Самостоятельная прогулка - Self-avoiding walk

Само избегание walk.svg

В математика, а самопроизвольная прогулка (УВИДЕЛ) это последовательность ходов на решетка (а решетчатый путь ), который не посещает одну и ту же точку более одного раза. Это частный случай теоретический график понятие дорожка. А самоизбегающий многоугольник (SAP) - замкнутая прогулка по решетке с самоперебеганием. С математической точки зрения о самопроизвольном беге точно известно очень мало, хотя физики выдвинули множество предположений, которые считаются верными и полностью подтверждаются численным моделированием.

В вычислительная физика, прогулка с самоуничижением - это цепочка в р2 или р3 с определенным количеством узлов, обычно фиксированной длиной шага и тем свойством, что он не пересекает себя или другой шаг. Система ПАВ удовлетворяет так называемому исключенный объем условие. Считается, что в более высоких измерениях SAW ведет себя так же, как обычный случайная прогулка.

SAW и SAP играют центральную роль в моделировании топологический и теоретико-узловой поведение нитевидных и петлевых молекул, таких как белки. Действительно, ПАВ, возможно, были впервые введены химиком. Пол Флори[1][сомнительный – обсудить] для моделирования реального поведения цепочечных объектов, таких как растворители и полимеры, физический объем которого запрещает многократное заполнение одной и той же точки пространства.

SAW фракталы.[2][3] Например, в d = 2 то фрактальная размерность составляет 4/3, для d = 3 это близко к 5/3, а для d ≥ 4 фрактальная размерность 2. Размер называется верхним критическое измерение выше которого исключенный объем незначителен. ПАВ, которая не удовлетворяет условию исключенного объема, недавно была исследована для моделирования явного геометрия поверхности в результате расширения SAW.[4]

Свойства ПАВ невозможно рассчитать аналитически, поэтому численные симуляции работают. В алгоритм поворота это общий метод для Цепь Маркова Монте-Карло моделирование униформы мера на п-шаговые прогулки с самоуправлением. Алгоритм поворота работает, выбирая самопроизвольную прогулку и случайным образом выбирая точку на этом обходе, а затем применяя симметричный трансформации (вращения и отражения) на прогулке после п-й шаг для создания новой прогулки.

Вычисление количества блужданий с самоизбеганием в любой заданной решетке является обычным вычислительная проблема. В настоящее время нет известной формулы, хотя существуют строгие методы приближения.[5][6]

Для самопроизвольных прогулок от одного конца диагонали до другого с движениями только в положительном направлении есть ровно

пути для м × п прямоугольная решетка.

Универсальность

Одним из явлений, связанных с самопроизвольными прогулками и моделями статистической физики в целом, является понятие универсальность, то есть независимость макроскопических наблюдаемых от микроскопических деталей, таких как выбор решетки. Одна важная величина, которая появляется в гипотезах универсальных законов, - это соединительная константа, определяемый следующим образом. Позволять cп обозначить количество п-шаговые прогулки с самоуправлением. Поскольку каждый (п + м)-шаговую прогулку с самоизбеганием можно разложить на п-шаговая прогулка и м-шаговая прогулка с самоизбеганием, отсюда следует, что cп+м ≤ cпcм. Следовательно, последовательность {бревно cп} является субаддитив и мы можем применить Лемма Фекете чтобы показать, что существует следующий предел:

μ называется соединительная константа, поскольку cп зависит от конкретной решетки, выбранной для прогулки, поэтому μ. Точная стоимость μ известен только для гексагональной решетки, где он равен:[7]

Для других решеток μ был оценен только численно и, как полагают, даже не является алгебраическое число. Предполагается, что[нужна цитата ]

так как п → ∞, куда μ зависит от решетки, но поправка по степенному закону не; Другими словами, этот закон считается универсальным.

