Лагранжиан (теория поля) - Lagrangian (field theory)

Лагранжева теория поля формализм в классическая теория поля. Это теоретико-полевой аналог Лагранжева механика. Лагранжева механика используется для анализа движения системы дискретных частиц, каждая из которых имеет конечное число степени свободы. Теория лагранжевого поля применима к континуумам и полям, которые имеют бесконечное число степеней свободы.

Одна из причин развития лагранжевого формализма полей и, в более общем смысле, классическая теория поля, заключается в обеспечении чистой математической основы для квантовая теория поля, который, как известно, сталкивается с формальными трудностями, которые делают его неприемлемым в качестве математической теории. Представленные здесь лагранжианы идентичны своим квантовым эквивалентам, но, рассматривая поля как классические поля, вместо квантования можно дать определения и получить решения со свойствами, совместимыми с традиционным формальным подходом к математике уравнения в частных производных. Это позволяет формулировать решения для пространств с хорошо изученными свойствами, такими как Соболевские пространства. Он позволяет предоставлять различные теоремы, от доказательств существования до равномерное схождение формальных рядов к общим настройкам теория потенциала. Кроме того, понимание и ясность достигается путем обобщения Римановы многообразия и пучки волокон, позволяя четко различить геометрическую структуру и отделить ее от соответствующих уравнений движения. Более четкое представление о геометрической структуре, в свою очередь, позволило использовать весьма абстрактные геометрические теоремы для понимания, начиная от Теорема Черна – Гаусса – Бонне. и Теорема Римана – Роха к Теорема Атьи – Зингера об индексе и Теория Черна – Саймонса.

Обзор

В теории поля независимая переменная заменяется событием в пространство-время (Икс, y, z, т), или, в более общем смысле, еще точкой s на Риманово многообразие. Зависимые переменные (q) заменяются значением поля в этой точке пространства-времени ${ Displaystyle varphi (х, у, z, т)}$ таким образом уравнения движения получены с помощью действие принцип, записанный как:

${ displaystyle { frac { delta { mathcal {S}}} { delta varphi _ {i}}} = 0, ,}$

где действие, ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$, это функциональный зависимых переменных ${ displaystyle varphi _ {я} (s)}$, их производные и s сам

${ displaystyle { mathcal {S}} left [ varphi _ {i} right] = int {{ mathcal {L}} left ( varphi _ {i} (s), left { { frac { partial varphi _ {i} (s)} { partial s ^ { alpha}}} right }, {s ^ { alpha} } right) , mathrm { d} ^ {n} s}}$,

где скобки обозначают ${ Displaystyle { cdot ~ forall alpha }}$;и s = {s^α} обозначает набор из п независимые переменные системы, включая временную переменную, и индексируется α = 1, 2, 3,..., п. Каллиграфический шрифт, ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$, используется для обозначения плотность, и ${ displaystyle mathrm {d} ^ {n} s}$ это объемная форма полевой функции, т.е. мера области определения полевой функции.

В математических формулировках лагранжиан принято выражать как функцию на пучок волокон, при этом уравнения Эйлера – Лагранжа можно интерпретировать как задающие геодезические на пучке волокон. Учебник Авраама и Марсдена^[1] предоставил первое исчерпывающее описание классическая механика с точки зрения современных геометрических представлений, т.е. с точки зрения касательные многообразия, симплектические многообразия и контактная геометрия. Учебник Бликера^[2] обеспечил первое исчерпывающее изложение теорий поля в физике в терминах калибровочно-инвариантных расслоений. (Такие составы были известны или подозревались задолго до этого; Бликер выделяется тем, что предоставил тщательное и полное изложение всех тонкостей.) Йост^[3] продолжает геометрическое представление, разъясняя связь между гамильтоновой и лагранжевой формами, описывая спиновые многообразия из первых принципов и т. д. Текущие исследования сосредоточены на нежесткий аффинные структуры (иногда называемые «квантовыми структурами»), в которых вхождения векторных пространств заменяются на тензорные алгебры. Это исследование мотивировано передовым пониманием квантовые группы так как аффинные алгебры Ли (Группы Ли в некотором смысле «жесткие», поскольку они определены своей алгеброй Ли. При переформулировке на тензорной алгебре они становятся «гибкими», имеющими бесконечные степени свободы; см. например Алгебра Вирасоро.)

