Немедленное включение - Instanton

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Немедленное включение"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

An Немедленное включение (или же псевдочастица^[1][2][3]) - понятие, встречающееся в теоретических и математическая физика. Инстантон - это классическое решение уравнения движения^{[примечание 1]} с конечный, ненулевое действие, либо в квантовая механика или в квантовая теория поля. Точнее, это решение уравнений движения классическая теория поля на Евклидово пространство-время.

В таких квантовых теориях решения уравнений движения можно представить как критические точки из действие. Критические точки действия могут быть локальные максимумы действия, локальные минимумы, или же седловые точки. Instantons важны в квантовая теория поля потому что:

• они появляются в интеграл по путям как ведущие квантовые поправки к классическому поведению системы, и
• их можно использовать для изучения поведения туннелей в различных системах, таких как Теория Янга – Миллса.

Имеет отношение к динамика, семейства инстантонов позволяют взаимно связывать инстантоны, то есть разные критические точки уравнения движения. В физике инстантоны особенно важны, потому что конденсация инстантонов (и индуцированных шумом антиинстантонов) считается объяснением хаотическая фаза, вызванная шумом известный как самоорганизованная критичность.

Математика

Математически Инстантон Янга – Миллса самодвойственный или анти-самодвойственный связь в основной пакет над четырехмерным Риманово многообразие что играет роль физического пространство-время в неабелев калибровочная теория. Инстантоны - это топологически нетривиальные решения Уравнения Янга – Миллса которые абсолютно минимизируют функционал энергии в пределах своего топологического типа. Первые такие решения были обнаружены в случае четырехмерного евклидова пространства, компактифицированного до четырехмерная сфера, и оказался локализованным в пространстве-времени, что подсказало названия псевдочастица и Немедленное включение.

Инстантоны Янга – Миллса во многих случаях строились явно с помощью твисторная теория, что связывает их с алгебраическими векторные пакеты на алгебраические поверхности, а через Строительство ADHM, или гиперкэлерова редукция (см. гиперкэлерово многообразие ), сложная процедура линейной алгебры. Новаторская работа Саймон Дональдсон, за что позже был награжден Медаль Филдса, использовал пространство модулей инстантонов над заданным четырехмерным дифференцируемым многообразием как новый инвариант многообразия, зависящий от его дифференцируемая структура и применил его к построению гомеоморфный но нет диффеоморфный четырехмерные многообразия. Многие методы, разработанные при изучении инстантонов, также были применены к монополи. Это связано с тем, что магнитные монополи возникают как решения размерной редукции уравнений Янга – Миллса.^[4]

Квантовая механика

An Немедленное включение может быть использован для расчета вероятности перехода для квантово-механической частицы, туннелирующей через потенциальный барьер. Один пример системы с Немедленное включение эффект - это частица в двухъямный потенциал. В отличие от классической частицы, существует отличная от нуля вероятность того, что она пересечет область потенциальной энергии, превышающей ее собственную.

Мотивация использования инстантонов

Рассмотрим квантовую механику движения одиночной частицы внутри двухъямного потенциала ${ displaystyle V (x) = {1 over 4} (x ^ {2} -1) ^ {2}.}$Потенциальная энергия принимает минимальное значение при ${ displaystyle x = pm 1}$, и они называются классическими минимумами, потому что частица стремится находиться в одном из них в классической механике. В классической механике есть два состояния с самой низкой энергией.

В квантовой механике мы решаем Уравнение Шредингера

${ displaystyle - { hbar ^ {2} over 2m} { partial ^ {2} over partial x ^ {2}} psi + V (x) psi (x) = E psi (x ),}$

для определения собственных состояний энергии. Если мы сделаем это, мы найдем только уникальное состояние с самой низкой энергией вместо двух состояний. Волновая функция основного состояния локализуется в обоих классических минимумах ${ displaystyle x = pm 1}$ вместо одного из них из-за квантовой интерференции или квантового туннелирования.

Инстантоны - это инструмент, позволяющий понять, почему это происходит в рамках полуклассического приближения формулировки интеграла по путям в евклидовом времени. Сначала мы увидим это, используя приближение ВКБ, которое приближенно вычисляет саму волновую функцию, и перейдем к введению инстантонов, используя формулировку интеграла по путям.

