Критический аспект - Critical dimension

в ренормгруппа анализ фазовые переходы в физика, а критическое измерение это размерность пространства, в котором меняется характер фазового перехода. Ниже нижний критический размер фазового перехода нет. Выше верхний критический размер то критические показатели теории стали такими же, как в теория среднего поля. Элегантный критерий получения критической размерности в рамках теории среднего поля обусловлен В. Гинзбург.

Поскольку ренормгруппа устанавливает связь между фазовым переходом и квантовая теория поля, это имеет значение для последнего и для нашего более широкого понимания перенормировки в целом. Выше верхнего критического измерения квантовая теория поля, которая принадлежит модели фазового перехода, является теория свободного поля. Ниже нижнего критического размера теории поля, соответствующей модели, не существует.

В контексте теория струн значение более ограничено: критическое измерение это измерение, в котором теория струн согласован при условии постоянного дилатон фон без дополнительных искажающих изменений от радиационного фона. Точное количество может быть определено путем необходимой отмены конформная аномалия на мировой лист; это 26 для бозонная теория струн и 10 для теория суперструн.

Верхняя критическая размерность в теории поля

Определение верхней критической размерности теории поля - это вопрос линейная алгебра. Целесообразно формализовать процедуру, поскольку она дает приближение самого низкого порядка для масштабирования и существенные входные данные для ренормгруппа. Он также показывает, в первую очередь, условия для наличия критической модели.

Показатели мономов критического лагранжиана определяют гиперплоскость в пространстве показателей. Верхний критический размер можно прочитать на

{ displaystyle E_ {1}}

-ось..

А Лагранжиан можно записать в виде суммы слагаемых, каждое из которых представляет собой интеграл по одночлен координат ${ displaystyle x_ {i}}$ и поля ${ displaystyle phi _ {я}}$ . Примеры стандартные ${ displaystyle phi ^ {4}}$ -модель и изотропный Трикритическая точка Лифшица с лагранжианами

{ displaystyle displaystyle S = int d ^ {d} x left {{ frac {1} {2}} left ( nabla phi right) ^ {2} + u phi ^ {4 }верно},}

{ displaystyle displaystyle S_ {LTP} = int d ^ {d} x left {{ frac {1} {2}} left ( nabla ^ {2} phi right) ^ {2} + u phi ^ {3} nabla ^ {2} phi + w phi ^ {6} right },}

см. также рисунок справа. Эта простая структура может быть совместима с масштабная инвариантность при изменении масштаба координат и полей с коэффициентом ${ displaystyle b}$ в соответствии с

{ displaystyle displaystyle x_ {i} rightarrow x_ {i} b ^ { left [x_ {i} right]}, phi _ {i} rightarrow phi _ {i} b ^ { left [ phi _ {i} right]}.}

Время здесь не выделяется - это просто еще одна координата: если лагранжиан содержит переменную времени, то эту переменную следует масштабировать как ${ displaystyle t rightarrow tb ^ {- z}}$ с некоторым постоянным показателем ${ displaystyle z = - [t]}$ . Цель состоит в том, чтобы определить набор экспонент ${ Displaystyle N = {[x_ {i}], [ phi _ {i}] }}$ .

Один показатель, скажем ${ displaystyle [x_ {1}]}$ , может быть выбран произвольно, например ${ displaystyle [x_ {1}] = - 1}$ . На языке размерного анализа это означает, что показатели степени ${ displaystyle N}$ считать множители волнового вектора (a обратная длина ${ Displaystyle к = 1 / L_ {1}}$ ). Таким образом, каждый моном лагранжиана приводит к однородному линейному уравнению ${ Displaystyle сумма E_ {я, j} N_ {j} = 0}$ для экспонентов ${ displaystyle N}$ . Если есть ${ displaystyle M}$ (неэквивалентные) координаты и поля в лагранжиане, то ${ displaystyle M}$ такие уравнения составляют квадратную матрицу. Если бы эта матрица была обратимой, то было бы только тривиальное решение ${ displaystyle N = 0}$ .

Условие ${ displaystyle det (E_ {i, j}) = 0}$ для нетривиального решения дает уравнение между размерностями пространства, которое определяет верхнюю критическую размерность ${ displaystyle d_ {u}}$ (при условии, что есть только одно переменное измерение ${ displaystyle d}$ в лагранжиане). Переопределение координат и полей теперь показывает, что определение показателей масштабирования ${ displaystyle N}$ эквивалентен анализу размеров по отношению к волновому вектору ${ displaystyle k}$ , при этом все константы связи, входящие в лагранжиан, становятся безразмерными. Безразмерные константы связи являются техническим признаком верхнего критического размера.

Наивное масштабирование на уровне лагранжиана не соответствует напрямую физическому масштабированию, поскольку отрезать требуется для придания смысла теория поля и интеграл по путям. При изменении масштаба длины изменяется и количество степеней свободы. Это усложнение учитывается ренормгруппа. Главный результат в верхнем критическом измерении состоит в том, что масштабная инвариантность сохраняется для больших факторов. ${ displaystyle b}$ , но с дополнительными ${ displaystyle ln (b)}$ факторы при масштабировании координат и полей.