Определения

В лагранжевой теории поля лагранжиан как функция обобщенные координаты заменяется лагранжевой плотностью, функцией полей в системе и их производных и, возможно, самими пространственными и временными координатами. В теории поля независимая переменная т заменяется событием в пространстве-времени (Икс, y, z, т) или, в более общем смысле, точкой s на коллекторе.

Часто «плотность лагранжиана» называют просто «лагранжианом».

Скалярные поля

Для одного скалярного поля ${ displaystyle varphi}$, плотность лагранжиана примет вид:^{[nb 1][4]}

${ Displaystyle { mathcal {L}} ( varphi, nabla varphi, partial varphi / partial t, mathbf {x}, t)}$

Для многих скалярных полей

${ displaystyle { mathcal {L}} ( varphi _ {1}, nabla varphi _ {1}, partial varphi _ {1} / partial t, ldots, varphi _ {2}, nabla varphi _ {2}, partial varphi _ {2} / partial t, ldots, mathbf {x}, t)}$

В математических формулировках под скалярными полями понимается координаты на пучок волокон, а производные поля понимаются как разделы из связка струй.

Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля

Сказанное выше можно обобщить на векторные поля, тензорные поля, и спинорные поля. В физике фермионы описываются спинорными полями. Бозоны описываются тензорными полями, которые включают в себя скалярные и векторные поля как частные случаи.

Например, если есть ${ displaystyle m}$ настоящий -ценный скалярные поля, ${ displaystyle varphi _ {1}, dots, varphi _ {m}}$, то полевое многообразие есть ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$. Если поле настоящее векторное поле, то полевое многообразие есть изоморфный к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$.

Действие

В интеграл по времени лагранжиана называется действие обозначается S. В теории поля иногда проводится различие между Лагранжиан L, интеграл по времени - это действие

${ Displaystyle { mathcal {S}} = int L , mathrm {d} т ,,}$

и Плотность лагранжиана ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$, который объединяет по всем пространство-время чтобы получить действие:

${ Displaystyle { mathcal {S}} [ varphi] = int { mathcal {L}} ( varphi, nabla varphi, partial varphi / partial t, mathbf {x}, t) , mathrm {d} ^ {3} mathbf {x} , mathrm {d} t.}$

Пространственный объемный интеграл плотности лагранжиана является лагранжианом, в 3d

${ Displaystyle L = int { mathcal {L}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {x} ,.}$

Действие часто называют "действием функциональный ", поскольку это функция полей (и их производных).

Форма объема

При наличии силы тяжести или при использовании общих криволинейных координат плотность лагранжиана ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ будет включать фактор ${ displaystyle { sqrt {g}}}$. Это гарантирует, что действие инвариантно относительно преобразований общих координат. В математической литературе пространство-время рассматривается как Риманово многообразие ${ displaystyle M}$ и тогда интеграл становится объемная форма

${ displaystyle { mathcal {S}} = int _ {M} { sqrt {| g |}} dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {m} { mathcal {L}}}$

Здесь ${ Displaystyle клин}$ это клин и ${ displaystyle { sqrt {| g |}}}$ квадратный корень из определителя ${ displaystyle | g |}$ из метрический тензор ${ displaystyle g}$ на ${ displaystyle M}$. Для плоского пространства-времени (например Пространство-время Минковского ) единичный объем равен единице, т.е. ${ displaystyle { sqrt {| g |}} = 1}$ и поэтому его обычно опускают при обсуждении теории поля в плоском пространстве-времени. Точно так же использование символов произведения клина не дает никакого дополнительного понимания по сравнению с обычным понятием объема в многомерном исчислении, и поэтому они также отбрасываются. Некоторые старые учебники, например Ландау и Лифшиц пишут ${ displaystyle { sqrt {-g}}}$ для формы объема, поскольку знак минус подходит для метрических тензоров с сигнатурой (+ ---) или (- +++) (поскольку определитель в любом случае отрицательный). При обсуждении теории поля на общих римановых многообразиях форма объема обычно записывается в сокращенных обозначениях ${ Displaystyle * (1)}$ где ${ displaystyle *}$ это Ходжа звезда. Это,

${ displaystyle * (1) = { sqrt {| g |}} dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {m}}$

и так

${ Displaystyle { mathcal {S}} = int _ {M} * (1) { mathcal {L}}}$

Нередко указанные выше обозначения считаются совершенно лишними, и

${ Displaystyle { mathcal {S}} = int _ {M} { mathcal {L}}}$

часто можно увидеть. Не вводите в заблуждение: форма объема неявно присутствует в приведенном выше интеграле, даже если она не записана явно.