Приближение ВКБ

Один из способов вычислить эту вероятность - использовать полуклассический Приближение ВКБ, что требует значения ${ displaystyle hbar}$ быть маленьким. В не зависящее от времени уравнение Шредингера для частицы читается

${ displaystyle { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} = { frac {2m (V (x) -E)} { hbar ^ {2}}} psi. }$

Если бы потенциал был постоянным, решением была бы плоская волна с точностью до коэффициента пропорциональности,

${ Displaystyle psi = ехр (- mathrm {i} kx) ,}$

с

${ displaystyle k = { frac { sqrt {2m (E-V)}} { hbar}}.}$

Это означает, что если энергия частицы меньше, чем потенциальная энергия, получается экспоненциально убывающая функция. Соответствующая амплитуда туннелирования пропорциональна

${ displaystyle e ^ {- { frac {1} { hbar}} int _ {a} ^ {b} { sqrt {2m (V (x) -E)}} , dx},}$

куда а и б являются началом и концом траектории туннелирования.

Интерпретация интегралов по путям через инстантоны

В качестве альтернативы использование интегралы по путям позволяет Немедленное включение интерпретация и тот же результат может быть получен с помощью этого подхода. В формулировке интеграла по путям амплитуда перехода может быть выражена как

${ Displaystyle К (a, b; t) = langle x = a | e ^ {- { frac {i mathbb {H} t} { hbar}}} | x = b rangle = int d [x (t)] e ^ { frac {iS [x (t)]} { hbar}}.}$

Следуя процессу Вращение фитиля (аналитическое продолжение) в евклидово пространство-время (${ displaystyle it rightarrow tau}$), получается

${ displaystyle K_ {E} (a, b; tau) = langle x = a | e ^ {- { frac { mathbb {H} tau} { hbar}}} | x = b rangle = int d [x ( tau)] e ^ {- { frac {S_ {E} [x ( tau)]} { hbar}}},}$

с евклидовым действием

${ displaystyle S_ {E} = int _ { tau _ {a}} ^ { tau _ {b}} left ({ frac {1} {2}} m left ({ frac {dx } {d tau}} right) ^ {2} + V (x) right) d tau.}$

Потенциальная энергия меняет знак ${ Displaystyle V (x) rightarrow -V (x)}$ при вращении Вика и минимумы переходят в максимумы, тем самым ${ Displaystyle V (х)}$ проявляет два «холма» максимальной энергии.

Рассмотрим теперь локальный минимум евклидова действия ${ displaystyle S_ {E}}$ с двухъямным потенциалом ${ Displaystyle V (х) = {1 более 4} (х ^ {2} -1) ^ {2}}$, и мы устанавливаем ${ displaystyle m = 1}$ просто для простоты вычислений. Поскольку мы хотим знать, как два классически самых низких энергетических состояния ${ displaystyle x = pm 1}$ связаны, установим ${ displaystyle a = -1}$ и ${ displaystyle b = 1}$. За ${ displaystyle a = -1}$ и ${ displaystyle b = 1}$, мы можем переписать евклидово действие как

${ displaystyle S_ {E} = int _ { tau _ {a}} ^ { tau _ {b}} d tau {1 over 2} left ({dx over d tau} - { sqrt {2V (x)}} right) ^ {2} + { sqrt {2}} int _ { tau _ {a}} ^ { tau _ {b}} d tau {dx над d tau} { sqrt {V (x)}}}$

${ displaystyle quad = int _ { tau _ {a}} ^ { tau _ {b}} d tau {1 over 2} left ({dx over d tau} - { sqrt {2V (x)}} right) ^ {2} + int _ {- 1} ^ {1} dx {1 over { sqrt {2}}} (1-x ^ {2}).}$

${ displaystyle quad geq {2 { sqrt {2}} более 3}.}$

Приведенное выше неравенство насыщается решением уравнения ${ displaystyle {dx over d tau} = { sqrt {2V (x)}}}$ с условием ${ Displaystyle х ( тау _ {а}) = - 1}$ и ${ Displaystyle х ( тау _ {b}) = 1}$. Такие решения существуют, и решение принимает простой вид, когда ${ Displaystyle тау _ {а} = - infty}$ и ${ Displaystyle тау _ {b} = infty}$. Явная формула для инстантонного решения дается выражением

${ displaystyle x ( tau) = tanh left ({1 over { sqrt {2}}} ( tau - tau _ {0}) right).}$

Здесь ${ displaystyle tau _ {0}}$ - произвольная постоянная. Поскольку это решение выскакивает из одного классического вакуума ${ displaystyle x = -1}$ в другой классический вакуум ${ displaystyle x = 1}$ мгновенно вокруг ${ Displaystyle тау = тау _ {0}}$, он называется инстантоном.