В сетях

Прогулки с самоограничением также изучались в контексте теория сети.[8] В этом контексте принято рассматривать SAW как динамический процесс, так что на каждом временном шаге ходунок случайным образом переключается между соседними узлами сети. Обход заканчивается, когда обходчик достигает тупикового состояния, так что он больше не может переходить к новым непосещенным узлам. Недавно было обнаружено, что на Эрдеш – Реньи сетей, распределение длин путей таких динамически выращиваемых ПАВ может быть рассчитано аналитически и следует Распределение Гомперца.[9]

Пределы

Рассмотрим равномерную меру на п-шаговые прогулки с самоуправлением в полной плоскости. В настоящее время неизвестно, является ли предел единой меры как п → ∞ индуцирует меру на бесконечных блужданиях по всей плоскости. Однако, Гарри Кестен показал, что такая мера существует для самопроизвольных блужданий в полуплоскости. Один важный вопрос, связанный с прогулками с самопроизвольным уходом, - это существование и конформная инвариантность предел масштабирования, то есть предел, когда длина обхода стремится к бесконечности, а сетка решетки стремится к нулю. В предел масштабирования Прогулки с самопроизвольным уходом, как предполагается, описываются Эволюция Шрамма – Лёвнера с параметром κ = 8/3.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ П. Флори (1953). Принципы химии полимеров. Издательство Корнельского университета. п. 672. ISBN  9780801401343.
  2. ^ С. Хавлин; Д. Бен-Авраам (1982). «Новый подход к самопроизвольным прогулкам как критическое явление». J. Phys. А. 15 (6): L321 – L328. Bibcode:1982JPhA ... 15L.321H. Дои:10.1088/0305-4470/15/6/013.
  3. ^ С. Хавлин; Д. Бен-Авраам (1982). «Теоретическое и численное исследование фрактальной размерности в прогулках с самоизбеганием». Phys. Ред. А. 26 (3): 1728–1734. Bibcode:1982PhRvA..26.1728H. Дои:10.1103 / PhysRevA.26.1728.
  4. ^ А. Бакш; Г. Тюрк; J.S. Вайц (2014). «Волоконная прогулка: модель роста за счет кончиков пальцев с боковым расширением». PLOS ONE. 9 (1): e85585. arXiv:1304.3521. Bibcode:2014PLoSO ... 985585B. Дои:10.1371 / journal.pone.0085585. ЧВК  3899046. PMID  24465607.
  5. ^ Хейс Б. (июль – август 1998 г.). «Как избежать себя» (PDF). Американский ученый. 86 (4): 314. Дои:10.1511/1998.31.3301.
  6. ^ Liśkiewicz M; Огихара М; Тода S (июль 2003 г.). «Сложность подсчета самоизбегающих прогулок в подграфах двумерных сеток и гиперкубов». Теоретическая информатика. 304 (1–3): 129–56. Дои:10.1016 / S0304-3975 (03) 00080-X.
  7. ^ Думинил-Копен, Гюго; Смирнов Станислав (1 мая 2012 г.). «Связующая постоянная сотовой решетки равна sqrt (2 + sqrt 2)». Анналы математики. 175 (3): 1653–1665. arXiv:1007.0575. Дои:10.4007 / анналы.2012.175.3.14.
  8. ^ Карлос П. Эрреро (2005). «Самоизбегающие прогулки по безмасштабным сетям». Phys. Ред. E. 71 (3): 1728. arXiv:cond-mat / 0412658. Bibcode:2005PhRvE..71a6103H. Дои:10.1103 / PhysRevE.71.016103. PMID  15697654.
  9. ^ Tishby, I .; Biham, O .; Кацав, Э. (2016). «Распределение длин пути самопроизвольных прогулок по сетям Эрдеша – Реньи». Журнал физики A: математический и теоретический. 49 (28): 285002. arXiv:1603.06613. Bibcode:2016JPhA ... 49B5002T. Дои:10.1088/1751-8113/49/28/285002.

дальнейшее чтение

  1. Madras, N .; Слэйд, Г. (1996). Самоизбегающая прогулка. Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-3891-7.
  2. Лоулер, Г. Ф. (1991). Пересечения случайных блужданий. Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-3892-4.
  3. Madras, N .; Сокал, А. Д. (1988). «Алгоритм поворота - высокоэффективный метод Монте-Карло для самоизбегающей прогулки». Журнал статистической физики. 50 (1–2): 109–186. Bibcode:1988JSP .... 50..109M. Дои:10.1007 / bf01022990.
  4. Фишер, М. Э. (1966). «Форма самоустраивающейся прогулки или полимерной цепи». Журнал химической физики. 44 (2): 616–622. Bibcode:1966ЖЧФ..44..616Ф. Дои:10.1063/1.1726734.

внешняя ссылка