Уравнения Эйлера – Лагранжа.

В Уравнения Эйлера-Лагранжа Опишите геодезический поток поля ${ displaystyle varphi}$ как функция времени. Принимая вариация относительно ${ displaystyle varphi}$, получается

${ displaystyle 0 = { frac { delta { mathcal {S}}} { delta varphi}} = int _ {M} * (1) left (- partial _ { mu} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial ( partial _ { mu} varphi)}} right) + { frac { partial { mathcal {L}}} { partial varphi}} right).}$

Решение в отношении граничные условия, получаем Уравнения Эйлера – Лагранжа.:

${ displaystyle { frac { partial { mathcal {L}}} { partial varphi}} = partial _ { mu} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial ( partial _ { mu} varphi)}} right).}$

Примеры

Большое разнообразие физических систем сформулировано в терминах лагранжианов над полями. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных из них, которые можно найти в учебниках физики по теории поля.

Ньютоновская гравитация

Плотность лагранжиана для ньютоновской гравитации равна:

${ Displaystyle { mathcal {L}} ( mathbf {x}, t) = - {1 более 8 pi G} ( nabla Phi ( mathbf {x}, t)) ^ {2} - rho ( mathbf {x}, t) Phi ( mathbf {x}, t)}$

где Φ это гравитационный потенциал, ρ - массовая плотность, а г в м³·кг⁻¹· С⁻² это гравитационная постоянная. Плотность ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ имеет единицы Дж · м⁻³. Срок взаимодействия мΦ заменяется членом, включающим непрерывную массовую плотность ρ в кг · м⁻³. Это необходимо, потому что использование точечного источника для поля приведет к математическим трудностям.

Этот лагранжиан можно записать в виде ${ Displaystyle { mathcal {L}} = Т-В}$, с ${ Displaystyle T = - ( nabla Phi) ^ {2} / 8 pi G}$ обеспечивая кинетический член, а взаимодействие ${ Displaystyle V = rho Phi}$ потенциальный срок. Эта форма воспроизводится в следующем примере скалярной теории поля.

Вариация интеграла по Φ является:

${ displaystyle delta { mathcal {L}} ( mathbf {x}, t) = - rho ( mathbf {x}, t) delta Phi ( mathbf {x}, t) - {2 over 8 pi G} ( nabla Phi ( mathbf {x}, t)) cdot ( nabla delta Phi ( mathbf {x}, t)).}$

После интегрирования по частям, отбрасывания общего интеграла и деления на δΦ формула становится:

${ displaystyle 0 = - rho ( mathbf {x}, t) + {1 более 4 pi G} nabla cdot nabla Phi ( mathbf {x}, t)}$

что эквивалентно:

${ displaystyle 4 pi G rho ( mathbf {x}, t) = nabla ^ {2} Phi ( mathbf {x}, t)}$

что дает Закон Гаусса для гравитации.

Теория скалярного поля

Лагранжиан скалярного поля, движущегося в потенциале ${ Displaystyle V ( phi)}$ можно записать как

${ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} partial ^ { mu} phi partial _ { mu} phi -V ( phi) = { frac { 1} {2}} partial ^ { mu} phi partial _ { mu} phi - { frac {1} {2}} m ^ {2} phi ^ {2} - sum _ {n = 3} ^ { infty} { frac {1} {n!}} g_ {n} phi ^ {n}}$

Совсем не случайно скалярная теория напоминает лагранжиан из учебника для бакалавриата. ${ Displaystyle L = Т-В}$ для кинетического члена свободной точечной частицы, записанного как ${ Displaystyle Т = мв ^ {2} / 2}$. Скалярная теория - это теоретико-полевое обобщение частицы, движущейся в потенциале. Когда ${ Displaystyle V ( phi)}$ это Потенциал мексиканской шляпы, полученные поля называются Поля Хиггса.