Явная формула для двухъямного потенциала

Явная формула для собственных энергий уравнения Шредингера с двухъямный потенциал предоставил Мюллер-Кирстен^[5] с выводом как методом возмущений (плюс граничные условия), применяемым к уравнению Шредингера, так и явным выводом из интеграла по путям (и ВКБ). Результат следующий. Определяя параметры уравнения Шредингера и потенциала уравнениями

${ Displaystyle { frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [E-V (z)] y (z) = 0,}$

и

${ displaystyle V (z) = - { frac {1} {4}} z ^ {2} h ^ {4} + { frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4} , ; ; ; c ^ {2}> 0, ; h ^ {4}> 0,}$

собственные значения для ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...}$ оказываются:

${ displaystyle E _ { pm} (q_ {0}, h ^ {2}) = - { frac {h ^ {8}} {2 ^ {5} c ^ {2}}} + { frac { 1} { sqrt {2}}} q_ {0} h ^ {2} - { frac {c ^ {2} (3q_ {0} ^ {2} +1)} {2h ^ {4}}} - { frac {{ sqrt {2}} c ^ {4} q_ {0}} {8h ^ {10}}} (17q_ {0} ^ {2} +19) + O ({ frac {1 } {h ^ {16}}})}$

${ displaystyle mp { frac {2 ^ {q_ {0} +1} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {{ sqrt { pi}} 2 ^ {q_ {0} / 4} [(q_ {0} -1) / 2]!}} e ^ {- h ^ {6} / 6 { sqrt {2}} c ^ {2}}.}$

Ясно, что эти собственные значения асимптотически (${ displaystyle h ^ {2} rightarrow infty}$) вырождаются, как и ожидалось, вследствие гармонической части потенциала.

Полученные результаты

Результаты, полученные с помощью математически четко определенного евклидова интеграл по путям могут быть повернуты назад по Вику и дать те же физические результаты, что и при соответствующей обработке (потенциально расходящегося) интеграла по траекториям Минковского. Как видно из этого примера, вычисление вероятности перехода частицы для туннелирования через классически запрещенную область (${ Displaystyle V (х)}$) с интегралом по путям Минковского соответствует вычислению вероятности перехода в туннель через классически разрешенную область (с потенциалом -V(Икс)) в евклидовом интеграле по путям (образно говоря - в евклидовой картине - этот переход соответствует частице, катящейся с одного холма двухъямного потенциала, стоящего на голове, к другому холму). Это классическое решение евклидовых уравнений движения часто называют «кинковым решением» и является примером Немедленное включение. В этом примере два «вакуума» (т. Е. Основные состояния) двухъямный потенциал, превращаются в холмы в евклидовом варианте задачи.

Таким образом Немедленное включение Полевое решение (евклидовой, т.е. с мнимым временем) (1 + 1) -мерной теории поля - квантово-квантовое первое описание - позволяет интерпретировать как туннельный эффект между двумя вакуумами (основные состояния - более высокие состояния требуют периодических инстантонов ) физической (одномерное пространство + реальное время) системы Минковского. В случае двухъямного потенциала написано

${ displaystyle V ( phi) = { frac {m ^ {4}} {2g ^ {2}}} left (1 - { frac {g ^ {2} phi ^ {2}} {m ^ {2}}} right) ^ {2}}$

инстантон, т.е. решение

${ displaystyle { frac {d ^ {2} phi} {d tau ^ {2}}} = V '( phi),}$

(т.е. с энергией ${ displaystyle E_ {cl} = 0}$), является

${ displaystyle phi _ {c} ( tau) = { frac {m} {g}} tanh left [m ( tau - tau _ {0}) right],}$

куда ${ Displaystyle тау = оно}$ это евклидово время.

