотеза геометризации. В отображение тор M_грамм гомеоморфизма грамм поверхности S это 3-х коллекторный получен из S × [0,1] приклеиванием S × {0} в S × {1} с использованием грамм. Геометрическая структура M_грамм относится к типу грамм в классификации следующим образом:

Если грамм периодичен, то M_грамм имеет ЧАС² × R структура;
Если грамм является сводимый, тогда M_грамм имеет несжимаемый тори, и должны быть разрезаны вдоль этих торов, чтобы получить куски, каждый из которых имеет геометрическую структуру ( Разложение JSJ );
Если грамм является псевдо-Аносов, тогда M_грамм имеет гиперболический (т.е. ЧАС³) структура.

Первые два случая сравнительно просты, в то время как существование гиперболической структуры на торе отображения псевдоаносовского гомеоморфизма - глубокая и трудная теорема (в том числе из-за Терстон ). Возникающие таким образом трехмерные гиперболические многообразия называются волокнистый потому что они поверхностные пучки по окружности, и эти многообразия рассматриваются отдельно в доказательстве термина Терстона. теорема о геометризации за Многообразия Хакена. Волокнистые гиперболические трехмерные многообразия обладают рядом интересных и патологических свойств; например, Кэннон и Терстон показали, что поверхностная подгруппа возникающих Клейнианская группа имеет установленный предел который является кривая заполнения сферы.

Классификация с фиксированной точкой

Три типа поверхностных гомеоморфизмов также связаны с динамика группы классов отображений Mod (S) на Пространство Тейхмюллера Т(S). Терстон представил компактификация из Т(S), гомеоморфного замкнутому шару, на который действует Mod (S) расширяется естественным образом. Тип элемента грамм группы классов отображений в классификации Терстона связана с ее неподвижными точками при действии на компактификацию Т(S):

Если грамм периодичен, то внутри Т(S); эта точка соответствует гиперболическая структура на S чей группа изометрии содержит элемент, изотопный грамм;
Если грамм является псевдо-Аносов, тогда грамм не имеет фиксированных точек в Т(S), но имеет пару неподвижных точек на границе Терстона; эти неподвижные точки соответствуют стабильный и неустойчивый слоения S сохранено грамм.
Для некоторых сводимый классы отображения грамм, на границе Терстона есть единственная фиксированная точка; пример - это мульти-твист вдоль разложение штанов Γ. В этом случае неподвижная точка грамм на границе Терстона соответствует Γ.

Это напоминает классификацию гиперболический изометрии в эллиптический, параболический, и гиперболический типы (которые имеют структуры с фиксированной точкой, аналогичные периодический, сводимый, и псевдо-Аносов перечисленные выше типы).

Смотрите также

Карта пути поезда

Классификация Нильсена – Терстона - Википедия - Nielsen–Thurston classification

Содержание

Группа классов отображений для поверхностей высшего рода

Отображение торов

Классификация с фиксированной точкой

Смотрите также

Рекомендации