Лагранжиан сигма-модели

В сигма модель описывает движение скалярной точечной частицы, вынужденной двигаться по Риманово многообразие, например круг или сфера. Он обобщает случай скалярных и векторных полей, то есть полей, вынужденных перемещаться по плоскому многообразию. Лагранжиан обычно записывается в одной из трех эквивалентных форм:

${ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} mathrm {d} phi wedge {* mathrm {d} phi}}$

где ${ displaystyle mathrm {d}}$ это дифференциал. Эквивалентное выражение

${ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} ( phi) ; partial ^ { mu} phi _ {i} partial _ { mu} phi _ {j}}$

с участием ${ displaystyle g_ {ij}}$ то Риманова метрика на многообразии поля; т.е. поля ${ displaystyle phi _ {я}}$ просто местные координаты на карта координат коллектора. Третья распространенная форма - это

${ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} mathrm {tr} left (L _ { mu} L ^ { mu} right)}$

с участием

${ Displaystyle L _ { mu} = U ^ {- 1} partial _ { mu} U}$

и ${ Displaystyle U в SU (N)}$, то Группа Ли СОЛНЦЕ). Эту группу можно заменить любой группой Ли или, в более общем смысле, симметричное пространство. След - это просто Форма убийства в бегах; форма Киллинга дает квадратичную форму на многообразии полей, тогда лагранжиан - это просто обратный образ этой формы. С другой стороны, лагранжиан можно рассматривать как откат Форма Маурера – Картана в базовое пространство-время.

В целом сигма-модели демонстрируют топологический солитон решения. Самым известным и хорошо изученным из них является Скирмион, который служит моделью нуклон которая выдержала испытание временем.

Электромагнетизм в специальной теории относительности

Рассмотрим точечную частицу, заряженную частицу, взаимодействующую с электромагнитное поле. Условия взаимодействия

${ displaystyle -q phi ( mathbf {x} (t), t) + q { dot { mathbf {x}}} (t) cdot mathbf {A} ( mathbf {x} (t ), t)}$

заменяются членами, включающими непрерывную плотность заряда ρ в А · с · м⁻³ и плотность тока ${ displaystyle mathbf {j}}$ в А · м⁻². Результирующий лагранжиан для электромагнитного поля:

${ displaystyle { mathcal {L}} ( mathbf {x}, t) = - rho ( mathbf {x}, t) phi ( mathbf {x}, t) + mathbf {j} ( mathbf {x}, t) cdot mathbf {A} ( mathbf {x}, t) + { epsilon _ {0} over 2} {E} ^ {2} ( mathbf {x}, t) - {1 over {2 mu _ {0}}} {B} ^ {2} ( mathbf {x}, t).}$

Варьируя это по ϕ, получаем

${ displaystyle 0 = - rho ( mathbf {x}, t) + epsilon _ {0} nabla cdot mathbf {E} ( mathbf {x}, t)}$

что дает Закон Гаусса.

Вместо этого изменяясь относительно ${ displaystyle mathbf {A}}$, мы получаем

${ displaystyle 0 = mathbf {j} ( mathbf {x}, t) + epsilon _ {0} { dot { mathbf {E}}} ( mathbf {x}, t) - {1 над mu _ {0}} nabla times mathbf {B} ( mathbf {x}, t)}$

что дает Закон Ампера.

С помощью тензорная запись, мы можем записать все это более компактно. Период, термин ${ displaystyle - rho phi ( mathbf {x}, t) + mathbf {j} cdot mathbf {A}}$ на самом деле внутренний продукт двух четырехвекторный. Мы упаковываем плотность заряда в 4-вектор тока, а потенциал - в 4-вектор потенциала. Эти два новых вектора

${ displaystyle j ^ { mu} = ( rho, mathbf {j}) quad { text {and}} quad A _ { mu} = (- phi, mathbf {A})}$

Тогда мы можем записать член взаимодействия как

${ displaystyle - rho phi + mathbf {j} cdot mathbf {A} = j ^ { mu} A _ { mu}}$

Кроме того, мы можем упаковать поля E и B в так называемые поля электромагнитный тензор ${ displaystyle F _ { mu nu}}$. Определим этот тензор как