Примечание что наивная теория возмущений вокруг одного из этих двух вакуумов (описываемого Минковским) никогда не покажет этого непертурбативный туннельный эффект, резко меняя картину вакуумной структуры этой квантово-механической системы. Фактически наивная теория возмущений должна быть дополнена граничными условиями, которые обеспечивают непертурбативный эффект, как видно из приведенной выше явной формулы и аналогичных расчетов для других потенциалов, таких как потенциал косинуса (см. Функция Матье ) или другие периодические потенциалы (см., например, Функция Ламе и сфероидальная волновая функция ) и независимо от того, используется ли уравнение Шредингера или интеграл по путям.^[6]

Следовательно, пертурбативный подход не может полностью описать вакуумную структуру физической системы. Это может иметь важные последствия, например, в теории "аксионы" где нетривиальные вакуумные эффекты КХД (например, инстантоны) испортить Симметрия Печчеи-Куинна явно и преобразовать безмассовые Бозоны Намбу – Голдстоуна в массивный псевдо-Намбу – Голдстоуна.

Периодические инстантоны

В одномерной теории поля или квантовой механике "инстантон" определяется конфигурация поля, которая является решением классического (ньютоновского) уравнения движения с евклидовым временем и конечным евклидовым действием. В контексте солитон теории соответствующее решение известно как перегиб. Ввиду их аналогии с поведением классических частиц такие конфигурации или решения, а также другие вместе известны как псевдочастицы или псевдоклассические конфигурации. Решение «инстантон» (кинк) сопровождается другим решением, известным как «анти-инстантон» (анти-кинк), а инстантон и антиинстантон различаются «топологическими зарядами» «+1 и −1. соответственно, но имеют такое же евклидово действие.

«Периодические инстантоны» - это обобщение инстантонов.^[7] В явной форме они выражаются в терминах Эллиптические функции Якоби которые являются периодическими функциями (фактически обобщениями тригонометрических функций). В пределе бесконечного периода эти периодические инстантоны - часто известные как «отскоки», «пузыри» и т.п. - сводятся к инстантонам.

Стабильность этих псевдоклассических конфигураций может быть исследована путем расширения лагранжиана, определяющего теорию, вокруг конфигурации псевдочастиц, а затем исследования уравнения малых флуктуаций вокруг нее. Для всех версий потенциалов четвертой степени (двухъямных, перевернутых двухъямных) и периодических (Матье) потенциалов эти уравнения оказались уравнениями Ламе, см. Функции Ламе.^[8] Собственные значения этих уравнений известны и позволяют в случае нестабильности вычислить скорости затухания путем вычисления интеграла по путям.^[9]

Инстантоны в теории скорости реакции

В контексте теории скорости реакций периодические инстантоны используются для расчета скорости туннелирования атомов в химических реакциях. Развитие химической реакции можно описать как движение псевдочастицы на большой размерной плоскости. поверхность потенциальной энергии (PES). Константа тепловой скорости ${ displaystyle k}$ тогда можно связать с мнимой частью свободной энергии ${ displaystyle F}$ к

${ displaystyle k ( beta) = - { frac {2} { hbar}} { text {Im}} mathrm {F} = { frac {2} { beta hbar}} { text {Im}} { text {ln}} (Z_ {k}) приблизительно { frac {2} { hbar beta}} { frac {{ text {Im}} Z_ {k}} { { text {Re}} Z_ {k}}}, { text {Re}} Z_ {k} gg { text {Im}} Z_ {k}}$

Посредством чего ${ displaystyle Z_ {k}}$- каноническое разбиение, которое вычисляется путем взятия следа оператора Больцмана в позиционном представлении.

${ displaystyle Z_ {k} = { text {Tr}} (e ^ {- beta { hat {H}}}) = int d mathbf {x} left langle mathbf {x} left | e ^ {- beta { hat {H}}} right | mathbf {x} right rangle}$

Используя вращение фитиля и отождествляя евклидово время с ${ displaystyle hbar beta = 1 / (k_ {b} T)}$ можно получить представление интеграла по путям для статистической суммы в массовых координатах

${ displaystyle Z_ {k} = oint { mathcal {D}} mathbf {x} ( tau) e ^ {- S_ {E} [ mathbf {x} ( tau)] / hbar}, S_ {E} = int _ {0} ^ { beta hbar} left ({ frac { dot { mathbf {x}}} {2}} ^ {2} + V ( mathbf {x} ( tau)) right) d tau}$