Что происходит ниже или выше ${ displaystyle d_ {u}}$ зависит от того, интересуются ли большие расстояния (статистическая теория поля ) или короткие расстояния (квантовая теория поля ). Квантовые теории поля тривиальны (сходятся) ниже. ${ displaystyle d_ {u}}$ и не перенормируем выше ${ displaystyle d_ {u}}$ .^[1] Статистические теории поля тривиальны (сходятся) выше ${ displaystyle d_ {u}}$ и перенормируемый ниже ${ displaystyle d_ {u}}$ . В последнем случае возникают «аномальные» вклады в наивные показатели масштабирования ${ displaystyle N}$ . Эти аномальные вклады в эффективную критические показатели обращаются в нуль в верхнем критическом измерении.

Поучительно увидеть, как масштабная инвариантность в верхнем критическом измерении становится масштабной инвариантностью ниже этого измерения. Для малых внешних волновых векторов вершинные функции ${ displaystyle Gamma}$ приобретать дополнительные показатели, например ${ Displaystyle Гамма _ {2} (к) Thicksim k ^ {2- eta (d)}}$ . Если эти показатели вставлены в матрицу ${ Displaystyle A (d)}$ (который имеет значения только в первом столбце), условие масштабной инвариантности становится ${ Displaystyle Det (Е + А (d)) = 0}$ . Это уравнение может быть выполнено только в том случае, если аномальные показатели вершинных функций каким-либо образом взаимодействуют. Фактически, вершинные функции иерархически зависят друг от друга. Один из способов выразить эту взаимозависимость - это Уравнения Дайсона-Швингера.

Наивное масштабирование при ${ displaystyle d_ {u}}$ таким образом, важно как приближение нулевого порядка. Наивное масштабирование в верхнем критическом измерении также классифицирует члены лагранжиана как релевантные, нерелевантные или маргинальные. Лагранжиан совместим с масштабированием, если ${ displaystyle x_ {i}}$ - и ${ displaystyle phi _ {я}}$ -экспоненты ${ displaystyle E_ {i, j}}$ лежать на гиперплоскости, примеры см. на рисунке выше. ${ displaystyle N}$ - нормальный вектор этой гиперплоскости.

Нижний критический размер

Нижний критический размер ${ displaystyle d_ {L}}$ фазового перехода заданного класс универсальности - последнее измерение, для которого этот фазовый переход не происходит, если размерность увеличивается, начиная с ${ displaystyle d = 1}$ .

Термодинамическая устойчивость упорядоченной фазы зависит от энтропия и энергия. Количественно это зависит от типа доменные стены и их режимы колебаний. Похоже, что не существует общего формального способа вывести нижнюю критическую размерность теории поля. Нижние оценки могут быть получены с помощью статистическая механика аргументы.

Рассмотрим сначала одномерную систему с короткодействующими взаимодействиями. Создание доменной стенки требует фиксированного количества энергии ${ displaystyle epsilon}$ . Извлечение этой энергии из других степеней свободы уменьшает энтропию на ${ Displaystyle Delta S = - epsilon / T}$ . Это изменение энтропии необходимо сравнивать с энтропией самой доменной стенки.^[2] В системе длины ${ displaystyle L}$ Существуют ${ displaystyle L / a}$ позиции для доменной стенки, ведущие (по Принцип Больцмана ) к увеличению энтропии ${ Displaystyle Delta S = k_ {B} log (L / a)}$ . Для ненулевой температуры ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle L}$ достаточно большой, всегда преобладает прирост энтропии, и поэтому в одномерных системах с короткодействующими взаимодействиями при ${ displaystyle T> 0}$ . Космическое измерение ${ displaystyle d_ {1} = 1}$ таким образом, это нижняя граница нижней критической размерности таких систем.

Более сильная нижняя граница ${ displaystyle d_ {L} = 2}$ могут быть получены с помощью аналогичных аргументов для систем с короткодействующими взаимодействиями и параметр порядка с непрерывной симметрией. В этом случае Теорема Мермина-Вагнера утверждает, что математическое ожидание параметра порядка обращается в нуль в ${ displaystyle d = 2}$ в ${ displaystyle T> 0}$ , и поэтому фазовый переход обычного типа при ${ displaystyle d_ {L} = 2}$ и ниже.

Для систем с подавленный беспорядок критерий, данный Имри и Ма^[3] может быть актуальным. Эти авторы использовали критерий для определения нижнего критического размера магнитов со случайным полем.

внешняя ссылка

Kanon: бесплатная программа для Windows для определения верхнего критического измерения с примерами, интерактивной справкой и математическими подробностями.

[1] Зинн-Джастин, Жан (1996). Квантовая теория поля и критические явления. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-851882-X.

[2] Питаевский, Л. П .; Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М .; Sykes, J. B .; Kearsley, M. W .; Лифшиц, Э. М. (1991). Статистическая физика. Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-3372-7.

[3] Imry, Y .; С. К. Ма (1975). «Неустойчивость случайного поля упорядоченного состояния непрерывной симметрии». Phys. Rev. Lett. 35 (21): 1399–1401. Bibcode:1975ПхРвЛ..35.1399И. Дои:10.1103 / PhysRevLett.35.1399.

[1]

[2]

[3]

Критический аспект - Critical dimension

Содержание

Верхняя критическая размерность в теории поля

Нижний критический размер

Рекомендации

внешняя ссылка