${ Displaystyle F _ { mu nu} = partial _ { mu} A _ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu}}$

Термин, который мы ищем, оказывается

${ displaystyle { epsilon _ {0} over 2} {E} ^ {2} - {1 over {2 mu _ {0}}} {B} ^ {2} = - { frac {1 } {4 mu _ {0}}} F _ { mu nu} F ^ { mu nu} = - { frac {1} {4 mu _ {0}}} F _ { mu nu } F _ { rho sigma} eta ^ { mu rho} eta ^ { nu sigma}}$

Мы использовали Метрика Минковского поднять индексы на тензоре ЭДС. В этих обозначениях уравнения Максвелла имеют вид

${ displaystyle partial _ { mu} F ^ { mu nu} = - mu _ {0} j ^ { nu} quad { text {and}} quad epsilon ^ { mu nu lambda sigma} partial _ { nu} F _ { lambda sigma} = 0}$

где ε - Тензор Леви-Чивиты. Таким образом, плотность Лагранжа для электромагнетизма в специальной теории относительности, записанная в терминах векторов и тензоров Лоренца, равна

${ displaystyle { mathcal {L}} (x) = j ^ { mu} (x) A _ { mu} (x) - { frac {1} {4 mu _ {0}}} F_ { mu nu} (x) F ^ { mu nu} (x)}$

В этих обозначениях очевидно, что классический электромагнетизм является лоренц-инвариантной теорией. Посредством принцип эквивалентности, становится простым распространить понятие электромагнетизма на искривленное пространство-время.^[5][6]

Электромагнетизм и уравнения Янга – Миллса.

С помощью дифференциальные формы, электромагнитное воздействие S в вакууме на (псевдо) римановом многообразии ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ можно написать (используя натуральные единицы, c = ε₀ = 1) так как

${ displaystyle { mathcal {S}} [ mathbf {A}] = - int _ { mathcal {M}} left ({ frac {1} {2}} , mathbf {F} wedge ast mathbf {F} + mathbf {A} wedge ast mathbf {J} right).}$

Вот, А обозначает 1-форму электромагнитного потенциала, J это текущая 1-форма, F - 2-форма напряженности поля, а звездочка обозначает Ходжа звезда оператор. Это точно такой же лагранжиан, что и в предыдущем разделе, за исключением того, что здесь используется бескординатный подход; расширение подынтегральной функции до базиса дает идентичное длинное выражение. Обратите внимание, что для форм дополнительная мера интегрирования не требуется, потому что формы имеют встроенные дифференциалы координат. Вариация действия приводит к

${ displaystyle mathrm {d} { ast} mathbf {F} = { ast} mathbf {J}.}$

Это уравнения Максвелла для электромагнитного потенциала. Подстановка F = dА немедленно дает уравнение для полей,

${ Displaystyle mathrm {d} mathbf {F} = 0}$

потому что F является точная форма.

В А поле можно понимать как аффинная связь на U (1) -пучок волокон. То есть классическая электродинамика, все ее эффекты и уравнения могут быть полностью понимается с точки зрения связка кругов над Пространство-время Минковского.

В Уравнения Янга – Миллса можно записать точно так же, как указано выше, заменив Группа Ли U (1) электромагнетизма произвольной группой Ли. в Стандартная модель, принято считать ${ Displaystyle СУ (3) раз СУ (2) раз U (1)}$ хотя общий случай представляет общий интерес. Во всех случаях нет необходимости выполнять какое-либо квантование.Хотя уравнения Янга – Миллса исторически уходят корнями в квантовую теорию поля, приведенные выше уравнения являются чисто классическими.^[2][3]

Функционал Черна – Саймонса

В том же ключе, что и выше, можно рассматривать действие в одном измерении меньше, т.е. контактная геометрия настройка. Это дает Функционал Черна – Саймонса. Написано как

${ displaystyle { mathcal {S}} [ mathbf {A}] = int _ { mathcal {M}} mathrm {tr} left ( mathbf {A} wedge d mathbf {A} + { frac {2} {3}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right).}$

Теория Черна – Саймонса был глубоко изучен в физике, как игрушечная модель для широкого круга геометрических явлений, которые можно было бы ожидать найти в теория великого единства.