Затем интеграл по путям аппроксимируется интегрированием наискорейшего спуска, которое учитывает только вклады от классических решений и квадратичных флуктуаций вокруг них. Это дает выражение для константы скорости в массовых координатах

${ Displaystyle к ( бета) = { гидроразрыва {2} { бета hbar}} left ({ frac {{ text {det}} left [- { frac { partial ^ {2} } { partial tau ^ {2}}} + mathbf {V} '' (x _ { text {RS}} ( tau)) right]} {{ text {det}} left [- { frac { partial ^ {2}} { partial tau ^ {2}}} + mathbf {V} '' (x _ { text {Inst}} ( tau)) right]}} справа) ^ { frac {1} {2}} { exp left ({ frac {-S_ {E} [x _ { text {inst}} ( tau) + S_ {E} [x _ { текст {RS}} ( tau)]} { hbar}} right)}}$

куда ${ displaystyle mathbf {x} _ { text {Inst}}}$периодический инстантон и ${ displaystyle mathbf {x} _ { text {RS}}}$представляет собой тривиальное решение псевдочастицы в состоянии покоя, которое представляет конфигурацию состояния реагента.

Формула перевернутой двойной лунки

Что касается двухъямного потенциала, то можно получить собственные значения для инвертированного двухъямного потенциала. Однако в этом случае собственные значения комплексные. Определение параметров уравнениями

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, ; ; ; V (z) = { frac {1} {4}} h ^ {4} z ^ {2} - { frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4},}$

собственные значения, данные Мюллер-Кирстен, для ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...,}$

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} q_ {0} h ^ {2} - { frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q_ {0} ^ { 2} +1) - { frac {q_ {0} c ^ {4}} {h ^ {10}}} (4q_ {0} ^ {2} +29) + O ({ frac {1} { h ^ {16}}}) pm i { frac {2 ^ {q_ {0}} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2} } {(2 pi) ^ {1/2} [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6c ^ {2}}.}$

Мнимая часть этого выражения согласуется с хорошо известным результатом Бендера и Ву.^[10] В их обозначениях ${ displaystyle hbar = 1, q_ {0} = 2K + 1, h ^ {6} / 2c ^ {2} = epsilon.}$

Квантовая теория поля

Гиперсфера ${ Displaystyle S ^ {3}}$
Гиперсфера Стереографическая проекция Параллели (красные), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый).[заметка 2]

В изучении Квантовая теория поля (КТП) вакуумная структура теории может привлечь внимание к инстантонам. Как показывает двухъямная квантово-механическая система, наивный вакуум не может быть настоящим вакуумом теории поля. Более того, настоящий вакуум теории поля может быть "перекрытием" нескольких топологически неэквивалентных секторов, так называемых "топологический Vacua ".

Хорошо понятный и наглядный пример Немедленное включение и его интерпретацию можно найти в контексте QFT с неабелева калибровочная группа,^{[заметка 3]} а Теория Янга – Миллса. По теории Янга – Миллса эти неэквивалентные сектора могут быть (в соответствующей калибровке) классифицированы по третьему гомотопическая группа из SU (2) (групповое многообразие которого является 3-сфера ${ Displaystyle S ^ {3}}$). Некий топологический вакуум («сектор» настоящего вакуума) обозначается значком неизменное преобразование, то Индекс Понтрягина. В качестве третьей гомотопической группы ${ Displaystyle S ^ {3}}$ было обнаружено, что это набор целые числа,

${ displaystyle pi _ {3}}$${ displaystyle (S ^ {3}) =}$${ Displaystyle mathbb {Z} ,}$

существует бесконечно много топологически неэквивалентных вакуумов, обозначаемых ${ displaystyle | N rangle}$, куда ${ displaystyle N}$ - соответствующий им индекс Понтрягина. An Немедленное включение представляет собой конфигурацию поля, удовлетворяющую классическим уравнениям движения в евклидовом пространстве-времени, что интерпретируется как эффект туннелирования между этими различными топологическими вакуумами. Он снова помечен целым числом, его индекс Понтрягина, ${ displaystyle Q}$. Можно представить Немедленное включение с индексом ${ displaystyle Q}$ для количественной оценки туннелирования между топологическими вакуумами ${ displaystyle | N rangle}$ и ${ displaystyle | N + Q rangle}$. Если Q = 1, конфигурация называется BPST инстантон после его первооткрывателей Александр Белавин, Александр Поляков, Альберт С. Шварц и Ю. С. Тюпкин. Истинный вакуум теории обозначен тэтой «угол» и представляет собой перекрытие топологических секторов:

${ displaystyle | theta rangle = sum _ {N = - infty} ^ {N = + infty} e ^ {i theta N} | N rangle.}$

Жерар т Хофт впервые выполнил теоретико-полевое вычисление эффектов инстантона BPST в теории, связанной с фермионами в [1]. Он показал, что нулевые моды уравнения Дирака на инстантонном фоне приводят к непертурбативному мультифермионному взаимодействию в низкоэнергетическом эффективном действии.

Теория Янга – Миллса

Классическое действие Янга – Миллса на основной пакет со структурной группой грамм, основание M, связь А, и кривизна (Тензор поля Янга – Миллса) F является

${ Displaystyle S_ {YM} = int _ {M} left | F right | ^ {2} d mathrm {vol} _ {M},}$

куда ${ displaystyle d mathrm {vol} _ {M}}$ это объемная форма на ${ displaystyle M}$. Если внутренний продукт включен ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, то Алгебра Ли из ${ displaystyle G}$ в котором ${ displaystyle F}$ принимает значения, задается Форма убийства на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, то это можно обозначить как ${ Displaystyle int _ {M} mathrm {Tr} (F клин * F)}$, поскольку

${ displaystyle F wedge * F = langle F, F rangle d mathrm {vol} _ {M}.}$

Например, в случае группа датчиков U (1), F будет электромагнитное поле тензор. От принцип стационарного действия, следуют уравнения Янга – Миллса. Они есть

${ Displaystyle mathrm {d} F = 0, quad mathrm {d} {* F} = 0.}$

Первый из них - это тождество, потому что dF = d²А = 0, но второй - второго порядка уравнение в частных производных для связи А, и если вектор тока Минковского не обращается в нуль, нуль справа. второго уравнения заменяется на ${ displaystyle mathbf {J}}$. Но обратите внимание, насколько похожи эти уравнения; они отличаются Ходжа звезда. Таким образом, решение более простого (нелинейного) уравнения первого порядка

${ Displaystyle {* F} = pm F ,}$

автоматически также является решением уравнения Янга – Миллса. Это упрощение происходит на 4 коллекторах с:${ displaystyle s = 1}$ так что ${ Displaystyle * ^ {2} = + 1}$ на 2-х классах. Такие решения обычно существуют, хотя их точный характер зависит от размерности и топологии базового пространства M, главного расслоения P и калибровочной группы G.

В неабелевых теориях Янга – Миллса ${ displaystyle DF = 0}$ и ${ displaystyle D * F = 0}$ где D - внешняя ковариантная производная. Кроме того, Бьянки идентичность

${ Displaystyle DF = dF + A клин FF клин A = d (dA + A клин A) + A клин (dA + A клин A) - (dA + A клин A) клин A = 0 }$

доволен.

В квантовая теория поля, Немедленное включение это топологически нетривиальная конфигурация поля в четырехмерном Евклидово пространство (считается Вращение фитиля из Пространство-время Минковского ). В частности, это относится к Ян – Миллс калибровочное поле А который приближается чистый калибр в пространственная бесконечность. Это означает, что напряженность поля

${ Displaystyle mathbf {F} = d mathbf {A} + mathbf {A} wedge mathbf {A}}$

исчезает на бесконечности. Название Немедленное включение происходит из того факта, что эти поля локализованы в пространстве и (евклидовом) времени - другими словами, в определенный момент.

Случай инстантонов на двумерное пространство может быть легче визуализировать, потому что он допускает простейший случай калибровки группа, а именно U (1), то есть абелева группа. В этом случае поле А можно представить как просто векторное поле. Инстантон - это конфигурация, в которой, например, стрелки указывают в сторону от центральной точки (т.е. состояние «ежа»). В евклидовом четыре измерения, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$, абелевы инстантоны невозможны.

Конфигурация поля инстантона сильно отличается от конфигурации поля инстантона. вакуум. Из-за этого инстантоны нельзя изучать с помощью Диаграммы Фейнмана, которые включают только пертурбативный последствия. Инстантоны принципиально непертурбативный.

Энергия Янга – Миллса определяется выражением

${ displaystyle { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R} ^ {4}} operatorname {Tr} [* mathbf {F} wedge mathbf {F}]}$

где ∗ - Ходж Дуал. Если мы настаиваем на том, что решения уравнений Янга – Миллса имеют конечные энергия, то кривизна решения на бесконечности (взятого как предел ) должен быть равен нулю. Это означает, что Черн – Саймонс инвариант можно определить на границе 3-го пространства. Это эквивалентно через Теорема Стокса, чтобы взять интеграл

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {4}} operatorname {Tr} [ mathbf {F} wedge mathbf {F}].}$

Это гомотопический инвариант, который сообщает нам, какой гомотопический класс инстантон принадлежит.

Поскольку интеграл неотрицательной интегрировать всегда неотрицательно,

${ displaystyle 0 leq { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R} ^ {4}} operatorname {Tr} [(* mathbf {F} + e ^ {- i theta} mathbf {F}) wedge ( mathbf {F} + e ^ {i theta} * mathbf {F})] = int _ { mathbb {R} ^ {4}} operatorname { Tr} [* mathbf {F} wedge mathbf {F} + cos theta mathbf {F} wedge mathbf {F}]}$

для всех действительных θ. Итак, это означает

${ displaystyle { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R} ^ {4}} operatorname {Tr} [* mathbf {F} wedge mathbf {F}] geq { frac {1} {2}} left | int _ { mathbb {R} ^ {4}} operatorname {Tr} [ mathbf {F} wedge mathbf {F}] right |.}$

Если эта граница насыщается, то решением будет BPS государственный. Для таких состояний либо ∗F = F или ∗F = − F в зависимости от знака гомотопический инвариант.

Эффекты инстантона важны для понимания образования конденсатов в вакууме квантовая хромодинамика (КХД) и при объяснении массы так называемой «эта-простой частицы» Голдстоуновский бозон^{[примечание 4]} который приобрел массу благодаря аномалия осевого тока КХД. Обратите внимание, что иногда также имеется соответствующий солитон в теории с одним дополнительным пространственным измерением. Недавнее исследование инстантоны связывает их с такими темами, как D-браны и Черные дыры и, конечно же, вакуумная структура КХД. Например, в ориентированных теории струн, Dp-брана является инстантоном калибровочной теории в мировом объеме (п + 5) -мерный U(N) калибровочной теории на стеке N D (п + 4) -браны.

Различное количество размеров

Инстантоны играют центральную роль в непертурбативной динамике калибровочных теорий. Вид физического возбуждения, который дает инстантон, зависит от количества измерений пространства-времени, но, что удивительно, формализм для работы с этими инстантонами относительно не зависит от размерности.

В 4-мерных калибровочных теориях, как описано в предыдущем разделе, инстантоны представляют собой калибровочные расслоения с нетривиальным четыре формы характеристический класс. Если калибровочная симметрия унитарная группа или же особая унитарная группа то этот характеристический класс является вторым Черн класс, которая обращается в нуль в случае калибровочной группы U (1). Если калибровочная симметрия - ортогональная группа, то этот класс является первым Понтрягин класс.

В 3-мерных калибровочных теориях с Поля Хиггса, Монополи 'т Хофта – Полякова играют роль инстантонов. В своей статье 1977 г. Конфайнмент кварков и топология калибровочных групп., Александр Поляков продемонстрировали, что инстантонные эффекты в трехмерном пространстве QED в сочетании с скалярное поле привести к массе для фотон.

В двумерных абелевых калибровочных теориях инстантоны мирового листа магнитные вихри. Они ответственны за многие непертурбативные эффекты в теории струн, играя центральную роль в зеркальная симметрия.

В одномерном квантовая механика, инстантоны описывают туннелирование, невидимого в теории возмущений.