Лагранжиан Гинзберга – Ландау

Плотность лагранжиана для Теория Гинзбурга – Ландау объединяет лагранжиан для скалярная теория поля с лагранжианом для Действие Янга-Миллса. Это может быть записано как:^[7]

${ Displaystyle { mathcal {L}} ( psi, A) = vert F vert ^ {2} + vert D psi vert ^ {2} + { frac {1} {4}} влево ( sigma - vert psi vert ^ {2} right) ^ {2}}$

где ${ displaystyle psi}$ это раздел из векторный набор с волокном ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. В ${ displaystyle psi}$ соответствует параметру порядка в сверхпроводник; эквивалентно, это соответствует Поле Хиггса, отметив, что второй срок - знаменитый Потенциал "шляпы сомбреро". Поле ${ displaystyle A}$ - (неабелево) калибровочное поле, т. е. Поле Янга – Миллса и ${ displaystyle F}$ это его напряженность поля. В Уравнения Эйлера – Лагранжа. для функционала Гинзбурга – Ландау являются Уравнения Янга – Миллса

${ Displaystyle D * D psi = { frac {1} {2}} left ( sigma - vert psi vert ^ {2} right) psi}$

и

${ displaystyle D * F = - operatorname {Re} langle D psi, psi rangle}$

где ${ displaystyle *}$ это Звездный оператор Ходжа, т.е. полностью антисимметричный тензор. Эти уравнения тесно связаны с Уравнения Янга – Миллса – Хиггса. Другой тесно связанный лагранжиан находится в Теория Зайберга – Виттена.

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для Поле Дирака является:^[8]

${ displaystyle { mathcal {L}} = { bar { psi}} (я hbar c { partial} ! ! ! / -mc ^ {2}) psi}$

где ψ это Спинор Дирака, ${ displaystyle { bar { psi}} = psi ^ { dagger} gamma ^ {0}}$ это его Дирак сопряженный, и ${ Displaystyle { partial} ! ! ! /}$ является Обозначение слэша Фейнмана для ${ Displaystyle gamma ^ { sigma} partial _ { sigma} !}$. В классической теории нет особой необходимости сосредотачиваться на спинорах Дирака. В Спиноры Вейля обеспечить более общий фундамент; они могут быть построены непосредственно из Алгебра Клиффорда пространства-времени; строительные работы в любом количестве,^[3] и спиноры Дирака выступают как частный случай. Дополнительное преимущество спиноров Вейля состоит в том, что их можно использовать в vielbein для метрики на римановом многообразии; это дает возможность концепции спиновая структура, который, грубо говоря, представляет собой способ последовательной формулировки спиноров в искривленном пространстве-времени.

Квантовый электродинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для QED объединяет лагранжиан для поля Дирака с лагранжианом для электродинамики калибровочно-инвариантным образом. Это:

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {QED}} = { bar { psi}} (я hbar c {D} ! ! ! ! / -mc ^ {2 }) psi - {1 over 4 mu _ {0}} F _ { mu nu} F ^ { mu nu}}$

где ${ Displaystyle F ^ { mu nu} !}$ это электромагнитный тензор, D это калибровочная ковариантная производная, и ${ Displaystyle {D} ! ! ! ! /}$ является Обозначение Фейнмана для ${ Displaystyle gamma ^ { sigma} D _ { sigma} !}$ с участием ${ displaystyle D _ { sigma} = partial _ { sigma} -ieA _ { sigma}}$ где ${ displaystyle A _ { sigma}}$ это электромагнитный четырехпотенциальный. Хотя слово «квант» встречается выше, это исторический артефакт. Определение поля Дирака вообще не требует квантования, его можно записать как чисто классическое поле антикоммутирующих Спиноры Вейля построен на основе первых принципов из Алгебра Клиффорда.^[3] Полная калибровочно-инвариантная классическая формулировка дана у Бликера.^[2]

Квантовый хромодинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для квантовая хромодинамика объединяет лагранжиан для одного или нескольких массивных Спиноры Дирака с лагранжианом для Действие Янга-Миллса, описывающий динамику калибровочного поля; комбинированный лагранжиан калибровочно инвариантен. Это может быть записано как:^[9]