4d суперсимметричные калибровочные теории

Суперсимметричные калибровочные теории часто подчиняются теоремы о неперенормировке, которые ограничивают виды разрешенных квантовых поправок. Многие из этих теорем применимы только к поправкам, вычисляемым в теория возмущений и поэтому инстантоны, которые не видны в теории возмущений, обеспечивают единственные поправки к этим величинам.

Теоретико-полевые методы инстантонных вычислений в суперсимметричных теориях интенсивно изучались в 1980-х годах многими авторами. Поскольку суперсимметрия гарантирует исключение фермионных и бозонных ненулевых мод в инстантонном фоне, задействованное 'т Хоофт вычисление инстантонной седловой точки сводится к интегрированию по нулевым модам.

В N = 1 суперсимметричные калибровочные теории инстантонов могут модифицировать сверхпотенциал, иногда поднимая все вакуумы. В 1984 г. Ян Аффлек, Майкл Дайн и Натан Зайберг вычислили инстантонные поправки к суперпотенциалу в своей статье Нарушение динамической суперсимметрии в суперсимметричной КХД. Точнее, они смогли выполнить расчет только тогда, когда теория содержит на один вид меньше хиральное вещество чем количество цветов в специальной унитарной калибровочной группе, потому что при наличии меньшего количества ароматов непрерывная неабелева калибровочная симметрия приводит к инфракрасной расходимости, а в случае большего количества ароматов вклад равен нулю. Для этого особого выбора киральной материи могут быть выбраны вакуумные средние значения скалярных полей материи, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию при слабой связи, что позволяет продолжить надежный полуклассический расчет седловой точки. Затем, рассматривая возмущения, вызванные различными массовыми членами, они смогли вычислить суперпотенциал в присутствии произвольного числа цветов и ароматов, справедливый даже тогда, когда теория больше не является слабосвязанной.

В N = 2 суперсимметричные калибровочные теории суперпотенциал не получает квантовых поправок. Однако поправка к метрике пространство модулей вакуума из инстантонов рассчитывалась в серии работ. Во-первых, одна инстантонная поправка была рассчитана Натан Зайберг в Суперсимметрия и непертурбативные бета-функции.. Полный набор поправок к SU (2) теории Янга – Миллса был рассчитан Натан Зайберг и Эдвард Виттен в "Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и конфайнмент в N = 2 суперсимметричной теории Янга – Миллса, "в процессе создания темы, которая сегодня известна как Теория Зайберга – Виттена. Они распространили свои вычисления на SU (2) калибровочные теории с фундаментальной материей в Монополи, двойственность и нарушение киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД. Позднее эти результаты были распространены на различные калибровочные группы и содержание материи, а также в большинстве случаев был получен прямой вывод калибровочной теории. Для калибровочных теорий с калибровочной группой U (N) геометрия Зайберга-Виттена была получена из калибровочной теории с использованием Статистические суммы Некрасова в 2003 г. Никита Некрасов и Андрей Окуньков и независимо Хираку Накадзима и Кота Йошиока.

В N = 4 суперсимметричные калибровочные теории, инстантоны не приводят к квантовым поправкам для метрики на пространстве модулей вакуума.

Смотрите также

• Instanton жидкость
• Калорон
• Сидни Коулман
• Метод голштинской селедки
• Гравитационный инстантон
• Полуклассическая теория переходных состояний
• Уравнения Янга-Миллса
• Калибровочная теория (математика)

Ссылки и примечания

Примечания

Цитаты

Общий

• Инстантоны в калибровочных теориях, сборник статей об инстантонах под редакцией Михаил Александрович Шифман, Дои:10.1142/2281
• Солитоны и инстантоны, Р. Раджараман (Амстердам: Северная Голландия, 1987), ISBN  0-444-87047-4
• Использование инстантонов, к Сидни Коулман в Proc. Int. Школа субъядерной физики, (Эриче, 1977); И в Аспекты симметрии п. 265, Сидней Коулман, Cambridge University Press, 1985, ISBN  0-521-31827-0; И в Инстантоны в калибровочных теориях
• Солитоны, инстантоны и твисторы. М. Дунайски, Oxford University Press. ISBN  978-0-19-857063-9.
• Геометрия четырехмерных многообразий., С.К. Дональдсон, П. Кронхеймер, Oxford University Press, 1990, ISBN  0-19-853553-8.

внешняя ссылка

• Словарное определение Немедленное включение в Викисловарь