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {QCD}} = sum _ {n} { bar { psi}} _ {n} left (i hbar c {D} ! ! ! ! / -m_ {n} c ^ {2} right) psi _ {n} - {1 over 4} G ^ { alpha} {} _ { mu nu} G_ { alpha} {} ^ { mu nu}}$

где D КХД калибровочная ковариантная производная, п = 1, 2, ... 6 считает кварк типы и ${ Displaystyle G ^ { alpha} {} _ { mu nu} !}$ это тензор напряженности глюонного поля. Что касается приведенного выше случая электродинамики, появление слова «квант» выше лишь подтверждает его историческое развитие. Лагранжиан и его калибровочная инвариантность можно сформулировать и трактовать чисто классическим образом.^[2][3]

Эйнштейн гравитация

Плотность Лагранжа для общей теории относительности при наличии полей материи равна

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { text {GR}} = { mathcal {L}} _ { text {EH}} + { mathcal {L}} _ { text {материя}} = { frac {c ^ {4}} {16 pi G}} left (R-2 Lambda right) + { mathcal {L}} _ { text {материя}}}$

где ${ displaystyle Lambda}$ это космологическая постоянная, ${ displaystyle R}$ это скаляр кривизны, какой Тензор Риччи заключил договор с метрический тензор, а Тензор Риччи это Тензор Римана заключил договор с Дельта Кронекера. Интеграл ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { text {EH}}}$ известен как Действие Эйнштейна-Гильберта. Тензор Римана - это приливная сила тензор и строится из Символы Кристоффеля и производные от символов Кристоффеля, которые определяют метрическое соединение о пространстве-времени. Само гравитационное поле исторически относилось к метрическому тензору; современная точка зрения такова, что связь «более фундаментальная». Это связано с пониманием того, что можно писать соединения с ненулевым кручение. Они изменяют метрику, не меняя ни на бит геометрию. Что касается фактического «направления, в котором указывает гравитация» (например, на поверхности Земли она указывает вниз), это исходит от тензора Римана: это то, что описывает «поле гравитационных сил», которое движущиеся тела ощущают и реагируют. к. (Это последнее утверждение должно быть уточнено: нет "силового поля" как таковой; движущиеся тела следуют геодезические на коллекторе, описываемом подключением. Они двигаются в "прямая линия ".)

Лагранжиан общей теории относительности также может быть записан в форме, которая явно напоминает уравнения Янга – Миллса. Это называется Принцип действия Эйнштейна – Янга – Миллса. Это делается за счет того, что большая часть дифференциальной геометрии работает "просто отлично" на связках с аффинная связь и произвольная группа Ли. Затем, вставив SO (3,1) для этой группы симметрии, т.е. для поля кадра, получаем приведенные выше уравнения.^[2][3]

Подставляя этот лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа и взяв метрический тензор ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ в качестве поля получаем Уравнения поля Эйнштейна

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu} + g _ { mu nu} Lambda = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu} ,.}$

${ Displaystyle Т _ { му ню}}$ это тензор энергии-импульса и определяется

${ displaystyle T _ { mu nu} Equiv { frac {-2} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ mathcal {L}} _ { mathrm {материя}} { sqrt {-g}})} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {material}}} { дельта g ^ { mu nu}}} + g _ { mu nu} { mathcal {L}} _ { mathrm {материя}} ,.}$

где ${ displaystyle g}$ - определитель метрического тензора, рассматриваемого как матрица. В общем случае в общей теории относительности мера интегрирования действия плотности Лагранжа равна ${ displaystyle { sqrt {-g}} , d ^ {4} x}$. Это делает интегральную координату независимой, так как корень метрического определителя эквивалентен Определитель якобиана. Знак минус является следствием сигнатуры метрики (определитель сам по себе отрицательный).^[5] Это пример объемная форма, обсуждавшееся ранее, проявляется в неплоском пространстве-времени.

Электромагнетизм в общей теории относительности

Плотность Лагранжа электромагнетизма в общей теории относительности также содержит действие Эйнштейна-Гильберта сверху. Чистый электромагнитный лагранжиан и есть лагранжиан материи. ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { text {материя}}}$. Лагранжиан равен

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} (x) & = j ^ { mu} (x) A _ { mu} (x) - {1 over 4 mu _ {0} } F _ { mu nu} (x) F _ { rho sigma} (x) g ^ { mu rho} (x) g ^ { nu sigma} (x) + { frac {c ^ {4}} {16 pi G}} R (x) & = { mathcal {L}} _ { text {Maxwell}} + { mathcal {L}} _ { text {Эйнштейн-Гильберт }}. end {выравнивается}}}$

Этот лагранжиан получается простой заменой метрики Минковского в приведенном выше плоском лагранжиане более общей (возможно, криволинейной) метрикой ${ Displaystyle г _ { му ню} (х)}$. Мы можем генерировать уравнения поля Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, используя этот лагранжиан. Тензор энергии-импульса равен

${ displaystyle T ^ { mu nu} (x) = { frac {2} { sqrt {-g (x)}}} { frac { delta} { delta g _ { mu nu} (x)}} { mathcal {S}} _ { text {Maxwell}} = { frac {1} { mu _ {0}}} left (F _ {{ text {}} lambda} ^ { mu} (x) F ^ { nu lambda} (x) - { frac {1} {4}} g ^ { mu nu} (x) F _ { rho sigma} (x ) F ^ { rho sigma} (x) right)}$

Можно показать, что этот тензор энергии-импульса бесследов, т. Е. Что

${ Displaystyle Т = г _ { му ню} Т ^ { му ню} = 0}$

Если мы возьмем след обеих частей уравнений поля Эйнштейна, мы получим

${ Displaystyle R = - { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T}$

Таким образом, бесследовательность тензора энергии-импульса означает, что скаляр кривизны в электромагнитном поле обращается в нуль. Тогда уравнения Эйнштейна имеют вид

${ displaystyle R ^ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} { frac {1} { mu _ {0}}} left (F _ {{ text {}} lambda} ^ { mu} (x) F ^ { nu lambda} (x) - { frac {1} {4}} g ^ { mu nu} (x) F_ { rho sigma} (x) F ^ { rho sigma} (x) right)}$

Кроме того, уравнения Максвелла

${ Displaystyle D _ { mu} F ^ { mu nu} = - mu _ {0} j ^ { nu}}$

где ${ displaystyle D _ { mu}}$ это ковариантная производная. Для свободного пространства можно установить текущий тензор равным нулю, ${ displaystyle j ^ { mu} = 0}$. Решение уравнений Эйнштейна и Максвелла вокруг сферически-симметричного распределения массы в свободном пространстве приводит к Заряженная черная дыра Рейсснера – Нордстрема, с определяющим линейным элементом (записанным в натуральные единицы и с зарядом Q):^[5]

${ displaystyle mathrm {d} s ^ {2} = left (1 - { frac {2M} {r}} + { frac {Q ^ {2}} {r ^ {2}}} right ) mathrm {d} t ^ {2} - left (1 - { frac {2M} {r}} + { frac {Q ^ {2}} {r ^ {2}}} right) ^ {-1} mathrm {d} r ^ {2} -r ^ {2} mathrm {d} Omega ^ {2}}$

Один из возможных способов объединения электромагнитного и гравитационного лагранжианов (с использованием пятого измерения) дается формулой Теория Калуцы-Клейна.^[2] Фактически, строится аффинное расслоение, как и для приведенных ранее уравнений Янга – Миллса, а затем рассматривается действие отдельно на 4-мерной и 1-мерной частях. Такие факторизации, например, тот факт, что 7-сфера может быть записана как произведение 4-сферы и 3-сферы, или что 11-сфера является продуктом 4-сферы и 7-сферы, что во многом объясняет о раннем волнении, которое теория всего был найден. К сожалению, 7-сфера оказалась недостаточно большой, чтобы охватить все Стандартная модель, разбивая эти надежды.

Дополнительные примеры

• В Модель BF Лагранжиан, сокращение от «Фоновое поле», описывает систему с тривиальной динамикой, когда она записана на плоском многообразии пространства-времени. В топологически нетривиальном пространстве-времени система будет иметь нетривиальные классические решения, которые можно интерпретировать как солитоны или инстантоны. Существуют различные расширения, составляющие основу для топологические теории поля.

Смотрите также

Заметки

Цитаты